Facettierung

In der Geometrie bezeichnet Facettieren ( auch Facettieren geschrieben ) den Vorgang, Teile eines Polygons , Polyeders oder Polytops zu entfernen , ohne dabei neue Eckpunkte zu erzeugen .

Neue Kanten eines facettierten Polyeders können entlang der Flächendiagonalen oder der Raumdiagonalen entstehen . Ein facettiertes Polyeder besitzt zwei Flächen an jeder Kante und erzeugt neue Polyeder oder Polyederverbindungen.

Facettierung ist der reziproke oder duale Prozess zur Sternbildung . ^{[ 1 ]} Zu jeder Sternbildung eines konvexen Polytops existiert eine duale Facettierung des dualen Polytops .

Ein regelmäßiges Fünfeck hat beispielsweise eine Symmetriefläche, das Pentagramm , und das regelmäßige Sechseck hat zwei Symmetrieflächen, eine als Polygon und eine als Zusammensetzung aus zwei Dreiecken.

Pentagon	Hexagon		Zehneck
Pentagramm {5/2}	Sternsechseck	Verbindung 2{3}	Dekagramm {10/3}	Verbindung 2{5}	Verbindung 2{5/2}	Stern-Dekagon

Das reguläre Ikosaeder lässt sich in drei reguläre Kepler-Poinsot-Polyeder zerlegen : das kleine Sterndodekaeder, das große Dodekaeder und das große Ikosaeder. Sie alle besitzen 30 Kanten.

Konvex	Normale Stars
Ikosaeder	großes Dodekaeder	kleines Sterndodekaeder	großes Ikosaeder

Das reguläre Dodekaeder lässt sich in ein reguläres Kepler-Poinsot-Polyeder , drei gleichförmige Sternpolyeder und drei reguläre Polyederverbindungen zerlegen . Die gleichförmigen Sterne und die Verbindung aus fünf Würfeln werden über Flächendiagonalen konstruiert . Das ausgegrabene Dodekaeder ist eine Zerlegung mit sechseckigen Sternflächen.

Konvex	Normaler Stern	Einheitliche Sterne			Vertex-transitiv
Dodekaeder	großes Sterndodekaeder	Kleines ditrigonales Ikosi-Dodekaeder	Ditrigonales Dodeka-Dodekaeder	Großes ditrigonales Ikosi-Dodekaeder	Ausgegrabenes Dodekaeder

Konvex	Regelmäßige Verbindungen
Dodekaeder	fünf Tetraeder	fünf Würfel	zehn Tetraeder

Die Stella octangula ist die einzige Facette des Würfels, und das Tetraeder hat keine Facetten.

Facettierungen des Ikosaeders (die die Form eines großen Dodekaeders ergeben ) und des Pentakis-Dodekaeders in Jamnitzers Buch

Die Facettierung wurde nicht so umfassend untersucht wie die Sternbildung .

• Im Jahr 1568 veröffentlichte Wenzel Jamnitzer sein Buch Perspectiva Corporum Regularium , in dem er zahlreiche Sternbilder und Facetten von Polyedern darstellte. ^{[ 2 ]}
• Im Jahr 1619 beschrieb Kepler eine regelmäßige Verbindung aus zwei Tetraedern , die in einen Würfel passt, und die er Stella octangula nannte .
• Im Jahr 1858 leitete Bertrand die regulären Sternpolyeder ( Kepler-Poinsot-Polyeder ) durch Facettierung des regulären konvexen Ikosaeders und Dodekaeders ab .
• Im Jahr 1974 zählte Bridge die einfacheren Facetten der regulären Polyeder auf, einschließlich derer des Dodekaeders .
• Im Jahr 2006 beschrieb Inchbald die grundlegende Theorie der Facettendiagramme für Polyeder. Für einen gegebenen Eckpunkt zeigt das Diagramm alle möglichen Kanten und Facetten (neue Flächen), die zur Bildung von Facetten der ursprünglichen Hülle verwendet werden können. Es ist dual zum Sterndiagramm des dualen Polyeders , welches alle möglichen Kanten und Eckpunkte für eine Flächenebene des ursprünglichen Kerns darstellt.

• Bertrand, J. Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences , 46 (1858), S. 79–82.
• Bridge, NJ Facetting the dodecahedron, Acta crystallographica A30 (1974), S. 548–552.
• Coxeter, HSM (1948). Reguläre Polytope . London: Methuen & Co. S.  1–321 .
• Inchbald, G. Facetting diagrams, The mathematical gazette , 90 (2006), pp. 253–261.
• Alan Holden , Formen, Raum und Symmetrie . New York: Dover, 1991. S. 94

• Weisstein, Eric W. „Faceting“ . MathWorld .
• Olshevsky, George. „Faceting“ . Glossar für Hyperspace . Archiviert vom Original am 4. Februar 2007.