Normal hyperbolische invariante Mannigfaltigkeit

Eine normal hyperbolische invariante Mannigfaltigkeit ( NHIM ) ist eine natürliche Verallgemeinerung eines hyperbolischen Fixpunktes und einer hyperbolischen Menge . Der Unterschied lässt sich heuristisch wie folgt beschreiben: Eine Mannigfaltigkeit ist normal hyperbolisch, wenn ihre Dynamik im Vergleich zur Dynamik ihrer Umgebung neutral ist. Dies ist bei einer hyperbolischen Menge nicht zulässig. NHIMs wurden 1972 von Neil Fenichel eingeführt ^{. [ 1 ]} In dieser und nachfolgenden Arbeiten ^{[ 2 , 3 ]} beweist Fenichel, dass NHIMs stabile und instabile Mannigfaltigkeiten besitzen und, was noch wichtiger ist, dass NHIMs und ihre stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten unter kleinen Störungen erhalten bleiben. Somit existieren in Problemen der Störungstheorie invariante Mannigfaltigkeiten mit bestimmten Hyperbolizitätseigenschaften, die wiederum genutzt werden können, um qualitative Informationen über ein dynamisches System zu gewinnen . ^{[ 4 ]}${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \Lambda }$

Sei M eine kompakte, glatte Mannigfaltigkeit , f : M → M ein Diffeomorphismus und Df : TM → TM das Differential von f . Eine f -invariante Untermannigfaltigkeit Λ von M heißt normal hyperbolisch invariante Mannigfaltigkeit, wenn die Einschränkung des Tangentialbündels von M auf Λ eine Zerlegung in eine Summe dreier Df- invarianter Unterbündel zulässt. Eines dieser Unterbündel ist das Tangentialbündel von M , die anderen beiden sind das stabile und das instabile Bündel , bezeichnet mit E s  bzw. E  u . Bezüglich einer Riemannschen Metrik auf M muss die Einschränkung von Df auf E s eine Kontraktion und die Einschränkung von Df auf E u eine Expansion sein und relativ neutral auf M sein . Daher existieren Konstanten c >  0, sodass ${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle T\Lambda }$${\displaystyle 0<\lambda <\mu ^{-1}<1}$

${\displaystyle T_{\Lambda }M=T\Lambda \oplus E^{s}\oplus E^{u}}$

${\displaystyle (Df)_{x}E_{x}^{s}=E_{f(x)}^{s}{\text{ und }}(Df)_{x}E_{x}^{u}=E_{f(x)}^{u}{\text{ für alle }}x\in \Lambda ,}$

${\displaystyle \|Df^{n}v\|\leq c\lambda ^{n}\|v\|{\text{ für alle }}v\in E^{s}{\text{ und }}n>0,}$

${\displaystyle \|Df^{-n}v\|\leq c\lambda ^{n}\|v\|{\text{ für alle }}v\in E^{u}{\text{ und }}n>0,}$

Und

${\displaystyle \|Df^{n}v\|\leq c\mu ^{|n|}\|v\|{\text{ für alle }}v\in T\Lambda {\text{ und }}n\in \mathbb {Z} .}$

• Stabiler Verteiler
• Zentralverteiler
• Hyperbolischer Fixpunkt
• Hyperbolische Menge
• Hyperbolische Lagrangesche kohärente Strukturen

• M. W. Hirsch, C. C. Pugh und M. Shub , Invariante Mannigfaltigkeiten , Springer-Verlag (1977), ISBN 978-3540081487doi : 10.1007/BFb0092042