Poisson distribution

In probability theory and statistics, the Poisson distribution (/ˈpwɑːsɒn/) is a discrete probability distribution that expresses the probability of a given number of events occurring in a fixed interval of time if these events occur with a known constant mean rate and independently of the time since the last event.^[1] It can also be used for the number of events in other types of intervals than time, and in dimension greater than 1 (e.g., number of events in a given area or volume). The Poisson distribution is named after French mathematician Siméon Denis Poisson. It plays an important role for discrete-stable distributions.

Bei einer Poisson-Verteilung mit dem Erwartungswert von λ Ereignissen in einem gegebenen Intervall beträgt die Wahrscheinlichkeit für k Ereignisse im selben Intervall: ^{[ 2 ] : 60 .} Betrachten wir beispielsweise ein Callcenter, das zu jeder Tageszeit durchschnittlich λ = 3 Anrufe pro Minute empfängt. Sind die Anrufzahlen in zwei beliebigen, disjunkten Zeitintervallen unabhängig, so ist die Anzahl k der Anrufe pro Minute Poisson-verteilt. Die Wahrscheinlichkeit für k = 1 bis 4 Anrufe liegt dann bei etwa 0,77, während die Wahrscheinlichkeit für 0 oder mindestens 5 Anrufe bei etwa 0,23 liegt. $${\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}.}$$

Ein klassisches Beispiel zur Motivation der Poisson-Verteilung ist die Anzahl radioaktiver Zerfallsereignisse während eines festgelegten Beobachtungszeitraums. ^{[ 3 ]}

Die Einführung der Poisson-Verteilung wird dem französischen Mathematiker und Physiker Siméon Denis Poisson (1781–1840) zugeschrieben, der sie zusammen mit seiner Wahrscheinlichkeitstheorie in „ Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile  “ (1837) veröffentlichte. ^{[ 4 ] : 205–207.} Diese Arbeit untersucht die Anzahl von Fehlurteilen in einem bestimmten Land anhand bestimmter Zufallsvariablen N , die die Anzahl der Ereignisse innerhalb eines vorgegebenen Zeitintervalls zählen. Ähnliche Ergebnisse hatte Abraham de Moivre jedoch bereits 1711 in „De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus“ präsentiert . ^{[ 5 ] : 219 [ 6 ] : 14-15 [ 7 ] : 193 [ 8 ] : 157} Dies macht es zu einem Beispiel für das Stiglersche Gesetz und hat einige Autoren dazu veranlasst, zu argumentieren, dass die Poisson-Verteilung den Namen von de Moivre tragen sollte. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

1860 passte Simon Newcomb die Poisson-Verteilung an die Anzahl der Sterne in einer Raumeinheit an. ^{[ 11 ]} Eine weitere praktische Anwendung erfolgte 1898 durch Ladislaus Bortkiewicz. Er zeigte, dass die Häufigkeit, mit der Soldaten der preußischen Armee versehentlich durch Pferdetritte getötet wurden, gut durch eine Poisson-Verteilung modelliert werden konnte. ^{[ 12 ] : 23–25} .

Eine diskrete Zufallsvariable X hat eine Poisson-Verteilung mit Parameter , wenn ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion durch folgende Gleichung gegeben ist: ^{[ 2 ] : 60} wobei ${\displaystyle \lambda >0}$$${\displaystyle f(k;\lambda )=\Pr(X{=}k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}},}$$

• k ist die Anzahl der Vorkommen ( )${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$
• e ist die Eulersche Zahl ( )${\displaystyle e=2.71828\ldots }$
• k ! = k ( k– 1) ··· (3)(2)(1) ist die Fakultät .

Die positive reelle Zahl λ ist gleich dem Erwartungswert von X und auch seiner Varianz . ^{[ 13 ]}$${\displaystyle \lambda =\operatorname {E} (X)=\operatorname {Var} (X).}$$

Die Poisson-Verteilung lässt sich auf Systeme mit einer großen Anzahl möglicher Ereignisse anwenden , von denen jedes selten ist . Die Anzahl solcher Ereignisse, die innerhalb eines festen Zeitintervalls auftreten, ist unter den richtigen Umständen eine Zufallszahl mit einer Poisson-Verteilung.

Die Gleichung lässt sich anpassen, wenn anstelle der durchschnittlichen Anzahl von Ereignissen die durchschnittliche Ereignisrate gegeben ist . Dann gilt: ^{[ 14 ]}${\displaystyle \lambda ,}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \lambda =rt,}$$${\displaystyle P(k{\text{ Ereignisse im Intervall }}t)={\frac {(rt)^{k}e^{-rt}}{k!}}.}$$

Die Poisson-Verteilung kann nützlich sein, um Ereignisse wie die folgenden zu modellieren:

• Die Anzahl der Meteoriten mit einem Durchmesser von mehr als einem Meter, die jährlich auf die Erde treffen;
• die Anzahl der Laserphotonen, die in einem bestimmten Zeitintervall auf einen Detektor treffen;
• die Anzahl der Schüler, die in einer Prüfung eine niedrige bzw. hohe Note erzielen; und
• Lage von Defekten und Versetzungen in Werkstoffen.

Beispiele für das Auftreten zufälliger Punkte im Raum sind: die Einschlagstellen von Asteroiden auf der Erde (2-dimensional), die Stellen von Materialfehlern (3-dimensional) und die Standorte von Bäumen in einem Wald (2-dimensional). ^{[ 15 ]}

Die Poisson-Verteilung ist ein geeignetes Modell, wenn die folgenden Annahmen zutreffen:

• k , eine nichtnegative ganze Zahl, ist die Anzahl der Male, die ein Ereignis in einem Intervall auftritt.
• Das Eintreten eines Ereignisses hat keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit eines zweiten Ereignisses.
• Die durchschnittliche Häufigkeit des Auftretens von Ereignissen ist unabhängig von einzelnen Ereignissen.
• Zwei Ereignisse können nicht exakt gleichzeitig eintreten.

Wenn diese Bedingungen erfüllt sind, dann ist k eine Poisson-Zufallsvariable; die Verteilung von k ist eine Poisson-Verteilung.

Die Poisson-Verteilung ist auch der Grenzwert einer Binomialverteilung , für die die Erfolgswahrscheinlichkeit für jeden Versuch ist , wobei der Erwartungswert und die Anzahl der Versuche ist, im Grenzwert, dass mit konstant gehalten wird ^{[ 16 ] [ 17 ]} (siehe Verwandte Verteilungen ): ${\displaystyle p={\frac {\lambda }{n}}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle \lambda }$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\dbinom {n}{k}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\,\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{nk}={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,e^{-\lambda }}$$

Die Poisson-Verteilung kann auch aus den Differentialgleichungen abgeleitet werden ^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ].}

$${\displaystyle {\frac {d\,P_{k}(t)}{dt}}=\lambda \,{\Big (}P_{k-1}(t)-P_{k}(t){\Big )}}$$

mit Anfangsbedingungen und ausgewertet bei${\displaystyle P_{k}(0)=\delta_{k0}}$${\displaystyle t=1}$

Die Anzahl der Studierenden, die pro Minute im Studentenwerk eintreffen , folgt wahrscheinlich keiner Poisson-Verteilung, da die Ankunftsrate nicht konstant ist (niedrige Rate während der Vorlesungszeit, hohe Rate außerhalb der Vorlesungszeit) und die Ankünfte einzelner Studierender nicht unabhängig voneinander sind (Studierende kommen tendenziell in Gruppen). Die nicht konstante Ankunftsrate kann als gemischte Poisson-Verteilung modelliert werden , und die Ankunft von Gruppen anstelle einzelner Studierender als zusammengesetzter Poisson-Prozess .

Die Anzahl der Erdbeben der Stärke 5 pro Jahr in einem Land folgt möglicherweise keiner Poisson-Verteilung, wenn ein starkes Erdbeben die Wahrscheinlichkeit von Nachbeben ähnlicher Stärke erhöht.

Beispiele, bei denen mindestens ein Ereignis garantiert ist, sind nicht Poisson-verteilt; sie können jedoch mithilfe einer Null-abgeschnittenen Poisson-Verteilung modelliert werden .

Zählverteilungen, bei denen die Anzahl der Intervalle mit Nullereignissen höher ist als durch ein Poisson-Modell vorhergesagt, können mithilfe eines Zero-Inflated-Modells modelliert werden .

• Der Erwartungswert einer Poisson-verteilten Zufallsvariablen ist λ .
• Die Varianz einer Poisson-Zufallsvariablen ist ebenfalls λ .
• Der Variationskoeffizient beträgt , während der Dispersionsindex 1 ist. ^{[ 8 ] : 163} ${\textstyle \lambda ^{-1/2},}$
• Die mittlere absolute Abweichung vom Mittelwert beträgt ^{[ 8 ] : 163} $${\displaystyle \operatorname {E} [\ |X-\lambda |\ ]={\frac {2\lambda ^{\lfloor \lambda \rfloor +1}e^{-\lambda }}{\lfloor \lambda \rfloor !}}.}$$
• Der Modus einer Poisson-verteilten Zufallsvariablen mit nicht-ganzzahligem λ ist gleich der größten ganzen Zahl kleiner oder gleich  λ . Dies wird auch als floor ( λ ) geschrieben . Wenn λ eine positive ganze Zahl ist, sind die Modi λ und λ − 1 .${\displaystyle \lfloor \lambda \rfloor ,}$
• Alle Kumulanten der Poisson-Verteilung sind gleich dem Erwartungswert  λ . Das n -te faktorielle Moment der Poisson-Verteilung ist λ ⁿ .
• Der Erwartungswert eines Poisson-Prozesses wird manchmal in das Produkt aus Intensität und Belichtung zerlegt (oder allgemeiner als Integral einer „Intensitätsfunktion“ über die Zeit oder den Raum ausgedrückt, manchmal auch als „Belichtung“ bezeichnet). ^{[ 22 ]}

Die Grenzen für den Median ( ) der Verteilung sind bekannt und scharf : ^{[ 23 ]}${\displaystyle \nu }$$${\displaystyle \lambda -\ln 2\leq \nu <\lambda +{\frac {1}{3}}.}$$

Die höheren nicht-zentrierten Momente m_{_k} der Poisson-Verteilung sind Touchard-Polynome in λ : wobei die geschweiften Klammern { } Stirling-Zahlen zweiter Art bezeichnen . ^{[ 24 ] [ 1 ] : 6} Mit anderen Worten: Wenn der Erwartungswert auf λ = 1 gesetzt wird , impliziert die Dobinski-Formel , dass das n -te Moment gleich der Anzahl der Partitionen einer Menge der Größe n ist . $${\displaystyle m_{k}=\sum _{i=0}^{k}\lambda ^{i}{\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}},}$$$${\displaystyle E[X]=\lambda ,\quad E[X(X-1)]=\lambda ^{2},\quad E[X(X-1)(X-2)]=\lambda ^{3},\cdots }$$

Eine einfache obere Schranke ist: ^{[ 25 ]}$${\displaystyle m_{k}=E[X^{k}]\leq \left({\frac {k}{\log(k/\lambda +1)}}\right)^{k}\leq \lambda ^{k}\exp \left({\frac {k^{2}}{2\lambda }}\right).}$$

Sind die Zufallsvariablen unabhängig , dann gilt ^{[ 26 ] : 65.} Eine Umkehrung ist der Satz von Raikov , der besagt, dass, wenn die Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen Poisson-verteilt ist, auch jede dieser beiden unabhängigen Zufallsvariablen Poisson-verteilt ist. ^{[ 27 ] [ 28 ]}${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{i})}$${\displaystyle i=1,\dotsc ,n}$${\textstyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Pois} \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right).}$

Es handelt sich um eine Verteilung mit maximaler Entropie aus der Menge der verallgemeinerten Binomialverteilungen mit Mittelwert und , ^{[ 29 ]} wobei eine verallgemeinerte Binomialverteilung als Verteilung der Summe von N unabhängigen, aber nicht identisch verteilten Bernoulli-Variablen definiert ist. ${\displaystyle B_{n}(\lambda )}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle n\to \infty }$

• Die Poisson-Verteilungen sind unendlich teilbare Wahrscheinlichkeitsverteilungen. ^{[ 30 ] : 233 [ 8 ] : 164}
• Die gerichtete Kullback-Leibler-Divergenz von aus ist gegeben durch${\displaystyle P=\operatorname {Pois} (\lambda )}$${\displaystyle P_{0}=\operatorname {Pois} (\lambda _{0})}$$${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(P\parallel P_{0})=\lambda _{0}-\lambda +\lambda \log {\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}.}$$
• Wenn eine ganze Zahl ist, dann erfüllt und ^{[ 31 ]}${\displaystyle \lambda \geq 1}$${\displaystyle Y\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$${\displaystyle \Pr(Y\geq E[Y])\geq {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \Pr(Y\leq E[Y])\geq {\frac {1}{2}}.}$
• Schranken für die Randwahrscheinlichkeiten einer Poisson-Zufallsvariablen lassen sich mithilfe eines Chernoff- Arguments herleiten . ^{[ 32 ] : 97-98} ${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$$${\displaystyle {\begin{aligned}P(X\geq x)&\leq {\frac {\left(e\lambda \right)^{x}e^{-\lambda }}{x^{x}}},&{\text{ for }}x>\lambda ,\\[1ex]P(X\leq x)&\leq {\frac {\left(e\lambda \right)^{x}e^{-\lambda }}{x^{x}}},&{\text{ for }}x<\lambda .\end{aligned}}}$$
• Die Wahrscheinlichkeit im oberen Bereich kann (um einen Faktor von mindestens zwei) wie folgt verschärft werden: ^{[ 33 ]} wobei die Kullback-Leibler-Divergenz von aus ist .$${\displaystyle P(X\geq x)\leq {\frac {e^{-\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q\parallel P)}}{\max {(2,{\sqrt {4\pi \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q\parallel P)}}})}},{\text{ for }}x>\lambda ,}$$${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q\parallel P)}$${\displaystyle Q=\operatorname {Pois} (x)}$${\displaystyle P=\operatorname {Pois} (\lambda )}$
• Die Ungleichungen, die die kumulative Verteilungsfunktion einer Poisson-Zufallsvariablen mit der kumulativen Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung in Beziehung setzen , lauten wie folgt: ^{[ 34 ]}${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$${\displaystyle \Phi }$

$${\displaystyle \Phi {\left(\operatorname {sign} (k-\lambda ){\sqrt {2\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{-}\parallel P)}}\right)}<P(X\leq k)<\Phi {\left(\operatorname {sign} (k+1-\lambda ){\sqrt {2\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{+}\parallel P)}}\right)},{\text{ for }}k>0,}$$wobei die Kullback-Leibler-Divergenz von und die Kullback-Leibler-Divergenz von ist . ${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{-}\parallel P)}$${\displaystyle Q_{-}=\operatorname {Pois} (k)}$${\displaystyle P=\operatorname {Pois} (\lambda )}$${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{+}\parallel P)}$${\displaystyle Q_{+}=\operatorname {Pois} (k+1)}$${\displaystyle P}$

Seien und unabhängige Zufallsvariablen, dann gilt: ${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$${\displaystyle Y\sim \operatorname {Pois} (\mu )}$${\displaystyle \lambda <\mu ,}$$${\displaystyle {\frac {e^{-({\sqrt {\mu }}-{\sqrt {\lambda }})^{2}}}{(\lambda +\mu )^{2}}}-{\frac {e^{-(\lambda +\mu )}}{2{\sqrt {\lambda \mu }}}}-{\frac {e^{-(\lambda +\mu )}}{4\lambda \mu }}\leq P(X-Y\geq 0)\leq e^{-({\sqrt {\mu }}-{\sqrt {\lambda }})^{2}}}$$

Die obere Schranke wird mithilfe einer Standard-Chernoff-Schranke bewiesen.

Die untere Schranke lässt sich beweisen, indem man beachtet, dass die Wahrscheinlichkeit ist, dass gilt, wobei die Wahrscheinlichkeit nach unten durch beschränkt ist, wobei die relative Entropie ist (siehe den Eintrag zu Schranken für die Randbereiche von Binomialverteilungen für Details). Weiterhin ergibt sich aus der Berücksichtigung von und der Berechnung einer unteren Schranke für die unbedingte Wahrscheinlichkeit das Ergebnis. Weitere Details finden sich im Anhang von Kamath et al. ^{[ 35 ].}${\displaystyle P(X-Y\geq 0\mid X+Y=i)}$${\textstyle Z\geq {\frac {i}{2}},}$${\textstyle Z\sim \operatorname {Bin} \left(i,{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }}\right),}$${\textstyle {\frac {1}{(i+1)^{2}}}e^{-iD\left(0.5\|{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }}\right)},}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X+Y\sim \operatorname {Pois} (\lambda +\mu ),}$

The Poisson distribution can be derived as a limiting case to the binomial distribution as the number of trials goes to infinity and the expected number of successes remains fixed — see law of rare events below. Therefore, it can be used as an approximation of the binomial distribution if n is sufficiently large and p is sufficiently small. The Poisson distribution is a good approximation of the binomial distribution if n is at least 20 and p is smaller than or equal to 0.05, and an excellent approximation if n ≥ 100 and np ≤ 10.^[36] Letting ${\displaystyle F_{\mathrm {B} }}$ and ${\displaystyle F_{\mathrm {P} }}$ be the respective cumulative density functions of the binomial and Poisson distributions, one has: $${\displaystyle F_{\mathrm {B} }(k;n,p)\ \approx \ F_{\mathrm {P} }(k;\lambda =np).}$$ One derivation of this uses probability-generating functions.^[37] Consider a Bernoulli trial (coin-flip) whose probability of one success (or expected number of successes) is ${\displaystyle \lambda \leq 1}$ within a given interval. Split the interval into n parts, and perform a trial in each subinterval with probability ${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{n}}}$. The probability of k successes out of n trials over the entire interval is then given by the binomial distribution $${\displaystyle p_{k}^{(n)}={\binom {n}{k}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{\!k}\left(1{-}{\frac {\lambda }{n}}\right)^{\!n-k},}$$ whose generating function is: $${\displaystyle P^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}^{(n)}x^{k}=\left(1-{\frac {\lambda }{n}}+{\frac {\lambda }{n}}x\right)^{n}.}$$ Taking the limit as n increases to infinity (with x fixed) and applying the product limit definition of the exponential function, this reduces to the generating function of the Poisson distribution: $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P^{(n)}(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1{+}{\tfrac {\lambda (x-1)}{n}}\right)^{n}=e^{\lambda (x-1)}=\sum _{k=0}^{\infty }e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}x^{k}.}$$

• If ${\displaystyle X_{1}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})\,}$ and ${\displaystyle X_{2}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})\,}$ are independent, then the difference ${\displaystyle Y=X_{1}-X_{2}}$ follows a Skellam distribution.
• If ${\displaystyle X_{1}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})\,}$ and ${\displaystyle X_{2}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})\,}$ are independent, then the distribution of ${\displaystyle X_{1}}$ conditional on ${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$ is a binomial distribution.
  Specifically, if ${\displaystyle X_{1}+X_{2}=k,}$ then ${\displaystyle X_{1}|X_{1}+X_{2}=k\sim \mathrm {Binom} (k,\lambda _{1}/(\lambda _{1}+\lambda _{2})).}$
  More generally, if X₁, X₂, ..., X_n are independent Poisson random variables with parameters λ₁, λ₂, ..., λ_n then
  given ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}X_{j}=k,}$ it follows that ${\displaystyle X_{i}{\Big |}\sum _{j=1}^{n}X_{j}=k\sim \mathrm {Binom} \left(k,{\frac {\lambda _{i}}{\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}}}\right).}$ In fact, ${\displaystyle \{X_{i}\}\sim \mathrm {Multinom} \left(k,\left\{{\frac {\lambda _{i}}{\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}}}\right\}\right).}$
• Wenn die Verteilung von unter der Bedingung X = k eine Binomialverteilung ist , dann folgt die Verteilung von Y einer Poisson-Verteilung. Tatsächlich folgt jede Verteilung von Y einer unabhängigen Poisson-Verteilung , wenn unter der Bedingung X = k einer Multinomialverteilung folgt.${\displaystyle X\sim \mathrm {Pois} (\lambda )\,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y\mid (X=k)\sim \mathrm {Binom} (k,p),}$${\displaystyle Y\sim \mathrm {Pois} (\lambda \cdot p).}$${\displaystyle \{X=k\},}$${\displaystyle \{Y_{i}\}}$${\displaystyle \{Y_{i}\}\mid (X=k)\sim \mathrm {Multinom} \left(k,p_{i}\right),}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle Y_{i}\sim \mathrm {Pois} (\lambda \cdot p_{i}),\rho (Y_{i},Y_{j})=0.}$
• Die Poisson-Verteilung ist ein Spezialfall der diskreten zusammengesetzten Poisson-Verteilung (oder stotternden Poisson-Verteilung) mit nur einem Parameter. ^{[ 38 ] [ 39 ]} Die diskrete zusammengesetzte Poisson-Verteilung lässt sich aus der Grenzverteilung der univariaten Multinomialverteilung ableiten. Sie ist ebenfalls ein Spezialfall einer zusammengesetzten Poisson-Verteilung .
• Für ausreichend große Werte von λ (etwa λ > 1000 ) ist die Normalverteilung mit Mittelwert λ und Varianz λ (Standardabweichung ) eine ausgezeichnete Näherung für die Poisson-Verteilung. Ist λ größer als etwa 10, so ist die Normalverteilung eine gute Näherung, wenn eine geeignete Stetigkeitskorrektur durchgeführt wird, d. h., wenn P( X ≤ x ) , wobei x eine nichtnegative ganze Zahl ist, durch P( X ≤ x + 0,5) ersetzt wird .${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}}$$${\displaystyle F_{\mathrm {Poisson} }(x;\lambda )\approx F_{\mathrm {normal} }(x;\mu =\lambda ,\sigma ^{2}=\lambda )}$$
• Varianzstabilisierende Transformation : Wenn dann ^{[ 8 ] : 168} und ^{[ 40 ] : 196.} Unter dieser Transformation ist die Konvergenz zur Normalverteilung (mit zunehmendem ) deutlich schneller als bei der nicht transformierten Variable. Es gibt weitere, etwas komplexere varianzstabilisierende Transformationen ^{[ 8 ] : 168,} darunter die Anscombe-Transformation . ^{[ 41 ]} Siehe Datentransformation (Statistik) für allgemeinere Anwendungen von Transformationen.${\displaystyle X\sim \mathrm {Pois} (\lambda ),}$$${\displaystyle Y=2{\sqrt {X}}\approx {\mathcal {N}}(2{\sqrt {\lambda }};1),}$$$${\displaystyle Y={\sqrt {X}}\approx {\mathcal {N}}({\sqrt {\lambda }};1/4).}$$${\displaystyle \lambda }$
• Wenn für jedes t > 0 die Anzahl der Ankünfte im Zeitintervall [0, t ] einer Poisson-Verteilung mit Mittelwert λt folgt , dann sind die Folge der Zwischenankunftszeiten unabhängige und identisch verteilte Exponential- Zufallsvariablen mit Mittelwert  1/ λ . ^{[ 42 ] : 317–319}
• Die kumulativen Verteilungsfunktionen der Poisson- und Chi-Quadrat-Verteilungen hängen wie folgt zusammen: ^{[ 8 ] : 167} und ^{[ 8 ] : 158} $${\displaystyle F_{\text{Poisson}}(k;\lambda )=1-F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2(k+1))\quad \quad {\text{ integer }}k,}$$$${\displaystyle P(X=k)=F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2(k+1))-F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2k).}$$

Angenommen, dann ist [ ^{43 ] multinomialverteilt} unter der Bedingung${\displaystyle X_{1}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{1}),X_{2}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{2}),\dots ,X_{n}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{n})}$${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\dots +\lambda _{n}=1,}$${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}$${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\sim \operatorname {Mult} (N,\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})}$${\displaystyle N=X_{1}+X_{2}+\dots X_{n}.}$

Dies bedeutet ^{[ 32 ] : 101-102} unter anderem, dass für jede nichtnegative Funktion, wenn sie multinomialverteilt ist, gilt: wobei${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$${\displaystyle (Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})\sim \operatorname {Mult} (m,\mathbf {p} )}$$${\displaystyle \operatorname {E} [f(Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})]\leq e{\sqrt {m}}\operatorname {E} [f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})]}$$${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\sim \operatorname {Pois} (\mathbf {p} ).}$

Der Faktor kann durch 2 ersetzt werden, wenn weiterhin angenommen wird, dass monoton steigend oder fallend ist. ${\displaystyle e{\sqrt {m}}}$${\displaystyle f}$

Diese Verteilung wurde auf den bivariaten Fall erweitert. ^{[ 44 ]} Die erzeugende Funktion dieser Verteilung lautet: $${\displaystyle g(u,v)=\exp[(\theta _{1}-\theta _{12})(u-1)+(\theta _{2}-\theta _{12})(v-1)+\theta _{12}(uv-1)]}$$$${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2}>\theta _{12}>0}$$

Die Randverteilungen sind Poisson( θ₁ ) und Poisson( θ₂ ) _, und der Korrelationskoeffizient ist auf den Bereich beschränkt _.$${\displaystyle 0\leq \rho \leq \min \left\{{\sqrt {\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}},{\sqrt {\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}}\right\}}$$

Eine einfache Methode zur Erzeugung einer bivariaten Poisson-Verteilung besteht darin, drei unabhängige Poisson-Verteilungen mit Mittelwerten zu nehmen und dann zu setzen. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der bivariaten Poisson-Verteilung ist ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$${\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3}}$${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$${\displaystyle X_{1}=Y_{1}+Y_{3},X_{2}=Y_{2}+Y_{3}.}$$${\displaystyle \Pr(X_{1}=k_{1},X_{2}=k_{2})=\exp \left(-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}\right){\frac {\lambda _{1}^{k_{1}}}{k_{1}!}}{\frac {\lambda _{2}^{k_{2}}}{k_{2}!}}\sum _{k=0}^{\min(k_{1},k_{2})}{\binom {k_{1}}{k}}{\binom {k_{2}}{k}}k!\left({\frac {\lambda _{3}}{\lambda _{1}\lambda _{2}}}\right)^{k}}$$

Die freie Poisson-Verteilung ^{[ 45 ]} mit Sprunggröße und Sprungrate entsteht in der freien Wahrscheinlichkeitstheorie als Grenzwert der wiederholten freien Faltung für N → ∞ . ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \lambda }$$${\displaystyle \left(\left(1-{\frac {\lambda }{N}}\right)\delta _{0}+{\frac {\lambda }{N}}\delta _{\alpha }\right)^{\boxplus N}}$$

Anders ausgedrückt: Seien Zufallsvariablen, sodass mit Wahrscheinlichkeit den Wert annimmt und mit der verbleibenden Wahrscheinlichkeit den Wert 0. Es sei außerdem angenommen, dass die Familie frei unabhängig ist . Dann ist der Grenzwert des Gesetzes von für gegeben durch das freie Poisson-Gesetz mit Parametern${\displaystyle X_{N}}$${\displaystyle X_{N}}$${\displaystyle \alpha }$${\textstyle {\frac {\lambda }{N}}}$${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$${\displaystyle N\to \infty }$${\displaystyle X_{1}+\cdots +X_{N}}$${\displaystyle \lambda ,\alpha .}$

Diese Definition ist analog zu einer der Methoden, mit denen die klassische Poisson-Verteilung aus einem (klassischen) Poisson-Prozess gewonnen wird.

Das zum freien Poisson-Gesetz gehörige Maß ist gegeben durch ^{[ 46 ]} , wobei und den Träger hat$${\displaystyle \mu ={\begin{cases}(1-\lambda )\delta _{0}+\nu ,&{\text{if }}0\leq \lambda \leq 1\\\nu ,&{\text{if }}\lambda >1,\end{cases}}}$$$${\displaystyle \nu ={\frac {1}{2\pi \alpha t}}{\sqrt {4\lambda \alpha ^{2}-(t-\alpha (1+\lambda ))^{2}}}\,dt}$$${\displaystyle [\alpha (1-{\sqrt {\lambda }})^{2},\alpha (1+{\sqrt {\lambda }})^{2}].}$

Dieses Gesetz tritt auch in der Theorie der Zufallsmatrizen als Marchenko-Pastur-Gesetz auf . Seine freien Kumulanten sind gleich${\displaystyle \kappa _{n}=\lambda \alpha ^{n}.}$

Wir geben Werte für einige wichtige Transformationen des freien Poisson-Gesetzes an; die Berechnung findet sich beispielsweise in dem Buch Lectures on the Combinatorics of Free Probability von A. Nica und R. Speicher ^{[ 47 ].}

Die R-Transformation des freien Poisson-Gesetzes ist gegeben durch $${\displaystyle R(z)={\frac {\lambda \alpha }{1-\alpha z}}.}$$

Die Cauchy-Transformation (die das Negative der Stieltjes-Transformation ist ) ist gegeben durch $${\displaystyle G(z)={\frac {z+\alpha -\lambda \alpha -{\sqrt {(z-\alpha (1+\lambda ))^{2}-4\lambda \alpha ^{2}}}}{2\alpha z}}}$$

Die S-Transformation ist gegeben durch im Fall, dass$${\displaystyle S(z)={\frac {1}{z+\lambda }}}$$${\displaystyle \alpha =1.}$

Gegeben sei eine Stichprobe von n Messwerten für i = 1, ..., n . Gesucht ist der Wert des Parameters λ der Poisson-Verteilung, aus der die Stichprobe stammt. Die Maximum-Likelihood -Schätzung ist ^{[ 48 ].}${\displaystyle k_{i}\in \{0,1,\dots \},}$

$${\displaystyle {\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}\ .}$$

Da jede Beobachtung den Erwartungswert λ besitzt , gilt dies auch für den Stichprobenmittelwert. Daher ist die Maximum-Likelihood-Schätzung ein erwartungstreuer Schätzer für λ . Sie ist zudem ein effizienter Schätzer, da ihre Varianz die Cramér-Rao-Untergrenze (CRLB) erreicht. ^{[ 49 ]} Folglich ist sie erwartungstreu mit minimaler Varianz . Weiterhin lässt sich beweisen, dass die Summe (und somit der Stichprobenmittelwert, da er eineindeutig von der Summe abhängt) eine vollständige und suffiziente Statistik für λ ist .

Um die Hinlänglichkeit zu beweisen, können wir den Faktorisierungssatz verwenden . Wir zerlegen die Wahrscheinlichkeitsfunktion der gemeinsamen Poisson-Verteilung der Stichprobe in zwei Teile: einen, der ausschließlich von der Stichprobe abhängt , genannt , und einen, der nur über die Funktion von dem Parameter und der Stichprobe abhängt. Dann ist eine hinreichende Statistik für${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle h(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle T(\mathbf {x} ).}$${\displaystyle T(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \lambda .}$

$${\displaystyle P(\mathbf {x} )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {\lambda ^{x_{i}}e^{-\lambda }}{x_{i}!}}={\frac {1}{\prod _{i=1}^{n}x_{i}!}}\times \lambda ^{\sum _{i=1}^{n}x_{i}}e^{-n\lambda }}$$

Der erste Term hängt nur von ab . Der zweite Term hängt von der Stichprobe nur über ab. Daher ist ausreichend. ${\displaystyle h(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle g(T(\mathbf {x} )|\lambda )}$${\textstyle T(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}$${\displaystyle T(\mathbf {x} )}$

Um den Parameter λ zu finden , der die Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Poisson-Population maximiert, können wir den Logarithmus der Likelihood-Funktion verwenden:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ell (\lambda )&=\ln \prod _{i=1}^{n}f(k_{i}\mid \lambda )\\&=\sum _{i=1}^{n}\ln \!\left({\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k_{i}}}{k_{i}!}}\right)\\&=-n\lambda +\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)\ln(\lambda )-\sum _{i=1}^{n}\ln(k_{i}!).\end{aligned}}}$$

Wir bilden die Ableitung von nach λ und vergleichen sie mit Null: ${\displaystyle \ell }$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\ell (\lambda )=0\iff -n+\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right){\frac {1}{\lambda }}=0.\!}$$

Die Lösung nach λ liefert einen stationären Punkt.

$${\displaystyle \lambda ={\frac {\sum _{i=1}^{n}k_{i}}{n}}}$$

λ ist also der Mittelwert der k _i- Werte. Das Vorzeichen der zweiten Ableitung von L am stationären Punkt gibt Aufschluss darüber, um welche Art von Extremwert es sich bei λ handelt.

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\ell }{\partial \lambda ^{2}}}=-\lambda ^{-2}\sum _{i=1}^{n}k_{i}}$$

Die Auswertung der zweiten Ableitung am stationären Punkt ergibt:

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\ell }{\partial \lambda ^{2}}}=-{\frac {n^{2}}{\sum _{i=1}^{n}k_{i}}}}$$

Dies entspricht dem Negativen von n mal dem Kehrwert des Mittelwerts der k _i . Dieser Ausdruck ist negativ, wenn der Mittelwert positiv ist. Ist dies der Fall, so maximiert der stationäre Punkt die Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Der Vollständigkeit halber sei gesagt, dass eine Familie von Verteilungen genau dann vollständig ist, wenn aus folgt, dass für alle gilt : Wenn die Individuen unabhängig und identisch verteilt sind, dann gilt: Kennt man die Verteilung, die wir untersuchen wollen, ist es leicht zu sehen, dass die Statistik vollständig ist. ${\displaystyle E(g(T))=0}$${\displaystyle P_{\lambda }(g(T)=0)=1}$${\displaystyle \lambda .}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \mathrm {Po} (\lambda ),}$${\textstyle T(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \mathrm {Po} (n\lambda ).}$

$${\displaystyle E(g(T))=\sum _{t=0}^{\infty }g(t){\frac {(n\lambda )^{t}e^{-n\lambda }}{t!}}=0}$$

Damit diese Gleichheit gilt, muss 0 sein. Dies folgt aus der Tatsache, dass keiner der anderen Terme für alle in der Summe und für alle möglichen Werte von 0 ist . Daher impliziert für alle , dass und die Statistik somit vollständig ist. ${\displaystyle g(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \lambda .}$${\displaystyle E(g(T))=0}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle P_{\lambda }(g(T)=0)=1,}$

Das Konfidenzintervall für den Mittelwert einer Poisson-Verteilung lässt sich mithilfe der Beziehung zwischen den kumulativen Verteilungsfunktionen der Poisson- und der Chi-Quadrat-Verteilung ausdrücken . Die Chi-Quadrat-Verteilung selbst ist eng mit der Gamma-Verteilung verwandt , woraus sich ein alternativer Ausdruck ergibt. Gegeben sei eine Beobachtung k aus einer Poisson-Verteilung mit Mittelwert μ . Das Konfidenzintervall für μ mit dem Konfidenzniveau 1 – α ist

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\chi ^{2}(\alpha /2;2k)\leq \mu \leq {\tfrac {1}{2}}\chi ^{2}(1-\alpha /2;2k+2),}$$

oder gleichbedeutend mit

$${\displaystyle F^{-1}(\alpha /2;k,1)\leq \mu \leq F^{-1}(1-\alpha /2;k+1,1),}$$

Dabei ist die Quantilfunktion (entsprechend einer unteren Randfläche p ) der Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden und die Quantilfunktion einer Gammaverteilung mit Formparameter n und Skalenparameter 1. ^{[ 8 ] : 176-178 [ 50 ]} Dieses Intervall ist „ exakt “ in dem Sinne, dass seine Überdeckungswahrscheinlichkeit niemals kleiner als der nominale Wert 1 – α ist . ${\displaystyle \chi ^{2}(p;n)}$${\displaystyle F^{-1}(p;n,1)}$

Wenn Quantile der Gammaverteilung nicht verfügbar sind, wurde eine genaue Annäherung an dieses exakte Intervall vorgeschlagen (basierend auf der Wilson-Hilferty-Transformation ): ^{[ 51 ]} wobei die Standardnormalverteilung mit der oberen Schwanzfläche α / 2 bezeichnet . $${\displaystyle k\left(1-{\frac {1}{9k}}-{\frac {z_{\alpha /2}}{3{\sqrt {k}}}}\right)^{3}\leq \mu \leq (k+1)\left(1-{\frac {1}{9(k+1)}}+{\frac {z_{\alpha /2}}{3{\sqrt {k+1}}}}\right)^{3},}$$${\displaystyle z_{\alpha /2}}$

Zur Anwendung dieser Formeln im gleichen Kontext wie oben (bei einer Stichprobe von n Messwerten k_{_i} , die jeweils aus einer Poisson-Verteilung mit Mittelwert λ stammen ), würde man setzen

$${\displaystyle k=\sum _{i=1}^{n}k_{i},}$$ Berechne ein Intervall für μ = nλ und leite dann das Intervall für λ ab .

In der Bayes'schen Inferenz ist die konjugierte A-priori-Verteilung für den Ratenparameter λ der Poisson-Verteilung die Gammaverteilung . ^{[ 52 ]} Sei

$${\displaystyle \lambda \sim \mathrm {Gamma} (\alpha ,\beta )}$$

bezeichnet, dass λ gemäß der Gamma- Dichte g verteilt ist , die durch einen Formparameter α und einen inversen Skalenparameter β parametrisiert ist :

$${\displaystyle g(\lambda \mid \alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\;\lambda ^{\alpha -1}\;e^{-\beta \,\lambda }\qquad {\text{ for }}\lambda >0\,\!.}$$

Dann, bei gleicher Stichprobe von n Messwerten k _i wie zuvor und einer A-priori-Verteilung Gamma( α , β ) , ergibt sich die A-posteriori-Verteilung zu

$${\displaystyle \lambda \sim \mathrm {Gamma} {\left(\alpha +\sum _{i=1}^{n}k_{i},\beta +n\right)}.}$$

Man beachte, dass der a posteriori-Mittelwert linear ist und durch die Formel gegeben ist. Es lässt sich zeigen, dass die Gammaverteilung die einzige A-priori-Verteilung ist, die Linearität des bedingten Mittelwerts induziert. Darüber hinaus existiert ein Umkehrergebnis, das besagt, dass, wenn der bedingte Mittelwert in der Distanz annähernd einer linearen Funktion entspricht, die A-priori-Verteilung von λ in der Lévy-Distanz annähernd einer Gammaverteilung entsprechen muss . ^{[ 53 ]}$${\displaystyle E[\lambda \mid k_{1},\ldots ,k_{n}]={\frac {\alpha +\sum _{i=1}^{n}k_{i}}{\beta +n}}.}$$${\displaystyle L_{2}}$

Der a posteriori-Mittelwert E[ λ ] nähert sich im Grenzwert der Maximum-Likelihood-Schätzung an , was unmittelbar aus dem allgemeinen Ausdruck für den Mittelwert der Gammaverteilung folgt . ${\displaystyle {\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }}$${\displaystyle \alpha \to 0,\beta \to 0,}$

Die a posteriori-Vorhersageverteilung für eine einzelne zusätzliche Beobachtung ist eine negative Binomialverteilung , ^{[ 54 ] : 53} die manchmal auch als Gamma-Poisson-Verteilung bezeichnet wird.

Angenommen, es handelt sich um eine Menge unabhängiger Zufallsvariablen aus einer Menge von Poisson-Verteilungen, jede mit einem Parameter , und wir möchten diese Parameter schätzen. Dann zeigen Clevenson und Zidek, dass unter dem normalisierten quadratischen Fehlerverlust, wenn , dann, ähnlich wie in Steins Beispiel für die Mittelwerte der Normalverteilung, der Maximum-Likelihood-Schätzer unzulässig ist . ^{[ 55 ]}${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \lambda _{i},}$${\displaystyle i=1,\dots ,p,}$${\textstyle L(\lambda ,{\hat {\lambda }})=\sum _{i=1}^{p}\lambda _{i}^{-1}({\hat {\lambda }}_{i}-\lambda _{i})^{2},}$${\displaystyle p>1,}$${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{i}=X_{i}}$

In diesem Fall wird eine Familie von Minimax-Schätzern für beliebige Werte von und angegeben ^{[ 56 ].}${\displaystyle 0<c\leq 2(p-1)}$${\displaystyle b\geq (p-2+p^{-1})}$$${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{i}=\left(1-{\frac {c}{b+\sum _{i=1}^{p}X_{i}}}\right)X_{i},\qquad i=1,\dots ,p.}$$

Einige Anwendungen der Poisson-Verteilung auf Zähldaten (Anzahl der Ereignisse): ^{[ 57 ]}

• Telekommunikation : Telefonanrufe, die in einem System eingehen,
• Astronomie : Photonen, die auf ein Teleskop treffen,
• Chemie : die Molmassenverteilung einer lebenden Polymerisation , ^{[ 58 ]}
• Biologie : die Anzahl der Mutationen pro Längeneinheit eines DNA- Strangs,
• Management : Kunden, die an einem Schalter oder Callcenter eintreffen, ^{[ 59 ]}
• Finanz- und Versicherungswesen : Anzahl der Verluste oder Schadensfälle, die in einem bestimmten Zeitraum auftreten,
• Seismologie : Asymptotisches Poisson-Modell des Risikos für große Erdbeben, ^{[ 60 ]}
• Radioaktivität : Zerfall einer radioaktiven Probe innerhalb eines bestimmten Zeitintervalls, ^{[ 61 ]}
• Optik : Anzahl der in einem einzelnen Laserpuls emittierten Photonen (eine große Schwachstelle von Quantenschlüsselverteilungsprotokollen , bekannt als Photonenzahlaufspaltung).

Weitere Beispiele für Zählereignisse, die als Poisson-Prozesse modelliert werden können, sind:

• Die Anzahl der Soldaten, die jedes Jahr in jedem Korps der preußischen Kavallerie durch Pferdetritte getötet wurden , ist in diesem Buch von Ladislaus Bortkiewicz (1868–1931) angegeben ^{[ 12 ] : 23–25.}
• Hefezellen, die beim Brauen von Guinness- Bier verwendet wurden. Dieses Beispiel wurde von William Sealy Gosset (1876–1937) verwendet . ^{[ 62 ] [ 63 ]}
• Telefonanrufe treffen innerhalb einer Minute in einem Callcenter ein . Dieses Beispiel wurde von A. K. Erlang (1878–1929) beschrieben, ^{[ 64 ]}
• Tore in Sportarten mit zwei konkurrierenden Mannschaften, ^{[ 65 ]}
• Todesfälle pro Jahr in einer bestimmten Altersgruppe, ^{[ 66 ]}
• Sprünge im Aktienkurs innerhalb eines bestimmten Zeitintervalls
• Anzahl der Zugriffe auf einen Webserver pro Minute (unter der Annahme der Homogenität ).
• Mutationen in einem bestimmten DNA- Abschnitt nach einer bestimmten Strahlendosis,
• Zellen, die bei einer bestimmten Infektionsmultiplizität infiziert sind ,
• Bakterien in einer bestimmten Menge Flüssigkeit, ^{[ 67 ]}
• Photonen, die bei einer bestimmten Beleuchtungsstärke über einen bestimmten Zeitraum auf einen Pixelschaltkreis treffen, ^{[ 68 ].}
• Die Landung von V-1-Flugbomben auf London während des Zweiten Weltkriegs wurde 1946 von RD Clarke untersucht. ^{[ 69 ]}

In der probabilistischen Zahlentheorie zeigte Gallagher 1976 , dass, falls eine bestimmte Version der unbewiesenen Primzahl-r-Tupel-Vermutung gilt, ^{[ 70 ]} die Häufigkeiten von Primzahlen in kurzen Intervallen einer Poisson-Verteilung gehorchen würden. ^{[ 71 ]}

Die Häufigkeit eines Ereignisses hängt mit der Wahrscheinlichkeit zusammen, dass dieses Ereignis in einem kleinen Teilintervall (zeitlich, räumlich oder anderweitig) eintritt. Bei der Poisson-Verteilung geht man davon aus, dass es ein ausreichend kleines Teilintervall gibt, in dem die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis zweimal auftritt, vernachlässigbar gering ist. Unter dieser Annahme lässt sich die Poisson-Verteilung aus der Binomialverteilung ableiten, wenn lediglich die erwartete Anzahl aller Ereignisse im gesamten Intervall bekannt ist.

Die Gesamtzahl der Ereignisse im gesamten Intervall sei mit bezeichnet. Wir teilen das gesamte Intervall in gleich große Teilintervalle auf, sodass gilt (da wir uns nur für sehr kleine Abschnitte des Intervalls interessieren, ist diese Annahme sinnvoll). Dies bedeutet, dass die erwartete Anzahl der Ereignisse in jedem der n Teilintervalle gleich ist.${\displaystyle \lambda .}$${\displaystyle n}$${\displaystyle I_{1},\dots ,I_{n}}$${\displaystyle n>\lambda }$${\displaystyle \lambda /n.}$

Wir nehmen nun an, dass das Auftreten eines Ereignisses im gesamten Intervall als Folge von n Bernoulli-Versuchen betrachtet werden kann , wobei der -te Bernoulli-Versuch der Prüfung entspricht, ob ein Ereignis im Teilintervall mit der Wahrscheinlichkeit eintritt . Die erwartete Anzahl der Ereignisse in solchen Versuchen entspricht der erwarteten Anzahl der Ereignisse im gesamten Intervall. Somit haben wir für jede Unterteilung des Intervalls das Auftreten des Ereignisses als Bernoulli-Prozess der Form approximiert. Wie bereits erwähnt, betrachten wir nur sehr kleine Teilintervalle. Daher bilden wir den Grenzwert für gegen unendlich. ${\displaystyle i}$${\displaystyle I_{i}}$${\displaystyle \lambda /n.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lambda ,}$${\displaystyle {\textrm {B}}(n,\lambda /n).}$${\displaystyle n}$

In diesem Fall konvergiert die Binomialverteilung gemäß dem Poisson- Grenzsatz gegen die sogenannte Poisson -Verteilung .

In einigen der oben genannten Beispiele – wie etwa der Anzahl der Mutationen in einer gegebenen DNA-Sequenz – handelt es sich bei den gezählten Ereignissen tatsächlich um die Ergebnisse diskreter Versuche, die genauer durch die Binomialverteilung modelliert werden könnten . $${\displaystyle X\sim {\textrm {B}}(n,p).}$$

In solchen Fällen ist n sehr groß und p sehr klein (und der Erwartungswert np ist daher von mittlerer Größenordnung). Dann kann die Verteilung durch die weniger aufwendige Poisson-Verteilung angenähert werden. $${\displaystyle X\sim {\textrm {Pois}}(np).}$$

Diese Näherung wird manchmal als Gesetz der seltenen Ereignisse bezeichnet , ^{[ 72 ] : 5,} da jedes der n einzelnen Bernoulli-Ereignisse nur selten auftritt.

Die Bezeichnung „Gesetz der seltenen Ereignisse“ kann irreführend sein, da die Gesamtzahl der erfolgreichen Ereignisse in einem Poisson-Prozess nicht zwangsläufig selten sein muss, wenn der Parameter np nicht klein ist. Beispielsweise folgt die Anzahl der Anrufe bei einer stark frequentierten Telefonzentrale innerhalb einer Stunde einer Poisson-Verteilung. Die Ereignisse erscheinen dem Telefonisten häufig, sind aber aus Sicht des Durchschnittsbürgers selten, da dieser in dieser Stunde höchstwahrscheinlich keinen Anruf bei dieser Telefonzentrale tätigt.

Die Varianz der Binomialverteilung ist 1 − p -mal so groß wie die der Poisson-Verteilung, also nahezu gleich, wenn p sehr klein ist.

Der Begriff „Gesetz“ wird mitunter synonym zu „ Wahrscheinlichkeitsverteilung“ verwendet , und Konvergenz im Gesetz bedeutet Konvergenz in der Verteilung . Dementsprechend wird die Poisson-Verteilung manchmal auch als „Gesetz der kleinen Zahlen“ bezeichnet, da sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Häufigkeit eines Ereignisses beschreibt, das zwar selten auftritt, aber sehr viele Möglichkeiten hat, einzutreten. Das Buch „Das Gesetz der kleinen Zahlen“ von Ladislaus Bortkiewicz über die Poisson-Verteilung erschien 1898. ^{[ 12 ] [ 73 ]}

Die Poisson-Verteilung ergibt sich aus der Anzahl der Punkte eines Poisson-Punktprozesses in einem endlichen Gebiet. Genauer gesagt: Ist D ein Gebietsraum, beispielsweise der euklidische Raum ℝᵈ , für den | D | , die Fläche, das Volumen oder allgemeiner das Lebesgue-Maß des Gebiets, endlich ist, und ^bezeichnet N ( D ) die Anzahl der Punkte in D , dann

$${\displaystyle P(N(D)=k)={\frac {(\lambda |D|)^{k}e^{-\lambda |D|}}{k!}}.}$$

Poisson-Regression und negative Binomialregression sind nützlich für Analysen, bei denen die abhängige (Antwort-)Variable die Anzahl (0, 1, 2, ... ) der Ereignisse oder Vorkommen in einem Intervall ist.

Das Luria-Delbrück-Experiment überprüfte die Hypothese der Lamarckschen Evolution, die zu einer Poisson-Verteilung führen sollte.

Katz und Miledi maßen das Membranpotenzial mit und ohne Acetylcholin ( ACh). ^{[ 74 ]} In Gegenwart von ACh sind die Ionenkanäle der Membran zufällig und nur für einen kleinen Teil der Zeit geöffnet. Da eine große Anzahl von Ionenkanälen jeweils nur für einen kleinen Teil der Zeit geöffnet ist, ist die Gesamtzahl der gleichzeitig geöffneten Ionenkanäle Poisson-verteilt. Ohne ACh sind praktisch keine Ionenkanäle geöffnet. Das Membranpotenzial beträgt dann . Nach Abzug des Rauschens ermittelten Katz und Miledi einen Mittelwert und eine Varianz des Membranpotenzials von bzw. , woraus sich ergibt . (S. 94–95 ^{[ 75 ]} ) ${\displaystyle V=N_{\text{open}}V_{\text{ion}}+V_{0}+V_{\text{noise}}}$${\displaystyle 8.5\times 10^{-3}\;\mathrm {V} }$${\displaystyle (29.2\times 10^{-6}\;\mathrm {V} )^{2}}$${\displaystyle V_{\text{ion}}=10^{-7}\;\mathrm {V} }$

Bei jedem Replikationsvorgang einer Zelle ist die Anzahl der Mutationen annähernd Poisson-verteilt. ^{[ 76 ]} Das HIV-Virus beispielsweise hat 10.000 Basenpaare und eine Mutationsrate von etwa 1 pro 30.000 Basenpaaren, was bedeutet, dass die Anzahl der Mutationen pro Replikationsvorgang wie folgt verteilt ist : (S. 64 ^{[ 75 ]} ) ${\displaystyle \mathrm {Pois} (1/3)}$

Bei einem Poisson-Prozess schwankt die Anzahl der beobachteten Ereignisse um ihren Mittelwert λ mit einer Standardabweichung. Diese Schwankungen werden als Poisson-Rauschen oder (insbesondere in der Elektronik) als Schrotrauschen bezeichnet . ${\displaystyle \sigma _{k}={\sqrt {\lambda }}.}$

Die Korrelation zwischen Mittelwert und Standardabweichung beim Zählen unabhängiger diskreter Ereignisse ist wissenschaftlich nützlich. Durch die Beobachtung, wie die Schwankungen mit dem mittleren Signal variieren, lässt sich der Beitrag eines einzelnen Ereignisses abschätzen, selbst wenn dieser zu klein ist, um direkt detektiert zu werden . Beispielsweise kann die Ladung e eines Elektrons durch Korrelation der Stromstärke mit dem Schrotrauschen abgeschätzt werden . Passieren im Mittel N Elektronen in einer gegebenen Zeit t einen Punkt, so ist der mittlere Strom gegeben durch ; da die Stromschwankungen in der Größenordnung von (d. h. der Standardabweichung des Poisson-Prozesses ) liegen sollten, lässt sich die Ladung aus dem Verhältnis abschätzen.${\displaystyle I=eN/t}$${\displaystyle \sigma _{I}=e{\sqrt {N}}/t}$${\displaystyle e}$${\displaystyle t\sigma _{I}^{2}/I.}$

Ein alltägliches Beispiel ist die Körnigkeit, die beim Vergrößern von Fotos auftritt. Diese Körnigkeit entsteht durch Poisson-Schwankungen in der Anzahl der reduzierten Silberkörner , nicht durch die einzelnen Körner selbst. Durch die Korrelation der Körnigkeit mit dem Vergrößerungsgrad lässt sich der Beitrag eines einzelnen Korns abschätzen (das sonst zu klein wäre, um ohne Hilfsmittel sichtbar zu sein).

In der kausalen Mengenlehre folgen die diskreten Elemente der Raumzeit einer Poisson-Verteilung im Volumen.

Die Poisson-Verteilung tritt auch in der Quantenmechanik , insbesondere in der Quantenoptik , auf . Genauer gesagt, besitzt die Wahrscheinlichkeit, ein bestimmtes Energieniveau in einem quantenmechanischen harmonischen Oszillatorsystem im kohärenten Zustand zu messen, eine Poisson-Verteilung.

Die Poisson-Verteilung stellt spezielle Softwarebibliotheken vor zwei unterschiedliche Aufgaben: die Auswertung der Verteilung und das Ziehen von Zufallszahlen gemäß dieser Verteilung. ${\displaystyle P(k;\lambda )}$

Die Berechnung von λ für gegebene Werte von λ ist eine triviale Aufgabe, die sich mithilfe der Standarddefinition von λ mithilfe von Exponential-, Potenz- und Fakultätsfunktionen lösen lässt. Die herkömmliche Definition der Poisson-Verteilung enthält jedoch zwei Terme, die auf Computern leicht zu einem Überlauf führen können: λ ^_k und k !. Das Verhältnis von λ ^_k zu k ! kann zudem einen im Vergleich zu e ^{^-λ} sehr großen Rundungsfehler verursachen und somit ein fehlerhaftes Ergebnis liefern. Aus Gründen der numerischen Stabilität sollte die Poisson-Wahrscheinlichkeitsfunktion daher als e^-λ berechnet werden, was mathematisch äquivalent, aber numerisch stabil ist. Der natürliche Logarithmus der Gammafunktion kann mit der Funktion `log(λ)` aus der C- Standardbibliothek (Version C99) oder R , der Funktion `log(λ)` in MATLAB oder SciPy oder der Funktion `log(λ)` in Fortran 2008 und späteren Versionen berechnet werden  . ${\displaystyle P(k;\lambda )}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle P(k;\lambda )}$$${\displaystyle \!f(k;\lambda )=\exp \left[k\ln \lambda -\lambda -\ln \Gamma (k+1)\right],}$$lgammagammalnlog_gamma

Einige Programmiersprachen bieten eingebaute Funktionen zur Auswertung der Poisson-Verteilung, nämlich

• R : Funktion dpois(x, lambda);
• Excel : Funktion POISSON( x, mean, cumulative)mit einem Flag zur Angabe der kumulativen Verteilung;
• Mathematica : univariate Poisson-Verteilung als , ^{[ 77 ]} bivariate Poisson-Verteilung als ,. ^{[ 78 ]}PoissonDistribution[${\displaystyle \lambda }$]MultivariatePoissonDistribution[${\displaystyle \theta _{12},}${ ${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{12},}$${\displaystyle \theta _{2}-\theta _{12}}$}]

Die weniger triviale Aufgabe besteht darin, eine ganzzahlige Zufallsvariable aus der Poisson-Verteilung mit gegebenen Werten zu ziehen.${\displaystyle \lambda .}$

Lösungen werden bereitgestellt von:

• R : Funktion rpois(n, lambda);
• GNU Scientific Library (GSL): Funktion gsl_ran_poisson

Ein einfacher Algorithmus zur Erzeugung von zufälligen Poisson-verteilten Zahlen ( Pseudozufallszahlengenerierung ) wurde von Knuth angegeben : ^{[ 79 ] : 137-138}

Algorithmus Poisson-Zufallszahl (Knuth) : Initialisierung : Sei L ← e − λ , k ← 0 und p ← 1. Führe aus : k ← k + 1. Erzeuge eine gleichverteilte Zufallszahl u im Intervall [0,1] und setze p ← p × u. Solange p > L, gib k − 1 zurück. 

Die Komplexität ist linear im Rückgabewert k , der im Mittel λ beträgt . Es gibt viele weitere Algorithmen zur Verbesserung dieser Komplexität. Einige davon sind in Ahrens & Dieter beschrieben (siehe Abschnitt „Literatur“ ).

Für große Werte von λ kann der Wert von L = e ^{− λ} so klein sein, dass er schwer darstellbar ist. Dies lässt sich durch eine Änderung des Algorithmus beheben, der einen zusätzlichen Parameter STEP verwendet, sodass e ^{− STEP} keinen Unterlauf verursacht.

Poisson-Zufallszahlen -Algorithmus (Junhao, basierend auf Knuth) : Initialisierung : Sei λ <sub>Links</sub> ← λ <sub> k</sub>, k ← 0 und p ← 1. Führe Folgendes aus : k ← k + 1. Erzeuge eine gleichverteilte Zufallszahl u im Intervall (0,1) und setze p ← p × u. Solange p < 1 und λ <sub>Links</sub> > 0: Falls λ <sub>Links</sub> > STEP: p ← p × e SCHRITT λ Links ← λ Links − SCHRITT sonst : p ← p × e λ Links λ Links ← 0 solange p > 1. gib k − 1 zurück .

Die Wahl des Schrittweite-Werts (STEP) hängt von der Überlaufschwelle ab. Bei Gleitkommazahlen doppelter Genauigkeit liegt die Schwelle nahe e ⁷⁰⁰ , daher sollte 500 ein sicherer Schrittweite-Wert sein .

Weitere Lösungsansätze für große Werte von λ sind beispielsweise Ablehnungsstichproben und die Verwendung einer Gaußschen Approximation.

Die inverse Transformationsstichprobe ist für kleine Werte von λ einfach und effizient und benötigt nur eine gleichverteilte Zufallszahl u pro Stichprobe. Die kumulativen Wahrscheinlichkeiten werden der Reihe nach untersucht, bis eine den Wert u überschreitet .