Modularitätssatz

In der Zahlentheorie besagt der Modularitätssatz , dass elliptische Kurven über dem Körper der rationalen Zahlen in einer bestimmten Weise mit Modulformen zusammenhängen . Andrew Wiles und Richard Taylor bewiesen den Modularitätssatz für semistabile elliptische Kurven , woraus sich der letzte Fermatsche Satz (FLT) ableiten ließ. Später erweiterten Wiles’ ehemalige Studenten Brian Conrad , Fred Diamond und Richard Taylor in einer Reihe von Arbeiten, die in einer gemeinsamen Veröffentlichung mit Christophe Breuil gipfelten, Wiles’ Techniken und ermöglichten so den vollständigen Beweis des Modularitätssatzes im Jahr 2001. Zuvor war diese Aussage als Taniyama-Shimura-Vermutung , Taniyama-Shimura-Weil-Vermutung oder Modularitätsvermutung für elliptische Kurven bekannt .

Der Satz besagt, dass jede elliptische Kurve über einem _ℝ² mittels einer rationalen Abbildung mit ganzzahligen Koeffizienten aus der klassischen modularen Kurve X₀ ( N ) für eine ganze Zahl N gewonnen werden kann ; dies ist eine Kurve mit ganzzahligen Koeffizienten mit einer expliziten Definition. Diese Abbildung wird als modulare Parametrisierung vom Niveau N bezeichnet . Ist N die kleinste ganze Zahl, für die eine solche Parametrisierung gefunden werden kann (was nach dem Modularitätssatz selbst als die sogenannte Leiterzahl bekannt ist ) , so kann die Parametrisierung durch eine Abbildung definiert werden, die von einer bestimmten Art modularer Form vom Gewicht zwei und Niveau N erzeugt wird , einer normierten neuen Form mit ganzzahliger q -Entwicklung, gegebenenfalls gefolgt von einer Isogenie . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Der Modularitätssatz impliziert eine eng damit verbundene analytische Aussage:

Zu jeder elliptischen Kurve E über kann man eine entsprechende L -Reihe anhängen . Die L -Reihe ist eine Dirichlet-Reihe , die üblicherweise geschrieben wird ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle L(E,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$

Die erzeugende Funktion der Koeffizienten a _n ist dann

${\displaystyle f(E,q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}q^{n}.}$

Wenn wir die Substitution vornehmen

${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$

Wir sehen, dass wir die Fourier-Entwicklung einer Funktion f ( E , τ ) der komplexen Variablen τ aufgestellt haben ; daher können die Koeffizienten der q -Reihe auch als Fourier-Koeffizienten von f betrachtet werden . Die so erhaltene Funktion ist bemerkenswerterweise eine Spitzenform vom Gewicht zwei und Niveau N und zudem eine Eigenform (ein Eigenvektor aller Hecke-Operatoren ); dies ist die Hasse-Weil-Vermutung , die aus dem Modularitätssatz folgt.

Manche Modulformen vom Gewicht zwei entsprechen wiederum holomorphen Differentialen einer elliptischen Kurve. Die Jacobi-Matrix der Modulkurve lässt sich (bis auf Isogenie) als Produkt irreduzibler abelscher Varietäten darstellen , die Hecke-Eigenformen vom Gewicht zwei entsprechen. Die eindimensionalen Faktoren sind elliptische Kurven (es können auch höherdimensionale Faktoren existieren, daher entsprechen nicht alle Hecke-Eigenformen rationalen elliptischen Kurven). Die Kurve, die durch Bestimmung der zugehörigen Spitzenform und anschließende Konstruktion einer Kurve daraus entsteht, ist isogen zur ursprünglichen Kurve (aber im Allgemeinen nicht isomorph).

Yutaka Taniyama ^{[ 1 ]} stellte 1955 auf dem internationalen Symposium über algebraische Zahlentheorie in Tokio und Nikkō eine vorläufige (leicht fehlerhafte) Version der Vermutung als zwölftes seiner 36 ungelösten Probleme vor . Goro Shimura und Taniyama arbeiteten bis 1957 an der Verbesserung ihrer Strenge. André Weil ^{[ 2 ]} entdeckte die Vermutung wieder und zeigte 1967, dass sie aus den (vermuteten) Funktionalgleichungen für bestimmte verdrillte L -Reihen der elliptischen Kurve folgen würde; dies war der erste ernsthafte Hinweis darauf, dass die Vermutung zutreffen könnte. Weil zeigte auch, dass der Führer der elliptischen Kurve das Niveau der entsprechenden Modulform sein sollte. Die Taniyama-Shimura-Weil-Vermutung wurde Teil des Langlands-Programms . ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Die Vermutung erregte großes Interesse, als Gerhard Frey ^{[ 5 ]} 1986 vorschlug, dass sie den FLT impliziere . Er versuchte zu zeigen, dass jedes Gegenbeispiel zum FLT die Existenz mindestens einer nichtmodularen elliptischen Kurve implizieren würde. Dieser Beweis rückte 1987 näher an sein Ziel heran, als Jean-Pierre Serre ^{[ 6 ]} eine fehlende Verbindung (heute bekannt als die Epsilon-Vermutung oder Satz von Ribet) in Freys ursprünglicher Arbeit identifizierte. Zwei Jahre später vollendete Ken Ribet den Beweis der Epsilon-Vermutung. ^{[ 7 ]}

Selbst nachdem die Taniyama-Shimura-Weil-Vermutung ernsthafte Beachtung gefunden hatte, galt sie unter zeitgenössischen Mathematikern als außerordentlich schwer zu beweisen oder gar unmöglich zu beweisen. ^{[ 8 ]} So erklärte beispielsweise Wiles' Doktorvater John Coates, dass sie „tatsächlich unmöglich zu beweisen“ schien, und Ken Ribet zählte sich selbst zu der großen Mehrheit, die sie für völlig unzugänglich hielt.

Mit Ribets Beweis der Epsilon-Vermutung erkannte Andrew Wiles eine Chance: Fermats letzter Satz war nun ein respektables Forschungsprojekt, da er eine Folgerung aus der TSW-Vermutung darstellte. Er besaß Expertise in der Iwasawa-Theorie ; vielleicht gab es einen Weg von der Iwasawa-Theorie zur Taniyama-Shimura-Weil-Theorie.

1995 bewies Andrew Wiles, mit Unterstützung von Richard Taylor , die Taniyama-Shimura-Weil-Vermutung für alle semistabilen elliptischen Kurven . Wiles nutzte diese Vermutung zum Beweis des FLT ^{[ 9 ]} , und die vollständige Taniyama-Shimura-Weil-Vermutung wurde schließlich von Diamond ^{[ 10 ]} , Conrad, Diamond & Taylor sowie Breuil, Conrad, Diamond & Taylor bewiesen. Aufbauend auf Wiles' Arbeit untersuchten sie schrittweise die verbleibenden Fälle, bis das vollständige Ergebnis 1999 bewiesen war ^{[ 11 ] [ 12 ].} Nach dem vollständigen Beweis wurde die Vermutung als Modularitätssatz bekannt.

Aus dem Modularitätssatz lassen sich mehrere dem FLT ähnliche Sätze der Zahlentheorie ableiten. Zum Beispiel: Kein Kubus lässt sich als Summe zweier teilerfremder n- ter Potenzen darstellen, n ≥ 3. ^{[ a ]}

Im Jahr 2025 wurde die Modularität von Boxer, Calegari, Gee und Pilloni auf über 10 % der abelschen Flächen ausgedehnt . ^{[ 13 ] [ 14 ]}

Der Modularitätssatz ist ein Spezialfall allgemeinerer Vermutungen von Robert Langlands . Das Langlands-Programm zielt darauf ab, allgemeineren Objekten der arithmetisch-algebraischen Geometrie , wie beispielsweise jeder elliptischen Kurve über einem Zahlkörper , eine automorphe Form oder automorphe Darstellung (eine geeignete Verallgemeinerung einer Modulform) zuzuordnen . Die meisten Fälle dieser erweiterten Vermutungen sind noch nicht bewiesen.

Im Jahr 2013 bewiesen Freitas, Le Hung und Siksek, dass elliptische Kurven, die über reellen quadratischen Körpern definiert sind , modular sind. ^{[ 15 ]}

Beispielsweise ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]} ist die elliptische Kurve y ² + y = x ³ − x , mit Diskriminante (und Leiter) 37, mit der Form assoziiert.

${\displaystyle f(z)=q-2q^{2}-3q^{3}+2q^{4}-2q^{5}+6q^{6}+\cdots ,\qquad q=e^{2\pi iz}}$

Für Primzahlen l ungleich 37 lässt sich die Eigenschaft bezüglich der Koeffizienten überprüfen. So gibt es für l = 3 sechs Lösungen der Gleichung modulo 3: (0, 0) , (0, 1) , (1, 0) , (1, 1) , (2, 0) , (2, 1) ; daher ist a (3) = 3 − 6 = −3 .

Die Vermutung, die bis in die 1950er Jahre zurückreicht, wurde 1999 mithilfe der Ideen von Andrew Wiles vollständig bewiesen , der sie 1994 für eine große Familie elliptischer Kurven bewies. ^{[ 19 ]}

Es existieren mehrere Formulierungen der Vermutung. Der Nachweis ihrer Äquivalenz war eine zentrale Herausforderung der Zahlentheorie in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts. Die Modularität einer elliptischen Kurve E mit Führer N lässt sich auch dadurch ausdrücken, dass eine nichtkonstante rationale Abbildung über ℚ von der Modulkurve X _₀ ( N ) nach E definiert ist . Insbesondere können die Punkte von E durch Modulfunktionen parametrisiert werden .

Eine modulare Parametrisierung der Kurve y ² − y = x ³ − x ist beispielsweise gegeben durch ^{[ 20 ].}

${\displaystyle {\begin{aligned}x(z)&=q^{-2}+2q^{-1}+5+9q+18q^{2}+29q^{3}+51q^{4}+\cdots \\y(z)&=q^{-3}+3q^{-2}+9q^{-1}+21+46q+92q^{2}+180q^{3}+\cdots \end{aligned}}}$

wobei, wie oben, q = e²πiz ^gilt . Die Funktionen x ( z ) und y ( z ) sind modular vom Gewicht 0 und vom Niveau 37; mit anderen Worten, sie sind meromorph , auf der oberen Halbebene definiert ^, Im( z ) > 0 , und erfüllen die Bedingung

${\displaystyle x\!\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=x(z)}$

und ebenso für y ( z ) , für alle ganzen Zahlen a , b , c , d mit ad − bc = 1 und 37 | c .

Eine andere Formulierung beruht auf dem Vergleich von Galois-Darstellungen, die einerseits elliptischen Kurven und andererseits Modulformen zugeordnet sind. Letztere Formulierung wurde im Beweis der Vermutung verwendet. Die Behandlung des Niveaus der Formen (und der Verbindung zum Kurvenführer) ist besonders heikel.

Die spektakulärste Anwendung der Vermutung ist der Beweis des Fermatschen Satzes. Angenommen, für eine Primzahl p ≥ 5 gilt die Fermat-Gleichung

${\displaystyle a^{p}+b^{p}=c^{p}}$

besitzt eine Lösung mit von Null verschiedenen ganzen Zahlen und ist somit ein Gegenbeispiel zum FLT. Wie Yves Hellegouarch als Erster bemerkte ^{[ 21 ]} , ist die elliptische Kurve

${\displaystyle y^{2}=x(x-a^{p})(x+b^{p})}$

des Diskriminanten

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{256}}(abc)^{2p}}$

Sie können nicht modular sein. ^{[ 7 ]} Daher impliziert der Beweis der Taniyama-Shimura-Weil-Vermutung für diese Familie elliptischer Kurven (genannt Hellegouarch-Frey-Kurven) den FLT. Der Beweis des Zusammenhangs zwischen diesen beiden Aussagen, basierend auf einer Idee von Gerhard Frey (1985), ist schwierig und technisch. Er wurde 1987 von Kenneth Ribet erbracht. ^{[ 22 ]}

• Darmon, H. (2001) [1994], „Shimura-Taniyama-Vermutung“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Weisstein, Eric W. „Taniyama–Shimura-Vermutung“ . MathWorld .