Hyperbolischer Gleichgewichtspunkt

In der Theorie dynamischer Systeme bezeichnet man als hyperbolischen Gleichgewichtspunkt oder hyperbolischen Fixpunkt einen Fixpunkt ohne zentrale Mannigfaltigkeit . In der Nähe eines hyperbolischen Punktes ähneln die Bahnen eines zweidimensionalen, nicht-dissipativen Systems Hyperbeln. Dies gilt jedoch nicht allgemein. Strogatz merkt dazu an: „Hyperbolisch ist ein unglücklicher Name – er klingt, als müsste er ‚ Sattelpunkt ‘ bedeuten –, hat sich aber durchgesetzt.“ ^{[ 1 ]} Für eine Umgebung eines hyperbolischen Punktes gelten verschiedene Eigenschaften, insbesondere ^{[ 2 ].}

• Es existieren eine stabile und eine instabile Mannigfaltigkeit.
• Schattenbildung tritt auf
• Die Dynamik auf der invarianten Menge kann mittels symbolischer Dynamik dargestellt werden .
• Ein natürliches Maß kann definiert werden
• Das System ist strukturell stabil .

Ist eine C ¹ Abbildung und ist p ein Fixpunkt, so heißt p ein hyperbolischer Fixpunkt, wenn die Jacobi-Matrix keine Eigenwerte auf dem komplexen Einheitskreis hat. ${\displaystyle T\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {D} T(p)}$

Ein Beispiel für eine Karte , deren einziger Fixpunkt hyperbolisch ist, ist Arnolds Katzenkarte :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{bmatrix}}}$

Da die Eigenwerte gegeben sind durch

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$

Wir wissen, dass die Lyapunov-Exponenten lauten:

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {\ln(3+{\sqrt {5}})}{2}}>1}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {\ln(3-{\sqrt {5}})}{2}}<1}$

Es handelt sich also um einen Sattelpunkt.

Sei F ein C¹ ^- Vektorfeld mit einem kritischen Punkt p , d. h. F ( p ) = 0, und sei J die Jacobi-Matrix von F in p . Besitzt die Matrix J keine Eigenwerte mit Realteil Null, so heißt p hyperbolisch . Hyperbolische Fixpunkte werden auch hyperbolische kritische Punkte oder elementare kritische Punkte genannt . ^{[ 3 ]}${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

Der Satz von Hartman-Grobman besagt, dass die Orbitstruktur eines dynamischen Systems in einer Umgebung eines hyperbolischen Gleichgewichtspunktes topologisch äquivalent zur Orbitstruktur des linearisierten dynamischen Systems ist.

Betrachten Sie das nichtlineare System

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=y,\\[5pt]{\frac {dy}{dt}}&=-xx^{3}-\alpha y,~\alpha \neq 0\end{aligned}}}$

(0, 0) ist der einzige Gleichgewichtspunkt. Die Jacobi-Matrix der Linearisierung im Gleichgewichtspunkt ist

${\displaystyle J(0,0)=\left[{\begin{array}{rr}0&1\\-1&-\alpha \end{array}}\right].}$

Die Eigenwerte dieser Matrix sind gegeben durch . Für alle Werte von α  ≠ 0 besitzen die Eigenwerte einen von null verschiedenen Realteil. Daher handelt es sich bei diesem Gleichgewichtspunkt um einen hyperbolischen Gleichgewichtspunkt. Das linearisierte System verhält sich in der Nähe von (0, 0) ähnlich wie das nichtlineare System. Für α  = 0 besitzt das System ein nichthyperbolisches Gleichgewicht bei (0, 0). ${\displaystyle {\frac {-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-4}}}{2}}}$

Im Falle eines unendlichdimensionalen Systems – beispielsweise von Systemen mit Zeitverzögerung – bezieht sich der Begriff des „hyperbolischen Teils des Spektrums“ auf die oben genannte Eigenschaft.

• Anosov-Fluss
• Hyperbolische Menge
• Normal hyperbolische invariante Mannigfaltigkeit

• Eugene M. Izhikevich (Hrsg.). „Gleichgewicht“ . Scholarpedia .