Die äußere Münze vollführt zwei Umdrehungen und rollt dabei einmal um die innere Münze.
Die Bahn eines einzelnen Punktes auf dem Rand der sich bewegenden Münze ist eine Kardioide .

Das Münzrotationsparadoxon beschreibt die kontraintuitive mathematische Tatsache, dass eine Münze, die ohne zu rutschen am Rand einer anderen, gleich großen Münze entlangrollt, aus einem externen Bezugssystem betrachtet nicht nur eine, sondern zwei vollständige Umdrehungen vollführt , nachdem sie die ruhende Münze einmal komplett umrundet hat. [ 1 ] Das Problem lässt sich auf Münzen mit unterschiedlichen Radien verallgemeinern.

Beschreibung

Zwei identische Münzen liegen mit den Köpfen nach oben und parallel zueinander auf einem Tisch. Münze A bleibt unbewegt, während Münze B um A gedreht wird, wobei ein Kontaktpunkt ohne Verrutschen beibehalten wird. Sobald Münze B die gegenüberliegende Seite erreicht, sind die beiden Köpfe wieder parallel; B hat eine Umdrehung vollzogen. Durch die weitere Bewegung kehrt B in die Ausgangsposition zurück und vollführt eine zweite Umdrehung. Paradoxerweise scheint Münze B eine Strecke zurückgelegt zu haben, die dem Doppelten ihres Umfangs entspricht. [ 2 ] : 220 Tatsächlich ist Münze B, da die Umfänge beider Münzen gleich sind, definitionsgemäß nur eine Strecke zurückgelegt, die ihrem eigenen Umfang entspricht. Die zweite Umdrehung ergibt sich daraus, dass die zurückgelegte Bahn ein Kreis ist. Dies ist analog zur Drehung von Münze B „an Ort und Stelle“.

Eine Möglichkeit, den Effekt zu veranschaulichen, besteht darin, sich den Umfang von Münze A als gerade Linie vorzustellen. Dadurch lässt sich beobachten, dass sich Münze B auf ihrer nun flachen Bahn nur einmal gedreht hat. Dies ist die „erste Drehung“. Wenn man Münze B hingegen entlang des Umfangs von Münze A gleitet, anstatt sie zu rollen, und dabei den aktuellen Kontaktpunkt beibehält, führt dies zu einer Drehung, die der „zweiten Drehung“ im ursprünglichen Szenario entspricht.

Während sich die Münze B dreht, beschreibt jeder Punkt auf ihrem Umfang eine Kardioide (bewegt sich durch diese ) .

Analyse und Lösung

Der Mittelpunkt der sich bewegenden Münze beschreibt von Anfang bis Ende eine Kreisbahn. Der Umfang der ruhenden Münze und die Bahn des Mittelpunkts bilden zwei konzentrische Kreise. Der Radius des äußeren Kreises entspricht der Summe der Radien der beiden Münzen; daher ist der Umfang der Bahn des sich bewegenden Mittelpunkts doppelt so groß wie der Umfang einer der beiden Münzen. [ 3 ] Der Mittelpunkt der sich bewegenden Münze legt die doppelte Strecke des Münzumfangs zurück, ohne zu rutschen; daher vollführt die Münze zwei vollständige Umdrehungen. [ 4 ]

Wie stark sich die Münze auf ihrem Weg um ihren eigenen Mittelpunkt dreht, falls überhaupt, und in welche Richtung – im Uhrzeigersinn, gegen den Uhrzeigersinn oder in beide Richtungen – hat keinen Einfluss auf die Länge der Bahn. Dass sich die Münze, wie oben beschrieben, zweimal dreht und die Konzentration auf den Rand der sich bewegenden Münze beim Berühren der ruhenden Münze sind Ablenkungen.

Ungleiche Radien und andere Formen

Beispiel, bei dem R = 3r . In Abbildung 1, wenn R gestreckt ist, beträgt die Anzahl der Umdrehungen (Anzahl der Male, die der Pfeil anschließend nach oben zeigt) ⁠R/R= 3. In Abbildung 2, wo R wieder zu einem Kreis geformt wurde, macht die Münze eine zusätzliche Drehung, was Folgendes ergibt :R/R+ 1 = 4. (Animation)
Rotation einer kleinen Münze um eine größere

Eine Münze mit Radius r, die um eine Münze mit Radius R rollt, erzeugt ⁠R/R+ 1 Umdrehungen. [ 5 ] Das liegt daran, dass der Mittelpunkt der rollenden Münze eine Kreisbahn mit einem Radius (oder Umfang) von ⁠ beschreibt.R + r/R⁠ = ⁠R/R+ 1 mal ihrem eigenen Radius (oder Umfang). Im Grenzfall, wenn R = 0, machtdie Münze mit Radius r ⁠0/R+ 1 = 1 einfache Drehung um den tiefsten Punkt.

Die Form, um die die Münze gerollt wird, muss kein Kreis sein: Bei einfachen Polygonen oder geschlossenen Kurven, die sich nicht selbst schneiden, wird dem Verhältnis ihrer Umfänge eine zusätzliche Umdrehung hinzugefügt. Ist die Form komplex , entspricht die Anzahl der hinzugefügten (oder subtrahierten, falls die Münze innerhalb der Kurve rollt) Umdrehungen dem Absolutwert ihrer Umdrehungszahl .

Anwendungen

Sternzeit

Das Paradoxon hängt mit der Sternzeit zusammen : Ein Sterntag ist die Zeit, die die Erde für eine Umdrehung benötigt, damit ein entfernter Stern wieder an derselben Position am Himmel steht. Ein Sonnentag hingegen ist die Zeit, die die Sonne für dieselbe Position benötigt. Ein Jahr hat etwa 36 5,25 Sonnentage, aber 36 6,25 Sterntage, um einen Umlauf um die Sonne zu berücksichtigen. [ 6 ] Da ein Sonnentag 24 Stunden hat, hat ein Sterntag etwa 36 6,25 Sonnentage .365,25/366,25⁠ × 24 Stunden = 23 Stunden, 56 Minuten und 4,1 Sekunden.

Gruppentheorie

Eine Variante dieses Problems findet sich in der Gruppentheorie , genauer gesagt in der Untersuchung der Lie-Gruppe, die als zerfallende reelle Form von G₂ bekannt ist . Eine Konstruktion dieser Gruppe nutzt die Tatsache, dass eine Kugel, die um eine andere Kugel mit dem dreifachen Radius rollt, vier volle Umdrehungen vollführt, anstatt drei. [ 7 ]

SAT-Bewertungsfehler von 1982

Am 1. Mai 1982 enthielt der SAT , einer der US-amerikanischen Hochschulzulassungstests , eine Multiple-Choice-Frage zum Thema Münzrotation. Der Test musste neu bewertet werden, nachdem drei Schüler – Doug Jungreis, Shivan Kartha und Bruce Taub – nachgewiesen hatten, dass keine der vorgegebenen Antworten korrekt war. [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]

Siehe auch

Referenzen

  1. ^ Weisstein, Eric W. „Münzparadoxon“ . MathWorld .
  2. ^ Pappas, Theoni (1990). Die Freude an der Mathematik: Mathematik überall entdecken . San Carlos, Kalifornien. ISBN 978-0-933174-65-8Die{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
  3. ^ Bunch, Bryan H. (1982). Mathematische Fehlschlüsse und Paradoxien . Van Nostrand Reinhold. S.  10–11 . ISBN 0-442-24905-5Die
  4. ^ „Rotationsdynamik – Der Mittelpunkt des Rades legt bei einer Umdrehung die Länge des Umfangs zurück . “
  5. ^ Talwalkar, Presh (5. Juli 2015). Jeder hat diese SAT-Matheaufgabe falsch beantwortet . MindYourDecisions – via YouTube.
  6. ^ Bartlett, AK, Solar and Sidereal Time , Popular Astronomy, vol. 12, pp.649-651
  7. ^ Baez, John C. ; Huerta, John (2014). „G 2 and the Rolling Ball“. Transactions of the American Mathematical Society . 366 (10): 5257– 5293. arXiv : 1205.2447 . Bibcode : 2012arXiv1205.2447B . doi : 10.1090/S0002-9947-2014-05977-1 . MR 3240924 . 
  8. ^ „Fehler in SAT-Frage gefunden“ . The New York Times . United Press International. 25. Mai 1982. ISSN 0362-4331 . Abgerufen am 9. Februar 2021 . 
  9. ^ Murtagh, Jack. „Die SAT-Aufgabe, die jeder falsch gelöst hat“ . Scientific American . Abgerufen am 28. Dezember 2025 .
  10. ^ Veritasium (30. November 2023). Die SAT-Frage, die jeder falsch beantwortet hat . YouTube . Abgerufen am 17. Januar 2026 .

Weiterführende Literatur

  • Gardner, Martin (1975). „Penny Puzzles“. Mathematical Carnival . Alfred A. Knopf.