Modulare Kurve

In der Zahlentheorie und algebraischen Geometrie ist eine Modulkurve Y (Γ) eine Riemannsche Fläche oder die entsprechende algebraische Kurve , die als Quotient der komplexen oberen Halbebene H durch die Wirkung einer Kongruenzuntergruppe Γ der Modulgruppe der ganzzahligen 2×2-Matrizen SL(2,  Z ) konstruiert wird. Der Begriff Modulkurve kann auch für die kompaktifizierten Modulkurven X (Γ) verwendet werden, die Kompaktifizierungen sind , die durch Hinzufügen endlich vieler Punkte (der sogenannten Spitzen von Γ ) zu diesem Quotienten (mittels einer Wirkung auf die erweiterte komplexe obere Halbebene ) entstehen. Die Punkte einer Modulkurve parametrisieren Isomorphieklassen elliptischer Kurven , zusammen mit einer zusätzlichen, von der Gruppe Γ abhängigen Struktur. Diese Interpretation erlaubt es, modulare Kurven rein algebraisch zu definieren, ohne auf komplexe Zahlen Bezug zu nehmen , und darüber hinaus zu beweisen, dass modulare Kurven entweder über dem Körper der rationalen Zahlen Q oder einem Kreisteilungskörper Q (ζ n ) definiert sind . Letztere Tatsache und ihre Verallgemeinerungen sind von fundamentaler Bedeutung für die Zahlentheorie.

Die Modulgruppe SL(2,  Z ) operiert auf der oberen Halbebene mittels fraktionaler linearer Transformationen . Die analytische Definition einer Modulkurve beinhaltet die Wahl einer Kongruenzuntergruppe Γ von SL(2,  Z ), d. h. einer Untergruppe, die die Hauptkongruenzuntergruppe vom Niveau N für eine positive ganze Zahl N enthält , welche wie folgt definiert ist:

${\displaystyle \Gamma (N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}:\ a\equiv d\equiv 1\mod N{\text{ und }}b,c\equiv 0\mod N\right\}.}$

Das kleinste solche N wird als Niveau von Γ bezeichnet. Auf dem Quotienten Γ\ H kann eine komplexe Struktur angelegt werden , um eine nichtkompakte Riemannsche Fläche zu erhalten, die als Modulkurve bezeichnet und üblicherweise mit Y (Γ) notiert wird.

Eine gängige Kompaktifizierung von Y (Γ) erhält man durch Hinzufügen endlich vieler Punkte, die als Spitzen von Γ bezeichnet werden. Genauer gesagt geschieht dies durch Betrachtung der Wirkung von Γ auf der erweiterten komplexen oberen Halbebene H * =  H ∪ Q ∪ {∞ }. Wir führen eine Topologie auf H * ein, indem wir als Basis wählen:

• jede offene Teilmenge von H ,
• für alle r > 0, die Menge${\displaystyle \{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Im}}(\tau )>r\}}$
• Für alle teilerfremden ganzen Zahlen a , c und alle r > 0 ist das Bild von unter der Wirkung von${\displaystyle \{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Im}}(\tau )>r\}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-m\\c&n\end{pmatrix}}}$

wobei m und n ganze Zahlen sind, sodass an + cm = 1.

Dies macht H * zu einem topologischen Raum ^, der eine Teilmenge der Riemannschen Sphäre P₁ ( C ) ist. Die Gruppe Γ operiert auf der Teilmenge Q ∪ {∞ } und zerlegt sie in endlich viele Bahnen, die als Spitzen von Γ bezeichnet werden . Operiert Γ transitiv auf Q ∪ {∞ }, so wird der Raum Γ\ H * zur Alexandroff-Kompaktifizierung von Γ\ H . Erneut lässt sich eine komplexe Struktur auf den Quotienten Γ\ H * legen, wodurch dieser zu einer Riemannschen Fläche X (Γ) wird, die nun kompakt ist . Dieser Raum ist eine Kompaktifizierung von Y (Γ). ^{[ 1 ]}

Die häufigsten Beispiele sind die Kurven X ( N ), X ₀ ( N ) und X ₁ ( N ), die mit den Untergruppen Γ( N ), Γ ₀ ( N ) und Γ ₁ ( N ) assoziiert sind.

Die Modulkurve X (5) hat Geschlecht 0: Sie ist die Riemannsche Sphäre mit 12 Spitzen an den Eckpunkten eines regulären Ikosaeders . Die Überlagerung X (5) → X (1) wird durch die Operation der Ikosaedergruppe auf der Riemannschen Sphäre realisiert. Diese Gruppe ist eine einfache Gruppe der Ordnung 60, isomorph zu _A₅ und PSL(2, 5).

Die modulare Kurve X (7) ist die Kleinsche Quartik vom Geschlecht 3 mit 24 Spitzen. Sie lässt sich als Fläche mit drei Henkeln interpretieren, die mit 24 Siebenecken geparkt ist, wobei sich in der Mitte jeder Fläche eine Spitze befindet. Diese Parkettierungen können mithilfe von Kinderzeichnungen und Belyi-Funktionen verstanden werden – die Spitzen sind die Punkte über ∞ (rote Punkte), während die Eckpunkte und Mittelpunkte der Kanten (schwarze und weiße Punkte) die Punkte über 0 und 1 sind. Die Galoisgruppe der Überlagerung X (7) →  X (1) ist eine einfache Gruppe der Ordnung 168, die isomorph zu PSL(2, 7) ist .

Es gibt ein explizites klassisches Modell für X _₀ ( N ), die klassische Modulkurve ; diese wird manchmal einfach als Modulkurve bezeichnet . Die Definition von Γ( N ) lässt sich wie folgt umformulieren: Sie ist die Untergruppe der Modulgruppe, die den Kern der Reduktion modulo N bildet . Dann ist Γ _₀( N ) die größere Untergruppe der Matrizen, die modulo N obere Dreiecksmatrizen sind .

${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ c\equiv 0\mod N\right\},}$

und Γ ₁ ( N ) ist die Zwischengruppe, die wie folgt definiert ist:

${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ a\equiv d\equiv 1\mod N,c\equiv 0\mod N\right\}.}$

Diese Kurven lassen sich direkt als Modulräume für elliptische Kurven mit Niveaustruktur interpretieren und spielen daher eine wichtige Rolle in der arithmetischen Geometrie . Die Modulkurve X ( N ) vom Niveau N ist der Modulraum für elliptische Kurven mit einer Basis für die N - Torsion . Für X₀ ₍ N ) und X₁ ( N ) ist die Niveaustruktur jeweils eine zyklische Untergruppe der Ordnung N bzw. ein Punkt der Ordnung N. Diese Kurven wurden eingehend untersucht, und insbesondere ist bekannt, dass X₀ ₍ N ) über Q definiert _werden kann .

Die Gleichungen, die Modulkurven definieren, sind die bekanntesten Beispiele für Modulgleichungen . Die „besten Modelle“ können sich stark von denen unterscheiden, die direkt aus der Theorie elliptischer Funktionen stammen . Hecke-Operatoren lassen sich geometrisch als Korrespondenzen untersuchen, die Paare von Modulkurven verbinden.

Kompakte Quotienten von H gibt es auch für Fuchssche Gruppen Γ, die keine Untergruppen der Modulgruppe sind; eine Klasse von ihnen, die aus Quaternionenalgebren konstruiert ist , ist auch in der Zahlentheorie von Interesse.

Die Überdeckung X ( N ) → X (1) ist eine Galois-Überdeckung mit der Galois-Gruppe SL(2, N )/{1, −1}, die gleich PSL(2,  N ) ist, falls N eine Primzahl ist. Mithilfe der Riemann-Hurwitz-Formel und des Satzes von Gauß-Bonnet lässt sich das Geschlecht von X ( N ) berechnen. Für ein Primzahlniveau p ≥ 5 gilt:

${\displaystyle -\pi \chi (X(p))=|G|\cdot D,}$

wobei χ = 2 − 2 g die Euler-Charakteristik ist , | G | = ( p +1) p ( p −1)/2 die Ordnung der Gruppe PSL(2, p ) ist und D = π − π/2 − π/3 − π/ p der Winkeldefekt des sphärischen Dreiecks (2,3, p ) ist . Daraus ergibt sich die Formel

${\displaystyle g={\tfrac {1}{24}}(p+2)(p-3)(p-5).}$

Somit hat X (5) das Geschlecht 0, X (7) das Geschlecht 3 und X (11) das Geschlecht 26. Für p = 2 oder 3 muss zusätzlich die Verzweigung berücksichtigt werden, d. h. das Vorhandensein von Elementen der Ordnung p in PSL(2, Z ) und die Tatsache, dass PSL(2, 2) die Ordnung 6 statt 3 hat. Es gibt eine kompliziertere Formel für das Geschlecht der Modulkurve X ( N ) einer beliebigen Stufe N , die Teiler von N enthält .

Im Allgemeinen ist ein modularer Funktionenkörper ein Funktionenkörper einer modularen Kurve (oder gelegentlich eines anderen Modulraums , der sich als irreduzible Varietät erweist ). Geschlecht Null bedeutet, dass ein solcher Funktionenkörper genau eine transzendente Funktion als Generator besitzt: Beispielsweise erzeugt die j-Funktion den Funktionenkörper von X (1) = PSL(2, Z )\ H *. Die traditionelle Bezeichnung für einen solchen Generator, der bis auf eine Möbius-Transformation eindeutig ist und geeignet normiert werden kann, ist Hauptmodul ( Plural : Hauptmoduln ) .

Die Räume X₁ ( n ₎ haben Geschlecht Null für n  = 1, ..., 10 und n = 12. Da jede dieser Kurven über Q definiert ist und einen Q -rationalen Punkt besitzt, existieren unendlich viele rationale Punkte auf jeder dieser Kurven und somit unendlich viele elliptische Kurven über Q mit n -Torsion für diese Werte von n . Die Umkehrung, dass nur diese Werte von n auftreten können, ist der Torsionssatz von Mazur .

Die Modulkurven sind genau dann vom Geschlecht eins, wenn der Wert von einem der zwölf in der folgenden Tabelle aufgeführten Werte entspricht. ^{[ 2 ]} Als elliptische Kurven über besitzen sie minimale, ganzzahlige Weierstrass-Modelle . Dies bedeutet, dass der Absolutbetrag der Diskriminante unter allen ganzzahligen Weierstrass-Modellen für dieselbe Kurve minimal ist. Die folgende Tabelle enthält die eindeutigen reduzierten , minimalen, ganzzahligen Weierstrass-Modelle , was bedeutet, dass und . ^{[ 3 ]} Die letzte Spalte dieser Tabelle verweist auf die Homepage der jeweiligen elliptischen Modulkurve in der Datenbank für L-Funktionen und Modulformen (LMFDB) . ${\displaystyle \textstyle X_{0}(N)}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}$${\displaystyle \textstyle a_{j}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \textstyle a_{1},a_{3}\in \{0,1\}}$${\displaystyle \textstyle a_{2}\in \{-1,0,1\}}$${\displaystyle \textstyle X_{0}(N)}$

${\displaystyle X_{0}(N)}$der Gattung 1

${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}$
${\displaystyle N}$	${\displaystyle [a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{6}]}$	${\displaystyle \Delta }$	LMFDB
11	[0, -1, 1, -10, -20]	${\displaystyle \textstyle -11^{5}}$	Link
14	[1, 0, 1, 4, -6]	${\displaystyle \textstyle -2^{6}\cdot 7^{3}}$	Link
15	[1, 1, 1, -10, -10]	${\displaystyle \textstyle 3^{4}\cdot 5^{4}}$	Link
17	[1, -1, 1, -1, -14]	${\displaystyle \textstyle -17^{4}}$	Link
19	[0, 1, 1, -9, -15]	${\displaystyle \textstyle -19^{3}}$	Link
20	[0, 1, 0, 4, 4]	${\displaystyle \textstyle -2^{8}\cdot 5^{2}}$	Link
21	[1, 0, 0, -4, -1]	${\displaystyle \textstyle 3^{4}\cdot 7^{2}}$	Link
24	[0, -1, 0, -4, 4]	${\displaystyle \textstyle 2^{8}\cdot 3^{2}}$	Link
27	[0, 0, 1, 0, -7]	${\displaystyle \textstyle -3^{9}}$	Link
32	[0, 0, 0, 4, 0]	${\displaystyle \textstyle -2^{12}}$	Link
36	[0, 0, 0, 0, 1]	${\displaystyle \textstyle -2^{4}\cdot 3^{3}}$	Link
49	[1, -1, 0, -2, -1]	${\displaystyle \textstyle -7^{3}}$	Link

Modulare Kurven vom Geschlecht 0, die recht selten sind, erwiesen sich im Zusammenhang mit den monströsen Mondscheinvermutungen als äußerst wichtig . Die ersten Koeffizienten der q -Entwicklungen ihrer Hauptmoduln wurden bereits im 19. Jahrhundert berechnet, doch es war eine große Überraschung, dass dieselben großen ganzen Zahlen als Dimensionen von Darstellungen der größten sporadischen einfachen Gruppe Monster auftraten.

Eine weitere Verbindung besteht darin, dass die Modulkurve, die dem Normalisator Γ₀(p)⁺ von Γ₀(p) in SL(2,ℝ) entspricht, _genau dann Geschlecht Null hat , ^wenn p gleich 2 _, 3 , 5 , 7 , 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 oder 71 ist. Diese Zahlen sind in der Theorie des „Mondscheins“ genau die supersingulären Primzahlen , d. h. die Primfaktoren der Ordnung der Monstergruppe . Das Ergebnis über Γ₀ ₍ p ) ⁺ ^stammt von Jean-Pierre Serre , Andrew Ogg und John G. Thompson aus den 1970er Jahren. Die darauf folgende Beobachtung, die es mit der Monstergruppe in Verbindung bringt, geht auf Ogg zurück, der in einer Arbeit eine Flasche Jack Daniel’s Whiskey für die Erklärung dieses Sachverhalts auslobte. Dies war der Ausgangspunkt für die Theorie des „Mondscheins“. ^{[ 4 ]}

Die Beziehung reicht sehr tief und betrifft, wie Richard Borcherds gezeigt hat , auch verallgemeinerte Kac-Moody-Algebren . Arbeiten auf diesem Gebiet unterstrichen die Bedeutung von Modulfunktionen , die meromorph sind und Pole an den Spitzen aufweisen können, im Gegensatz zu Modulformen , die überall holomorph sind, einschließlich der Spitzen, und die den größten Teil des 20. Jahrhunderts Gegenstand der Forschung waren.

• Satz von Manin-Drinfeld
• Modulstapel elliptischer Kurven
• Modularitätssatz
• Shimura-Varietät , eine Verallgemeinerung modularer Kurven auf höhere Dimensionen

• Steven D. Galbraith – Gleichungen für modulare Kurven