Bis zu

Zwei mathematische Objekte a und b heißen „gleich bis auf eine Äquivalenzrelation R “, wenn a und b durch R in Beziehung stehen , oder, in der Notation, wenn aRb gilt. Da a genau dann mit b in Beziehung steht , wenn sie dieselbe Äquivalenzklasse haben , sind a und b genau dann gleich bis auf R , wenn ihre Äquivalenzklassen bezüglich R übereinstimmen.

Diese rhetorische Figur wird hauptsächlich im Zusammenhang mit Ausdrücken verwendet, die sich auf Gleichheit beziehen, wie etwa Eindeutigkeit oder Zählbarkeit. Beispielsweise bedeutet „ x ist eindeutig bis auf R “, dass alle betrachteten Objekte x bezüglich der Relation R derselben Äquivalenzklasse angehören .

Darüber hinaus wird die Äquivalenzrelation R oft eher implizit durch eine erzeugende Bedingung oder Transformation bezeichnet.

• Die Aussage „Die Primfaktorzerlegung einer ganzen Zahl ist bis auf die Ordnung eindeutig“ ist beispielsweise eine prägnante Art zu sagen, dass je zwei Listen von Primfaktoren einer gegebenen ganzen Zahl äquivalent bezüglich der Relation R sind, die zwei Listen verknüpft, wenn die eine durch Umordnung ( Permutation ) der anderen erhalten werden kann . ^{[ 1 ]}
• Ein weiteres Beispiel: Die Aussage „Die Lösung eines unbestimmten Integrals ist sin( x ) bis auf Addition einer Konstanten“ verwendet stillschweigend die Äquivalenzrelation R zwischen Funktionen, definiert durch fRg , wenn die punktweise Differenz f − g eine konstante Funktion ist , und bedeutet, dass die Lösung und die Funktion sin( x ) bis auf dieses R übereinstimmen .
• In der Abbildung bedeutet „es gibt 4 Partitionen bis auf Rotation“, dass die Menge P 4 Äquivalenzklassen bezüglich R besitzt , die durch aRb definiert sind, wenn b durch Rotation aus a gewonnen werden kann ; ein Vertreter jeder Klasse ist im unteren linken Bildteil dargestellt.

Äquivalenzrelationen werden oft verwendet, um mögliche Unterschiede zwischen Objekten zu ignorieren. Daher kann „bis zu R “ informell als „die gleichen Feinheiten ignorieren, die auch R ignoriert“ verstanden werden. Im Beispiel der Faktorisierung bedeutet „bis zur Ordnung“ „die jeweilige Ordnung ignorieren“.

Weitere Beispiele sind „bis auf Isomorphie“, „bis auf Permutationen“ und „bis auf Rotationen“, die im Abschnitt Beispiele beschrieben werden .

Im informellen Kontext verwenden Mathematiker oft das Wort modulo (oder einfach mod ) für ähnliche Zwecke, wie in „Modulo-Isomorphismus“.

Objekte, die bis auf eine durch eine Gruppenwirkung definierte Äquivalenzrelation, wie etwa Rotation, Spiegelung oder Permutation, verschieden sind, können mithilfe des Lemmas von Burnside oder seiner Verallgemeinerung, dem Zählsatz von Pólya, gezählt werden .

Betrachten wir die sieben Tetris- Steine ​​(I, J, L, O, S, T, Z), mathematisch als Tetrominos bekannt . Wenn man alle möglichen Drehungen dieser Steine ​​berücksichtigt – beispielsweise, wenn man das vertikal orientierte „I“ als unterschiedlich vom horizontal orientierten „I“ betrachtet –, ergeben sich 19 verschiedene mögliche Formen auf dem Bildschirm. (Diese 19 sind die sogenannten „fixen“ Tetrominos. ^{[ 2 ]} ) Werden Drehungen jedoch nicht als unterschiedlich betrachtet – sodass sowohl das vertikal als auch das horizontal orientierte „I“ als „I“ behandelt werden –, bleiben nur sieben übrig. Man sagt dann: „Es gibt sieben Tetrominos , bis auf Drehungen.“ Man könnte auch sagen: „Es gibt fünf Tetrominos, bis auf Drehungen und Spiegelungen“, was der Tatsache Rechnung trägt, dass das gespiegelte L das J und das gespiegelte S das Z ergibt.

Beim Acht-Damen-Puzzle gibt es 3.709.440 verschiedene Lösungen, wenn man die Damen als verschieden betrachtet (z. B. wenn sie acht verschiedene Farben haben). Normalerweise geht man jedoch davon aus, dass die Damen austauschbar sind, und sagt üblicherweise: „Es gibt 3.709.440 / 8! = 92 verschiedene Lösungen bis auf eine Permutation der Damen“ oder „Es gibt 92 Lösungen modulo der Namen der Damen“. Dies bedeutet, dass zwei verschiedene Anordnungen der Damen als gleichwertig gelten, wenn die Damen permutiert wurden, solange die Menge der besetzten Felder gleich bleibt.

Würde man neben der Annahme, dass die Damen identisch sind, auch Drehungen und Spiegelungen des Bretts zulassen, gäbe es – abgesehen von Symmetrie und der Benennung der Damen – nur 12 verschiedene Lösungen. Weitere Informationen finden Sie unter „ Acht-Damen-Rätsel § Lösungen “ .

Das reguläre n -Eck ist für ein festes n bis auf Ähnlichkeit eindeutig . Anders ausgedrückt: Die Ähnlichkeitsrelation über den regulären n -Ecken (für ein festes n ) besitzt nur eine Äquivalenzklasse; es ist unmöglich, zwei reguläre n -Ecke zu erzeugen, die einander nicht ähnlich sind.

In der Gruppentheorie kann es eine Gruppe G geben, die auf einer Menge X operiert . In diesem Fall könnte man sagen, dass zwei Elemente von X „bis auf die Gruppenwirkung“ äquivalent sind, wenn sie auf derselben Bahn liegen .

Ein weiteres typisches Beispiel ist die Aussage, dass es „ bis auf Isomorphie zwei verschiedene Gruppen der Ordnung 4 gibt “ oder „modulo Isomorphie gibt es zwei Gruppen der Ordnung 4“. Dies bedeutet, dass es, wenn man isomorphe Gruppen als „äquivalent“ betrachtet, nur zwei Äquivalenzklassen von Gruppen der Ordnung 4 gibt, prototypisch die zyklische Gruppe der Ordnung 4 und die Kleinsche Vierergruppe .

Ein hyperreales x und sein Standardteil st( x ) sind bis auf eine infinitesimale Differenz gleich.

• Missbrauch der Notation
• Angemessenheit
• Im Wesentlichen einzigartig
• Liste mathematischer Fachbegriffe
• Quotientengruppe
• Quotientensatz