Entire function

In complex analysis, an entire function, also called an integral function, is a complex-valued function that is holomorphic on the whole complex plane. Typical examples of entire functions are polynomials and the exponential function, and any finite sums, products and compositions of these, such as the trigonometric functionssine and cosine and their hyperbolic counterpartssinh and cosh, as well as derivatives and integrals of entire functions such as the error function. If an entire function ${\displaystyle f(z)}$ has a root at ⁠${\displaystyle w}$⁠, then ⁠${\displaystyle f(z)/(zw)}$⁠, taking the limit value at ⁠${\displaystyle w}$⁠, is an entire function. On the other hand, the natural logarithm, the reciprocal function, and the square root are all not entire functions, nor can they be continued analytically to an entire function.

A transcendental entire function is an entire function that is not a polynomial.

Just as meromorphic functions can be viewed as a generalization of rational functions, entire functions can be viewed as a generalization of polynomials. In particular, if for meromorphic functions one can generalize the factorization into simple fractions (the Mittag-Leffler theorem on the decomposition of a meromorphic function), then for entire functions there is a generalization of the factorization – the Weierstrass theorem on entire functions.

Jede ganze Funktion lässt sich als eine einzige Potenzreihe darstellen , die überall in der komplexen Ebene konvergiert , also gleichmäßig auf kompakten Mengen . Der Konvergenzradius ist unendlich, woraus folgt, dass ^{[ a ]} = ∑_{n=1}^ ...${\displaystyle f(z)}$$${\displaystyle \ f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\ }$$$${\displaystyle \ \lim _{n\to \infty }|a_{n}|^{\frac {1}{n}}=0\ }$$$${\displaystyle \ \lim _{n\to \infty }{\frac {\ln |a_{n}|}{n}}=-\infty ~.}$$

Wenn (und nur wenn) die Koeffizienten der Potenzreihe alle reell sind, dann nimmt die Funktion offensichtlich reelle Werte für reelle Argumente an, und der Funktionswert an der komplex Konjugierten von ist gleich dem komplex Konjugierten des Wertes an der Stelle . Solche Funktionen werden manchmal selbstkonjugiert genannt (die konjugierte Funktion ^ist gegeben durch ) . ^[ 1 ^]${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle F^{*}(z)}$${\displaystyle {\bar {F}}({\bar {z}})}$

Wenn der Realteil einer gesamten Funktion in einer (komplexen) Umgebung eines Punktes bekannt ist, dann sind sowohl der Real- als auch der Imaginärteil für die gesamte komplexe Ebene bis auf eine imaginäre Konstante bekannt . Wenn beispielsweise der Realteil in einer Umgebung von Null bekannt ist, dann können wir die Koeffizienten für aus den folgenden Ableitungen nach einer reellen Variablen bestimmen :${\displaystyle n>0}$${\displaystyle r}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Re (a_{n})&={\frac {1}{n!}}\left.{\frac {{\textrm {d}}^{n}}{{\textrm {d}}r^{n}}}\ \Re (f(r))\right|_{r=0}\\\Im (a_{n})&={\frac {1}{n!}}\left.{\frac {{\textrm {d}}^{n}}{{\textrm {d}}r^{n}}}\Re {\Bigl (}f{\Bigl (}re^{-{\frac {i\pi }{2n}}}{\Bigr )}{\Bigr )}\right|_{r=0}\end{aligned}}}$$

(Ebenso ist die Funktion bis auf eine reelle Konstante bestimmt, wenn der Imaginärteil in einer solchen Umgebung bekannt ist.) Tatsächlich ist die Funktion bis auf eine imaginäre Konstante bestimmt, wenn der Realteil nur auf einem Kreisbogen bekannt ist. ^{[ b ]} Man beachte jedoch, dass eine ganze Funktion nicht notwendigerweise durch ihren Realteil auf anderen Kurven bestimmt ist. Insbesondere, wenn der Realteil auf einer beliebigen Kurve in der komplexen Ebene gegeben ist, auf der der Realteil einer anderen ganzen Funktion null ist, kann jedes Vielfache dieser Funktion zu der zu bestimmenden Funktion addiert werden. Ist die Kurve, auf der der Realteil bekannt ist, beispielsweise die reelle Zahlengerade, so kann man das n-fache einer beliebigen selbstkonjugierten Funktion addieren. Bildet die Kurve eine Schleife, so ist sie durch den Realteil der Funktion auf der Schleife bestimmt, da die einzigen Funktionen, deren Realteil auf der Kurve null ist, diejenigen sind, die überall gleich einer imaginären Zahl sind . ${\displaystyle i}$

Der Faktorisierungssatz von Weierstraß besagt, dass jede ganze Funktion durch ein Produkt ihrer Nullstellen (oder „Wurzeln“) dargestellt werden kann.

Die gesamten Funktionen in der komplexen Ebene bilden einen Integritätsbereich (genauer gesagt einen Prüferbereich ). Sie bilden außerdem eine kommutative unitäre assoziative Algebra über den komplexen Zahlen .

Der Satz von Liouville besagt, dass jede beschränkte ganze Funktion konstant sein muss. ^{[ c ]}

Als Folge des Satzes von Liouville ist jede Funktion, die auf der gesamten Riemannschen Zahlenkugel ^{[ d ]} ganz ist , konstant. Daher muss jede nichtkonstante ganze Funktion eine Singularität im komplexen Punkt im Unendlichen besitzen , entweder einen Pol bei einem Polynom oder eine wesentliche Singularität bei einer transzendenten ganzen Funktion. Genauer gesagt, nach dem Satz von Casorati-Weierstrass existiert für jede transzendente ganze Funktion und jeden komplexen Punkt eine Folge , sodass ${\displaystyle f}$${\displaystyle w}$${\displaystyle (z_{m})_{m\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle \ \lim _{m\to \infty }|z_{m}|=\infty ,\qquad {\text{und}}\qquad \lim _{m\to \infty }f(z_{m})=w~.}$

Picards kleiner Satz ist ein wesentlich stärkeres Ergebnis: Jede nichtkonstante ganze Funktion nimmt jeden komplexen Zahlenwert an, möglicherweise mit einer einzigen Ausnahme. Existiert eine solche Ausnahme, spricht man von einem fehlenden Wert der Funktion. Die Möglichkeit eines fehlenden Wertes wird durch die Exponentialfunktion veranschaulicht, die niemals den Wert 0${\displaystyle 0}$ annimmt . Man kann einen geeigneten Zweig des Logarithmus einer ganzen Funktion wählen, der 0 niemals annimmt , sodass auch${\displaystyle 0}$ dieser Zweig eine ganze Funktion ist (gemäß dem Faktorisierungssatz von Weierstrass ). Der Logarithmus nimmt jede komplexe Zahl bis auf möglicherweise eine an, was bedeutet, dass die erste Funktion jeden Wert außer unendlich oft annimmt . Analog dazu nimmt eine nichtkonstante ganze Funktion, die einen bestimmten Wert nicht annimmt, jeden anderen Wert unendlich oft an. ${\displaystyle 0}$

Der Satz von Liouville ist ein Spezialfall der folgenden Aussage:

Ganze Funktionen können genauso schnell wachsen wie jede monoton steigende Funktion: Zu jeder monoton steigenden Funktion existiert eine ganze Funktion, sodass für alle reellen Zahlen gilt . Eine solche Funktion lässt sich leicht in der Form finden: für eine Konstante und eine streng monoton steigende Folge positiver ganzer Zahlen . Jede solche Folge definiert eine ganze Funktion , und wenn die Exponenten geeignet gewählt werden , kann die Ungleichung für alle reellen Zahlen erfüllt werden . (Sie gilt beispielsweise sicher, wenn man wählt und für jede ganze Zahl einen geraden Exponenten wählt, sodass gilt ) . ${\displaystyle g:[0,\infty )\to [0,\infty )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)>g(|x|)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle f(z)=c+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {z}{k}}\right)^{n_{k}}}$$${\displaystyle c}$${\displaystyle n_{k}}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f(x)>g(|x|)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c:=g(2)}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle n_{k}}$${\displaystyle \left({\frac {k+1}{k}}\right)^{n_{k}}\geq g(k+2)}$

Die Ordnung (im Unendlichen) einer ganzen Funktion wird mithilfe des Limes superior wie folgt definiert : wobei die Kreisscheibe mit Radius ist und die Supremumsnorm von auf bezeichnet . Die Ordnung ist eine nichtnegative reelle Zahl oder unendlich (außer wenn für alle gilt ) . Anders ausgedrückt: Die Ordnung von ist das Infimum aller , für die gilt: ${\displaystyle f(z)}$$${\displaystyle \rho =\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \left(\ln \|f\|_{\infty ,B_{r}}\right)}{\ln r}},}$$${\displaystyle B_{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \|f\|_{\infty ,B_{r}}}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle B_{r}}$${\displaystyle f(z)=0}$${\displaystyle z}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle m}$$${\displaystyle f(z)=O\left(\exp \left(|z|^{m}\right)\right),\quad {\text{as }}z\to \infty .}$$

Das Beispiel zeigt , dass dies nicht bedeutet, ob es sich um eine Ordnungssache handelt .${\displaystyle f(z)=\exp(2z^{2})}$${\displaystyle f(z)=O(\exp(|z|^{m}))}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle m}$

Wenn ⁠ ⁠${\displaystyle 0<\rho <\infty }$ , kann man auch den Typ definieren : $${\displaystyle \sigma =\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \|f\|_{\infty ,B_{r}}}{r^{\rho }}}.}$$

Ist die Ordnung 1 und der Typ ⁠ ⁠${\displaystyle \sigma }$ , so spricht man von einer „ Exponentialfunktion ⁠ ⁠${\displaystyle \sigma }$ “. Ist die Ordnung kleiner als 1, so spricht man von einer Exponentialfunktion vom Typ 0.

Dann können Ordnung und Typ mithilfe der Formeln ermittelt werden. $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\ln n}{-\ln |a_{n}|}}\\[6pt](e\rho \sigma )^{\frac {1}{\rho }}&=\limsup _{n\to \infty }n^{\frac {1}{\rho }}|a_{n}|^{\frac {1}{n}}\end{aligned}}}$$

Sei die ⁠ ⁠ -te Ableitung von ⁠ ⁠ . Dann können wir diese Formeln mithilfe der Ableitungen an einem beliebigen Punkt ⁠ ⁠ umformulieren : ${\displaystyle f^{(n)}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle z_{0}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\ln n}{n\ln n-\ln |f^{(n)}(z_{0})|}}=\left(1-\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln |f^{(n)}(z_{0})|}{n\ln n}}\right)^{-1}\\[6pt](\rho \sigma )^{\frac {1}{\rho }}&=e^{1-{\frac {1}{\rho }}}\limsup _{n\to \infty }{\frac {|f^{(n)}(z_{0})|^{\frac {1}{n}}}{n^{1-{\frac {1}{\rho }}}}}\end{aligned}}}$$

Der Typ kann unendlich sein, wie im Fall der reziproken Gammafunktion , oder null (siehe Beispiel unten unter § Ordnung 1 ).

Eine weitere Möglichkeit, Ordnung und Typ zu bestimmen, bietet der Satz von Matsaev .

Hier einige Beispiele für Funktionen verschiedener Ordnung:

Für beliebige positive Zahlen kann man ein Beispiel einer gesamten Funktion der Ordnung und des Typs konstruieren , indem man Folgendes verwendet: ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {e\rho \sigma }{n}}\right)^{\frac {n}{\rho }}z^{n}}$$

• Nicht-Null-Polynome
• ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{-n^{2}}z^{n}}$

$${\displaystyle f({\sqrt[{4}]{z}}),}$$ Wo$${\displaystyle f(u)=\cos(u)+\cosh(u)}$$

$${\displaystyle f({\sqrt[{3}]{z}}),}$$ Wo $${\displaystyle f(u)=e^{u}+e^{\omega u}+e^{\omega ^{2}u}=e^{u}+2e^{-{\frac {u}{2}}}\cos \left({\frac {{\sqrt {3}}u}{2}}\right),\quad {\text{with }}\omega {\text{ a complex cube root of 1}}.}$$

$${\displaystyle \cos \left(a{\sqrt {z}}\right)}$$mit (für die der Typ durch ⁠ ⁠ gegeben ist ) ${\displaystyle a\neq 0}$${\displaystyle \sigma =\vert a\vert }$

• ${\displaystyle \exp(az)}$mit ( ⁠ ⁠ )${\displaystyle a\neq 0}$${\displaystyle \sigma =\vert a\vert }$
• ${\displaystyle \sin(z)}$
• ${\displaystyle \cosh(z)}$
• die Bessel-Funktionen und sphärischen Bessel-Funktionen für ganzzahlige Werte von ^{[ 2 ]}${\displaystyle J_{n}(z)}$${\displaystyle j_{n}(z)}$${\displaystyle n}$
• die reziproke Gammafunktion ( ⁠ ⁠ ist unendlich)${\displaystyle 1/\Gamma (z)}$${\displaystyle \sigma }$
• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n\ln n)^{n}}}\quad (\sigma =0)}$

• Luftige Funktion${\displaystyle Ai(z)}$

• ${\displaystyle \exp(az^{2})}$mit ( ⁠ ⁠ )${\displaystyle a\neq 0}$${\displaystyle \sigma =\vert a\vert }$
• Die Barnes-G-Funktion ( ⁠ ⁠${\displaystyle \sigma }$ ist unendlich)

• ${\displaystyle \exp(\exp(z))}$

Ganze Funktionen endlicher Ordnung besitzen die Hadamardsche kanonische Darstellung ( Hadamardscher Faktorisierungssatz ): Dabei sind die von Null verschiedenen Wurzeln von , , die Ordnung der Nullstelle von an der Stelle (wobei angenommen wird, dass ) , ein Polynom (dessen Grad wir nennen ) und die kleinste nichtnegative ganze Zahl, für die die Reihe konvergiert . Die nichtnegative ganze Zahl heißt Geschlecht der gesamten Funktion .$${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{P(z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{z_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{z_{n}}}+\cdots +{\frac {1}{p}}\left({\frac {z}{z_{n}}}\right)^{p}\right),}$$${\displaystyle z_{k}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle z_{k}\neq 0}$${\displaystyle m}$${\displaystyle f}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle m=0}$${\displaystyle f(0)\neq 0}$${\displaystyle P}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{|z_{n}|^{p+1}}}}$$${\displaystyle g=\max\{p,q\}}$${\displaystyle f}$

Ist die Ordnung keine ganze Zahl, dann ist der ganzzahlige Anteil von ⁠ ⁠ . Ist die Ordnung eine positive ganze Zahl, dann gibt es zwei Möglichkeiten: oder ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle g=\lfloor \rho \rfloor }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle g=\rho -1}$${\displaystyle g=\rho }$

Zum Beispiel sind und${\displaystyle \sin }$ ganze Funktionen vom Geschlecht .${\displaystyle \cos }$${\displaystyle \exp }$${\displaystyle g=\rho =1}$

Laut J. E. Littlewood ist die Weierstraßsche Sigmafunktion eine „typische“ ganze Funktion. Diese Aussage lässt sich in der Theorie der zufälligen ganzen Funktionen präzisieren: Das asymptotische Verhalten fast aller ganzen Funktionen ähnelt dem der Sigmafunktion. Weitere Beispiele sind die Fresnel-Integrale , die Jacobi-Thetafunktion und die reziproke Gammafunktion . Die Exponentialfunktion und die Fehlerfunktion sind Spezialfälle der Mittag-Leffler-Funktion . Gemäß dem Fundamentalsatz von Paley und Wiener sind Fouriertransformierte von Funktionen (oder Distributionen) mit beschränktem Träger ganze Funktionen der Ordnung n und endlichen Typs. ${\displaystyle 1}$

Weitere Beispiele sind Lösungen linearer Differentialgleichungen mit polynomialen Koeffizienten. Ist der Koeffizient der höchsten Ableitung konstant, so sind alle Lösungen solcher Gleichungen ganze Funktionen. So entstehen beispielsweise die Exponentialfunktion, der Sinus, der Kosinus, die Airy-Funktionen und die parabolischen Zylinderfunktionen . Die Klasse der ganzen Funktionen ist bezüglich Kompositionen abgeschlossen. Dies ermöglicht die Untersuchung der Dynamik ganzer Funktionen .

Eine ganze Funktion der Quadratwurzel einer komplexen Zahl ist genau dann ganz, wenn die ursprüngliche Funktion gerade ist , zum Beispiel ⁠ ⁠${\displaystyle \cos({\sqrt {z}})}$ .

Wenn eine Folge von Polynomen mit ausschließlich reellen Nullstellen in einer Umgebung des Ursprungs gegen einen Grenzwert konvergiert, der nicht identisch gleich null ist, dann ist dieser Grenzwert eine ganze Funktion. Solche ganzen Funktionen bilden die Laguerre-Pólya-Klasse , die sich auch mithilfe des Hadamard-Produkts charakterisieren lässt. Eine Funktion gehört genau dann zu dieser Klasse , wenn in der Hadamard-Darstellung alle reellen Nullstellen sind, und zwar , wobei und reell sind und . Beispielsweise konvergiert die Folge der Polynome für wachsendes gegen . Die Polynome haben ausschließlich reelle Nullstellen und konvergieren gegen . Die Polynome konvergieren auch gegen , was den Aufbau des Hadamard-Produkts für den Kosinus zeigt. ${\displaystyle f}$${\displaystyle z_{n}}$${\displaystyle \rho \leq 1}$${\displaystyle P(z)=a+bz+cz^{2}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c\leq 0}$$${\displaystyle \left(1-{\frac {(z-d)^{2}}{n}}\right)^{n}}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle \exp(-(z-d)^{2})}$$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\left(1+{\frac {iz}{n}}\right)^{n}+\left(1-{\frac {iz}{n}}\right)^{n}\right)}$$${\displaystyle \cos(z)}$$${\displaystyle \prod _{m=1}^{n}\left(1-{\frac {z^{2}}{\left(\left(m-{\frac {1}{2}}\right)\pi \right)^{2}}}\right)}$$${\displaystyle \cos(z)}$

• Jensens Formel
• Satz von Carlson
• Exponentialtyp
• Satz von Paley-Wiener
• Wiman-Valiron-Theorie