Homomorphismus

In der Algebra ist ein Homomorphismus eine strukturerhaltende Abbildung zwischen zwei algebraischen Strukturen desselben Typs (wie beispielsweise zwei Gruppen , zwei Ringen oder zwei Vektorräumen ). Das Wort Homomorphismus stammt aus dem Altgriechischen : ὁμός ( homos ) bedeutet „gleich“ und μορφή ( morphe ) bedeutet „Form“ oder „Gestalt“. Der Begriff gelangte jedoch offenbar durch eine (Fehl-)Übersetzung des deutschen Wortes „ähnlich“ in die Mathematik, indem ὁμός mit „ gleich“ übersetzt wurde. ^{[ 1 ]} Der Begriff „Homomorphismus“ tauchte bereits 1892 auf und wurde dem deutschen Mathematiker Felix Klein (1849–1925) zugeschrieben. ^{[ 2 ]}

Homomorphismen von Vektorräumen werden auch lineare Abbildungen genannt , und ihre Untersuchung ist Gegenstand der linearen Algebra .

Der Begriff des Homomorphismus wurde unter dem Namen Morphismus auf viele andere Strukturen verallgemeinert, die entweder keine zugrundeliegende Menge besitzen oder nicht algebraisch sind. Diese Verallgemeinerung bildet den Ausgangspunkt der Kategorientheorie .

Ein Homomorphismus kann auch ein Isomorphismus , ein Endomorphismus , ein Automorphismus usw. sein (siehe unten). Jeder dieser Typen lässt sich so definieren, dass er auf jede beliebige Klasse von Morphismen verallgemeinert werden kann.

Ein Homomorphismus ist eine Abbildung zwischen zwei algebraischen Strukturen desselben Typs (z. B. zwei Gruppen, zwei Körper, zwei Vektorräume), die die Operationen der Strukturen erhält. Das bedeutet eine Abbildung zwischen zwei Mengen , die mit derselben Struktur ausgestattet sind, sodass, wenn eine Operation der Struktur ist (hier vereinfachend als binäre Operation angenommen ), ${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \cdot }$

$${\displaystyle f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)}$$

für jedes Paar von Elementen aus . ^{[ Anmerkung 1 ]} Man sagt oft, dass die Operation erhält oder mit der Operation kompatibel ist. ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$

Formal gesehen erhält eine Abbildung eine Operation der Stelligkeit , die auf beiden definiert ist , wenn ${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

$${\displaystyle f(\mu _{A}(a_{1},\ldots ,a_{k}))=\mu _{B}(f(a_{1}),\ldots ,f(a_{k})),}$$

für alle Elemente in . ${\displaystyle a_{1},...,a_{k}}$${\displaystyle A}$

Zu den Operationen, die durch einen Homomorphismus erhalten bleiben müssen, gehören nulläre Operationen , d. h. Konstanten. Insbesondere wenn ein neutrales Element aufgrund des Strukturtyps erforderlich ist, muss das neutrale Element der ersten Struktur auf das entsprechende neutrale Element der zweiten Struktur abgebildet werden.

Zum Beispiel:

• Ein Halbgruppenhomomorphismus ist eine Abbildung zwischen Halbgruppen , die die Halbgruppenoperation erhält.
• Ein Monoidhomomorphismus ist eine Abbildung zwischen Monoiden , die die Monoidoperation erhält und das neutrale Element des ersten Monoids auf das des zweiten Monoids abbildet (das neutrale Element ist eine 0-äre Operation ).
• Ein Gruppenhomomorphismus ist eine Abbildung zwischen Gruppen , die die Gruppenoperation erhält. Das bedeutet, dass der Gruppenhomomorphismus das neutrale Element der ersten Gruppe auf das neutrale Element der zweiten Gruppe abbildet und das Inverse eines Elements der ersten Gruppe auf das Inverse des Bildes dieses Elements. Daher ist ein Halbgruppenhomomorphismus zwischen Gruppen notwendigerweise ein Gruppenhomomorphismus.
• Ein Ringhomomorphismus ist eine Abbildung zwischen Ringen , die die Ringaddition, die Ringmultiplikation und das neutrale Element der Multiplikation erhält . Ob das neutrale Element erhalten bleibt, hängt von der verwendeten Ringdefinition ab. Bleibt das neutrale Element nicht erhalten, spricht man von einem rng- Homomorphismus.
• Eine lineare Abbildung ist ein Homomorphismus von Vektorräumen ; das heißt, ein Gruppenhomomorphismus zwischen Vektorräumen, der die abelsche Gruppenstruktur und die Skalarmultiplikation erhält .
• Ein Modulhomomorphismus , auch lineare Abbildung zwischen Moduln genannt , wird analog definiert.
• Ein Algebrahomomorphismus ist eine Abbildung, die die Algebraoperationen erhält .

Eine algebraische Struktur kann mehrere Operationen enthalten, und ein Homomorphismus muss jede Operation erhalten. Daher ist eine Abbildung, die nur einige Operationen erhält, kein Homomorphismus der Struktur selbst, sondern lediglich ein Homomorphismus der Teilstruktur, die sich durch Betrachtung der erhaltenen Operationen ergibt. Beispielsweise ist eine Abbildung zwischen Monoiden, die die Monoidoperation, nicht aber das neutrale Element erhält, kein Monoidhomomorphismus, sondern lediglich ein Halbgruppenhomomorphismus.

Die Notation für die Operationen muss in Quell- und Zielobjekt eines Homomorphismus nicht übereinstimmen. Beispielsweise bilden die reellen Zahlen eine Gruppe für die Addition und die positiven reellen Zahlen eine Gruppe für die Multiplikation. Die Exponentialfunktion

$${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$$

erfüllt

$${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y},}$$

und ist somit ein Homomorphismus zwischen diesen beiden Gruppen. Er ist sogar ein Isomorphismus (siehe unten), da seine Umkehrfunktion , der natürliche Logarithmus , die folgende Bedingung erfüllt:

$${\displaystyle \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y),}$$ und ist auch ein Gruppenhomomorphismus.

Die reellen Zahlen bilden einen Ring , der sowohl Addition als auch Multiplikation kennt. Die Menge aller 2×2- Matrizen bildet ebenfalls einen Ring bezüglich der Matrixaddition und -multiplikation . Definieren wir eine Funktion zwischen diesen Ringen wie folgt:

$${\displaystyle f(r)={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}}$$

Wenn r eine reelle Zahl ist, dann ist f ein Homomorphismus von Ringen, da f die Addition erhält:

$${\displaystyle f(r+s)={\begin{pmatrix}r+s&0\\0&r+s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)+f(s)}$$

und Multiplikation:

$${\displaystyle f(rs)={\begin{pmatrix}rs&0\\0&rs\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)\,f(s).}$$

Ein weiteres Beispiel: Die von Null verschiedenen komplexen Zahlen bilden bezüglich der Multiplikation eine Gruppe , ebenso wie die von Null verschiedenen reellen Zahlen. (Null muss aus beiden Gruppen ausgeschlossen werden, da es kein multiplikatives Inverses besitzt , welches für Elemente einer Gruppe erforderlich ist.) Definieren Sie eine Funktion von den von Null verschiedenen komplexen Zahlen zu den von Null verschiedenen reellen Zahlen durch ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(z)=|z|.}$$

Das heißt, ist der Absolutbetrag (oder Modul) der komplexen Zahl . Dann ist ein Gruppenhomomorphismus, da er die Multiplikation erhält: ${\displaystyle f}$${\displaystyle z}$${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(z_{1}z_{2})=|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|=f(z_{1})f(z_{2}).}$$

Man beachte, dass f nicht zu einem Homomorphismus von Ringen (von den komplexen Zahlen zu den reellen Zahlen) erweitert werden kann, da die Addition nicht erhalten bleibt:

$${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\neq |z_{1}|+|z_{2}|.}$$

Als weiteres Beispiel zeigt das Diagramm einen Monoidhomomorphismus vom Monoid zum Monoid . Aufgrund der unterschiedlichen Namen der entsprechenden Operationen beschränken sich die von erfüllten Strukturerhaltungseigenschaften auf und . ${\displaystyle f}$${\displaystyle (\mathbb {N} ,+,0)}$${\displaystyle (\mathbb {N} ,\times ,1)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x+y)=f(x)\times f(y)}$${\displaystyle f(0)=1}$

Eine Kompositionsalgebra über einem Körper besitzt eine quadratische Form , genannt Norm , , die ein Gruppenhomomorphismus von der multiplikativen Gruppe von in die multiplikative Gruppe von ist . ${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle N:A\to F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$

Verschiedene Arten von Homomorphismen haben einen spezifischen Namen, der auch für allgemeine Morphismen definiert ist .

Ein Isomorphismus zwischen algebraischen Strukturen desselben Typs wird üblicherweise als bijektiver Homomorphismus definiert. ^{[ 3 ] : 134 [ 4 ] : 28}

Im allgemeineren Kontext der Kategorientheorie wird ein Isomorphismus als ein Morphismus definiert , der eine Umkehrung besitzt , die ebenfalls ein Morphismus ist. Im speziellen Fall algebraischer Strukturen sind die beiden Definitionen äquivalent, obwohl sie sich für nicht-algebraische Strukturen, die eine zugrundeliegende Menge besitzen, unterscheiden können.

Genauer gesagt, wenn

$${\displaystyle f:A\to B}$$

ist ein (Homo-)Morphismus; er besitzt eine Umkehrung, wenn ein Homomorphismus existiert.

$${\displaystyle g:B\to A}$$

so dass

$${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}\qquad {\text{and}}\qquad g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}$$

Wenn und zugrundeliegende Mengen haben und ein Inverses besitzt , dann ist bijektiv. Tatsächlich ist injektiv , da impliziert , und surjektiv , da für jedes in gilt und das Bild eines Elements von ist . ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)=f(y)}$${\displaystyle x=g(f(x))=g(f(y))=y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle B}$${\displaystyle x=f(g(x))}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$

Umgekehrt, sei g ein bijektiver Homomorphismus zwischen algebraischen Strukturen. Sei g die Abbildung, sodass g das eindeutige Element von g ist, für das g ∈ g gilt . Dann gilt g ∈ g , und es bleibt nur noch zu zeigen, dass g ein Homomorphismus ist. Ist g eine binäre Operation der Struktur g, so gilt für jedes Paar (i, j) von Elementen von g: g ∈ g .${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle g:B\to A}$${\displaystyle g(y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f(x)=y}$${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}{\text{ and }}g\circ f=\operatorname {Id} _{A},}$${\displaystyle *}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle B}$

$${\displaystyle g(x*_{B}y)=g(f(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y)))=g(x)*_{A}g(y),}$$

und ist somit kompatibel mit . Da der Beweis für jede Stelligkeit ähnlich ist , zeigt dies, dass ein Homomorphismus ist. ${\displaystyle g}$${\displaystyle *.}$${\displaystyle g}$

Dieser Beweis funktioniert nicht für nicht-algebraische Strukturen. Beispielsweise ist in topologischen Räumen ein Morphismus eine stetige Abbildung , und die Umkehrung einer bijektiv stetigen Abbildung ist nicht notwendigerweise stetig. Ein Isomorphismus topologischer Räume, auch Homöomorphismus oder bikontinuierliche Abbildung genannt, ist daher eine bijektiv stetige Abbildung, deren Umkehrung ebenfalls stetig ist.

Ein Endomorphismus ist ein Homomorphismus, dessen Definitionsbereich gleich dem Zielbereich ist , oder allgemeiner ein Morphismus , dessen Quellbereich gleich seinem Zielbereich ist. ^{[ 3 ] : 135}

Die Endomorphismen einer algebraischen Struktur oder eines Objekts einer Kategorie bilden unter Komposition ein Monoid .

Die Endomorphismen eines Vektorraums oder eines Moduls bilden einen Ring . Im Fall eines Vektorraums oder eines freien Moduls endlicher Dimension induziert die Wahl einer Basis einen Ringisomorphismus zwischen dem Endomorphismenring und dem Ring der quadratischen Matrizen gleicher Dimension.

Ein Automorphismus ist ein Endomorphismus, der gleichzeitig ein Isomorphismus ist. ^{[ 3 ] : 135}

Die Automorphismen einer algebraischen Struktur oder eines Objekts einer Kategorie bilden unter Komposition eine Gruppe , die als Automorphismengruppe der Struktur bezeichnet wird.

Viele Gruppen, die einen Namen erhalten haben, sind Automorphismengruppen mit einer bestimmten algebraischen Struktur. Beispielsweise ist die allgemeine lineare Gruppe die Automorphismengruppe eines Vektorraums der Dimension n über einem Körper . ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$

Die Automorphismengruppen der Körper wurden von Évariste Galois zur Untersuchung der Wurzeln von Polynomen eingeführt und bilden die Grundlage der Galoistheorie .

Für algebraische Strukturen werden Monomorphismen üblicherweise als injektive Homomorphismen definiert. ^{[ 3 ] : 134 [ 4 ] : 29}

Im allgemeineren Kontext der Kategorientheorie wird ein Monomorphismus als ein Morphismus definiert , der links kürzbar ist . ^{[ 5 ]} Dies bedeutet, dass ein (Homo-)Morphismus ein Monomorphismus ist, wenn für jedes Paar von Morphismen von einem beliebigen anderen Objekt nach gilt : impliziert . ${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$${\displaystyle g=h}$

Diese beiden Definitionen des Monomorphismus sind für alle gängigen algebraischen Strukturen äquivalent. Genauer gesagt, sind sie äquivalent für Körper , für die jeder Homomorphismus ein Monomorphismus ist, und für Varietäten der universellen Algebra , d. h. für algebraische Strukturen, für die Operationen und Axiome (Identitäten) ohne Einschränkung definiert sind (die Körper bilden keine Varietät, da das multiplikative Inverse entweder als unäre Operation oder als Eigenschaft der Multiplikation definiert ist, die in beiden Fällen nur für von Null verschiedene Elemente definiert sind).

Insbesondere sind die beiden Definitionen eines Monomorphismus für Mengen , Magmen , Halbgruppen , Monoide , Gruppen , Ringe , Körper , Vektorräume und Moduln äquivalent .

Ein gespaltener Monomorphismus ist ein Homomorphismus, der ein Linksinverses besitzt und somit selbst das Rechtsinverse dieses anderen Homomorphismus ist. Das heißt, ein Homomorphismus ist ein gespaltener Monomorphismus, wenn es einen Homomorphismus gibt, sodass … Ein gespaltener Monomorphismus ist immer ein Monomorphismus, in beiden Bedeutungen des Begriffs Monomorphismus . Für Mengen und Vektorräume ist jeder Monomorphismus ein gespaltener Monomorphismus, diese Eigenschaft gilt jedoch nicht für die meisten gängigen algebraischen Strukturen. ${\displaystyle f\colon A\to B}$${\displaystyle g\colon B\to A}$${\displaystyle g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}$

In der Algebra werden Epimorphismen oft als surjektive Homomorphismen definiert. ^{[ 3 ] : 134 [ 4 ] : 43} In der Kategorientheorie hingegen werden Epimorphismen als rechtskürzbare Morphismen definiert . ^{[ 5 ]} Das bedeutet, dass ein (Homo)morphismus ein Epimorphismus ist, wenn für jedes Paar von Morphismen von zu einem beliebigen anderen Objekt die Gleichheit impliziert . ${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$${\displaystyle g=h}$

Ein surjektiver Homomorphismus ist stets rechtskürzbar, die Umkehrung gilt jedoch nicht immer für algebraische Strukturen. Die beiden Definitionen eines Epimorphismus sind jedoch für Mengen , Vektorräume , abelsche Gruppen , Moduln (siehe unten für einen Beweis) und Gruppen äquivalent . ^{[ 6 ]} Die Bedeutung dieser Strukturen in der gesamten Mathematik, insbesondere in der linearen und homologischen Algebra , mag die Koexistenz zweier nicht äquivalenter Definitionen erklären.

Algebraische Strukturen, für die nicht-surjektive Epimorphismen existieren, umfassen Halbgruppen und Ringe . Das einfachste Beispiel ist die Inklusion der ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen , ein Homomorphismus von Ringen und multiplikativen Halbgruppen. Für beide Strukturen ist er ein Monomorphismus und ein nicht-surjektiver Epimorphismus, aber kein Isomorphismus. ^{[ 5 ] [ 7 ]}

Eine weitreichende Verallgemeinerung dieses Beispiels ist die Lokalisierung eines Rings durch eine multiplikative Menge. Jede Lokalisierung ist ein Ringepimorphismus, der im Allgemeinen nicht surjektiv ist. Da Lokalisierungen in der kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie von grundlegender Bedeutung sind , erklärt dies möglicherweise, warum in diesen Bereichen die Definition von Epimorphismen als rechtskürzbare Homomorphismen im Allgemeinen bevorzugt wird.

Ein gespaltener Epimorphismus ist ein Homomorphismus, der ein Rechtsinverses besitzt und somit selbst das Linksinverse dieses anderen Homomorphismus ist. Das heißt, ein Homomorphismus ist ein gespaltener Epimorphismus, wenn es einen Homomorphismus gibt, sodass … Ein gespaltener Epimorphismus ist immer ein Epimorphismus, in beiden Bedeutungen des Begriffs Epimorphismus . Für Mengen und Vektorräume ist jeder Epimorphismus ein gespaltener Epimorphismus, diese Eigenschaft gilt jedoch nicht für die meisten gängigen algebraischen Strukturen. ${\displaystyle f\colon A\to B}$${\displaystyle g\colon B\to A}$${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}.}$

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass man

$${\displaystyle {\text{split epimorphism}}\implies {\text{epimorphism (surjective)}}\implies {\text{epimorphism (right cancelable)}};}$$

Die letzte Implikation ist eine Äquivalenz für Mengen, Vektorräume, Moduln, abelsche Gruppen und Gruppen; die erste Implikation ist eine Äquivalenz für Mengen und Vektorräume.

Jeder Homomorphismus definiert eine Äquivalenzrelation auf durch genau dann, wenn . Diese Relation heißt Kern von . Sie ist eine Kongruenzrelation auf . Die Quotientenmenge kann dann auf natürliche Weise mit einer Struktur desselben Typs wie versehen werden , indem man die Operationen der Quotientenmenge durch definiert , für jede Operation von . In diesem Fall ist das Bild von in unter dem Homomorphismus notwendigerweise isomorph zu ; dies ist einer der Isomorphiesätze . ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle X}$${\displaystyle a\sim b}$${\displaystyle f(a)=f(b)}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [x]\ast [y]=[x\ast y]}$${\displaystyle \ast }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X/\!\sim }$

Wenn die algebraische Struktur bezüglich einer Operation eine Gruppe bildet, genügt die Äquivalenzklasse des neutralen Elements dieser Operation, um die Äquivalenzrelation zu charakterisieren. In diesem Fall wird der Quotient nach der Äquivalenzrelation mit (üblicherweise als „ mod “ gelesen) bezeichnet. Auch in diesem Fall ist es , und nicht , das als Kern von bezeichnet wird . Die Kerne von Homomorphismen eines gegebenen Typs algebraischer Struktur sind naturgemäß mit einer bestimmten Struktur ausgestattet. Dieser Strukturtyp der Kerne ist im Fall abelscher Gruppen , Vektorräume und Moduln identisch mit der betrachteten Struktur , unterscheidet sich jedoch in anderen Fällen und hat eine spezifische Bezeichnung erhalten, wie z. B. Normalteiler für Kerne von Gruppenhomomorphismen und Ideale für Kerne von Ringhomomorphismen (im Fall nichtkommutativer Ringe sind die Kerne die zweiseitigen Ideale ). ${\displaystyle K}$${\displaystyle X/K}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle f}$

In der Modelltheorie wird der Begriff der algebraischen Struktur auf Strukturen verallgemeinert, die sowohl Operationen als auch Relationen umfassen. Sei L eine Signatur bestehend aus Funktions- und Relationensymbolen, und seien A und B zwei L- Strukturen. Dann ist ein Homomorphismus von A nach B eine Abbildung h vom Definitionsbereich von A in den Definitionsbereich von B , sodass

• h ( F ^A ( a ₁ ,..., a _n )) = F ^B ( h ( a ₁ ),..., h ( a _n )) für jedes n -äre Funktionssymbol F in L ,
• R ^A ( a ₁ ,..., a _n ) impliziert R ^B ( h ( a ₁ ),..., h ( a _n )) für jedes n- äre Relationssymbol R in L .

Im Spezialfall mit nur einer binären Relation erhalten wir den Begriff des Graphhomomorphismus . ^{[ 8 ]}

Homomorphismen werden auch in der Theorie formaler Sprachen verwendet ^{[ 9 ]} und oft kurz als Morphismen bezeichnet . ^{[ 10 ]} Gegeben seien Alphabete und . Eine Funktion f, sodass für alle , heißt Homomorphismus auf . ^{[ Anmerkung 2 ]} Ist f ein Homomorphismus auf und bezeichnet die leere Zeichenkette, so heißt f ein -freier Homomorphismus, wenn für alle in . ${\displaystyle \Sigma _{1}}$${\displaystyle \Sigma _{2}}$${\displaystyle h\colon \Sigma _{1}^{*}\to \Sigma _{2}^{*}}$${\displaystyle h(uv)=h(u)h(v)}$${\displaystyle u,v\in \Sigma _{1}}$${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle h}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle h(x)\neq \varepsilon }$${\displaystyle x\neq \varepsilon }$${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$

Ein Homomorphismus auf , der für alle erfüllt, heißt -uniformer Homomorphismus. ^{[ 11 ]} Wenn für alle (d. h. ist 1-uniform), dann heißt auch Kodierung oder Projektion . ${\displaystyle h\colon \Sigma _{1}^{*}\to \Sigma _{2}^{*}}$${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$${\displaystyle |h(a)|=k}$${\displaystyle a\in \Sigma _{1}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle |h(a)|=1}$${\displaystyle a\in \Sigma _{1}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$

Die aus dem Alphabet gebildete Wortmenge kann als das von erzeugte freie Monoid betrachtet werden . Hierbei ist die Monoidoperation die Verkettung , und das neutrale Element ist das leere Wort. Aus dieser Perspektive ist ein Sprachhomomorphismus genau ein Monoidhomomorphismus. ^{[ Anmerkung 3 ]}${\displaystyle \Sigma ^{*}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma }$

• Diffeomorphismus
• Homomorphe Verschlüsselung
• Homomorphe Geheimnisverteilung – ein einfaches dezentrales Abstimmungsprotokoll
• Morphismus
• Quasimorphismus

• Krieger, Dalia (2006). „Über kritische Exponenten in Fixpunkten nichtlöschender Morphismen“. In: Ibarra, Oscar H.; Dang, Zhe (Hrsg.). Entwicklungen in der Sprachtheorie: 10. Internationale Konferenz, DLT 2006, Santa Barbara, CA, USA, 26.–29. Juni 2006: Tagungsband . Berlin: Springer. S.  280–291 . ISBN 978-3-540-35430-7OCLC  262693179 .​
• Stanley N. Burris; HP Sankappanavar (2012). Ein Kurs in universeller Algebra (PDF) . S. Burris und HP Sankappanavar. ISBN 978-0-9880552-0-9Die
• Mac Lane, Saunders (1971), Kategorien für den arbeitenden Mathematiker , Graduate Texts in Mathematics , Band 5, Springer, ISBN 0-387-90036-5, Zbl  0232.18001
• Fraleigh, John B.; Katz, Victor J. (2003), A First Course in Abstract Algebra , Addison-Wesley, ISBN 978-1-292-02496-7