Hermann Grassmann

Hermann Günther Grassmann ( 15. April 1809 – 26. September 1877) war ein deutscher Universalgelehrter , der zu seiner Zeit als Linguist und heute auch als Mathematiker bekannt ist . Er war zudem Physiker , Gelehrter und Verleger. Seine mathematischen Arbeiten fanden erst in seinen Sechzigern Beachtung. Seine Forschungen gingen dem Konzept des heutigen Vektorraums voraus und erweiterten es . Er führte die Grassmann -Mannigfaltigkeit ein , den Raum, der alle k- dimensionalen linearen Unterräume eines n- dimensionalen Vektorraums V parametrisiert . In der Linguistik trug er dazu bei, Sprachgeschichte und Sprachstruktur voneinander zu trennen. ^{[ 1 ]}

Hermann Grassmann war das dritte von zwölf Kindern von Johanne Luise Friederike Medenwald und Justus Günter Grassmann, einem geweihten Pfarrer , der Mathematik und Physik am Stettiner Gymnasium unterrichtete , wo Hermann seine Ausbildung erhielt. Sein Bruder Robert war ebenfalls Mathematiker. ^{[ 2 ]}

Grassmann war ein unauffälliger Schüler, bis er bei den Aufnahmeprüfungen für preußische Universitäten eine hohe Punktzahl erreichte. Ab 1827 studierte er Theologie an der Universität Berlin und belegte außerdem Kurse in klassischen Sprachen , Philosophie und Literatur. Er scheint keine Kurse in Mathematik oder Physik belegt zu haben . ^{[ 2 ]}

Obwohl er keine universitäre Ausbildung in Mathematik genossen hatte, war es das Fachgebiet, das ihn nach seiner Rückkehr nach Stettin im Jahr 1830 nach Abschluss seines Studiums in Berlin am meisten interessierte. Nach einem Jahr Vorbereitung legte er die Prüfungen für den Mathematikunterricht an einem Gymnasium ab, erzielte jedoch nur ein Ergebnis, das ihm den Unterricht in den unteren Klassenstufen erlaubte. Um diese Zeit machte er seine ersten bedeutenden mathematischen Entdeckungen, die ihn zu den wichtigen Ideen führten, die er 1844 in seiner Arbeit „ Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik“ ( im Folgenden A1) darlegte und die 1862 unter dem Titel „ Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet“ (im Folgenden A2 ) überarbeitet wurde . ^{[ 2 ]}

1834 begann Grassmann seine Lehrtätigkeit im Fach Mathematik an der Gewerbeschule in Berlin, eine Stelle, die zuvor Jakob Steiner innegehabt hatte . Ein Jahr später kehrte er nach Stettin zurück, um an der neu gegründeten Otto-Schule Mathematik, Physik, Deutsch, Latein und Religion zu unterrichten. In den folgenden vier Jahren legte Grassmann Prüfungen ab, die ihn zur Lehrbefähigung für Mathematik, Physik , Chemie und Mineralogie an allen Sekundarstufen berechtigten. ^{[ 2 ]}

1847 wurde er zum Oberlehrer ernannt. 1852 trat er die Stelle seines verstorbenen Vaters am Stettiner Gymnasium an und erhielt damit den Professorentitel. 1847 bewarb er sich beim Preußischen Bildungsministerium um eine Universitätsstelle. Daraufhin bat das Ministerium Ernst Kummer um seine Einschätzung. Kummer schrieb zurück, Grassmanns preisgekrönter Aufsatz von 1846 (siehe unten) enthalte „lobenswert gutes Material, jedoch in mangelhafter Form“. Kummers Bericht beendete Grassmanns Chancen auf eine Universitätsstelle. Diese Episode sollte sich als typisch erweisen; immer wieder verkannten führende Persönlichkeiten seiner Zeit den Wert seiner Mathematik. ^{[ 2 ]}

Während der politischen Unruhen in Deutschland 1848/49 gaben Hermann und sein Bruder Robert in Stettin die „ Deutsche Wochenschrift für Staat, Kirche und Volksleben“ heraus, in der sie die deutsche Einigung unter einer konstitutionellen Monarchie forderten . (Diese erfolgte 1871.) Nach einer Reihe von Artikeln zum Verfassungsrecht trennte sich Hermann von der Zeitung, da er zunehmend mit deren politischer Ausrichtung nicht mehr einverstanden war. ^{[ 2 ]}

1849 heiratete er Therese Knappe, und sie hatten elf Kinder, von denen sieben das Erwachsenenalter erreichten. Sein Sohn Hermann Ernst Grassmann promovierte in Mathematik und wurde Professor für Mathematik an der Universität Gießen . ^{[ 2 ]}

Nach dem Tod seines Vaters im Jahr 1852 wurde Grassmann auf dessen vorherige Position am Stettiner Gymnasium berufen. ^{[ 2 ]}

Eine der zahlreichen Prüfungen, die Grassmann ablegte, verlangte von ihm eine Abhandlung über die Gezeitentheorie. 1840 reichte er diese ein und nutzte dabei die Grundlagen aus Laplaces „ Traité de mécanique céleste“ und Lagranges „ Mécanique analytique“ . Er erläuterte diese Theorie jedoch mithilfe der Vektormethoden , mit denen er sich seit 1832 auseinandergesetzt hatte. Diese Abhandlung, die erstmals in den Gesammelten Werken von 1894–1911 veröffentlicht wurde, enthält die erste bekannte Erwähnung dessen, was heute als lineare Algebra bezeichnet wird , sowie den Begriff des Vektorraums . Grassmann entwickelte diese Methoden weiter in seinem Werk „Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik“ ( A1 ) und dessen späterer Überarbeitung „ Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strengerer Form bearbeitet“ ( A2 ).

1844 veröffentlichte Grassmann sein Meisterwerk ( A1 ), die sogenannte Ausdehnungslehre . Da A1 eine neue Grundlage für die gesamte Mathematik vorschlug, begann das Werk mit recht allgemeinen, philosophischen Definitionen. Grassmann zeigte dann, dass die Zahl Drei keine privilegierte Rolle als Anzahl der Raumdimensionen spielt, sobald die Geometrie in die von ihm vertretene algebraische Form gebracht wird ; die Anzahl der möglichen Dimensionen ist vielmehr unbegrenzt.

Fearnley-Sander beschreibt Grassmanns Grundlagen der linearen Algebra wie folgt: ^{[ 3 ]}

Die Definition eines linearen Raums ( Vektorraums ) [...] wurde um 1920 allgemein bekannt, als Hermann Weyl und andere formale Definitionen veröffentlichten. Tatsächlich hatte Peano , der mit Grassmanns mathematischen Arbeiten bestens vertraut war, bereits dreißig Jahre zuvor eine solche Definition gegeben. Grassmann selbst formulierte keine formale Definition – die nötige Sprache stand ihm damals noch nicht zur Verfügung –, doch es besteht kein Zweifel daran, dass er das Konzept kannte.

Ausgehend von einer Menge von „Einheiten“ e₁ , e₂ _, e₃ _{, ...} definiert er den von ihnen erzeugten freien linearen Raum. Das heißt, er betrachtet formale Linearkombinationen _{a₁e₁ +} a₂e₂ + a₃e₃ + ... , wobei die aⱼ _reelle Zahlen sind , definiert Addition _und Multiplikation mit reellen Zahlen (in der heute üblichen Weise) und beweist formal die Eigenschaften dieser Operationen im linearen Raum. ... Anschließend entwickelt er die Theorie der linearen _{Unabhängigkeit} auf eine Weise _{, die der Darstellung in modernen Lehrbüchern der} linearen Algebra erstaunlich ähnelt. Er definiert die Begriffe Unterraum , lineare Unabhängigkeit , Spannweite , Dimension , Vereinigung und Schnitt von Unterräumen sowie Projektionen von Elementen auf Unterräume.

[...] nur wenige sind der Schaffung eines neuen Themas im Alleingang so nahe gekommen wie Hermann Grassmann.

In Anlehnung an eine Idee von Grassmanns Vater definierte A1 auch das äußere Produkt , auch „ kombinatorisches Produkt “ genannt , die Schlüsseloperation einer Algebra, die heute als äußere Algebra bezeichnet wird . (Man sollte bedenken, dass zu Grassmanns Zeiten die euklidische Geometrie die einzige axiomatische Theorie war und der allgemeine Begriff einer abstrakten Algebra noch nicht definiert war.) 1878 verband William Kingdon Clifford diese äußere Algebra mit William Rowan Hamiltons Quaternionen , indem er Grassmanns Regel e pe  p = 0 durch die Regel e  p  e  p = 1 ersetzte. ( Für Quaternionen gilt die Regel i² = j² = k² = −1.) Weitere Details finden sich unter Äußere Algebra .

A1 war ein revolutionärer Text, seiner Zeit so weit voraus, dass er zunächst nicht die gebührende Anerkennung fand. Als Grassmann ihn 1847 im Rahmen seiner Bewerbung um eine Professur einreichte, bat das Ministerium Ernst Kummer um einen Bericht. Kummer bestätigte zwar gute Ideen im Text, bemängelte aber die mangelhafte Darstellung und riet Grassmann von einer Universitätsstelle ab. In den folgenden gut zehn Jahren verfasste Grassmann diverse Arbeiten, in denen er seine Extensionstheorie anwandte, darunter seine 1845 erschienene „ Neue Theorie der Elektrodynamik“ sowie mehrere Abhandlungen über algebraische Kurven und Flächen . Er hoffte, dass diese Anwendungen andere dazu bewegen würden, seine Theorie ernst zu nehmen.

1846 lud Möbius Grassmann zu einem Wettbewerb ein, um ein von Leibniz formuliertes Problem zu lösen : die Entwicklung einer geometrischen Analysis ohne Koordinaten und metrische Eigenschaften (was Leibniz als „analysis situs “ bezeichnete ). Grassmanns „Geometrische Analyse geknüpft an die von Leibniz erfundene geometrische Charakteristik“ war der siegreiche (und einzige) Beitrag. Möbius, der als Juror fungierte, kritisierte Grassmanns Einführung abstrakter Begriffe, ohne dem Leser deren Nutzen intuitiv zu vermitteln.

1853 veröffentlichte Grassmann eine Theorie zur Farbenmischung; seine vier Farbengesetze werden noch heute als Grassmannsche Gesetze gelehrt . Grassmanns Arbeit zu diesem Thema stand im Widerspruch zu der von Helmholtz . ^{[ 4 ]} Grassmann publizierte außerdem zu Kristallographie , Elektromagnetismus und Mechanik .

1861 legte Grassmann mit seinem Lehrbuch der Arithmetik den Grundstein für Peanos Axiomatisierung der Arithmetik . ^{[ 5 ]} 1862 veröffentlichte er eine grundlegend überarbeitete zweite Auflage von A1 , in der Hoffnung, seiner Erweiterungstheorie endlich Anerkennung zu verschaffen. Diese enthielt die endgültige Darstellung seiner linearen Algebra . Das Ergebnis, Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strengerer Form bearbeitet ( A2 ), schnitt jedoch nicht besser ab als A1 , obwohl die Darstellungsweise von A2 die Lehrbücher des 20. Jahrhunderts vorwegnahm.

In den 1840er Jahren waren Mathematiker im Allgemeinen nicht darauf vorbereitet, Grassmanns Ideen zu verstehen. ^{[ 6 ]} In den 1860er und 1870er Jahren entwickelten verschiedene Mathematiker ähnliche Ideen wie Grassmann, doch Grassmann selbst hatte das Interesse an Mathematik verloren. ^{[ 6 ] : 46}

Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant entwickelte einen Vektorkalkül, der dem von Grassmann ähnelte und den er 1845 veröffentlichte. Daraufhin entbrannte ein Streit mit Grassmann darüber, wer von beiden die Ideen zuerst gehabt hatte. Grassmann hatte seine Ergebnisse 1844 publiziert, Saint-Venant hingegen behauptete, diese Ideen bereits 1832 entwickelt zu haben.

Einer der ersten Mathematiker, der Grassmanns Ideen zu seinen Lebzeiten schätzte, war Hermann Hankel , dessen Theorie der komplexen Zahlensysteme 1867 erschien . ^{[ 7 ]}

[…], er entwickelte […] einige der Algebren von Hermann Grassmann und die Quaternionen von W. R. Hamilton weiter. Hankel erkannte als Erster die Bedeutung von Grassmanns lange vernachlässigten Schriften und wurde stark von ihnen beeinflusst.

1872 veröffentlichte Victor Schlegel den ersten Teil seines „ Systems der Raumlehre“ , in dem er Grassmanns Ansatz nutzte, um antike und moderne Ergebnisse der ebenen Geometrie herzuleiten . Felix Klein verfasste eine negative Rezension von Schlegels Buch, in der er dessen Unvollständigkeit und mangelnde Berücksichtigung Grassmanns bemängelte. 1875 legte Schlegel einen zweiten Teil seines „ Systems nach Grassmann“ vor, in dem er die Geometrie höherer Dimensionen entwickelte. Parallel dazu trieb Klein sein Erlanger Programm voran , das ebenfalls den Anwendungsbereich der Geometrie erweiterte. ^{[ 8 ]}

Das Verständnis von Grassmanns Theorien setzte das Konzept der Vektorräume voraus , mit denen sich die multilineare Algebra seiner Erweiterungstheorie ausdrücken ließ. Um Grassmanns Priorität gegenüber Hamilton zu sichern, drängte Josiah Willard Gibbs Grassmanns Erben, den Aufsatz über die Gezeiten von 1840 zu veröffentlichen. ^{[ 9 ]} A. N. Whiteheads erste Monographie, „The Universal Algebra “ (1898), enthielt die erste systematische Darstellung der Erweiterungstheorie und der äußeren Algebra in englischer Sprache . Mit dem Aufkommen der Differentialgeometrie wurde die äußere Algebra auf Differentialformen angewendet .

1995 veröffentlichte Lloyd C. Kannenberg eine englische Übersetzung von „Die Ausdehnungslehre und andere Werke“. Eine Einführung in die Bedeutung von Grassmanns Werk für die moderne mathematische Physik bietet Roger Penrose in „Der Weg zur Realität“ . ^{[ 10 ]}

Grassmanns mathematische Ideen begannen sich erst gegen Ende seines Lebens zu verbreiten. Dreißig Jahre nach der Veröffentlichung von A1 schrieb der Verleger an Grassmann: „Ihr Buch Die Ausdehnungslehre ist seit einiger Zeit vergriffen. Da sich Ihr Werk kaum verkaufte, wurden 1864 etwa 600 Exemplare als Altpapier verwendet, und die wenigen verbliebenen Exemplare sind inzwischen vergriffen, bis auf das eine Exemplar in unserer Bibliothek.“ ^{[ 6 ] : 45} Enttäuscht von der Rezeption seines Werkes in mathematischen Kreisen verlor Grassmann den Kontakt zu Mathematikern und auch sein Interesse an der Geometrie. In seinen letzten Lebensjahren wandte er sich der historischen Sprachwissenschaft und dem Studium des Sanskrit zu . Er verfasste Bücher zur deutschen Grammatik , sammelte Volkslieder und lernte Sanskrit. Er schrieb ein 2000-seitiges Wörterbuch und eine Übersetzung des Rigveda (über 1000 Seiten). In modernen Studien zum Rigveda wird Grassmanns Werk häufig zitiert. 1955 erschien die dritte Auflage seines Wörterbuchs. ^{[ 6 ] : 46}

Grassmann entdeckte und präsentierte eine phonologische Regel , die sowohl im Sanskrit als auch im Griechischen existiert . Ihm zu Ehren ist diese Regel als Grassmannsches Gesetz bekannt . Seine Entdeckung war für die historische Sprachwissenschaft jener Zeit revolutionär, da sie die weit verbreitete Annahme in Frage stellte, Sanskrit sei der ältere Vorläufer anderer indogermanischer Sprachen. ^{[ 11 ]} Diese Annahme beruhte auf der stärker agglutinierenden Struktur des Sanskrit, die Sprachen wie Latein und Griechisch nach Ansicht des Autors durchlaufen hatten, um ihre „modernere“ synthetische Struktur zu erreichen. Grassmanns Arbeit bewies jedoch, dass das Deutsche in mindestens einem phonologischen Muster tatsächlich „älter“ (d. h. weniger synthetisch) als das Sanskrit ist. Dies bedeutete, dass genealogische und typologische Klassifizierungen von Sprachen in der Sprachwissenschaft endlich korrekt getrennt wurden, was späteren Sprachwissenschaftlern bedeutende Fortschritte ermöglichte. ^{[ 12 ]}

Diese philologischen Leistungen wurden bereits zu seinen Lebzeiten gewürdigt. Er wurde in die American Oriental Society gewählt und erhielt 1876 die Ehrendoktorwürde der Universität Tübingen . ^{[ 2 ]}

• A1 :
  • Grassmann, Hermann (1844). Die lineare Ausdehnungslehre (auf Deutsch). Leipzig: Otto Wigand.
  • Grassmann, Hermann (1994). Ein neuer Zweig der Mathematik . Übersetzt von Lloyd C. Kannenberg. Open Court . S.  9–297 . ISBN 9780812692761Die
• Grassmann, Hermann (1847). Geometrische Analyse (auf Deutsch). Leipzig: Weidmannsche Buchhandlung .
• Grassmann, Hermann (1861). Lehrbuch der Mathematik für höhere Lehranstalten . Bd. 1: Arithmetik. Berlin: Adolph Enslin.
• A2 :
  • 1862. Die Ausdehnungslehre. Vollständig und in stärkerer Form begründet. . Berlin: Enslin.
  • Englische Übersetzung, 2000, von Lloyd Kannenberg, Extension Theory , American Mathematical Society ISBN 0-8126-9275-6ISBN​ 0-8126-9276-4
• 1873. Wörterbuch zum Rig-Veda . Leipzig: Brockhaus.
• 1876–1877. Rigveda . Leipzig: Brockhaus. Übersetzung in zwei Bänden, Band 1 erschienen 1876, Band 2 erschienen 1877.
• Grassmann, Hermann (1878). Über den Abfall vom Glauben: Mahnungen an die wissenschaftlichen Gebildeten der Neuzeit . Otto Brandner.
• 1894–1911. Gesammelte mathematische und physikalische Werke , in 3 Bänden. Friedrich Engel hrsg. Leipzig: BG Teubner. ^{[ 13 ]} Nachdruck 1972, New York: Johnson.

• Ampèresches Kraftgesetz
• Bra-Ket-Notation (Grassmann war ihr Vorläufer)
• Geometrische Algebra
• Multilineare Algebra
• Liste der nach Hermann Grassmann benannten Dinge

• Browne, John (Oktober 2012). Grassmann-Algebra . Band I: Grundlagen. Eltham, Australien: Barnard Publishing. ISBN 978-1479197637Die
• Browne, John (August 2020). Multiplanes and Multispheres: Notes on a Grassmann Algebra approach with Mathematica . Eltham, Australien: Barnard Publishing. ISBN 979-8657325379Die
• Cantù, Paola (13. Februar 2003). La matematica da scienza delle grandezze a teoria delle forme: l ' Ausdehnungslehre di H. Grassmann [ The Mathematics of Quantities to the Science of Forms: The Ausdehnungslehre of H. Grassmann ] (PDF) (Doktorarbeit) (auf Italienisch). Universität Genua.
• Crowe, Michael J. (1967). Geschichte der Vektoranalysis . University of Notre Dame Press . ISBN 0-486-64955-5Die
• Fearnley-Sander, Desmond (März 1982). „Hermann Grassmann und die Vorgeschichte der universellen Algebra“. The American Mathematical Monthly . 89 (3). Mathematical Association of America: 161–166 . doi : 10.2307/2320198 . ISSN  0002-9890 . JSTOR  2320198 .
• Fearnley-Sander, Desmond; Stokes, Timothy (1997). „Flächenberechnung in der Grassmann-Geometrie“. In: Wang, Dongming (Hrsg.). Automatisiertes Beweisen in der Geometrie . Internationaler Workshop über automatisiertes Beweisen in der Geometrie 1996. Lecture Notes in Computer Science. Band 1360. Toulouse, Frankreich: Springer. S.  141–170 . doi : 10.1007/BFb0022724 . ISBN 978-3-540-69717-6ISSN  0302-9743 .​
• Grattan-Guinness, Ivor (2000). Die Suche nach mathematischen Wurzeln, 1870–1940: Logik, Mengenlehre und die Grundlagen der Mathematik von Cantor über Russell bis Gödel . Princeton University Press . ISBN 9780691058580. JSTOR  j.ctt7rp8j .
• Petsche, Hans-Joachim (2006). Fellmann, Emil A. (Hrsg.). Graßmann . Vita Mathematica (in deutscher Sprache). Band 13. Basel, Schweiz: Birkhäuser. ISBN 3-7643-7257-5Die
• Petsche, Hans-Joachim (2009). Hermann Graßmann . Übersetzt von Minnes, Mark. Basel, Schweiz: Birkhäuser. doi : 10.1007/978-3-7643-8860-7 . ISBN 978-3-7643-8859-1. LCCN  2009929497 .
• Petsche, Hans-Joachim; Kannenberg, Lloyd C.; Keßler, Gottfried; Liskowacka, Jolanta, Hrsg. (2009). Hermann Graßmann – Wurzeln und Spuren . Basel, Schweiz: Birkhäuser. doi : 10.1007/978-3-0346-0155-9 . ISBN 978-3-0346-0155-9. LCCN  2009930234 .
• Petsche, Hans-Joachim; Liesen, Jörg; Lewis, Albert C.; Russ, Steve, Hrsg. (September 2011). Von der Vergangenheit in die Zukunft: Graßmanns Werk im Kontext . Graßmann-Jahrhundertkonferenz . Potsdam-Stettin: Birkhäuser. doi : 10.1007/978-3-0346-0405-5 . ISBN 978-3-0346-0404-8Die
• Lenke, Peter C.; Petsche, Hans-Joachim, Hrsg. (2010). Internationale Grassmann-Konferenz: Potsdam und Stettin (DVD). Universitätsverlag Potsdam. ISBN 978-3-86956-093-9Die
• Schlegel, Victor (1878). Hermann Grassmann: Sein Leben und seine Werke (auf Deutsch). Leipzig, Deutschland: Friedrich Arnold Brockhaus .
• Schubring, Gert (Hrsg.). (1996). Hermann Günther Graßmann (1809–1877): Visionärer Mathematiker, Wissenschaftler und neohumanistischer Gelehrter . Boston Studies in the Philosophy of Science. Band 187. Springer. doi : 10.1007/978-94-015-8753-2 . ISBN 978-94-015-8753-2ISSN  0068-0346 .​

Hinweis: Umfangreiche Online-Bibliographie belegt das beträchtliche zeitgenössische Interesse an Grassmanns Leben und Werk. Verweise auf jedes Kapitel in Schubring.

• Das MacTutor-Archiv zur Geschichte der Mathematik:
  • O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Hermann Grassmann" , MacTutor History of Mathematics Archive , Universität St Andrews
  • Abstrakte lineare Räume. Erörtert die Rolle von Grassmann und anderen Persönlichkeiten des 19. Jahrhunderts bei der Erfindung der linearen Algebra und der Vektorräume.
• Homepage von Fearnley-Sander .
• Grassmann-Gedenkkonferenz (1809–1877), 16.–19. September 2009, Potsdam/Szczecin (DE/PL) : Von der Vergangenheit in die Zukunft: Grassmanns Werk im Kontext
• „Die Grassmann-Methode in der projektiven Geometrie“ – Eine Zusammenstellung englischer Übersetzungen dreier Notizen von Cesare Burali-Forti zur Anwendung der Grassmannschen äußeren Algebra auf die projektive Geometrie
• C. Burali-Forti, „Einführung in die Differentialgeometrie nach der Methode von H. Grassmann“ (Englische Übersetzung eines Buches eines frühen Schülers von Grassmann)
• „Mechanik nach den Prinzipien der Erweiterungstheorie“ – Eine englische Übersetzung einer Abhandlung Grassmanns über die Anwendungen der äußeren Algebra