Erlang (Einheit)

Das Erlang (Symbol E ^{[ 1 ]} ) ist eine dimensionslose Einheit , die in der Telefonie als Maß für die angebotene oder übertragene Last von Dienstbereitstellungselementen wie Telefonleitungen oder Telefonvermittlungsanlagen verwendet wird. Eine einzelne Leitung kann 60 Minuten lang innerhalb einer Stunde genutzt werden. Die vollständige Auslastung dieser Kapazität, d. h. 60 Minuten Gesprächsdauer, entspricht 1 Erlang. ^{[ 2 ]}

Der übertragene Datenverkehr in Erlangssprachen ist die durchschnittliche Anzahl gleichzeitiger Anrufe über einen bestimmten Zeitraum (oft eine Stunde). Der angebotene Datenverkehr hingegen bezeichnet den Datenverkehr, der übertragen würde, wenn alle Anrufversuche erfolgreich wären. Wie viel angebotener Datenverkehr in der Praxis übertragen wird, hängt davon ab, was mit nicht beantworteten Anrufen geschieht, wenn alle Server ausgelastet sind.

Die CCITT benannte 1946 die internationale Einheit des Telefonverkehrs, Erlang, zu Ehren von Agner Krarup Erlang . ^{[ 3 ] [ 4 ]} In seiner Analyse der effizienten Nutzung von Telefonleitungen leitete Erlang die Formeln für zwei wichtige Fälle, Erlang-B und Erlang-C, ab, die zu grundlegenden Ergebnissen der Fernmeldeverkehrstechnik und der Warteschlangentheorie wurden . Seine Ergebnisse, die noch heute Anwendung finden, setzen die Dienstqualität in Beziehung zur Anzahl der verfügbaren Server. Beide Formeln verwenden die angebotene Auslastung (in Erlang) als eine ihrer Haupteingangsgrößen, die häufig als Produkt aus Anrufankunftsrate und durchschnittlicher Anrufdauer ausgedrückt wird.

Eine grundlegende Annahme der Erlang-B-Formel ist, dass keine Warteschlange existiert. Sind alle Server bereits belegt, wird ein neu eingehender Anruf blockiert und geht verloren. Die Formel gibt die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis an. Im Gegensatz dazu berücksichtigt die Erlang-C-Formel eine unbegrenzte Warteschlange und berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass ein neuer Anruf aufgrund der Auslastung aller Server in der Warteschlange warten muss. Die Erlang-Formeln sind weit verbreitet, können aber bei besonders hoher Serverauslastung versagen, da erfolglose Anrufe dann wiederholt versucht werden. Eine Möglichkeit, Wiederholungsversuche ohne verfügbare Warteschlange zu berücksichtigen, ist die erweiterte Erlang-B-Methode.

Wird der Datenverkehr in Erlang angegeben , bezeichnet ein Wert (auch eine nicht-ganzzahlige Zahl wie 43,5) gefolgt von „Erlang“ die durchschnittliche Anzahl gleichzeitiger Anrufe, die über die Leitungen (oder andere Dienstanbieter) übertragen werden. Dieser Durchschnitt wird über einen angemessenen Zeitraum berechnet. Häufig wird eine Stunde als Berechnungszeitraum verwendet, kürzere Zeiträume (z. B. 15 Minuten) sind jedoch möglich, wenn kurzzeitige Nachfragespitzen bekannt sind und eine Verkehrsmessung gewünscht ist, die diese Spitzen nicht verfälscht. Ein Erlang Datenverkehr entspricht der kontinuierlichen Nutzung einer einzelnen Ressource oder der Auslastung zweier Kanäle zu jeweils 50 % usw. Sind beispielsweise in einem Büro zwei Telefonisten ständig beschäftigt, entspricht dies zwei Erlang (2 E) Datenverkehr; ein Funkkanal, der während des betrachteten Zeitraums (z. B. einer Stunde) durchgehend belegt ist, hat eine Auslastung von einem Erlang.

Wird der angebotene Datenverkehr beschrieben , gibt ein Wert gefolgt von „Erlang“ die durchschnittliche Anzahl gleichzeitiger Anrufe an, die bei unbegrenzter Anzahl an Leitungen möglich gewesen wären (d. h., wenn die Anrufversuche bei voller Auslastung aller Leitungen nicht abgewiesen worden wären). Das Verhältnis zwischen angebotenem und tatsächlichem Datenverkehr hängt von der Systemarchitektur und dem Nutzerverhalten ab. Drei gängige Modelle sind: (a) Anrufer, deren Anrufversuche abgewiesen werden, brechen den Vorgang ab und versuchen es nicht erneut; (b) Anrufer, deren Anrufversuche abgewiesen werden, versuchen es innerhalb kurzer Zeit erneut; und (c) das System ermöglicht es Nutzern, in einer Warteschlange zu warten, bis eine Leitung frei wird.

Eine dritte Messgröße für den Datenverkehr ist der momentane Datenverkehr , ausgedrückt in einer bestimmten Anzahl von Erlangs, also der genauen Anzahl der Anrufe zu einem bestimmten Zeitpunkt. In diesem Fall handelt es sich um eine nicht-negative ganze Zahl . Geräte zur Aufzeichnung des Datenverkehrs, wie beispielsweise Moving-Pen-Recorder, erfassen den momentanen Datenverkehr.

Die von Agner Krarup Erlang eingeführten Konzepte und mathematischen Grundlagen sind weit über die Telefonie hinaus anwendbar. Sie finden überall dort Anwendung, wo Nutzer mehr oder weniger zufällig eintreffen, um ohne vorherige Reservierung exklusiven Service von einem der Serviceanbieter einer Gruppe zu erhalten, beispielsweise bei Fahrkartenschaltern, Flugzeugtoiletten oder Hotelzimmern. (Erlangs Modelle sind nicht anwendbar, wenn die Serviceanbieter von mehreren gleichzeitigen Nutzern gemeinsam genutzt werden oder unterschiedliche Serviceleistungen von verschiedenen Nutzern in Anspruch genommen werden, beispielsweise bei Datenleitungen.)

Ziel der Erlang-Verkehrstheorie ist es, die optimale Anzahl an Dienstanbietern zu bestimmen, um die Nutzer zufrieden zu stellen, ohne unnötige Überdimensionierung. Dazu wird ein Zielwert für die Dienstgüte ( Grade of Service , GoS) bzw. Dienstgüte ( Quality of Service , QoS) festgelegt. In einem System ohne Warteschlangen könnte die GoS beispielsweise so bemessen sein, dass maximal einer von 100 Anrufen blockiert (d. h. abgewiesen) wird, weil alle Leitungen belegt sind (GoS von 0,01). Dieser Wert entspricht der Zielwahrscheinlichkeit für Anrufblockierung, P_{_b} , bei Anwendung der Erlang-B-Formel.

Es ergeben sich mehrere Formeln, darunter Erlang B , Erlang C und die verwandte Engset-Formel , die auf unterschiedlichen Modellen des Nutzerverhaltens und des Systembetriebs basieren. Diese lassen sich jeweils mithilfe eines Spezialfalls von kontinuierlichen Markov-Prozessen, dem sogenannten Geburts- und Sterbeprozess, ableiten . Die neuere Methode des erweiterten Erlang B bietet eine weitere Verkehrslösung, die auf den Ergebnissen von Erlang aufbaut.

Das angebotene Verkehrsaufkommen (in Erlang) hängt mit der Anrufankunftsrate λ und der durchschnittlichen Gesprächsdauer h wie folgt zusammen :

${\displaystyle E=\lambda h}$

vorausgesetzt, dass h und λ in denselben Zeiteinheiten ausgedrückt werden (Sekunden und Anrufe pro Sekunde bzw. Minuten und Anrufe pro Minute).

Die praktische Verkehrsmessung basiert typischerweise auf kontinuierlichen Beobachtungen über mehrere Tage oder Wochen, wobei der momentane Verkehr in regelmäßigen, kurzen Abständen (z. B. alle paar Sekunden) erfasst wird. Aus diesen Messungen wird dann ein einzelnes Ergebnis berechnet, meist der Verkehrswert zur Hauptverkehrszeit (in Erlang). Dieser Wert gibt die durchschnittliche Anzahl gleichzeitiger Anrufe während einer bestimmten Stunde an, wobei diese Stunde so gewählt wird, dass der höchste Wert erzielt wird. (Dieses Ergebnis wird als zeitkonsistenter Verkehrswert zur Hauptverkehrszeit bezeichnet.) Alternativ kann der Verkehrswert zur Hauptverkehrszeit für jeden Tag separat berechnet werden (was täglich leicht unterschiedlichen Zeiten entsprechen kann) und der Durchschnitt dieser Werte gebildet werden. Dies ergibt in der Regel einen etwas höheren Wert als der zeitkonsistente Verkehrswert zur Hauptverkehrszeit.

Wird das bestehende Verkehrsaufkommen während der Hauptverkehrszeit, E _{_c} , in einem bereits überlasteten System mit einem hohen Blockierungsgrad gemessen, müssen die blockierten Anrufe bei der Schätzung des angebotenen Verkehrsaufkommens während der Hauptverkehrszeit, E _{_o} (der Verkehrswert für die Erlang-Formeln), berücksichtigt werden. Das angebotene Verkehrsaufkommen lässt sich mit E _{_o} = E _{_c} / (1 − P_{_b} ) schätzen . Verfügt das System über eine Funktion zur Zählung blockierter und erfolgreicher Anrufe, kann P_{_b} direkt aus dem Anteil der blockierten Anrufe geschätzt werden. Andernfalls kann P _b geschätzt werden, indem E _{_c} in der Erlang-Formel anstelle von E _{_o} verwendet wird. Der resultierende Schätzwert für P _{_b kann dann in} E _o = E _{_c} / (1 − P_{_b} ) eingesetzt werden, um eine erste Schätzung von E_{_o} zu erhalten .

Eine andere Methode zur Schätzung von E _o in einem überlasteten System besteht darin, die Anrufankunftsrate λ während der Hauptverkehrszeit (unter Einbeziehung erfolgreicher und blockierter Anrufe) und die durchschnittliche Gesprächsdauer (bei erfolgreichen Anrufen) h zu messen und dann E _o mithilfe der Formel E = λh zu schätzen .

Wenn es sich um völlig neuen Datenverkehr handelt, bleibt nur die Möglichkeit, das erwartete Nutzerverhalten zu modellieren. Beispielsweise könnte man die Anzahl der aktiven Nutzer ( N) , das erwartete Nutzungsniveau ( U , Anzahl der Anrufe/Transaktionen pro Nutzer und Tag), den Konzentrationsfaktor für die Hauptverkehrszeit ( C , Anteil der täglichen Aktivität in der Hauptverkehrszeit) und die durchschnittliche Wartezeit/Bedienungszeit ( h , in Minuten) schätzen. Die Prognose des angebotenen Datenverkehrs in der Hauptverkehrszeit wäre dann E _{_o} = ⁠NUC/60h  erlangs . (Die Division durch 60 wandelt die Anruf-/Transaktionseingangsrate während der Hauptverkehrszeit in einen Wert pro Minute um, um sie an die Einheiten anzupassen, in denen h ausgedrückt wird.)

Die Erlang-B-Formel (auch Erlang-B mit Bindestrich), auch bekannt als Erlang-Verlustformel , ist eine Formel zur Berechnung der Blockierungswahrscheinlichkeit. Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeit von Verbindungsverlusten in einer Gruppe identischer paralleler Ressourcen (Telefonleitungen, Verbindungen, Verkehrskanäle o. Ä.), die auch als M/M/c/c-Warteschlange bezeichnet wird . ^{[ 5 ]} Sie wird beispielsweise zur Dimensionierung von Verbindungen in Telefonnetzen verwendet. Die Formel wurde von Agner Krarup Erlang hergeleitet und ist nicht auf Telefonnetze beschränkt, da sie eine Wahrscheinlichkeit in einem Warteschlangensystem beschreibt (wenn auch einen Sonderfall mit einer Anzahl von Servern, aber ohne Warteschlangenplatz für eingehende Anrufe, die auf einen freien Server warten). Daher findet die Formel auch in bestimmten Bestandsführungssystemen mit Umsatzverlusten Anwendung.

Die Formel gilt unter der Voraussetzung, dass ein erfolgloser Anruf aufgrund besetzter Leitung nicht in die Warteschlange gestellt oder wiederholt wird, sondern endgültig abbricht. Es wird angenommen, dass Anrufversuche einem Poisson-Prozess folgen , die Ankunftszeitpunkte also unabhängig sind. Weiterhin wird angenommen, dass die Nachrichtenlängen (Wartezeiten) exponentialverteilt sind (Markov-System), obwohl sich die Formel auch für allgemeine Wartezeitverteilungen als anwendbar erweist.

Die Erlang-B-Formel geht von einer unendlichen Anzahl von Quellen (z. B. Telefonteilnehmern) aus, die gemeinsam Datenverkehr an N Server (z. B. Telefonleitungen) liefern. Die Rate λ, die die Häufigkeit eingehender Anrufe angibt (Geburtenrate, Verkehrsintensität usw.), ist konstant und unabhängig von der Anzahl aktiver Quellen. Die Gesamtzahl der Quellen wird als unendlich angenommen. Die Erlang-B-Formel berechnet die Blockierungswahrscheinlichkeit eines pufferlosen Verlustsystems, in dem eine Anfrage, die nicht sofort bedient wird, abgebrochen wird, sodass keine Anfragen in die Warteschlange gelangen. Eine Blockierung tritt auf, wenn eine neue Anfrage zu einem Zeitpunkt eintrifft, an dem alle verfügbaren Server belegt sind. Die Formel setzt außerdem voraus, dass blockierter Datenverkehr gelöscht wird und nicht erneut eingeht.

Die Formel liefert den GoS ( Grade of Service ), der die Wahrscheinlichkeit P _b angibt , dass ein neuer Anruf an die Ressourcengruppe abgewiesen wird, weil alle Ressourcen (Server, Leitungen, Schaltkreise) belegt sind: B ( E , m ), wobei E der gesamte angebotene Datenverkehr in Erlang ist, der m identischen parallelen Ressourcen (Server, Kommunikationskanäle, Verkehrsspuren) angeboten wird.

${\displaystyle P_{\text{b}}=B(E,m)={\frac {\frac {E^{m}}{m!}}{\sum _{i=0}^{m}{\frac {E^{i}}{i!}}}}}$

Wo:

• P _b ist die Wahrscheinlichkeit der Blockierung
• m ist die Anzahl identischer paralleler Ressourcen wie Server, Telefonleitungen usw.
• E = λh ist die normalisierte Eingangslast (angebotener Verkehr in Erlang).

Der Erlang ist eine dimensionslose Lasteinheit, die als Produkt aus mittlerer Ankunftsrate λ und mittlerer Gesprächsdauer h berechnet wird . Die Einheit muss dimensionslos sein, damit das Gesetz von Little dimensionstechnisch sinnvoll ist.

Dies kann rekursiv ^{[ 6 ]} wie folgt ausgedrückt werden, in einer Form, die zur Vereinfachung der Berechnung von Tabellen der Erlang-B-Formel verwendet wird:

${\displaystyle B(E,0)=1.\,}$

${\displaystyle B(E,j)={\frac {EB(E,j-1)}{EB(E,j-1)+j}}\ \forall {j}=1,2,\ldots ,m.}$

Typischerweise wird bei numerischen Berechnungen anstelle von B ( E , m ) der Kehrwert 1/ B ( E , m ) berechnet, um die numerische Stabilität zu gewährleisten :

${\displaystyle {\frac {1}{B(E,0)}}=1}$

${\displaystyle {\frac {1}{B(E,j)}}=1+{\frac {j}{E}}{\frac {1}{B(E,j-1)}}\ \forall {j}=1,2,\ldots ,m.}$

Die rekursive Form lässt sich durch wiederholte Substitution aus der nicht-rekursiven Form ableiten. ^{[ 7 ]}

Funktion ErlangB ( E As Double , m As Integer ) As Double Dim InvB As Double Dim j As IntegerInvB = 1.0 Für j = 1 bis m InvB = 1.0 + InvB * j / E Nächstes j ErlangB = 1.0 / InvB Ende Funktion

oder eine Python-Version:

def erlang_b ( E : float , m : int ) -> float : """Berechnet die Wahrscheinlichkeit von Anrufverlusten.""" inv_b = 1.0 for j in range ( 1 , m + 1 ): inv_b = 1.0 + inv_b * j / E return 1.0 / inv_b

Die Erlang-B-Formel ist monoton fallend und konvex in m . ^{[ 8 ]} Sie setzt voraus, dass sich Anrufankünfte durch einen Poisson-Prozess modellieren lassen , was nicht immer optimal ist, aber für jede statistische Verteilung der Gesprächsdauer mit endlichem Mittelwert gilt. Sie ist anwendbar auf Verkehrsübertragungssysteme ohne Pufferung. Modernere Beispiele im Vergleich zu POTS , bei denen die Erlang-B-Formel weiterhin anwendbar ist, sind optisches Burst-Switching (OBS) und verschiedene aktuelle Verfahren des optischen Paket-Switchings (OPS). Die Erlang-B-Formel wurde als Instrument zur Dimensionierung von Leitungen in Telefonnetzen mit Gesprächsdauern im Minutenbereich entwickelt, ist aber als mathematische Gleichung auf jede beliebige Zeitskala anwendbar.

Erweitertes Erlang B unterscheidet sich von den klassischen Erlang-B-Annahmen dadurch, dass ein Teil der blockierten Anrufer es erneut versuchen darf, was zu einer Erhöhung des angebotenen Datenverkehrs gegenüber dem anfänglichen Basisniveau führt. Es handelt sich um eine iterative Berechnung und nicht um eine Formel. Zusätzlich wird ein Parameter, der Recall-Faktor , eingeführt, der die Anzahl der Recall-Versuche festlegt. ^{[ 9 ]}${\displaystyle R_{\text{f}}}$

Die einzelnen Schritte des Prozesses sind wie folgt. ^{[ 10 ]} Er beginnt mit einer Iteration, bei der ein bekannter anfänglicher Basiswert des Datenverkehrs ermittelt wird, der sukzessive angepasst wird, um eine Reihe neuer angebotener Datenverkehrswerte zu berechnen , von denen jeder die Rückrufe berücksichtigt, die sich aus dem zuvor berechneten angebotenen Datenverkehr ergeben . ${\displaystyle k=0}$${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle E_{k+1}}$${\displaystyle E_{k}}$

1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Anrufer beim ersten Versuch wie oben beschrieben blockiert wird, für Erlang B.$${\displaystyle P_{\text{b}}=B(E_{k},m)}$$
2. Berechnen Sie die voraussichtliche Anzahl blockierter Anrufe$${\displaystyle B_{\text{e}}=E_{k}P_{\text{b}}}$$
3. Berechnen Sie die Anzahl der Rückrufe, , unter der Annahme eines festen Rückruffaktors, .${\displaystyle R}$${\displaystyle R_{\text{f}}}$$${\displaystyle R=B_{\text{e}}R_{\text{f}}}$$
4. Berechnen Sie das neue Verkehrsaufkommen, wobei das anfängliche (Basis-)Verkehrsniveau ist.$${\displaystyle E_{k+1}=E_{0}+R}$$${\displaystyle E_{0}}$
5. Kehren Sie zu Schritt 1 zurück, ersetzen Sie dabei und wiederholen Sie den Vorgang, bis ein stabiler Wert für erreicht ist.${\displaystyle E_{k+1}}$${\displaystyle E_{k}}$${\displaystyle E}$

Sobald ein zufriedenstellender Wert für gefunden wurde, können die Blockierungswahrscheinlichkeit und der Rückruffaktor verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass alle Versuche eines Anrufers verloren gehen, nicht nur der erste Anruf, sondern auch alle nachfolgenden Wiederholungsversuche. ${\displaystyle E}$${\displaystyle P_{\text{b}}}$

Die Erlang-C-Formel gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein ankommender Kunde in der Warteschlange warten muss (anstatt sofort bedient zu werden). ^{[ 11 ]} Wie die Erlang-B-Formel geht auch die Erlang-C-Formel von einer unendlichen Anzahl von Quellen aus, die gemeinsam Erlang-Anfragen an die Server senden. Sind jedoch alle Server ausgelastet, wenn eine Anfrage von einer Quelle eintrifft, wird diese in die Warteschlange gestellt. Auf diese Weise können unbegrenzt viele Anfragen gleichzeitig in der Warteschlange verbleiben. Die Formel berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass angebotener Datenverkehr in die Warteschlange gestellt wird, unter der Annahme, dass blockierte Anrufe im System verbleiben, bis sie bearbeitet werden können. Sie dient dazu, die Anzahl der benötigten Agenten oder Kundendienstmitarbeiter für ein Callcenter zu bestimmen , um eine bestimmte Wahrscheinlichkeit für das Warten in der Warteschlange zu erreichen. Die Erlang-C-Formel geht jedoch davon aus, dass Anrufer während des Wartens nicht auflegen. Daher prognostiziert die Formel, dass mehr Agenten benötigt werden, als tatsächlich erforderlich sind, um das gewünschte Serviceniveau aufrechtzuerhalten. ${\displaystyle E}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle P_{\text{w}}={{{\frac {E^{m}}{m!}}{\frac {m}{m-E}}} \over \left(\sum \limits _{i=0}^{m-1}{\frac {E^{i}}{i!}}\right)+{\frac {E^{m}}{m!}}{\frac {m}{m-E}}}}$

Wo:

• ${\displaystyle E}$ist das gesamte angebotene Verkehrsaufkommen in Einheiten von Erlang
• ${\displaystyle m}$ist die Anzahl der Server
• ${\displaystyle P_{\text{w}}}$ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde auf die Bedienung warten muss.

Es wird angenommen, dass die Anrufankünfte durch einen Poisson-Prozess modelliert werden können und dass die Anrufhaltezeiten durch eine Exponentialverteilung beschrieben werden ; daher folgt die Erlang-C-Formel aus den Annahmen des M/M/c-Warteschlangenmodells .

Als Erlang die Erlang-B- und Erlang-C-Verkehrsgleichungen entwickelte, basierten diese auf einer Reihe von Annahmen. Diese Annahmen sind unter den meisten Bedingungen zutreffend. Bei extrem hoher Verkehrsdichte liefern die Erlang-Gleichungen jedoch aufgrund des Rückverkehrs keine präzise Vorhersage der benötigten Anzahl an Stromkreisen. Dies wird als System mit hohen Verlusten bezeichnet , da Staus zu Spitzenzeiten weitere Staus verursachen. In solchen Fällen müssen zunächst zahlreiche zusätzliche Stromkreise bereitgestellt werden, um die hohen Verluste zu reduzieren. Sobald diese Maßnahme ergriffen wurde, normalisiert sich die Verkehrsdichte wieder, und die Erlang-Gleichungen können dann verwendet werden, um die tatsächlich benötigte Anzahl an Stromkreisen zu bestimmen. ^{[ 12 ]}

Ein Beispiel für die Entstehung eines solchen Systems mit hohen Verlusten wäre eine Fernsehwerbung, die eine bestimmte Telefonnummer zu einem bestimmten Zeitpunkt ankündigt. In diesem Fall würden sehr viele Menschen gleichzeitig die angegebene Nummer anrufen. Hätte der Dienstanbieter diese plötzliche Nachfragespitze nicht berücksichtigt , entstünde eine extreme Überlastung des Netzes, und die Erlang-Gleichungen wären nicht anwendbar. ^{[ 12 ]}

• Callcenter  – Büro, das eine große Anzahl von telefonischen Anfragen bearbeitet.
• Diskrete Ereignissimulation  – Simulationstyp
• Engset-Formel
• Erlang-Verteilung  – Familie stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen
• Erlang-Programmiersprache  – ProgrammiersprachePages displaying short descriptions of redirect targets
• Poisson-Verteilung  – Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung
• Spektrale Effizienz  – Informationsrate, die über eine gegebene Bandbreite übertragen werden kann
• Verkehrsmix  – Modell in der Telekommunikation

• „Lösung einiger Probleme in der Theorie der Wahrscheinlichkeiten der Signifikanz in automatischen Telefonvermittlungsstellen“ (PDF) . Elektrotkeknikeren . 13 : 5. 1917. Archiviert vom Original (PDF) am 19. Juli 2011.