Direkte Begrenzung

In der Mathematik ist ein direkter Limes eine Möglichkeit, ein (typischerweise großes) Objekt aus vielen (typischerweise kleineren) Objekten zu konstruieren, die auf eine bestimmte Weise zusammengesetzt sind. Diese Objekte können Gruppen , Ringe , Vektorräume oder allgemein Objekte aus einer beliebigen Kategorie sein . Die Art ihrer Zusammensetzung wird durch ein System von Homomorphismen ( Gruppenhomomorphismen , Ringhomomorphismen oder allgemein Morphismen in der Kategorie) zwischen diesen kleineren Objekten festgelegt. Der direkte Limes der Objekte , wobei über eine gerichtete Menge läuft , wird mit bezeichnet . Diese Notation blendet das System der Homomorphismen aus; der Limes hängt jedoch vom System der Homomorphismen ab. ${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$

Direkte Limiten sind ein Spezialfall des Konzepts der Kolimes in der Kategorientheorie . Direkte Limiten sind dual zu inversen Limiten , welche wiederum ein Spezialfall von Limiten in der Kategorientheorie sind.

Wir werden zunächst die Definition für algebraische Strukturen wie Gruppen und Moduln angeben und anschließend die allgemeine Definition, die in jeder Kategorie verwendet werden kann .

In diesem Abschnitt versteht man unter Objekten zugrundeliegende Mengen , die mit einer gegebenen algebraischen Struktur ausgestattet sind , wie etwa Gruppen , Ringe , Moduln (über einem festen Ring), Algebren (über einem festen Körper ) usw. Vor diesem Hintergrund werden Homomorphismen im entsprechenden Kontext verstanden ( Gruppenhomomorphismen usw.).

Sei eine gerichtete Menge . Sei eine Familie von Objekten, indiziert durch , und sei ein Homomorphismus für alle mit den folgenden Eigenschaften: ${\displaystyle \langle I,\leq \rangle }$${\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}$${\displaystyle I\,}$${\displaystyle f_{ij}\colon A_{i}\rightarrow A_{j}}$${\displaystyle i\leq j}$

1. ${\displaystyle f_{ii}\,}$ist die Identität auf , und${\displaystyle A_{i}\,}$
2. ${\displaystyle f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}}$für alle .${\displaystyle i\leq j\leq k}$

Dann wird das Paar als direktes System über bezeichnet . ${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }$${\displaystyle I}$

Der direkte Grenzwert des direkten Systems wird mit bezeichnet und ist wie folgt definiert. Seine zugrundeliegende Menge ist die disjunkte Vereinigung der modulo einer bestimmten Äquivalenzrelation : ${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }$${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle \sim \,}$

${\displaystyle \varinjlim A_{i}=\bigsqcup _{i}A_{i}{\bigg /}\sim .}$

Hier gilt: Wenn und , dann genau dann, wenn es ein mit und gibt, sodass . Intuitiv sind zwei Elemente in der disjunkten Vereinigung genau dann äquivalent, wenn sie im direkten System „schließlich gleich werden“. Eine äquivalente Formulierung, die die Dualität zum inversen Limes hervorhebt , besagt, dass ein Element äquivalent zu all seinen Bildern unter den Abbildungen des direkten Systems ist, d. h. immer dann, wenn . ${\displaystyle x_{i}\in A_{i}}$${\displaystyle x_{j}\in A_{j}}$${\displaystyle x_{i}\sim \,x_{j}}$${\displaystyle k\in I}$${\displaystyle i\leq k}$${\displaystyle j\leq k}$${\displaystyle f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})\,}$${\displaystyle x_{i}\sim \,f_{ij}(x_{i})}$${\displaystyle i\leq j}$

Aus dieser Definition erhält man kanonische Funktionen, die jedes Element auf seine Äquivalenzklasse abbilden. Die algebraischen Operationen auf werden so definiert, dass diese Abbildungen zu Homomorphismen werden. Formal besteht der direkte Limes des direkten Systems aus dem Objekt und den kanonischen Homomorphismen . ${\displaystyle \phi _{j}\colon A_{j}\rightarrow \varinjlim A_{i}}$${\displaystyle \varinjlim A_{i}\,}$${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }$${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$${\displaystyle \phi _{j}\colon A_{j}\rightarrow \varinjlim A_{i}}$

Der direkte Limes kann in einer beliebigen Kategorie mittels einer universellen Eigenschaft definiert werden . Sei ein direktes System von Objekten und Morphismen in (wie oben definiert). Ein Ziel ist ein Paar, wobei ein Objekt in ist und Morphismen für jedes sind, sodass gilt: wann immer . Ein direkter Limes des direkten Systems ist ein universell abstoßendes Ziel in dem Sinne, dass ein Ziel ist und es für jedes Ziel einen eindeutigen Morphismus gibt, sodass für jedes i gilt . Das folgende Diagramm ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$${\displaystyle X\,}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \phi _{i}\colon X_{i}\rightarrow X}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle \phi _{i}=\phi _{j}\circ f_{ij}}$${\displaystyle i\leq j}$${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$${\displaystyle \langle Y,\psi _{i}\rangle }$${\displaystyle u\colon X\rightarrow Y}$${\displaystyle u\circ \phi _{i}=\psi _{i}}$

wird dann für alle i , j kommutieren .

Die direkte Grenze wird oft mit bezeichnet

${\displaystyle X=\varinjlim X_{i}}$

unter der Voraussetzung, dass das direkte System und die kanonischen Morphismen (oder genauer gesagt, die kanonischen Injektionen ) verstanden werden. ${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$${\displaystyle \phi _{i}}$${\displaystyle \iota _{i}}$

Anders als bei algebraischen Objekten besitzt nicht jedes direkte System in einer beliebigen Kategorie einen direkten Limes. Besitzt es jedoch einen, so ist dieser direkte Limes im strengen Sinne eindeutig: Zu einem anderen direkten Limes X ′ existiert genau ein Isomorphismus X ′ → X , der mit den kanonischen Morphismen kommutiert.

• Eine Menge von Teilmengen einer Menge kann durch Inklusion teilweise geordnet werden . Ist die Menge gerichtet, so ist ihr direkter Grenzwert die Vereinigung .${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \bigcup M_{i}}$
• Similarly, the collection of finitely generated subgroups ${\displaystyle H_{i}}$ of a given group ${\displaystyle G}$ can be partially ordered by inclusion. Finite sets of finitely generated subgroups ${\displaystyle \{\langle X_{1}\rangle ,\langle X_{2}\rangle ,\dots \langle X_{n}\rangle \}}$ are containined in the finitely generated subgroup ${\displaystyle \langle \cup X_{i}\rangle }$, so the index set is indeed directed. With the inclusion morphisms ${\displaystyle f_{i,j}:H_{i}\to H_{j}}$, the direct limit is simply (isomorphic to) ${\displaystyle G}$. An analogous result holds for rings, modules, algebras, etc. Note the requirement of finite generation may be weakened, as long as the index set remains directed.
• The weak topology of a CW complex is defined as a direct limit.
• Let ${\displaystyle I}$ be any directed set with a greatest element${\displaystyle m}$. The direct limit ${\displaystyle X}$ of any corresponding direct system is isomorphic to ${\displaystyle X_{m}}$ and the canonical morphism ${\displaystyle \phi _{m}:X_{m}\rightarrow X}$ is an isomorphism.
• Let K be a field. For a positive integer n, consider the general linear group GL(n;K) consisting of invertible n x n - matrices with entries from K. We have a group homomorphism GL(n;K) → GL(n+1;K) that enlarges matrices by putting a 1 in the lower right corner and zeros elsewhere in the last row and column. The direct limit of this system is the general linear group of K, written as GL(K). An element of GL(K) can be thought of as an infinite invertible matrix that differs from the infinite identity matrix in only finitely many entries. The group GL(K) is of vital importance in algebraic K-theory.
• Let p be a prime number. Consider the direct system composed of the factor groups${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ and the homomorphisms ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /p^{n+1}\mathbb {Z} }$ induced by multiplication by ${\displaystyle p}$. The direct limit of this system consists of all the roots of unity of order some power of ${\displaystyle p}$, and is called the Prüfer group${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$.
• There is a (non-obvious) injective ring homomorphism from the ring of symmetric polynomials in ${\displaystyle n}$ variables to the ring of symmetric polynomials in ${\displaystyle n+1}$ variables. Forming the direct limit of this direct system yields the ring of symmetric functions.
• Sei F eine C -wertige Garbe über einem topologischen Raum X. Sei x ein fester Punkt in X. Die offenen Umgebungen von x bilden eine gerichtete Menge, geordnet durch Inklusion ( U ≤ V genau dann, wenn U V enthält ). Das zugehörige direkte System ist ( F ( U ), r _{U , V} ), wobei r die Restriktionsabbildung ist. Der direkte Limes dieses Systems heißt Stamm von F in x und wird mit F _x bezeichnet . Zu jeder Umgebung U von x ordnet der kanonische Morphismus F ( U ) → F _x einem Schnitt s von F über U ein Element s _x des Stamms F _x zu , das als Keim von s in x bezeichnet wird .
• Direkte Limiten in der Kategorie der topologischen Räume erhält man, indem man die finale Topologie auf den zugrunde liegenden mengentheoretischen direkten Limes setzt.
• Ein Ind-Schema ist ein induktiver Grenzwert von Schemata.

Direkte Grenzwerte sind über folgende Wege mit inversen Grenzwerten verknüpft:

${\displaystyle \mathrm {Hom} (\varinjlim X_{i},Y)=\varprojlim \mathrm {Hom} (X_{i},Y).}$

Eine wichtige Eigenschaft ist, dass die Bildung direkter Limiten in der Kategorie der Moduln ein exakter Funktor ist . Dies bedeutet, dass für jedes gerichtete System kurzer exakter Sequenzen auch die Sequenz der direkten Limiten exakt ist.${\displaystyle 0\to A_{i}\to B_{i}\to C_{i}\to 0}$${\displaystyle 0\to \varinjlim A_{i}\to \varinjlim B_{i}\to \varinjlim C_{i}\to 0}$

Wir stellen fest, dass ein direktes System in einer Kategorie eine alternative Beschreibung mittels Funktoren zulässt . Jede gerichtete Menge kann als kleine Kategorie betrachtet werden , deren Objekte die Elemente sind, und es existiert genau dann ein Morphismus, wenn . Ein direktes System über ist dann identisch mit einem kovarianten Funktor . Der Kolimes dieses Funktors ist identisch mit dem direkten Limes des ursprünglichen direkten Systems. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \langle I,\leq \rangle }$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle i\rightarrow j}$${\displaystyle i\leq j}$${\displaystyle I}$${\displaystyle {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$

Ein eng mit direkten Limiten verwandter Begriff sind die gefilterten Kolimiten . Hierbei betrachten wir einen kovarianten Funktor von einer gefilterten Kategorie in eine beliebige andere Kategorie und bilden den Kolimiten dieses Funktors. Man kann zeigen, dass eine Kategorie genau dann alle gerichteten Limiten besitzt, wenn sie alle gefilterten Kolimiten besitzt, und dass ein auf einer solchen Kategorie definierter Funktor genau dann mit allen direkten Limiten kommutiert, wenn er mit allen gefilterten Kolimiten kommutiert. ^{[ 1 ]}${\displaystyle {\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

In einer beliebigen Kategorie kann es direkte Systeme geben, die keinen direkten Limiten in besitzen (man denke beispielsweise an die Kategorie der endlichen Mengen oder die Kategorie der endlich erzeugten abelschen Gruppen ). In diesem Fall können wir stets in eine Kategorie einbetten , in der alle direkten Limiten existieren; die Objekte von heißen Ind-Objekte von . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\text{Ind}}({\mathcal {C}})}$${\displaystyle {\text{Ind}}({\mathcal {C}})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Das kategoriale Dual des direkten Grenzwerts wird als inverser Grenzwert bezeichnet . Wie oben erwähnt, können inverse Grenzwerte als Grenzwerte bestimmter Funktoren betrachtet werden und stehen in engem Zusammenhang mit Grenzwerten über kofiltrierten Kategorien.

In der Literatur finden sich für den oben definierten Begriff des direkten Limits die Bezeichnungen „gerichteter Limitus“, „direkter induktiver Limitus“, „gerichteter Kolimitus“, „direkter Kolimitus“ und „induktiver Limitus“. Der Begriff „induktiver Limitus“ ist jedoch mehrdeutig, da er von einigen Autoren auch für den allgemeinen Begriff des Kolimitus verwendet wird.

• Direkte Grenzen von Gruppen

• Bourbaki, Nicolas (1968), Elemente der Mathematik. Mengenlehre , Übersetzung aus dem Französischen, Paris: Hermann, MR  0237342
• Mac Lane, Saunders (1998), Kategorien für den arbeitenden Mathematiker , Graduate Texts in Mathematics , Bd. 5 (2. Aufl.), Springer-Verlag