Hyperbolische Menge

In der Theorie dynamischer Systeme besitzt eine Teilmenge Λ einer glatten Mannigfaltigkeit M eine hyperbolische Struktur bezüglich einer glatten Abbildung f, wenn ihr Tangentialbündel bezüglich einer Riemannschen Metrik auf M in zwei invariante Unterbündel zerlegt werden kann , von denen eines unter f kontrahiert und das andere expandiert . Eine analoge Definition gilt für den Fall von Flüssen .

Im Spezialfall, dass die gesamte Mannigfaltigkeit M hyperbolisch ist, wird die Abbildung f als Anosov-Diffeomorphismus bezeichnet . Die Dynamik von f auf einer hyperbolischen Menge, die sogenannte hyperbolische Dynamik , weist Merkmale lokaler struktureller Stabilität auf und wurde eingehend untersucht (vgl. Axiom A ).

Sei M eine kompakte, glatte Mannigfaltigkeit , f : M → M ein Diffeomorphismus und Df : TM → TM das Differential von f . Eine f -invariante Teilmenge Λ von M heißt hyperbolisch oder besitzt eine hyperbolische Struktur , wenn die Einschränkung des Tangentialbündels von M auf Λ eine Zerlegung in eine Whitney-Summe zweier Df- invarianter Unterbündel zulässt, die als stabiles und instabiles Bündel bezeichnet und mit E  s  bzw. E u  notiert werden . Bezüglich einer Riemannschen Metrik auf M muss die Einschränkung von Df auf E s eine Kontraktion und die Einschränkung von Df auf E u eine Expansion sein. Daher existieren Konstanten 0 < λ < 1 und c > 0, sodass

${\displaystyle T_{\Lambda }M=E^{s}\oplus E^{u}}$

Und

${\displaystyle (Df)_{x}E_{x}^{s}=E_{f(x)}^{s}}$und für alle${\displaystyle (Df)_{x}E_{x}^{u}=E_{f(x)}^{u}}$${\displaystyle x\in \Lambda }$

Und

${\displaystyle \|Df^{n}v\|\leq c\lambda ^{n}\|v\|}$für alle und${\displaystyle v\in E^{s}}$${\displaystyle n>0}$

Und

${\displaystyle \|Df^{-n}v\|\leq c\lambda ^{n}\|v\|}$für alle und .${\displaystyle v\in E^{u}}$${\displaystyle n>0}$

Wenn Λ hyperbolisch ist, dann existiert eine Riemannsche Metrik, für die c  = 1 gilt – eine solche Metrik wird als adaptiert bezeichnet .

• Der hyperbolische Gleichgewichtspunkt p ist ein Fixpunkt oder Gleichgewichtspunkt von f , sodass ( Df ) _p keinen Eigenwert mit Absolutbetrag 1 besitzt. In diesem Fall ist Λ = { p }.
• Allgemeiner ist eine periodische Bahn von f mit Periode n genau dann hyperbolisch, wenn Df ⁿ an einem beliebigen Punkt der Bahn keinen Eigenwert mit dem Betrag 1 hat, und es genügt, diese Bedingung an einem einzigen Punkt der Bahn zu überprüfen.

• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Grundlagen der Mechanik . Reading, Mass.: Benjamin/Cummings. ISBN 0-8053-0102-XDie
• Brin, Michael; Stuck, Garrett (2002). Einführung in dynamische Systeme . Cambridge University Press. ISBN 0-521-80841-3Die

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