Der Finitismus ist eine mathematische Philosophie , die nur die Existenz endlicher mathematischer Objekte akzeptiert . Er lässt sich am besten im Vergleich zur gängigen mathematischen Philosophie verstehen, in der die Existenz unendlicher mathematischer Objekte (z. B. unendlicher Mengen ) anerkannt wird.

Hauptidee

Die Grundidee der finitistischen Mathematik besteht darin, die Existenz unendlicher Objekte wie unendlicher Mengen nicht anzuerkennen. Zwar werden alle natürlichen Zahlen als existent akzeptiert, die Menge aller natürlichen Zahlen selbst wird jedoch nicht als mathematisches Objekt betrachtet. Daher ist die Quantifizierung über unendliche Bereiche sinnlos. Die häufig mit dem Finitismus assoziierte mathematische Theorie ist Thoralf Skolems primitiv -rekursive Arithmetik .

Geschichte

Die Einführung unendlicher mathematischer Objekte erfolgte vor einigen Jahrhunderten, als deren Verwendung unter Mathematikern bereits umstritten war. Die Debatte erreichte eine neue Phase, als Georg Cantor 1874 die sogenannte naive Mengenlehre einführte und sie als Grundlage für seine Arbeiten über transfinite Zahlen nutzte . Als in Cantors naiver Mengenlehre Paradoxien wie das Russellsche Paradoxon , das Berrysche Paradoxon und das Burali-Forti-Paradoxon entdeckt wurden, entbrannte eine hitzige Diskussion unter Mathematikern.

Es gab verschiedene Positionen unter Mathematikern. Einig war man sich über endliche mathematische Objekte wie die natürlichen Zahlen. Uneinigkeit herrschte jedoch hinsichtlich unendlicher mathematischer Objekte. Eine Position war die intuitionistische Mathematik , die von L. E. J. Brouwer vertreten wurde und die Existenz unendlicher Objekte ablehnte, bis diese konstruiert wurden.

Eine weitere Position vertrat David Hilbert : Endliche mathematische Objekte sind konkrete Objekte, unendliche mathematische Objekte sind ideale Objekte, und die Akzeptanz idealer mathematischer Objekte führt nicht zu einem Problem bezüglich endlicher mathematischer Objekte. Formaler formuliert glaubte Hilbert, dass sich jeder Satz über endliche mathematische Objekte, der mithilfe idealer unendlicher Objekte bewiesen werden kann, auch ohne diese beweisen lässt. Daher würde die Zulassung unendlicher mathematischer Objekte kein Problem bezüglich endlicher Objekte verursachen. Dies führte zu Hilberts Programm , sowohl die Konsistenz als auch die Vollständigkeit der Mengenlehre mit finitistischen Mitteln zu beweisen, da dies implizieren würde, dass die Hinzunahme idealer mathematischer Objekte konservativ gegenüber dem finitistischen Teil ist. Hilberts Ansichten sind auch mit der formalistischen Philosophie der Mathematik verbunden. Hilberts Ziel, die Konsistenz und Vollständigkeit der Mengenlehre oder gar der Arithmetik mit finitistischen Mitteln zu beweisen, erwies sich aufgrund der Unvollständigkeitssätze Kurt Gödels als unmöglich . Harvey Friedmans große Vermutung würde jedoch implizieren, dass die meisten mathematischen Ergebnisse mit finitistischen Mitteln beweisbar sind.

Hilbert lieferte keine strenge Erklärung dessen, was er als finitistisch und elementar bezeichnete. Basierend auf seiner Arbeit mit Paul Bernays argumentierten jedoch einige Experten, wie beispielsweise Tait (1981) , dass die primitiv-rekursive Arithmetik als obere Schranke für das angesehen werden könne, was Hilbert als finitistische Mathematik betrachtete. [ 1 ]

Als Folge der Gödelschen Theoreme wurde deutlich, dass es keine Hoffnung gibt, sowohl die Konsistenz als auch die Vollständigkeit der Mathematik zu beweisen, und mit der Entwicklung scheinbar konsistenter axiomatischer Mengenlehren wie der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre konzentrieren sich die meisten modernen Mathematiker nicht auf dieses Thema.

Klassischer Finitismus vs. strikter Finitismus

In ihrem Buch „Die Philosophie der Mengenlehre “ charakterisierte Mary Tiles diejenigen, die potenziell unendliche Objekte zulassen, als klassische Finitisten und diejenigen, die dies nicht tun, als strikte Finitisten : Ein klassischer Finitist würde beispielsweise Aussagen wie „Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger “ zulassen und die Sinnhaftigkeit unendlicher Reihen im Sinne von Grenzwerten endlicher Partialsummen akzeptieren , während ein strikter Finitist dies ablehnen würde. Historisch gesehen war die schriftliche Geschichte der Mathematik somit bis zur Einführung der Hierarchie transfiniter Kardinalzahlen durch Cantor Ende des 19. Jahrhunderts klassisch finitistisch geprägt .

Ansichten zu unendlichen mathematischen Objekten

Leopold Kronecker blieb ein entschiedener Gegner von Cantors Mengenlehre: [ 2 ]

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk. Gott hat die ganzen Zahlen geschaffen; alles andere ist Menschenwerk.

— 1886 Vortrag in der Berliner Naturforscher-Versammlung [ 3 ]

Reuben Goodstein war ein weiterer Vertreter des Finitismus. Ein Teil seiner Arbeit bestand darin , auf finitistischen Grundlagen eine Analyse aufzubauen .

Obwohl er es bestritt, weist ein Großteil von Ludwig Wittgensteins Schriften zur Mathematik eine starke Affinität zum Finitismus auf. [ 4 ]

Wenn man Finitisten den Transfinitisten (Vertretern beispielsweise von Georg Cantors Hierarchie der Unendlichkeiten) gegenüberstellt , dann kann auch Aristoteles als Finitist charakterisiert werden. Aristoteles förderte insbesondere die potenzielle Unendlichkeit als Mittelweg zwischen striktem Finitismus und tatsächlicher Unendlichkeit (wobei letztere eine Aktualisierung von etwas in der Natur Unendlichem darstellt, im Gegensatz zur Cantorschen tatsächlichen Unendlichkeit, die aus den transfiniten Kardinal- und Ordinalzahlen besteht , welche nichts mit den Dingen in der Natur zu tun haben):

Andererseits führt die Annahme, dass das Unendliche in keiner Weise existiert, offensichtlich zu vielen unmöglichen Konsequenzen: Es gäbe einen Anfang und ein Ende der Zeit, eine Größe wäre nicht in Größen teilbar, eine Zahl wäre nicht unendlich. Wenn also angesichts der obigen Überlegungen keine der beiden Alternativen möglich erscheint, muss ein Schiedsrichter hinzugezogen werden.

— Aristoteles, Physik, Buch 3, Kapitel 6

Der Ultrafinitismus (auch Ultraintuitionismus genannt) hat eine noch konservativere Haltung gegenüber mathematischen Objekten als der Finitismus und lehnt die Existenz endlicher mathematischer Objekte ab, wenn diese zu groß sind.

Gegen Ende des 20. Jahrhunderts entwickelte John Penn Mayberry ein System finitärer Mathematik, das er „Euklidische Arithmetik“ nannte. Der markanteste Grundsatz seines Systems ist die vollständige und rigorose Ablehnung des besonderen fundamentalen Status, der iterativen Prozessen üblicherweise zukommt, insbesondere der Konstruktion der natürlichen Zahlen durch die Iteration „+1“. Folglich steht Mayberry in scharfem Widerspruch zu jenen, die finite Mathematik mit der Peano-Arithmetik oder einem ihrer Fragmente wie der primitiv-rekursiven Arithmetik gleichsetzen wollen .

Siehe auch

Anmerkungen

Weiterführende Literatur

Referenzen

  • Eriksson, K.; Estep, D.; Johnson, C. (Hrsg.) (2004). „17 Streiten sich Mathematiker? §17.7 Cantor gegen Kronecker“. Ableitungen und Geometrie in IR3 . Angewandte Mathematik: Körper und Seele. Band 1. Springer. ISBN 9783540008903Die
  • Feng Ye (2011). Strenger Finitismus und die Logik mathematischer Anwendungen . Springer. ISBN 978-94-007-1347-5Die