Kontinuumsmechanik

Die Kontinuumsmechanik ist ein Teilgebiet der Mechanik , das sich mit der Verformung und der Übertragung von Kräften durch Materialien befasst , die als kontinuierliches Medium (auch Kontinuum genannt ) und nicht als diskrete Partikel modelliert werden .

Die Kontinuumsmechanik befasst sich mit verformbaren Körpern im Gegensatz zu starren Körpern . Ein Kontinuumsmodell geht davon aus, dass die Substanz eines Objekts den von ihr eingenommenen Raum vollständig ausfüllt. Obwohl die Tatsache, dass Materie aus Atomen besteht, außer Acht gelassen wird , liefert dies eine hinreichend genaue Beschreibung von Materie auf Längenskalen, die weit größer sind als die interatomaren Abstände. Das Konzept eines Kontinuums ermöglicht die intuitive Analyse von Materie mithilfe von Differentialgleichungen, die das Verhalten dieser Materie gemäß physikalischen Gesetzen wie Massen- , Impuls- und Energieerhaltung beschreiben. Informationen über das spezifische Material werden in konstitutiven Beziehungen ausgedrückt .

Die Kontinuumsmechanik behandelt die physikalischen Eigenschaften von Festkörpern und Flüssigkeiten unabhängig von einem bestimmten Koordinatensystem . Diese Eigenschaften werden durch Tensoren dargestellt , mathematische Objekte, die sich durch ihre Unabhängigkeit von Koordinatensystemen auszeichnen. Dies ermöglicht die Definition physikalischer Eigenschaften an jedem Punkt des Kontinuums mithilfe mathematisch geeigneter stetiger Funktionen . Die Theorien der Elastizität , Plastizität und Strömungsmechanik basieren auf den Konzepten der Kontinuumsmechanik.

Das Konzept des Kontinuums bildet die Grundlage des mathematischen Rahmens zur Untersuchung großräumiger Kräfte und Deformationen in Materialien. Obwohl Materialien aus einzelnen Atomen und Molekülen bestehen, die durch Leerräume oder mikroskopische Risse und kristallographische Defekte voneinander getrennt sind , lassen sich physikalische Phänomene oft modellieren, indem man eine Substanz betrachtet, die sich über einen bestimmten Raumbereich verteilt. Ein Kontinuum ist ein Körper, der sich stetig in infinitesimale Elemente unterteilen lässt, deren lokale Materialeigenschaften an jedem Punkt definiert sind. Die Eigenschaften des Materials können daher nahezu überall durch stetige Ortsfunktionen im Kontinuum beschrieben werden, und ihre zeitliche Entwicklung kann mithilfe der Differentialrechnung untersucht werden .

Neben der Annahme der Kontinuität werden in der Kontinuumsmechanik häufig zwei weitere unabhängige Annahmen getroffen: Homogenität (Annahme identischer Eigenschaften an allen Orten) und Isotropie (Annahme richtungsunabhängiger Vektoreigenschaften). ^{[ 1 ]} Sind diese Hilfsannahmen nicht global anwendbar, kann das Material zur Vereinfachung der Analyse in Abschnitte unterteilt werden, in denen sie gelten. In komplexeren Fällen kann eine oder können beide dieser Annahmen verworfen werden. In diesen Fällen werden häufig numerische Verfahren eingesetzt, um die Differentialgleichungen zu lösen , die die Entwicklung der Materialeigenschaften beschreiben.

Ein weiteres Gebiet der Kontinuumsmechanik umfasst elastomere Schäume , die ein ungewöhnliches hyperbolisches Spannungs-Dehnungs-Verhalten aufweisen. Das Elastomer ist ein echtes Kontinuum, aber eine homogene Verteilung der Poren verleiht ihm ungewöhnliche Eigenschaften. ^{[ 2 ]}

Kontinuumsmechanikmodelle beginnen damit, dem zu modellierenden materiellen Körper einen Bereich im dreidimensionalen euklidischen Raum zuzuordnen. Die Punkte innerhalb dieses Bereichs werden als Partikel oder materielle Punkte bezeichnet. Unterschiedliche Konfigurationen oder Zustände des Körpers entsprechen unterschiedlichen Bereichen im euklidischen Raum. Der Bereich, der der Konfiguration des Körpers zum Zeitpunkt t entspricht, wird mit Ω bezeichnet . ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$

Ein bestimmtes Teilchen innerhalb des Körpers in einer bestimmten Konfiguration wird durch einen Ortsvektor charakterisiert.

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{3}x_{i}\mathbf {e} _{i},}$

Dabei handelt es sich um die Koordinatenvektoren in einem für das Problem gewählten Bezugssystem (siehe Abbildung 1). Dieser Vektor kann als Funktion der Partikelposition in einer Referenzkonfiguration ausgedrückt werden , beispielsweise der Konfiguration zum Zeitpunkt t = 0, sodass ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle \mathbf {x} =\kappa _{t}(\mathbf {X} ).}$

Diese Funktion muss verschiedene Eigenschaften aufweisen, damit das Modell physikalisch sinnvoll ist. Sie muss Folgendes sein: ${\displaystyle \kappa _{t}(\cdot )}$

• kontinuierlich in der Zeit, sodass sich der Körper auf realistische Weise verändert.
• global jederzeit invertierbar , sodass sich der Körper nicht selbst schneiden kann.
• Orientierung erhaltend , da Transformationen, die Spiegelungen erzeugen, in der Natur nicht möglich sind.

Für die mathematische Formulierung des Modells wird außerdem angenommen, dass zweimal stetig differenzierbar ist , sodass Differentialgleichungen formuliert werden können, die die Bewegung beschreiben. ${\displaystyle \kappa _{t}(\cdot )}$

Ein Festkörper ist ein verformbarer Körper mit Scherfestigkeit . Er kann Scherkräfte (Kräfte parallel zur Materialoberfläche, auf die sie wirken) aufnehmen. Flüssigkeiten hingegen können keine Scherkräfte aufnehmen.

In Anlehnung an die klassische Dynamik von Isaac Newton und Leonhard Euler wird die Bewegung eines materiellen Körpers durch die Wirkung von außen einwirkenden Kräften hervorgerufen, die in zwei Arten unterteilt werden: Oberflächenkräfte und Volumenkräfte . ^{[ 3 ]} Die auf einen Körper oder einen Teil des Körpers wirkende Gesamtkraft lässt sich somit wie folgt ausdrücken: ${\displaystyle \mathbf {F} _{C}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{B}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbf {F} _{C}+\mathbf {F} _{B}}$

Oberflächenkräfte oder Kontaktkräfte , ausgedrückt als Kraft pro Flächeneinheit, wirken entweder auf die Begrenzungsfläche eines Körpers infolge des mechanischen Kontakts mit anderen Körpern oder auf gedachte innere Flächen, die Körperteile begrenzen, infolge der mechanischen Wechselwirkung zwischen den Körperteilen beidseits der Oberfläche ( Euler-Cauchy-Spannungsprinzip ). Wirken äußere Kontaktkräfte auf einen Körper, werden innere Kontaktkräfte punktuell im Körper übertragen, um deren Wirkung auszugleichen. Dies entspricht dem dritten Newtonschen Gesetz der Impulserhaltung (für kontinuierliche Körper werden diese Gesetze als Eulersche Bewegungsgleichungen bezeichnet ) . Die inneren Kontaktkräfte sind über Materialgleichungen mit der Verformung des Körpers verknüpft . Sie lassen sich mathematisch beschreiben , indem man ihren Zusammenhang mit der Bewegung des Körpers unabhängig von dessen Materialzusammensetzung betrachtet.

Die Verteilung der inneren Kontaktkräfte im gesamten Körpervolumen wird als stetig angenommen. Daher existiert eine Kontaktkraftdichte bzw. ein Cauchy-Spannungsfeld ^{[ 4 ]} , das diese Verteilung in einer bestimmten Konfiguration des Körpers zu einem gegebenen Zeitpunkt beschreibt . Es handelt sich nicht um ein Vektorfeld, da es nicht nur von der Position eines bestimmten materiellen Punktes, sondern auch von der lokalen Orientierung des Oberflächenelements, definiert durch seinen Normalenvektor, abhängt . ^{[ 5 ]}${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {n} ,\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle t\,\!}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {n} }$

Jede Differenzfläche mit Normalenvektor einer gegebenen inneren Oberfläche , die einen Teil des Körpers umschließt, erfährt eine Kontaktkraft, die durch den Kontakt zwischen den beiden Körperteilen auf jeder Seite von entsteht und gegeben ist durch ${\displaystyle dS\,\!}$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle S\,\!}$${\displaystyle d\mathbf {F} _{C}\,\!}$${\displaystyle S\,\!}$

${\displaystyle d\mathbf {F} _{C}=\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dS}$

Dabei ist die Oberflächenspannung , ^{[ 6 ]} auch Spannungsvektor genannt , ^{[ 7 ]} Traktion , ^{[ 8 ]} oder Traktionsvektor . ^{[ 9 ]} Der Spannungsvektor ist ein rahmenunabhängiger Vektor (siehe Euler-Cauchysches Spannungsprinzip ). ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$

Die gesamte Kontaktkraft auf der jeweiligen inneren Oberfläche wird dann als Summe ( Oberflächenintegral ) der Kontaktkräfte auf allen differentiellen Oberflächen ausgedrückt : ${\displaystyle S\,\!}$${\displaystyle dS\,\!}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{C}=\int _{S}\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dS}$

In der Kontinuumsmechanik gilt ein Körper als spannungsfrei, wenn ausschließlich die interatomaren Kräfte ( Ionen- , Metall- und Van-der-Waals-Kräfte ) wirken, die den Körper zusammenhalten und seine Form in Abwesenheit jeglicher äußerer Einflüsse, einschließlich der Gravitation, erhalten. ^{[ 9 ] [ 10 ]} Spannungen, die bei der Herstellung des Körpers in eine bestimmte Konfiguration entstehen, werden bei der Betrachtung von Spannungen im Körper ebenfalls nicht berücksichtigt. Daher werden in der Kontinuumsmechanik nur Spannungen betrachtet, die durch die Verformung des Körpers entstehen; es werden also nur relative Spannungsänderungen, nicht aber die absoluten Spannungswerte, betrachtet.

Körperkräfte sind Kräfte, die von Quellen außerhalb des Körpers ausgehen ^{[ 11 ]} und auf das Volumen (oder die Masse) des Körpers wirken. Die Aussage, dass Körperkräfte von äußeren Quellen herrühren, impliziert, dass die Wechselwirkung zwischen verschiedenen Teilen des Körpers (innere Kräfte) sich ausschließlich in den Kontaktkräften manifestiert. ^{[ 6 ]} Diese Kräfte entstehen durch die Anwesenheit des Körpers in Kraftfeldern, z. B. Gravitationsfeldern ( Gravitationskräfte ) oder elektromagnetischen Feldern ( elektromagnetische Kräfte ), oder durch Trägheitskräfte bei bewegten Körpern. Da die Masse eines kontinuierlichen Körpers als stetig verteilt angenommen wird, ist auch jede von der Masse ausgehende Kraft stetig verteilt. Daher werden Körperkräfte durch Vektorfelder beschrieben, die über das gesamte Volumen des Körpers als stetig angenommen werden ^{[ 12 ]} , d. h. auf jeden Punkt im Körper wirken. Körperkräfte werden durch eine Körperkraftdichte(pro Masseneinheit) dargestellt, die ein rahmenunabhängiges Vektorfeld ist. ${\displaystyle \mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)}$

Bei Gravitationskräften hängt die Stärke der Kraft von der Massendichte des Materials ab bzw. ist proportional zu ihr. Sie wird als Kraft pro Masseneinheit ( ) oder pro Volumeneinheit ( ) angegeben. Diese beiden Größen sind über die Materialdichte durch die Gleichung F = F/(2π) miteinander verknüpft . Analog dazu hängt die Stärke elektromagnetischer Kräfte von der Feldstärke ( elektrische Ladung ) des elektromagnetischen Feldes ab. ${\displaystyle \mathbf {\rho } (\mathbf {x} ,t)\,\!}$${\displaystyle b_{i}\,\!}$${\displaystyle p_{i}\,\!}$${\displaystyle \rho b_{i}=p_{i}\,\!}$

Die auf einen geschlossenen Körper wirkende Gesamtkraft wird wie folgt ausgedrückt:

${\displaystyle \mathbf {F} _{B}=\int _{V}\mathbf {b} \,dm=\int _{V}\rho \mathbf {b} \,dV}$

Auf den Körper wirkende Volumenkräfte und Kontaktkräfte führen zu entsprechenden Drehmomenten bezüglich eines gegebenen Punktes. Das gesamte aufgebrachte Drehmoment um den Ursprung ergibt sich somit zu ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\mathbf {M} _{C}+\mathbf {M} _{B}}$

In bestimmten Situationen, die bei der Analyse des mechanischen Verhaltens von Werkstoffen üblicherweise nicht berücksichtigt werden, ist es notwendig, zwei weitere Kraftarten einzubeziehen: Momentenspannungen ^{[ Anm. 1 ] [ Anm. 2 ]} (Oberflächenmomente, ^{[ 11 ]} Kontaktmomente) ^{[ 12 ]} und Volumenmomente . Momentenspannungen sind Momente pro Flächeneinheit, die auf eine Oberfläche wirken. Volumenmomente oder Körpermomente sind Momente pro Volumeneinheit oder pro Masseneinheit, die auf das Volumen des Körpers wirken. Beide sind wichtig für die Spannungsanalyse polarisierter dielektrischer Festkörper unter dem Einfluss eines elektrischen Feldes, für Werkstoffe, bei denen die Molekularstruktur berücksichtigt wird ( z. B. Knochen), für Festkörper unter dem Einfluss eines externen Magnetfeldes sowie für die Versetzungstheorie von Metallen. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 11 ]}

Werkstoffe, die neben Momenten, die ausschließlich durch Kräfte erzeugt werden, auch Momentenmomente und Momentenspannungen aufweisen, werden als polare Werkstoffe bezeichnet . ^{[ 8 ] [ 12 ]} Nichtpolare Werkstoffe sind demnach solche, die nur Momente von Kräften besitzen. In den klassischen Zweigen der Kontinuumsmechanik basiert die Entwicklung der Spannungstheorie auf nichtpolaren Werkstoffen.

Die Summe aller auf den Körper wirkenden Kräfte und Drehmomente (bezogen auf den Ursprung des Koordinatensystems) ergibt sich somit zu

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\int _{V}\mathbf {a} \,dm=\int _{S}\mathbf {T} \,dS+\int _{V}\rho \mathbf {b} \,dV}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {T} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \rho \mathbf {b} \,dV}$

Eine Änderung der Konfiguration eines Kontinuumskörpers führt zu einer Verschiebung . Die Verschiebung eines Körpers setzt sich aus zwei Komponenten zusammen: einer Starrkörperverschiebung und einer Deformation . Eine Starrkörperverschiebung besteht aus einer gleichzeitigen Translation und Rotation des Körpers, ohne dass sich seine Form oder Größe ändert. Eine Deformation hingegen bezeichnet die Änderung der Form und/oder Größe des Körpers von einer anfänglichen oder unverformten Konfiguration zu einer aktuellen oder deformierten Konfiguration (Abbildung 2). ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$

Die Bewegung eines Kontinuumskörpers ist eine kontinuierliche zeitliche Folge von Verschiebungen. Daher nimmt der materielle Körper zu verschiedenen Zeitpunkten unterschiedliche Konfigurationen ein, sodass ein Teilchen eine Reihe von Punkten im Raum einnimmt, die eine Bahnlinie beschreiben.

Bei der Bewegung oder Verformung eines Kontinuumskörpers besteht Kontinuität in dem Sinne, dass:

• Die materiellen Punkte, die zu einem beliebigen Zeitpunkt eine geschlossene Kurve bilden, bilden auch zu jedem späteren Zeitpunkt wieder eine geschlossene Kurve.
• Die Materiepunkte, die zu einem beliebigen Zeitpunkt eine geschlossene Oberfläche bilden, werden auch zu jedem späteren Zeitpunkt wieder eine geschlossene Oberfläche bilden, und die Materie innerhalb der geschlossenen Oberfläche wird immer darin bleiben.

Es ist zweckmäßig, eine Referenzkonfiguration oder einen Referenzzustand festzulegen, von dem aus alle nachfolgenden Konfigurationen bestimmt werden. Diese Referenzkonfiguration muss nicht diejenige sein, die der Körper jemals einnehmen wird. Häufig wird die Konfiguration bei t = 0 als Referenzkonfiguration betrachtet . Die Komponenten des Ortsvektors eines Teilchens, bezogen auf die Referenzkonfiguration, werden als Material- oder Referenzkoordinaten bezeichnet. ${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \mathbf {X} }$

Bei der Analyse der Bewegung oder Verformung von Festkörpern oder der Strömung von Flüssigkeiten ist es notwendig, die Abfolge oder Entwicklung von Konfigurationen im Zeitverlauf zu beschreiben. Eine Möglichkeit zur Bewegungsbeschreibung besteht in der Verwendung von Material- oder Referenzkoordinaten, der sogenannten Materialbeschreibung oder Lagrange-Beschreibung.

In der Lagrange-Beschreibung werden Position und physikalische Eigenschaften der Partikel mithilfe von Material- oder Bezugskoordinaten und der Zeit beschrieben. Die Referenzkonfiguration ist hierbei die Konfiguration zum Zeitpunkt t = 0.${\displaystyle t=0}$ Ein Beobachter im Bezugssystem beobachtet die Veränderungen von Position und physikalischen Eigenschaften, während sich der materielle Körper im Raum mit der Zeit bewegt. Die Ergebnisse sind unabhängig von der Wahl des Anfangszeitpunkts und der Referenzkonfiguration. Diese Beschreibung findet üblicherweise in der Festkörpermechanik Anwendung . ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$

In der Lagrange-Beschreibung wird die Bewegung eines Kontinuumskörpers durch die Abbildungsfunktion ausgedrückt (Abbildung 2). ${\displaystyle \chi (\cdot )}$

${\displaystyle \mathbf {x} =\chi (\mathbf {X} ,t)}$

Dies ist eine Abbildung der Ausgangskonfiguration auf die aktuelle Konfiguration und stellt eine geometrische Entsprechung zwischen ihnen her, d. h. sie gibt den Ortsvektor an , den ein Teilchen mit dem Ortsvektor in der undeformierten oder Referenzkonfiguration in der aktuellen oder deformierten Konfiguration zum Zeitpunkt einnimmt . Die Komponenten werden als räumliche Koordinaten bezeichnet. ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$${\displaystyle \mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x_{i}}$

Physikalische und kinematische Eigenschaften , d. h. thermodynamische Eigenschaften und Strömungsgeschwindigkeit, die Merkmale des materiellen Körpers beschreiben oder charakterisieren, werden als stetige Funktionen von Ort und Zeit ausgedrückt, d. h . ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$${\displaystyle P_{ij\ldots }=P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)}$

Die materielle Ableitung einer beliebigen Kontinuumsgröße, sei es ein Skalar, Vektor oder Tensor, ist die zeitliche Änderungsrate dieser Größe für eine bestimmte Gruppe von Teilchen des sich bewegenden Kontinuumskörpers. Die materielle Ableitung wird auch als substantielle Ableitung , mitbewegte Ableitung oder konvektive Ableitung bezeichnet . Sie kann als die Änderungsrate der Größe verstanden werden, gemessen von einem Beobachter, der sich mit dieser Teilchengruppe mitbewegt. ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$

In der Lagrange-Beschreibung ist die materielle Ableitung von einfach die partielle Ableitung nach der Zeit, und der Ortsvektor wird als konstant gehalten, da er sich mit der Zeit nicht ändert. Somit gilt: ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}[P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)]={\frac {\partial }{\partial t}}[P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)]}$

Die momentane Position ist eine Eigenschaft eines Partikels, und ihre materielle Ableitung ist die momentane Strömungsgeschwindigkeit des Partikels. Daher ist das Strömungsgeschwindigkeitsfeld des Kontinuums gegeben durch ${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {x} }}={\frac {d\mathbf {x} }{dt}}={\frac {\partial \chi (\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}}$

Das Beschleunigungsfeld ist analog gegeben durch

${\displaystyle \mathbf {a} ={\dot {\mathbf {v} }}={\ddot {\mathbf {x} }}={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\chi (\mathbf {X} ,t)}{\partial t^{2}}}}$

Die Stetigkeit in der Lagrange-Beschreibung drückt sich in der räumlichen und zeitlichen Stetigkeit der Abbildung von der Referenzkonfiguration auf die aktuelle Konfiguration der materiellen Punkte aus. Alle physikalischen Größen, die das Kontinuum charakterisieren, werden auf diese Weise beschrieben. In diesem Sinne sind die Funktionen eindeutig und stetig, mit stetigen Ableitungen nach Raum und Zeit beliebiger Ordnung, üblicherweise zweiter oder dritter Ordnung. ${\displaystyle \chi (\cdot )}$${\displaystyle P_{ij\ldots }(\cdot )}$

Die Kontinuitätsgleichung ermöglicht es, mithilfe der Umkehrfunktion zurückzuverfolgen, wo sich das Teilchen, das sich aktuell an Position x befindet, in der Ausgangs- oder Referenzkonfiguration befand . In diesem Fall wird die Bewegung anhand der räumlichen Koordinaten beschrieben; man spricht dann von der räumlichen oder Euler-Beschreibung, d. h. die aktuelle Konfiguration dient als Referenzkonfiguration . ${\displaystyle \chi (\cdot )}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$

Die Eulersche Beschreibung konzentriert sich auf die aktuelle Konfiguration und betrachtet die Vorgänge an einem festen Punkt im Raum im Zeitverlauf, anstatt einzelne Partikel in ihrer Bewegung durch Raum und Zeit zu untersuchen. Dieser Ansatz eignet sich besonders für die Strömungslehre, da hier die Änderungsrate und nicht die Form des Fluidkörpers zu einem Referenzzeitpunkt von größtem Interesse ist. ^{[ 14 ]}${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$

Mathematisch wird die Bewegung eines Kontinuums mithilfe der Euler-Beschreibung durch die Abbildungsfunktion ausgedrückt.

${\displaystyle \mathbf {X} =\chi ^{-1}(\mathbf {x} ,t)}$

wodurch eine Spur des Teilchens, das sich jetzt an der Position in der aktuellen Konfiguration befindet , zu seiner ursprünglichen Position in der Ausgangskonfiguration erstellt wird . ${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$

Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz dieser Umkehrfunktion ist, dass die Determinante der Jacobi-Matrix , oft einfach als Jacobi-Matrix bezeichnet, ungleich null ist.

${\displaystyle J=\left|{\frac {\partial \chi _{i}}{\partial X_{J}}}\right|=\left|{\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{J}}}\right|\neq 0}$

In der Euler’schen Beschreibung werden die physikalischen Eigenschaften wie folgt ausgedrückt: ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$

${\displaystyle P_{ij\ldots }=P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)=P_{ij\ldots }[\chi ^{-1}(\mathbf {x} ,t),t]=p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)}$

wobei die funktionale Form von in der Lagrange-Beschreibung nicht mit der Form von in der Euler-Beschreibung übereinstimmt . ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$${\displaystyle p_{ij\ldots }}$

Die materielle Ableitung von , unter Anwendung der Kettenregel, ist dann ${\displaystyle p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]={\frac {\partial }{\partial t}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]{\frac {dx_{k}}{dt}}}$

Der erste Term auf der rechten Seite dieser Gleichung gibt die lokale Änderungsrate der Eigenschaft am Ort an . Der zweite Term auf der rechten Seite ist die konvektive Änderungsrate und beschreibt den Beitrag der Positionsänderung des Teilchens im Raum (Bewegung). ${\displaystyle p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

Die Stetigkeit in der Euler’schen Beschreibung wird durch die räumliche und zeitliche Stetigkeit sowie die stetige Differenzierbarkeit des Strömungsgeschwindigkeitsfeldes ausgedrückt. Alle physikalischen Größen sind auf diese Weise zu jedem Zeitpunkt, in der aktuellen Konfiguration, als Funktion des Positionsvektors definiert . ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Der Vektor, der die Positionen eines Teilchens in der undeformierten und der deformierten Konfiguration verbindet, wird in der Lagrange-Beschreibung als Verschiebungsvektor bezeichnet , in der Euler-Beschreibung hingegen als . ${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=U_{J}\mathbf {E} _{J}}$

Ein Verschiebungsfeld ist ein Vektorfeld aller Verschiebungsvektoren aller Partikel eines Körpers, das die deformierte mit der undeformierten Konfiguration verknüpft. Die Analyse von Deformationen oder Bewegungen eines Kontinuumskörpers erfolgt zweckmäßigerweise mithilfe des Verschiebungsfelds. Im Allgemeinen wird das Verschiebungsfeld in Materialkoordinaten ausgedrückt als

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} +\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}}$

oder in Bezug auf die räumlichen Koordinaten als

${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} +\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}\,}$

Dabei sind die Richtungskosinusse zwischen dem materiellen und dem räumlichen Koordinatensystem mit den Einheitsvektoren bzw. . Somit ${\displaystyle \alpha _{Ji}}$${\displaystyle \mathbf {E} _{J}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}}$

und die Beziehung zwischen und ergibt sich dann aus ${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle U_{J}}$

${\displaystyle u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}}$

In dem Wissen, dass

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}}$

Dann

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)}$

Üblicherweise werden die Koordinatensysteme für die undeformierte und die deformierte Konfiguration übereinandergelegt, was zu führt , und die Richtungskosinusse werden zu Kronecker-Deltas , d.h. ${\displaystyle \mathbf {b} =0}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}$

Somit haben wir

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}}$

oder in Bezug auf die räumlichen Koordinaten als

${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}}$

Die Kontinuumsmechanik befasst sich mit dem Verhalten von Materialien, die für bestimmte Längen- und Zeitskalen näherungsweise als kontinuierlich betrachtet werden können. Die Gleichungen, die die Mechanik solcher Materialien beschreiben, umfassen die Bilanzgleichungen für Masse , Impuls und Energie . Kinematische Beziehungen und konstitutive Gleichungen sind erforderlich, um das System der grundlegenden Gleichungen zu vervollständigen. Physikalische Einschränkungen an die Form der konstitutiven Beziehungen können durch die Forderung eingeführt werden, dass der zweite Hauptsatz der Thermodynamik unter allen Bedingungen erfüllt sein muss. In der Kontinuumsmechanik von Festkörpern ist der zweite Hauptsatz der Thermodynamik erfüllt, wenn die Clausius-Duhem- Formulierung der Entropieungleichung gilt.

Die Bilanzgesetze drücken die Idee aus, dass die Änderungsrate einer Größe (Masse, Impuls, Energie) in einem Volumen auf drei Ursachen zurückzuführen sein muss:

1. Die physikalische Größe selbst fließt durch die Oberfläche, die das Volumen begrenzt.
2. Es gibt eine Quelle der physikalischen Größe an der Oberfläche des Volumens, oder/und
3. Innerhalb des Volumens befindet sich eine Quelle der physikalischen Größe.

Sei der Körper (eine offene Teilmenge des euklidischen Raums) und sei seine Oberfläche (der Rand von ). ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle \Omega }$

Die Bewegung materieller Punkte im Körper werde durch die Abbildung beschrieben

${\displaystyle \mathbf {x} ={\boldsymbol {\chi }}(\mathbf {X} )=\mathbf {x} (\mathbf {X} )}$

Dabei ist die Position eines Punktes in der Ausgangskonfiguration und die Position desselben Punktes in der deformierten Konfiguration. ${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$

Der Deformationsgradient ist gegeben durch

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}=\nabla \mathbf {x} ~.}$

Sei eine physikalische Größe, die durch den Körper fließt. Seien Quellen auf der Oberfläche des Körpers und seien Quellen im Inneren des Körpers. Sei die äußere Einheitsnormale zur Oberfläche . Sei die Strömungsgeschwindigkeit der physikalischen Teilchen, die die fließende physikalische Größe transportieren. Sei die Geschwindigkeit, mit der sich die Begrenzungsfläche bewegt (in Richtung ). ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle g(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle h(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {n} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle u_{n}}$${\displaystyle \mathbf {n} }$

Dann können Bilanzgesetze in der allgemeinen Form ausgedrückt werden

${\displaystyle {\cfrac {d}{dt}}\left[\int _{\Omega }f(\mathbf {x} ,t)~{\text{dV}}\right]=\int _{\partial \Omega }f(\mathbf {x} ,t)[u_{n}(\mathbf {x} ,t)-\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\cdot \mathbf {n} (\mathbf {x} ,t)]~{\text{dA}}+\int _{\partial \Omega }g(\mathbf {x} ,t)~{\text{dA}}+\int _{\Omega }h(\mathbf {x} ,t)~{\text{dV}}~.}$

Die Funktionen , , und können skalar-, vektor- oder tensorwertig sein – abhängig von der physikalischen Größe, die die Bilanzgleichung beschreibt. Bei inneren Begrenzungen des Körpers müssen Sprungstellen in den Bilanzgleichungen ebenfalls berücksichtigt werden. ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle g(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle h(\mathbf {x} ,t)}$

Aus der Sicht der Eulerschen Gesetze lässt sich zeigen, dass die Bilanzgleichungen für Masse, Impuls und Energie eines Festkörpers wie folgt formuliert werden können (unter der Annahme, dass der Quellterm für die Massen- und Drehimpulsgleichungen null ist).

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\rho }}+\rho ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )&=0&&\qquad {\text{Balance of Mass}}\\\rho ~{\dot {\mathbf {v} }}-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}-\rho ~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance of Linear Momentum (Cauchy's first law of motion)}}\\{\boldsymbol {\sigma }}&={\boldsymbol {\sigma }}^{T}&&\qquad {\text{Balance of Angular Momentum (Cauchy's second law of motion)}}\\\rho ~{\dot {e}}-{\boldsymbol {\sigma }}:({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} )+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} -\rho ~s&=0&&\qquad {\text{Balance of Energy.}}\end{aligned}}}$

In den obigen Gleichungen bezeichnet die Massendichte (den Strom), die materielle Zeitableitung von , die Teilchengeschwindigkeit, die materielle Zeitableitung von , den Cauchy-Spannungstensor , die Volumenkraftdichte, die innere Energie pro Masseneinheit, die materielle Zeitableitung von , den Wärmestromvektor und eine Energiequelle pro Masseneinheit. Die verwendeten Operatoren sind unten definiert . ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle {\dot {\rho }}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle {\dot {\mathbf {v} }}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle e(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle {\dot {e}}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle s(\mathbf {x} ,t)}$

Bezüglich der Referenzkonfiguration (aus der Lagrange’schen Sicht) lassen sich die Bilanzgesetze wie folgt formulieren:

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ~\det({\boldsymbol {F}})-\rho _{0}&=0&&\qquad {\text{Balance of Mass}}\\\rho _{0}~{\ddot {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot {\boldsymbol {P}}-\rho _{0}~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance of Linear Momentum}}\\{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {P}}^{T}&={\boldsymbol {P}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}&&\qquad {\text{Balance of Angular Momentum}}\\\rho _{0}~{\dot {e}}-{\boldsymbol {P}}:{\dot {\boldsymbol {F}}}+{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot \mathbf {q} -\rho _{0}~s&=0&&\qquad {\text{Balance of Energy.}}\end{aligned}}}$

Im obigen Ausdruck ist der erste Piola-Kirchhoff-Spannungstensor und die Massendichte in der Referenzkonfiguration. Der erste Piola-Kirchhoff-Spannungstensor ist mit dem Cauchy-Spannungstensor durch die Gleichung verknüpft. ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$${\displaystyle \rho _{0}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}~{\text{where}}~J=\det({\boldsymbol {F}})}$

Alternativ können wir den nominellen Spannungstensor definieren, der die Transponierte des ersten Piola-Kirchhoff-Spannungstensors ist, sodass ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {P}}^{T}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}~.}$

Dann werden die Bilanzgesetze

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ~\det({\boldsymbol {F}})-\rho _{0}&=0&&\qquad {\text{Balance of Mass}}\\\rho _{0}~{\ddot {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot {\boldsymbol {N}}^{T}-\rho _{0}~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance of Linear Momentum}}\\{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {N}}&={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}&&\qquad {\text{Balance of Angular Momentum}}\\\rho _{0}~{\dot {e}}-{\boldsymbol {N}}^{T}:{\dot {\boldsymbol {F}}}+{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot \mathbf {q} -\rho _{0}~s&=0&&\qquad {\text{Balance of Energy.}}\end{aligned}}}$

Die Operatoren in den obigen Gleichungen sind wie folgt definiert:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} &=\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}=v_{i,j}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}~;\\[1ex]{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} &=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{i}}}=v_{i,i}~;\\[1ex]{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}&=\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial S_{ij}}{\partial x_{j}}}~\mathbf {e} _{i}=\sigma _{ij,j}~\mathbf {e} _{i}~.\end{aligned}}}$

wobei ein Vektorfeld, ein Tensorfeld zweiter Stufe und die Komponenten einer orthonormalen Basis in der aktuellen Konfiguration sind. Außerdem gilt: ${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\mathbf {v} &=\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial X_{j}}}\mathbf {E} _{i}\otimes \mathbf {E} _{j}=v_{i,j}\mathbf {E} _{i}\otimes \mathbf {E} _{j}~;\\[1ex]{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot \mathbf {v} &=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial X_{i}}}=v_{i,i}~;\\[1ex]{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot {\boldsymbol {S}}&=\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial S_{ij}}{\partial X_{j}}}~\mathbf {E} _{i}=S_{ij,j}~\mathbf {E} _{i}\end{aligned}}}$

wobei ein Vektorfeld, ein Tensorfeld zweiter Stufe und die Komponenten einer orthonormalen Basis in der Referenzkonfiguration sind. ${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$${\displaystyle \mathbf {E} _{i}}$

Das innere Produkt ist definiert als

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}:{\boldsymbol {B}}=\sum _{i,j=1}^{3}A_{ij}~B_{ij}=\operatorname {trace} ({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}}^{T})~.}$

Die Clausius-Duhem-Ungleichung kann verwendet werden, um den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik für elastisch-plastische Materialien auszudrücken. Diese Ungleichung beschreibt die Irreversibilität natürlicher Prozesse, insbesondere wenn Energiedissipation auftritt.

Wie bei den Bilanzgleichungen im vorherigen Abschnitt gehen wir davon aus, dass ein Fluss einer Größe, eine Quelle dieser Größe und eine innere Dichte dieser Größe pro Masseneinheit existieren. Die in diesem Fall relevante Größe ist die Entropie. Daher nehmen wir an, dass im betrachteten Bereich ein Entropiefluss, eine Entropiequelle, eine innere Massendichte und eine spezifische innere Entropie (d. h. Entropie pro Masseneinheit) vorliegen.${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \eta }$

Sei ein solches Gebiet und sei seine Grenze. Dann besagt der zweite Hauptsatz der Thermodynamik, dass die Zunahmerate von in diesem Gebiet größer oder gleich der Summe der zugeführten Energie (als Fluss oder aus internen Quellen) und der Änderung der inneren Entropiedichte aufgrund des in das Gebiet hinein- und herausfließenden Materials ist. ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \rho \eta }$

Die Teilchen im Inneren bewegen sich mit der Strömungsgeschwindigkeit v und haben die Geschwindigkeiten v_i. ist die äußere Einheitsnormale zur Oberfläche . sei die Dichte der Materie im Gebiet, der Entropiefluss an der Oberfläche und die Entropiequelle pro Masseneinheit. Dann lässt sich die Entropieungleichung wie folgt schreiben: ${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle u_{n}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\bar {q}}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\cfrac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega }\rho ~\eta ~{\text{dV}}\right)\geq \int _{\partial \Omega }\rho ~\eta ~(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~{\text{dA}}+\int _{\partial \Omega }{\bar {q}}~{\text{dA}}+\int _{\Omega }\rho ~r~{\text{dV}}.}$

Der skalare Entropiefluss kann über die Beziehung mit dem Vektorfluss an der Oberfläche verknüpft werden . Unter der Annahme schrittweise isothermer Bedingungen gilt: ${\displaystyle {\bar {q}}=-{\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {x} )={\cfrac {\mathbf {q} (\mathbf {x} )}{T}}~;~~r={\cfrac {s}{T}}}$

wobei der Wärmestromvektor ist, eine Energiequelle pro Masseneinheit ist und die absolute Temperatur eines materiellen Punktes zum Zeitpunkt ist . ${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle s}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle t}$

Wir erhalten dann die Clausius-Duhem-Ungleichung in Integralform:

${\displaystyle {{\cfrac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega }\rho ~\eta ~{\text{dV}}\right)\geq \int _{\partial \Omega }\rho ~\eta ~(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~{\text{dA}}-\int _{\partial \Omega }{\cfrac {\mathbf {q} \cdot \mathbf {n} }{T}}~{\text{dA}}+\int _{\Omega }{\cfrac {\rho ~s}{T}}~{\text{dV}}.}}$

Wir können zeigen, dass die Entropieungleichung in Differentialform geschrieben werden kann als

${\displaystyle {\rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\cfrac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\cfrac {\rho ~s}{T}}.}}$

Unter Berücksichtigung des Cauchy-Stresses und der inneren Energie lässt sich die Clausius-Duhem-Ungleichung wie folgt formulieren:

${\displaystyle {\rho ~({\dot {e}}-T~{\dot {\eta }})-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \leq -{\cfrac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T}{T}}.}}$

Die Gültigkeit der Kontinuumsannahme lässt sich durch eine theoretische Analyse überprüfen, in der entweder eine klare Periodizität identifiziert oder statistische Homogenität und Ergodizität der Mikrostruktur nachgewiesen werden. Genauer gesagt basiert die Kontinuumshypothese auf den Konzepten eines repräsentativen Elementarvolumens und der Skalentrennung gemäß der Hill-Mandel-Bedingung. Diese Bedingung stellt eine Verbindung zwischen experimenteller und theoretischer Sichtweise auf konstitutive Gleichungen (lineare und nichtlineare elastische/inelastische oder gekoppelte Felder) her und ermöglicht die räumliche und statistische Mittelung der Mikrostruktur. Wenn die Skalentrennung nicht gegeben ist oder ein Kontinuum mit feinerer Auflösung als der Größe des repräsentativen Volumenelements (RVE) angestrebt wird, kommt ein statistisches Volumenelement (SVE) zum Einsatz, das zu zufälligen Kontinuumsfeldern führt. Diese bilden dann die mikromechanische Grundlage für stochastische finite Elemente (SFE). Die Ebenen von SVE und RVE verbinden die Kontinuumsmechanik mit der statistischen Mechanik . Experimentell kann das RVE nur dann ermittelt werden, wenn die konstitutive Antwort räumlich homogen ist.

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• „Objektivität in der klassischen Kontinuumsmechanik: Bewegungen, Euler- und Lagrange-Funktionen; Deformationsgradient; Lie-Ableitungen; Geschwindigkeitsadditionsformel, Corioliskraft; Objektivität“ von Gilles Leborgne, 7. April 2021: „Teil IV Geschwindigkeitsadditionsformel und Objektivität“