Das Pinsky-Phänomen ist ein Ergebnis der Fourier-Analyse in der Mathematik . [ 1 ] Es wurde von Mark Pinsky von der Northwestern University entdeckt und beschreibt die sphärische Inversion der Fourier-Transformation . Das Phänomen äußert sich in der fehlenden Konvergenz an einem Punkt aufgrund einer Unstetigkeit am Rand. Diese fehlende Konvergenz tritt beim Pinsky-Phänomen weit entfernt vom Rand der Unstetigkeit auf, nicht direkt an der Unstetigkeit wie beim Gibbs-Phänomen . Dieses nichtlokale Phänomen wird durch einen Linseneffekt verursacht.

Prototypisches Beispiel

Sei g ( x ) = 1 für | x | <  c in drei Dimensionen, wobei g ( x ) = 0 außerhalb dieser Dimensionen gilt. Der Sprung bei | x | = c führt zu einem oszillatorischen Verhalten der sphärischen Partialsummen, wodurch die Konvergenz im Zentrum der Kugel sowie die Möglichkeit einer Fourier-Inversion bei x = 0 verhindert werden. Anders ausgedrückt: Die sphärischen Partialsummen eines Fourier-Integrals der Indikatorfunktion einer Kugel divergieren im Zentrum der Kugel , konvergieren aber außerhalb der Kugel gegen die gewünschte Indikatorfunktion. Dieses prototypische Beispiel wurde 1995 von Jean-Pierre Kahane (CRAS) als „Pinsky-Phänomen“ bezeichnet.

Verallgemeinerungen

Dieses prototypische Beispiel lässt sich auf Fourier-Integralentwicklungen in höheren Dimensionen verallgemeinern, sowohl im euklidischen Raum als auch in anderen nichtkompakten symmetrischen Räumen vom Rang eins . Verwandt sind auch Eigenfunktionsentwicklungen auf einer geodätischen Kugel in einem symmetrischen Raum vom Rang eins, wobei jedoch Randbedingungen berücksichtigt werden müssen. Pinsky und andere präsentieren zudem einige Ergebnisse zum asymptotischen Verhalten der Fejér-Approximation in einer Dimension, die von Arbeiten von Bump, Persi Diaconis und J. B. Keller inspiriert sind.

Referenzen

  1. ^ Taylor, Michael E. (2002). „Das Gibbs-Phänomen, das Pinsky-Phänomen und Varianten für Eigenfunktionsentwicklungen“. Communications in Partial Differential Equations . 27 (3): 565–605 . doi : 10.1081/PDE-120002866 . S2CID  122314504 .
  • Die mathematischen Grundlagen zur Beschreibung des Pinsky-Phänomens finden sich auf den Seiten 142 bis 143 und Verallgemeinerungen ab Seite 143 im Buch „ Introduction to Fourier Analysis and Wavelets “ von Mark A. Pinsky (2002, ISBN) . 978-0-534-37660-4Herausgeber: Thomson Brooks/Cole.