In der Philosophie der Mathematik bezeichnet der Intuitionismus bzw. Neointuitionismus (im Gegensatz zum Präintuitionismus ) einen Ansatz, der Mathematik als reines Ergebnis konstruktiver geistiger Tätigkeit des Menschen betrachtet und nicht als Entdeckung fundamentaler Prinzipien, deren Existenz in einer objektiven Realität behauptet wird. [ 1 ] Logik und Mathematik werden demnach nicht als analytische Tätigkeiten verstanden, in denen tiefe Eigenschaften der objektiven Realität aufgedeckt und angewendet werden, sondern als Anwendung in sich konsistenter Methoden zur Realisierung komplexerer mentaler Konstrukte, unabhängig von deren möglicher unabhängiger Existenz in einer objektiven Realität.

Wahrheit und Beweis

Das grundlegende Unterscheidungsmerkmal des Intuitionismus liegt in seiner Interpretation dessen, was es bedeutet, dass eine mathematische Aussage wahr ist. In Brouwers ursprünglichem Intuitionismus ist die Wahrheit einer mathematischen Aussage eine subjektive Behauptung: Eine mathematische Aussage entspricht einer mentalen Konstruktion, und ein Mathematiker kann die Wahrheit einer Aussage nur dann belegen, indem er die Gültigkeit dieser Konstruktion intuitiv überprüft . Die Unbestimmtheit des intuitionistischen Wahrheitsbegriffs führt oft zu Fehlinterpretationen seiner Bedeutung. Kleene definierte intuitionistische Wahrheit formal aus realistischer Perspektive, doch Brouwer würde diese Formalisierung angesichts seiner Ablehnung des Realismus/Platonismus wahrscheinlich als bedeutungslos zurückweisen. Intuitionistische Wahrheit bleibt daher etwas ungenau definiert. Da der intuitionistische Wahrheitsbegriff jedoch restriktiver ist als der der klassischen Mathematik, muss der Intuitionist einige Annahmen der klassischen Logik verwerfen, um sicherzustellen, dass alles, was er beweist, tatsächlich intuitionistisch wahr ist. Daraus entsteht die intuitionistische Logik .

Für einen Intuitionisten ist die Behauptung, ein Objekt mit bestimmten Eigenschaften existiere, gleichbedeutend mit der Behauptung, ein solches Objekt könne konstruiert werden. Jedes mathematische Objekt wird als Produkt einer geistigen Konstruktion betrachtet , und daher ist die Existenz eines Objekts gleichbedeutend mit der Möglichkeit seiner Konstruktion. Dies steht im Gegensatz zum klassischen Ansatz, der besagt, die Existenz einer Entität könne durch den Beweis ihrer Nichtexistenz bewiesen werden. Für den Intuitionisten ist dies nicht gültig; der Beweis der Nichtexistenz bedeutet nicht, dass es möglich ist, eine Konstruktion für das vermeintliche Objekt zu finden, wie es für die Behauptung seiner Existenz erforderlich wäre. Somit ist der Intuitionismus eine Variante des mathematischen Konstruktivismus ; er ist jedoch nicht die einzige.

Die Interpretation der Negation unterscheidet sich in der intuitionistischen Logik von der in der klassischen Logik. In der klassischen Logik bedeutet die Negation einer Aussage, dass diese falsch ist ; für einen Intuitionisten bedeutet sie, dass die Aussage widerlegbar ist . [ 2 ] Im Intuitionismus besteht daher eine Asymmetrie zwischen positiven und negativen Aussagen. Wenn eine Aussage P beweisbar ist, dann kann P sicherlich nicht widerlegbar sein. Selbst wenn sich jedoch zeigen lässt, dass P nicht widerlegbar ist, stellt dies keinen Beweis für P dar . Somit ist P eine stärkere Aussage als „nicht nicht P“ .

Die Behauptung, dass A oder B gilt, bedeutet für einen Intuitionisten, dass entweder A oder B beweisbar ist . Insbesondere wird der Satz vom ausgeschlossenen Dritten („ A oder nicht A “) nicht als gültiges Prinzip anerkannt. Wenn A beispielsweise eine mathematische Aussage ist, die ein Intuitionist noch nicht bewiesen oder widerlegt hat, wird er die Wahrheit von „ A oder nicht A “ nicht behaupten . Er wird jedoch akzeptieren, dass „ A und nicht A “ nicht wahr sein kann. Daher genügen die Konjunktionen „und“ und „oder“ der intuitionistischen Logik nicht den Gesetzen von De Morgan, wie sie es in der klassischen Logik tun.

Die intuitionistische Logik ersetzt abstrakte Wahrheit durch Konstruierbarkeit und ist mit einem Übergang vom Beweis der Modelltheorie zur abstrakten Wahrheit in der modernen Mathematik verbunden . Der logische Kalkül bewahrt die Rechtfertigung, nicht die Wahrheit, bei Transformationen, die abgeleitete Aussagen erzeugen. Er gilt als philosophische Stütze für verschiedene philosophische Schulen, insbesondere für den Antirealismus von Michael Dummett . Entgegen dem ersten Eindruck, den der Name vermitteln mag, und wie er sich in spezifischen Ansätzen und Disziplinen (z. B. Fuzzy-Mengenlehre und -Systeme) manifestiert, ist die intuitionistische Mathematik daher rigoroser als die konventionell begründete Mathematik, in der ironischerweise die grundlegenden Elemente, die der Intuitionismus zu konstruieren/widerlegen/neu zu begründen versucht, als intuitiv gegeben gelten.

Unendlichkeit

Unter den verschiedenen Ausprägungen des Intuitionismus gibt es mehrere unterschiedliche Positionen zur Bedeutung und Realität der Unendlichkeit.

Der Begriff „potenzielle Unendlichkeit“ bezeichnet ein mathematisches Verfahren mit einer unendlichen Folge von Schritten. Nach jedem abgeschlossenen Schritt muss stets ein weiterer ausgeführt werden. Betrachten wir beispielsweise den Zählvorgang:

Der Begriff „tatsächliche Unendlichkeit“ bezeichnet ein abgeschlossenes mathematisches Objekt, das unendlich viele Elemente enthält. Ein Beispiel hierfür ist die Menge der natürlichen Zahlen .

In Cantors Formulierung der Mengenlehre gibt es viele verschiedene unendliche Mengen, von denen einige größer als andere sind. Beispielsweise ist die Menge aller reellen Zahlen größer als ℕ, da jeder Versuch, die natürlichen Zahlen bijektiv den reellen Zahlen zuzuordnen, stets scheitert: Es bleibt immer eine unendliche Anzahl reeller Zahlen übrig. Jede unendliche Menge, die bijektiv den natürlichen Zahlen zugeordnet werden kann, wird als abzählbar bezeichnet. Unendliche Mengen, die größer sind, werden als überabzählbar bezeichnet. [ 3 ]

Cantors Mengenlehre führte zum axiomatischen System der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZFC), die heute die gängigste Grundlage der modernen Mathematik bildet . Der Intuitionismus entstand unter anderem als Reaktion auf Cantors Mengenlehre.

Die moderne konstruktive Mengenlehre beinhaltet das Unendlichkeitsaxiom aus ZFC (oder eine revidierte Version dieses Axioms) und die Menge der natürlichen Zahlen. Die meisten modernen konstruktiven Mathematiker akzeptieren die Existenz abzählbar unendlicher Mengen (siehe jedoch Alexander Esenin-Volpin für ein Gegenbeispiel).

Brouwer lehnte das Konzept der tatsächlichen Unendlichkeit ab, akzeptierte aber die Idee der potenziellen Unendlichkeit.

Laut Weyl (1946) machte Brouwer deutlich – und ich denke, das ist zweifelsfrei –, dass es keinerlei Beweise für den Glauben an den existentiellen Charakter der Gesamtheit aller natürlichen Zahlen gibt. Die Zahlenfolge, die über jede bereits erreichte Stufe hinauswächst, indem sie zur nächsten Zahl übergeht, ist eine Mannigfaltigkeit von Möglichkeiten, die sich ins Unendliche öffnet; sie verbleibt ewig im Zustand der Schöpfung, ist aber kein abgeschlossener Bereich von Dingen, die in sich selbst existieren. Dass wir blindlings das eine in das andere umgedeutet haben, ist die wahre Quelle unserer Schwierigkeiten, einschließlich der Antinomien – eine Quelle fundamentalerer Natur, als Russells Prinzip des Teufelskreises vermuten ließ. Brouwer öffnete uns die Augen und ließ uns erkennen, wie weit die klassische Mathematik, genährt vom Glauben an das „Absolute“, das alle menschlichen Verwirklichungsmöglichkeiten transzendiert, über solche Aussagen hinausgeht, die auf Beweisen beruhen und einen wahren Sinn beanspruchen können.

—   Kleene 1991 , S. 48–49

Geschichte

Die Geschichte des Intuitionismus lässt sich auf zwei Kontroversen in der Mathematik des 19. Jahrhunderts zurückführen.

Die erste dieser Entwicklungen war die Erfindung der transfiniten Arithmetik durch Georg Cantor und deren anschließende Ablehnung durch eine Reihe prominenter Mathematiker, darunter der bekannteste unter ihnen sein Lehrer Leopold Kronecker – ein überzeugter Finitist .

Das zweite dieser Unterfangen war Gottlob Freges Versuch, die gesamte Mathematik mithilfe der Mengenlehre auf eine logische Formulierung zu reduzieren, und dessen Scheitern durch den jungen Bertrand Russell , den Entdecker des Russellschen Paradoxons . Frege hatte ein dreibändiges Standardwerk geplant, doch kurz vor Drucklegung des zweiten Bandes sandte Russell Frege einen Brief, in dem er sein Paradoxon darlegte. Dieses zeigte, dass eine von Freges Regeln der Selbstreferenz widersprüchlich war. In einem Anhang zum zweiten Band räumte Frege ein, dass eines der Axiome seines Systems tatsächlich zu Russells Paradoxon geführt hatte. [ 4 ]

Frege soll daraufhin in eine Depression verfallen sein und den geplanten dritten Band seines Werkes nicht veröffentlicht haben. Mehr dazu in Davis (2000), Kapitel 3 und 4: Frege: Vom Durchbruch zur Verzweiflung und Cantor: Umweg durch die Unendlichkeit. Die Originalwerke und van Heijenoorts Kommentar finden sich bei van Heijenoort.

Diese Kontroversen hängen eng zusammen, da die logischen Methoden, die Cantor zum Beweis seiner Ergebnisse in der transfiniten Arithmetik verwendete, im Wesentlichen mit denen Russells zur Konstruktion seines Paradoxons übereinstimmen. Daher hat die Art und Weise, wie man Russells Paradoxon löst, direkte Auswirkungen auf den Stellenwert der transfiniten Arithmetik Cantors.

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts vertrat L. E. J. Brouwer die intuitionistische und David Hilbert die formalistische Position (siehe van Heijenoort). Kurt Gödel vertrat Ansichten, die als platonisch bezeichnet werden (siehe verschiedene Quellen zu Gödel). Alan Turing erwägt „nicht-konstruktive Logiksysteme, bei denen nicht alle Beweisschritte mechanisch, sondern teilweise intuitiv sind“ [ 5 ] . Später legte Stephen Cole Kleene in seiner „Einführung in die Metamathematik “ (1952) eine rationalere Betrachtung des Intuitionismus vor [ 6 ] .

Nicolas Gisin verwendet intuitionistische Mathematik, um die Unbestimmtheit der Quantenphysik , die Informationstheorie und die Physik der Zeit neu zu interpretieren . [ 7 ]

Mitwirkende

Zweige der intuitionistischen Mathematik

Siehe auch

Anmerkungen

  1. ^ Veldman 2021 , S. 2, 1.5. Intuitionistische Mathematik ist konstruktive Mathematik.
  2. ^ Lakatos 2015 .
  3. ^ erläutert unter Kardinalität des Kontinuums
  4. ^ Siehe Frege 1960 , S. 234–244
  5. ^ Turing 1939 , S. 216.
  6. ^ Kleene 1991 .
  7. ^ Wolchover 2020 .

Referenzen

In Kapitel 39 Grundlagen gibt Anglin in Bezug auf das 20. Jahrhundert sehr präzise, ​​kurze Beschreibungen des Platonismus (in Bezug auf Gödel), des Formalismus (in Bezug auf Hilbert) und des Intuitionismus (in Bezug auf Brouwer).
  • Martin Davis (Hrsg.) (1965), Das Unentscheidbare , Raven Press, Hewlett, NY. Zusammenstellung von Originalaufsätzen von Gödel, Church, Kleene, Turing, Rosser und Post. Neuauflage als Davis, Martin (Hrsg.) (2004). Das Unentscheidbare . Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-43228-1Die
  • Martin Davis (2000). Engines of Logic: Mathematicians and the origin of the Computer (1. Aufl.). W. W. Norton & Company, New York. ISBN 0-393-32229-7Die
  • John W. Dawson Jr., Logische Dilemmata: Das Leben und Werk von Kurt Gödel , AK Peters, Wellesley, MA, 1997.
Weniger leicht lesbar als Goldstein, aber in Kapitel III Exkurs liefert Dawson eine ausgezeichnete „Kurzgeschichte der Entwicklung der Logik bis 1928“.
  • Rebecca Goldstein , Unvollständigkeit: Der Beweis und das Paradoxon von Kurt Gödel , Atlas Books, WW Norton, New York, 2005.
In Kapitel II „Hilbert und die Formalisten“ liefert Goldstein weitere historische Kontextinformationen. Als Platoniker stand Gödel dem logischen Positivismus des Wiener Kreises ablehnend gegenüber. Goldstein erörtert Wittgensteins Einfluss und den der Formalisten. Er merkt an, dass die Intuitionisten dem Platonismus noch entschiedener ablehnend gegenüberstanden als dem Formalismus .
  • (auf Französisch) Jacques Hartong und Georges Reeb , Intuitionnisme 84 (erstmals veröffentlicht in La Mathématique Non-standard , éditions du CNRS)
Eine Neubewertung des Intuitionismus, unter anderem aus der Perspektive der konstruktiven Mathematik und der Nichtstandardanalysis .
  • Frege, Gottlob (1893). Grundgesetze der Arithmetik. Band 1. Jena: Hermann Pohle. Teilübersetzung: Montgomery Furth, 1964. The Basic Laws of Arithmetic. Univ. of California Press. Übersetzung ausgewählter Abschnitte in Frege (1960) . Vollständige Übersetzung beider Bände: Philip A. Ebert und Marcus Rossberg, 2013, Basic Laws of Arithmetic. Oxford University Press.
  • Frege, Gottlob (1903). Grundgesetze der Arithmetik (auf Deutsch). Bd. 2. Jena: Hermann Pohle. Übersetzung ausgewählter Abschnitte in Frege (1960) . Vollständige Übersetzung beider Bände: Philip A. Ebert und Marcus Rossberg, 2013, Basic Laws of Arithmetic. Oxford University Press.
  • Frege, Gottlob (1960) [1893]. „Grundgesetze der Arithmetik: Nachwort“ [Frege über Russells Paradoxon]. In Geach, Peter; Black, Max (Hrsg.). Übersetzungen aus den philosophischen Schriften von Gottlob Frege (2. Aufl.). Oxford: Basil Blackwell.
  • van Heijenoort, J. , Von Frege zu Gödel, ein Quellenbuch zur mathematischen Logik, 1879–1931 , Harvard University Press, Cambridge, MA, 1967. Nachdruck mit Korrekturen, 1977. Die folgenden Aufsätze erscheinen in van Heijenoort:
  • LEJ Brouwer , 1923, Über die Bedeutung des Prinzips vom ausgeschlossenen Dritten in der Mathematik, insbesondere in der Funktionentheorie [Nachdruck mit Kommentar, S. 334, van Heijenoort]
  • Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow , 1925, Vom ausgeschlossenen Dritten , [Nachdruck mit Kommentar, S. 414, van Heijenoort]
  • LEJ Brouwer , 1927, Über die Bereiche der Definitionen von Funktionen , [Nachdruck mit Kommentar, S. 446, van Heijenoort]
Obwohl es nicht direkt damit zusammenhängt, verwendet Brouwer in seinem Werk von 1923 bestimmte Wörter, die in diesem Artikel definiert werden.
  • LEJ Brouwer , 1927(2), Intuitionistische Überlegungen zum Formalismus , [Nachdruck mit Kommentar, S. 490, van Heijenoort]
  • Jacques Herbrand, (1931b), „Über die Konsistenz der Arithmetik“, [Nachdruck mit Kommentar, S. 618ff, van Heijenoort]
Aus van Heijenoorts Kommentar geht nicht eindeutig hervor, ob Herbrand ein wahrer „Intuitionist“ war; Gödel (1963) behauptete, Herbrand sei tatsächlich „…ein Intuitionist“ gewesen. Van Heijenoort hingegen meint, Herbrands Konzeption sei „im Großen und Ganzen viel näher an Hilberts Begriff ‚finitär‘ („finit“) als an ‚intuitionistisch‘, wie es auf Brouwers Lehre angewendet wird“.
  • Hesseling, Dennis E. (2003). Gnome im Nebel. Die Rezeption von Brouwers Intuitionismus in den 1920er Jahren . Birkhäuser. ISBN 3-7643-6536-6Die
  • Arend Heyting : Heyting, Arend (1971) [1956]. Intuitionismus: Eine Einführung (3. überarb. Aufl.). Amsterdam: North-Holland Pub. Co. ISBN 0-7204-2239-6Die
  • Kleene, Stephen C. (1991) [1952]. Einführung in die Metamathematik (Zehnter Nachdruck 1991). Amsterdam, NY: North-Holland Pub. Co. ISBN 0-7204-2103-9Die
In Kapitel III „Kritik des mathematischen Denkens“, §11 „Die Paradoxien“ , erörtert Kleene Intuitionismus und Formalismus eingehend. Im weiteren Verlauf des Buches behandelt und vergleicht er sowohl formalistische (klassische) als auch intuitionistische Logiken, wobei er den Schwerpunkt auf erstere legt.
  • Stephen Cole Kleene und Richard Eugene Vesley , Grundlagen der intuitionistischen Mathematik , North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1965. Der erste Satz sagt alles: „Die konstruktive Tendenz in der Mathematik …“. Ein Text für Spezialisten, aber in Kleenes wunderbar klarem Stil verfasst.
  • Lakatos, Imre (2015) [1976]. Beweise und Widerlegungen. Die Logik mathematischer Entdeckungen . Cambridge Philosophy Classics. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-11346-6Die
  • A. A. Markov (1954) Theorie der Algorithmen . [Übersetzt von Jacques J. Schorr-Kon und Mitarbeitern des PST] Verlag: Moskau, Akademie der Wissenschaften der UdSSR, 1954 [d. h. Jerusalem, Israel Program for Scientific Translations, 1961; erhältlich beim Office of Technical Services, US-Handelsministerium, Washington] Beschreibung: 444 S., 28 cm. Mit russischem Titelblatt. Übersetzung der Werke des Mathematischen Instituts der Akademie der Wissenschaften der UdSSR, Bd. 42. Originaltitel: Teoriya algorifmov. [QA248.M2943 Dartmouth College Bibliothek] US-Handelsministerium, Amt für technische Dienstleistungen, Nummer OTS 60–51085.] Eine weitere Referenz für Fachleute: Markov vertrat die Ansicht, dass „die gesamte Bedeutung einer präziseren Definition des Algorithmusbegriffs für die Mathematik jedoch im Zusammenhang mit dem Problem einer konstruktiven Grundlage für die Mathematik entsteht …“ [S. 3, Hervorhebung hinzugefügt]. Markov glaubte, dass weitere Anwendungen seiner Arbeit „ein eigenes Buch verdienen, das der Autor in Zukunft zu schreiben hofft“ (S. 3). Leider ist dieses Werk offenbar nie erschienen.
  • Hilary Putnam und Paul Benacerraf , Philosophie der Mathematik: Ausgewählte Texte , Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1964. 2. Aufl., Cambridge: Cambridge University Press, 1983. ISBN 0-521-29648-X
Teil I. Die Grundlagen der Mathematik , Symposium über die Grundlagen der Mathematik
  • Rudolf Carnap , Die logizistischen Grundlagen der Mathematik , S. 41
  • Arend Heyting , Die intuitionistischen Grundlagen der Mathematik , S. 52
  • Johann von Neumann , Die formalistischen Grundlagen der Mathematik , S. 61
  • Arend Heyting, Disputation , S. 66
  • LEJ Brouwer, Intuitionismus und Formalismus , S. 77
  • LEJ Brouwer, Bewusstsein, Philosophie und Mathematik , S. 90
  • Constance Reid , Hilbert , Copernicus – Springer-Verlag, 1. Auflage 1970, 2. Auflage 1996.
Die maßgebliche Biografie Hilberts stellt sein „Programm“ in den historischen Kontext und beleuchtet die darauffolgenden, mitunter erbitterten Auseinandersetzungen zwischen den Intuitionisten und den Formalisten.
  • Paul Rosenbloom , Die Elemente der mathematischen Logik , Dover Publications Inc, Mineola, New York, 1950.
Der Stil orientiert sich eher an den Principia Mathematica – viele Symbole, teils antik, teils aus der deutschen Schrift. Sehr gute Erläuterungen zum Intuitionismus finden sich an folgenden Stellen: Seiten 51–58 in Abschnitt 4 „Mehrwertige Logiken, Modallogiken, Intuitionismus“; Seiten 69–73 in Kapitel III „Die Logik der Aussagenfunktionen“, Abschnitt 1 „Informelle Einführung“; und Seiten 146–151 in Abschnitt 7 „Das Auswahlaxiom“.