Gibbs-Phänomen

In der Mathematik bezeichnet das Gibbs-Phänomen das oszillatorische Verhalten der Fourierreihe einer stückweise stetig differenzierbaren periodischen Funktion um eine Sprungstelle . Die ^-te partielle Fourierreihe der Funktion (gebildet durch Summierung der niedrigsten Sinusfunktionen der Fourierreihe der Funktion) erzeugt große Maxima um die Sprungstelle, die die Funktionswerte über- bzw. unterschreiten . Mit zunehmender Anzahl an Sinusfunktionen nähert sich dieser Approximationsfehler einem Grenzwert von etwa 9 % der Sprungstelle, obwohl die unendliche Fourierreihensumme schließlich fast überall konvergiert . ^{[ 1 ]}${\textstyle N}$${\textstyle N}$

Das Gibbs-Phänomen wurde von Experimentalphysikern beobachtet und zunächst auf Messfehler zurückgeführt ^{[ 2 ]} , ist aber tatsächlich ein mathematisches Ergebnis. Es ist eine Ursache für Überschwingen in der Signalverarbeitung und wurde nach Josiah Willard Gibbs benannt .

Das Gibbs-Phänomen ist ein Verhalten der Fourierreihe einer Funktion mit einer Sprungstelle und wird wie folgt beschrieben:

Wenn man weitere Bestandteile oder Komponenten der Fourier-Reihe betrachtet, zeigt die Fourier-Reihe einen ersten Überschwinger im oszillatorischen Verhalten um den Sprungpunkt herum, der sich etwa 9 % des (vollen) Sprungs nähert. Diese Oszillation verschwindet nicht, sondern nähert sich dem Punkt so weit an, dass das Integral der Oszillation gegen Null strebt.

Am Sprungpunkt liefert die Fourierreihe den Mittelwert der beiden Grenzwerte der Funktion in Richtung dieses Punktes.

Die drei Bilder rechts veranschaulichen das Gibbs-Phänomen für eine Rechteckwelle (mit einer Spitze-Spitze-Amplitude von bis und der Periodizität ), deren -te ^partielle Fourier-Reihe lautet ${\textstyle c}$${\textstyle -c/2}$${\textstyle c/2}$${\textstyle L}$${\textstyle N}$$${\displaystyle {\frac {2c}{\pi }}\left(\sin(\omega x)+{\frac {1}{3}}\sin(3\omega x)+\cdots +{\frac {1}{2N-1}}\sin((2N-1)\omega x)\right)}$$

wobei . Genauer gesagt ist diese Rechteckwelle die Funktion, die zwischen und und zwischen und für jede ganze Zahl gleich ist ; somit weist diese Rechteckwelle eine Sprungdiskontinuität der Spitze-zu-Spitze-Höhe bei jedem ganzzahligen Vielfachen von auf . ${\textstyle \omega =2\pi /L}$${\textstyle f(x)}$${\displaystyle {\tfrac {c}{2}}}$${\textstyle 2n(L/2)}$${\textstyle (2n+1)(L/2)}$${\textstyle -{\tfrac {c}{2}}}$${\textstyle (2n+1)(L/2)}$${\textstyle (2n+2)(L/2)}$${\textstyle n}$${\textstyle c}$${\textstyle L/2}$

Mit zunehmender Anzahl sinusförmiger Terme (d. h. mit steigendem Wert von ) konvergiert der Fehler der partiellen Fourierreihe gegen einen festen Wert. Da sich die Fehlerbreite jedoch kontinuierlich verringert, konvergiert die Fehlerfläche – und damit die Fehlerenergie – gegen null. ^{[ 3 ]} Die Analyse der Rechteckwelle zeigt, dass der Fehler die Höhe (ausgehend von Null) der Rechteckwelle um einen bestimmten Wert überschreitet ( OEIS :  A243268 ). ${\textstyle N}$${\displaystyle {\tfrac {c}{2}}}$$${\displaystyle {\frac {c}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin(t)}{t}}\ dt-{\frac {c}{2}}=c\cdot (0.089489872236\dots ).}$$

oder etwa 9 % des vollen Sprungs . Allgemeiner gilt: Bei jeder Unstetigkeitsstelle einer stückweise stetig differenzierbaren Funktion mit einem Sprung von Δt überschreitet die ^-te partielle Fourierreihe der Funktion (für einen sehr großen Wert) diesen Sprung an einem Ende um einen Fehler, der sich Δt annähert, und unterschreitet ihn am anderen Ende um denselben Betrag; somit ist der „volle Sprung“ in der partiellen Fourierreihe etwa 18 % größer als der volle Sprung in der ursprünglichen Funktion. An der Unstetigkeitsstelle konvergiert die Fourierreihe gemäß dem Dirichletschen Theorem gegen den Mittelpunkt des Sprungs (unabhängig vom tatsächlichen Wert der ursprünglichen Funktion an der Unstetigkeitsstelle) . ^{[ 4 ]} Die Größe ( OEIS :  A036792 ) wird manchmal als Wilbraham -Gibbs-Konstante bezeichnet . ^{[ 5 ]}${\textstyle c}$${\textstyle c}$${\textstyle N}$${\textstyle N}$${\textstyle c\cdot (0,089489872236\dots )}$$${\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {\sin t}{t}}\ dt=(1.851937051982\dots )={\frac {\pi }{2}}+\pi \cdot (0.089489872236\dots )}$$

Das Gibbs-Phänomen wurde erstmals 1848 von Henry Wilbraham in einer Abhandlung beschrieben und analysiert . ^{[ 6 ]} Die Abhandlung fand bis 1914 wenig Beachtung, als sie in Heinrich Burkhardts Abhandlung über die mathematische Analysis in Kleins Enzyklopädie erwähnt wurde . ^{[ 7 ]} 1898 entwickelte Albert A. Michelson ein Gerät zur Berechnung und Resynthese der Fourier-Reihe. ^{[ 8 ]} Einer weit verbreiteten Anekdote zufolge oszillierte der Graph an den Unstetigkeitsstellen, wenn die Fourier-Koeffizienten einer Rechteckwelle in das Gerät eingegeben wurden. Da es sich um ein physikalisches Gerät mit Fertigungsfehlern handelte, war Michelson überzeugt, dass das Überschwingen durch Fehler im Gerät verursacht wurde. Tatsächlich waren die vom Gerät erzeugten Graphen nicht präzise genug, um das Gibbs-Phänomen deutlich darzustellen, und Michelson bemerkte es möglicherweise gar nicht, da er diesen Effekt weder in seiner Abhandlung ( Michelson & Stratton 1898 ) über sein Gerät noch in seinen späteren Briefen an Nature erwähnte . ^{[ 9 ]}

Inspiriert durch den Briefwechsel zwischen Michelson und A. E. H. Love in Nature über die Konvergenz der Fourier-Reihen der Rechteckwellenfunktion, veröffentlichte J. Willard Gibbs 1898 eine Notiz, in der er auf den wichtigen Unterschied zwischen dem Grenzwert der Graphen der Partialsummen der Fourier-Reihen einer Sägezahnwelle und dem Graphen des Grenzwerts dieser Partialsummen hinwies. In seinem ersten Brief übersah Gibbs das Gibbs-Phänomen, und der von ihm beschriebene Grenzwert der Graphen der Partialsummen war ungenau. 1899 veröffentlichte er eine Korrektur, in der er das Überschwingen an der Unstetigkeitsstelle beschrieb ( Nature , 27. April 1899, S. 606). 1906 lieferte Maxime Bôcher eine detaillierte mathematische Analyse dieses Überschwingens, prägte den Begriff „Gibbs-Phänomen“ ^{[ 10 ]} und machte ihn weithin bekannt. ^{[ 9 ]}

Nachdem die Existenz von Henry Wilbrahams Arbeit weite Bekanntheit erlangt hatte, bemerkte Horatio Scott Carslaw 1925 : „Wir können diese Eigenschaft der Fourier-Reihe (und bestimmter anderer Reihen) immer noch als Gibbs-Phänomen bezeichnen; wir dürfen aber nicht länger behaupten, dass die Eigenschaft zuerst von Gibbs entdeckt wurde.“ ^{[ 11 ]}

Das Gibbs-Phänomen beschreibt anschaulich die Schwierigkeit, eine unstetige Funktion durch eine endliche Reihe stetiger Sinuswellen anzunähern . Die Betonung liegt auf „ endlich“ , denn obwohl jede Partialsumme der Fourierreihe an jeder Unstetigkeitsstelle, die sie approximiert, überschwingt, geschieht dies im Grenzwert der Summation unendlich vieler Sinuswellen nicht. Die Maxima des Überschwingens rücken mit zunehmender Anzahl summierter Terme immer näher an die Unstetigkeitsstelle heran, sodass Konvergenz möglich ist.

Es besteht kein Widerspruch (dass der Überschwingfehler gegen eine von Null verschiedene Höhe konvergiert, obwohl die unendliche Summe keinen Überschwinger aufweist), da sich die Überschwingspitzen zur Unstetigkeitsstelle hin bewegen. Das Gibbs-Phänomen zeigt somit punktweise , aber keine gleichmäßige Konvergenz . Für eine stückweise stetig differenzierbare Funktion (Klasse C¹ ⁾ konvergiert die Fourierreihe an jedem Punkt außer an Sprungstellen gegen die Funktion. An Sprungstellen konvergiert die Reihe gemäß dem Satz von Dirichlet gegen den Mittelpunkt der Sprungstelle (d. h. den Mittelwert der Grenzwerte der Funktion beidseits des Sprungs) . ^{[ 4 ]}

Das Gibbs-Phänomen steht in engem Zusammenhang mit dem Prinzip, dass die Glattheit einer Funktion die Abklingrate ihrer Fourier-Koeffizienten bestimmt. Die Fourier-Koeffizienten glatter Funktionen klingen schneller ab (was zu einer schnelleren Konvergenz führt), während die Fourier-Koeffizienten unstetiger Funktionen langsam abklingen (was eine langsamere Konvergenz zur Folge hat). Beispielsweise klingen die Fourier-Koeffizienten einer unstetigen Rechteckwelle nur mit der Rate 1/2 ab , während die Fourier-Koeffizienten einer stetigen Dreieckswelle deutlich schneller abklingen . ${\displaystyle ({\tfrac {1}{1}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {1}{3}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {1}{5}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {1}{7}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {1}{9}},{\scriptstyle {\text{0}}},\dots )}$${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$${\displaystyle ({\tfrac {1}{1^{2}}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {-1}{3^{2}}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {1}{5^{2}}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {-1}{7^{2}}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {1}{9^{2}}},{\scriptstyle {\text{0}}},\dots )}$${\displaystyle {\tfrac {1}{n^{2}}}}$

Dies liefert nur eine Teilerklärung des Gibbs-Phänomens, da Fourierreihen mit absolut konvergenten Fourierkoeffizienten nach dem Weierstrass-M-Kriterium gleichmäßig konvergieren würden und somit das oben beschriebene oszillatorische Verhalten nicht zeigen könnten. Ebenso ist es unmöglich, dass eine unstetige Funktion absolut konvergente Fourierkoeffizienten besitzt, da die Funktion dann der gleichmäßige Grenzwert stetiger Funktionen und somit selbst stetig wäre – ein Widerspruch. Siehe Konvergenz von Fourierreihen § Absolute Konvergenz .

Da das Gibbs-Phänomen auf Unterschwingen zurückzuführen ist, kann es durch die Verwendung von Kernen, die niemals negativ sind, wie beispielsweise dem Fejér-Kern , eliminiert werden . ^{[ 12 ] [ 13 ]}

In der Praxis lassen sich die Schwierigkeiten des Gibbs-Phänomens durch eine glattere Methode der Fourierreihensummation, wie die Fejér- oder Riesz- Summation , oder durch die Sigma-Approximation abmildern . Bei Verwendung einer kontinuierlichen Wavelet -Transformation ist das Wavelet-Gibbs-Phänomen nie stärker als das Fourier-Gibbs-Phänomen. ^{[ 14 ]} Auch bei Verwendung der diskreten Wavelet-Transformation mit Haar-Basisfunktionen tritt das Gibbs-Phänomen bei kontinuierlichen Daten an Sprungstellen gar nicht auf ^{[ 15 ]} und ist im diskreten Fall an großen Änderungspunkten minimal. In der Wavelet-Analyse wird dies üblicherweise als Longo-Phänomen bezeichnet . Bei der Polynominterpolation kann das Gibbs-Phänomen mithilfe des S-Gibbs-Algorithmus reduziert werden. ^{[ 16 ]}

Sei eine stückweise stetig differenzierbare Funktion, die periodisch mit einer Periode ist . Angenommen, an einem Punkt unterscheiden sich der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert der Funktion um einen von Null verschiedenen Sprung von : ${\textstyle f:{\mathbb {R} }\to {\mathbb {R} }}$${\textstyle L>0}$${\textstyle x_{0}}$${\textstyle f(x_{0}^{-})}$${\textstyle f(x_{0}^{+})}$${\textstyle f}$${\textstyle c}$$${\displaystyle f(x_{0}^{+})-f(x_{0}^{-})=c\neq 0.}$$

Für jede positive ganze Zahl ≥ 1 sei die ^-te partielle Fourier-Reihe ( kann als mathematischer Operator auf Funktionen betrachtet werden). ${\textstyle N}$${\textstyle S_{N}f(x)}$${\textstyle N}$${\textstyle S_{N}}$$${\displaystyle S_{N}f(x):=\sum _{-N\leq n\leq N}{\widehat {f}}(n)e^{\frac {i2\pi nx}{L}}={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}\cos \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)+b_{n}\sin \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)\right),}$$

wobei die Fourier-Koeffizienten für ganze Zahlen durch die üblichen Formeln gegeben sind ${\textstyle {\widehat {f}}(n),a_{n},b_{n}}$${\textstyle n}$$${\displaystyle {\widehat {f}}(n):={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}f(x)e^{-{\frac {i2\pi nx}{L}}}\,dx}$$$${\displaystyle a_{0}:={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\ dx}$$$${\displaystyle a_{n}:={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\cos \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)\,dx}$$$${\displaystyle b_{n}:={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)\,dx.}$$

Dann haben wir und aber $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}f\left(x_{0}+{\frac {L}{2N}}\right)=f(x_{0}^{+})+c\cdot (0.089489872236\dots )}$$$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}f\left(x_{0}-{\frac {L}{2N}}\right)=f(x_{0}^{-})-c\cdot (0.089489872236\dots )}$$$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}f(x_{0})={\frac {f(x_{0}^{-})+f(x_{0}^{+})}{2}}.}$$

Allgemeiner gilt: Ist eine beliebige Folge reeller Zahlen, die für gegen konvergiert , und ist der Sprung von positiv, dann gilt und ${\textstyle x_{N}}$${\textstyle x_{0}}$${\textstyle N\to \infty }$${\textstyle c}$$${\displaystyle \limsup _{N\to \infty }S_{N}f(x_{N})\leq f(x_{0}^{+})+c\cdot (0.089489872236\dots )}$$$${\displaystyle \liminf _{N\to \infty }S_{N}f(x_{N})\geq f(x_{0}^{-})-c\cdot (0.089489872236\dots ).}$$

Wenn der Sprung von stattdessen negativ ist, muss man den oberen Grenzwert ( ) mit dem unteren Grenzwert ( ) vertauschen und auch die Vorzeichen und in den beiden obigen Ungleichungen vertauschen. ${\textstyle c}$${\textstyle \limsup }$${\textstyle \liminf }$${\textstyle \leq }$${\textstyle \geq }$

Sei f eine stückweise stetig differenzierbare Funktion mit Periode t , die mehrere Sprungstellen besitzt, bezeichnet mit t₁ , t₂, t₃, t₄, t₅, t₆, ... ${\textstyle f:{\mathbb {R} }\to {\mathbb {R} }}$${\textstyle L>0}$${\textstyle x_{i}}$${\textstyle i=0,1,2,}$${\textstyle c_{i}}$

Dann kann als Summe einer stetigen Funktion und einer mehrstufigen Funktion ausgedrückt werden , die die Summe von Stufenfunktionen ist, wie zum Beispiel ^{[ 17 ].}${\textstyle f}$${\textstyle f_{c}}$${\textstyle f_{s}}$

$${\displaystyle f=f_{c}+f_{s},}$$$${\displaystyle f_{s}=f_{s_{1}}+f_{s_{2}}+f_{s_{3}}+\cdots ,}$$$${\displaystyle f_{s_{i}}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x\leq x_{i},\\c_{i},&{\text{if }}x>x_{i}.\end{cases}}}$$

${\textstyle S_{N}f(x)}$Die ^-te partielle Fourierreihe von konvergiert an allen Punkten außer in der Nähe von Unstetigkeitsstellen gut . Um jede Unstetigkeitsstelle herum tritt nur das Gibbs-Phänomen auf (der maximale oszillatorische Konvergenzfehler beträgt ca. 9 % des Sprungs , wie in der Rechteckwellenanalyse gezeigt ), da andere Funktionen in der Nähe dieser Stelle stetig ( ) oder flach null ( ) sind . Dies beweist, wie das Gibbs-Phänomen an jeder Unstetigkeitsstelle auftritt. ${\textstyle N}$${\textstyle f=f_{c}+f_{s}=f_{c}+\left(f_{s_{1}}+f_{s_{2}}+f_{s_{3}}+\ldots \right)}$${\textstyle x}$${\textstyle x_{i}}$${\textstyle x_{i}}$${\textstyle f_{s_{i}}}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle f_{c}}$${\displaystyle f_{s_{j}}}$${\displaystyle j\neq i}$

Aus signalverarbeitungstechnischer Sicht entspricht das Gibbs-Phänomen der Sprungantwort eines Tiefpassfilters , und die dabei auftretenden Schwingungen werden als Überschwingen oder Überschwingartefakte bezeichnet . Das Abschneiden der Fouriertransformierten eines Signals auf der reellen Achse bzw. der Fourierreihe eines periodischen Signals (äquivalent: eines Signals auf dem Kreis) entspricht dem Herausfiltern der höheren Frequenzen mit einem idealen Tiefpassfilter ( Brickwall- Filter). Dies lässt sich als Faltung des Originalsignals mit der Impulsantwort des Filters (auch Kernel genannt ), der sinc-Funktion , darstellen . Somit kann das Gibbs-Phänomen als Ergebnis der Faltung einer Heaviside-Sprungfunktion (wenn keine Periodizität erforderlich ist) oder einer Rechteckwelle (wenn periodisch) mit einer sinc-Funktion betrachtet werden: Die Schwingungen in der sinc-Funktion verursachen die Welligkeit im Ausgangssignal.

Bei der Faltung mit einer Heaviside-Sprungfunktion entspricht die resultierende Funktion exakt dem Integral der sinc-Funktion, dem Sinusintegral . Bei einer Rechteckwelle ist die Beschreibung nicht so einfach. Für die Sprungfunktion entspricht die Amplitude des Unterschwingens somit exakt dem Integral des linken Ausläufers bis zur ersten negativen Nullstelle: Für die normierte sinc-Funktion mit Einheitsabtastperiode ist dies: [ Formel einfügen]. Das Überschwingen ist dementsprechend von derselben Amplitude: dem Integral des rechten Ausläufers oder (äquivalent) der Differenz zwischen dem Integral von minus unendlich bis zur ersten positiven Nullstelle minus 1 (dem Wert ohne Überschwingen). ${\textstyle \int _{-\infty }^{-1}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx.}$

Überschwingen und Unterschwingen lassen sich folgendermaßen erklären: Die Kerne sind üblicherweise so normiert, dass sie das Integral 1 haben. Dadurch bilden sie konstante Funktionen auf konstante Funktionen ab – andernfalls hätten sie eine Verstärkung von 0. Der Wert einer Faltung an einem Punkt ist eine Linearkombination des Eingangssignals, wobei die Koeffizienten (Gewichte) die Werte des Kerns sind.

Ist der Kern nichtnegativ, wie beispielsweise bei einem Gaußschen Kern , so ist der Wert des gefilterten Signals eine Konvexkombination der Eingangswerte (die Koeffizienten des Kerns integrieren zu 1 und sind nichtnegativ) und liegt somit zwischen dem Minimum und Maximum des Eingangssignals – es kommt weder zu Unter- noch zu Überschwingen. Nimmt der Kern hingegen negative Werte an, wie etwa die Sinc-Funktion, so ist der Wert des gefilterten Signals stattdessen eine affine Kombination der Eingangswerte und kann außerhalb des Minimums und Maximums des Eingangssignals liegen, was zu Unter- und Überschwingen führt, wie beim Gibbs-Phänomen.

Eine längere Entwicklung – also ein Abschneiden bei einer höheren Frequenz – entspricht im Frequenzbereich einer Verbreiterung der Mauerstruktur, was im Zeitbereich einer Verengung der sinc-Funktion und einer Erhöhung ihrer Höhe um denselben Faktor entspricht, wobei die Integrale zwischen entsprechenden Punkten unverändert bleiben. Dies ist eine allgemeine Eigenschaft der Fourier-Transformation: Eine Verbreiterung in einem Bereich entspricht einer Verengung und Erhöhung der Höhe im anderen. Dadurch werden die Schwingungen in der sinc-Funktion schmaler und höher, und (in der gefilterten Funktion nach der Faltung) ergeben sich Schwingungen, die zwar schmaler (und somit flächenmäßig kleiner ) sind , aber keine reduzierte Amplitude aufweisen : Das Abschneiden bei einer beliebigen endlichen Frequenz führt zu einer sinc-Funktion, unabhängig von ihrer Schmalheit, mit denselben Integralen im Ausläufer. Dies erklärt das Fortbestehen von Überschwingen und Unterschwingen.

• 
  Oszillationen können als Faltung mit einer sinc-Funktion interpretiert werden.
• 
  Eine höhere Grenzfrequenz führt zu einer schmaleren, aber höheren Sinc-Kurve mit gleichbleibenden Amplitudenintegralen im Ausläufer, was zu höherfrequenten Schwingungen führt, deren Amplitude jedoch nicht verschwindet.

Die Merkmale des Gibbs-Phänomens werden daher wie folgt interpretiert:

• Das Unterschwingen ist darauf zurückzuführen, dass die Impulsantwort ein negatives Integral im hinteren Teilbereich aufweist, was möglich ist, weil die Funktion negative Werte annimmt.
• Der Überschwinger gleicht dies aufgrund der Symmetrie aus (das Gesamtintegral ändert sich bei der Filterung nicht);
• Die Persistenz der Schwingungen ist darauf zurückzuführen, dass eine Erhöhung des Grenzwerts zwar die Impulsantwort verengt, aber nicht deren Integral verringert – die Schwingungen bewegen sich somit auf die Diskontinuität zu, nehmen aber nicht an Amplitude ab.

Wir untersuchen die ^-te partielle Fourierreihe einer Rechteckwelle mit der Periodizität und einer Unstetigkeit eines vertikalen „vollen“ Sprungs von bei . Da der Fall ungerader Werte sehr ähnlich ist, betrachten wir nur den Fall, in dem gerade Werte vorliegen: ${\textstyle N}$${\textstyle S_{N}f(x)}$${\textstyle f(x)}$${\textstyle L}$${\textstyle c}$${\textstyle y=y_{0}}$${\textstyle x=x_{0}}$${\textstyle N}$${\textstyle N}$

$${\displaystyle S_{N}f(x)=\left(y_{0}+{\frac {c}{2}}\right)+{\frac {2c}{\pi }}\left(\sin(\omega (x-x_{0}))+{\frac {1}{3}}\sin(3\omega (x-x_{0}))+\cdots +{\frac {1}{N-1}}\sin((N-1)\omega (x-x_{0}))\right)}$$

mit . ( wobei die Anzahl der von Null verschiedenen sinusförmigen Fourier-Reihenkomponenten ist; daher wird in der Literatur anstelle von verwendet .) Durch Einsetzen (einer Unstetigkeitsstelle) erhalten wir, wie oben behauptet. (Der erste Term, der übrig bleibt, ist der Mittelwert der Fourier-Reihe.) ${\textstyle \omega ={\frac {2\pi }{L}}}$${\textstyle N=2N'}$${\textstyle N'}$${\textstyle N'}$${\textstyle N}$${\textstyle x=x_{0}}$$${\displaystyle S_{N}f(x_{0})=\left(y_{0}+{\frac {c}{2}}\right)={\frac {f(0^{-})+f(0^{+})}{2}}={\frac {y_{0}+(y_{0}+c)}{2}}}$$

Als Nächstes bestimmen wir das erste Maximum der Schwingung um die Unstetigkeitsstelle, indem wir die erste und zweite Ableitung von überprüfen . Die erste Bedingung für das Maximum ist, dass die erste Ableitung gleich null ist. ${\textstyle x=x_{0}}$${\textstyle S_{N}f(x)}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}S_{N}f(x)={\frac {2c}{\pi }}\left(\cos(\omega (x-x_{0}))+\cos(3\omega (x-x_{0}))+\cdots +\cos((N-1)\omega (x-x_{0}))\right)={\frac {c}{\pi }}{\frac {\sin(N\omega (x-x_{0}))}{\sin(\omega (x-x_{0}))}}=0}$$

Die zweite Gleichheit stammt aus einer der trigonometrischen Identitäten von Lagrange . Die Lösung dieser Bedingung ergibt für ganze Zahlen, wobei Vielfache von ausgeschlossen werden, um den Nenner Null zu vermeiden, sodass und ihre Negative zulässig sind. ${\textstyle x-x_{0}=k\pi /(N\omega )=kL/(2N)}$${\textstyle k}$${\textstyle N\omega }$${\textstyle k=1,2,\ldots ,N\omega -1,N\omega +1,\ldots }$

Die zweite Ableitung von at ist ${\textstyle S_{N}f(x)}$${\textstyle x-x_{0}=kL/(2N)}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}S_{N}f(x)={\frac {c\omega }{\pi }}\left({\frac {N\cos(N\omega (x-x_{0}))\sin(\omega (x-x_{0}))-\sin(N\omega (x-x_{0}))\cos(\omega (x-x_{0}))}{\sin ^{2}(\omega (x-x_{0}))}}\right),}$$$${\displaystyle \left.{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}S_{N}f(x)\right\vert _{x_{0}+kL/(2N)}={\begin{cases}{\frac {2c}{L}}{\frac {N}{\sin(k\pi /N)}},&{\text{if }}k{\text{ is even,}}\\[4pt]{\frac {2c}{L}}{\frac {-N}{\sin(k\pi /N)}},&{\text{if }}k{\text{ is odd.}}\end{cases}}}$$

Das erste Maximum tritt also bei ( ) auf und dieser Wert ist ${\textstyle x=x_{0}+L/(2N)}$${\textstyle k=1}$${\textstyle S_{N}f(x)}$${\textstyle x}$$${\displaystyle S_{N}f\left(x_{0}+{\frac {L}{2N}}\right)=\left(y_{0}+{\frac {c}{2}}\right)+{\frac {2c}{\pi }}\left(\sin \left({\frac {\pi }{N}}\right)+{\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {3\pi }{N}}\right)+\cdots +{\frac {1}{N-1}}\sin \left({\frac {(N-1)\pi }{N}}\right)\right)}$$

Wenn wir die normalisierte sinc-Funktion für einführen , können wir dies umschreiben als ${\textstyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}$${\textstyle x\neq 0}$$${\displaystyle S_{N}f\left(x_{0}+{\frac {L}{2N}}\right)=(y_{0}+{\frac {c}{2}})+c\left[{\frac {2}{N}}\operatorname {sinc} \left({\frac {1}{N}}\right)+{\frac {2}{N}}\operatorname {sinc} \left({\frac {3}{N}}\right)+\cdots +{\frac {2}{N}}\operatorname {sinc} \left({\frac {(N-1)}{N}}\right)\right].}$$

Für hinreichend großes ist der Ausdruck in den eckigen Klammern eine Riemann- Summenapproximation des Integrals (genauer gesagt eine Mittelpunktsregelapproximation mit Abstand ). Da die sinc-Funktion stetig ist, konvergiert diese Approximation gegen das Integral für . Somit gilt: ${\textstyle N}$${\textstyle \int _{0}^{1}\operatorname {sinc} (x)\ dx}$${\displaystyle {\tfrac {2}{N}}}$${\displaystyle N\to \infty }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{N\to \infty }S_{N}f\left(x_{0}+{\frac {L}{2N}}\right)&=(y_{0}+{\frac {c}{2}})+c\int _{0}^{1}\operatorname {sinc} (x)\,dx\\[8pt]&=(y_{0}+{\frac {c}{2}})+{\frac {c}{\pi }}\int _{x=0}^{1}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,d(\pi x)\\[8pt]&=(y_{0}+{\frac {c}{2}})+{\frac {c}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin(t)}{t}}\ dt\quad =\quad (y_{0}+c)+c\cdot (0.089489872236\dots ),\end{aligned}}}$$

wie im vorherigen Abschnitt behauptet wurde. Eine ähnliche Berechnung zeigt

$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}f\left(x_{0}-{\frac {L}{2N}}\right)=-c\int _{0}^{1}\operatorname {sinc} (x)\,dx=y_{0}-c\cdot (0.089489872236\dots ).}$$

Das Gibbs-Phänomen ist unerwünscht, da es Artefakte verursacht, insbesondere Abschneideeffekte durch Überschwingen und Unterschwingen sowie Nachschwingen durch die Oszillationen. Bei Tiefpassfiltern lassen sich diese durch den Einsatz unterschiedlicher Tiefpassfilter reduzieren oder eliminieren.

In der MRT verursacht das Gibbs-Phänomen Artefakte, wenn benachbarte Bereiche deutlich unterschiedliche Signalintensitäten aufweisen. Dies tritt am häufigsten bei MRT-Untersuchungen der Wirbelsäule auf, wo das Gibbs-Phänomen das Erscheinungsbild einer Syringomyelie vortäuschen kann .

Das Gibbs-Phänomen äußert sich als Kreuzmuster-Artefakt in der diskreten Fouriertransformation eines Bildes ^{[ 18 ].} Die meisten Bilder (z. B. Mikrofotografien oder Fotografien) weisen eine scharfe Diskontinuität zwischen den Rändern oben/unten und links/rechts auf. Werden periodische Randbedingungen in der Fouriertransformation angewendet, wird diese Sprungdiskontinuität durch ein Frequenzkontinuum entlang der Achsen im reziproken Raum dargestellt (d. h. als Kreuzmuster der Intensität in der Fouriertransformation).

Obwohl sich dieser Artikel hauptsächlich mit der Schwierigkeit befasste, Diskontinuitäten im Zeitbereich artefaktfrei mithilfe einer partiellen Fourierreihe zu konstruieren, ist es wichtig zu beachten, dass aufgrund der großen Ähnlichkeit der inversen Fouriertransformation mit der Fouriertransformation analoge Schwierigkeiten bei der Konstruktion von Diskontinuitäten im Frequenzbereich mit einer partiellen Fourierreihe bestehen. Da beispielsweise idealisierte Brickwall- und Rechteckfilter Diskontinuitäten im Frequenzbereich aufweisen , erfordert ihre exakte Darstellung im Zeitbereich notwendigerweise eine unendlich lange Sinc-Filterimpulsantwort . Eine endliche Impulsantwort führt nämlich zu Gibbs-Welligkeit im Frequenzgang nahe der Grenzfrequenzen . Diese Welligkeit lässt sich zwar durch Fensterung von FIR-Filtern reduzieren (auf Kosten breiterer Übergangsbänder). ^{[ 19 ]}

• Mach-Bänder
• Pinsky-Phänomen
• Runge-Phänomen (ein ähnliches Phänomen bei Polynomapproximationen)
• σ-Approximation , die eine Fourier-Summation anpasst, um das Gibbs-Phänomen zu eliminieren, das sonst an Diskontinuitäten auftreten würde
• Sinusintegral

• Gibbs, J. Willard (1898), „Fourier's Series“ , Nature , 59 (1522): 200, Bibcode : 1898Natur..59..200G , doi : 10.1038/059200b0 , ISSN  0028-0836 , S2CID  4004787
• Gibbs, J. Willard (1899), „Fourier's Series“, Nature , 59 (1539): 606, Bibcode : 1899Natur..59..606G , doi : 10.1038/059606a0 , ISSN  0028-0836 , S2CID  13420929
• Michelson, AA; Stratton, SW (1898), „Ein neuer harmonischer Analysator“, Philosophical Magazine , 5 ( 45): 85–91
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• Vretblad, Anders (2000), Fourier Analysis and its Applications , Graduate Texts in Mathematics, Band 223, New York: Springer Publishing , S. 93, ISBN 978-0-387-00836-3

• Medien zum Gibbs-Phänomen auf Wikimedia Commons
• „Gibbs-Phänomen“ , Enzyklopädie der Mathematik , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W., „ Gibbs-Phänomen “. Aus MathWorld – einer Wolfram-Webressource.
• Prandoni, Paolo, " Gibbs-Phänomen ".
• Radaelli-Sanchez, Ricardo und Richard Baraniuk, „Das Gibbs-Phänomen “. Das Connexions-Projekt. (Creative Commons Attribution License)
• Horatio S Carslaw: Einführung in die Theorie der Fourier-Reihen und -Integrale.pdf (introductiontot00unkngoog.pdf ) auf archive.org
• Eine Python -Implementierung des S-Gibbs-Algorithmus zur Milderung des Gibbs-Phänomens https://github.com/pog87/FakeNodes .