Jessens Ikosaeder

Das Jessen-Ikosaeder , auch orthogonales Jessen-Ikosaeder genannt , ist ein nicht-konvexes Polyeder mit der gleichen Anzahl an Ecken, Kanten und Flächen wie das reguläre Ikosaeder . Es ist nach Børge Jessen benannt , der es 1967 untersuchte. ^{[ 1 ]} 1971 entdeckte und untersuchte Adrien Douady unabhängig davon eine Familie nicht-konvexer Polyeder, zu der auch diese Form gehört , unter dem Namen Sechsschnabel-Schnecken -Polyeder . ^{[ 2 ] [ 3 ]} Spätere Autoren verwendeten Varianten dieses Namens spezifischer für das Jessen-Ikosaeder. ^{[ 4 ]}

Die Flächen des Jessen-Ikosaeders treffen sich ausschließlich in rechten Winkeln , obwohl es keine Ausrichtung besitzt, bei der alle Flächen parallel zu den Koordinatenebenen verlaufen. Es handelt sich um ein „wackeliges Polyeder“, was bedeutet, dass es (ähnlich einem flexiblen Polyeder ) nicht infinitesimal starr ist . Durch das Verbinden der Kanten dieses Polyeders mit Streben und Seilen entsteht eine weit verbreitete Tensegrity- Struktur ^{[ 5 ]} , die auch als Sechs-Stab-Tensegrity ^{[ 6 ]} , Tensegrity-Ikosaeder oder erweitertes Oktaeder ^{[ 7 ]} bezeichnet wird .

Ansicht mit durchscheinenden Flächen

Entfernungen zwischen ausgewählten Punkten

Die Eckpunkte des Jessen-Ikosaeders können so gewählt werden, dass ihre Koordinaten den zwölf Tripeln entsprechen, die durch zyklische Permutationen der Koordinaten gegeben sind . ^{[ 1 ]} Mit dieser Koordinatendarstellung haben die kurzen Kanten des Ikosaeders (die mit konvexen Winkeln) die Länge , und die langen (überstumpfen) Kanten haben die Länge . Die Flächen des Ikosaeders sind acht kongruente gleichseitige Dreiecke mit der kurzen Seitenlänge und zwölf kongruente stumpfwinklige gleichschenklige Dreiecke mit einer langen und zwei kurzen Kanten. ^{[ 8 ]}${\displaystyle (\pm 2,\pm 1,0)}$${\displaystyle {\sqrt {6}}}$${\displaystyle 4}$

Das Jessen-Ikosaeder ist eckentransitiv (oder isogonal ), d. h., es besitzt Symmetrien, die jede Ecke auf jede andere abbilden. ^{[ 9 ]} Seine Diederwinkel sind allesamt rechte Winkel . Es kann als Grundlage für die Konstruktion einer unendlichen Familie kombinatorisch unterschiedlicher Polyeder mit rechten Diederwinkeln verwendet werden, die durch Verkleben von Kopien des Jessen-Ikosaeders an ihren gleichseitigen Dreiecksflächen entstehen. ^{[ 1 ]}

Wie beim einfacheren Schönhardt-Polyeder lässt sich das Innere des Jessen-Ikosaeders nicht ohne Hinzufügen neuer Eckpunkte in Tetraeder triangulieren . ^{[ 10 ]} Da seine Diederwinkel jedoch rationale Vielfache von θ sind , ist seine Dehn-Invariante gleich null. Daher ist es scherenkongruent zu einem Würfel, d. h., es kann in kleinere Polyederstücke zerlegt werden, die zu einem massiven Würfel zusammengesetzt werden können. ^{[ 1 ]}${\displaystyle \pi }$

Es ist sternförmig , was bedeutet, dass es in seinem Inneren einen Punkt gibt (beispielsweise sein Symmetriezentrum), von dem aus alle anderen Punkte sichtbar sind. Es liefert ein Gegenbeispiel zu einer Frage von Michel Demazure , ob sternförmige Polyeder mit dreieckigen Flächen durch Verschieben ihrer Eckpunkte entlang von Strahlen von diesem Mittelpunkt aus konvex gemacht werden können. Demazure hatte diese Frage mit einem Punkt der algebraischen Geometrie verknüpft , indem er bewies, dass für sternförmige Polyeder mit dreieckigen Flächen eine bestimmte algebraische Varietät , die dem Polyeder zugeordnet ist, eine projektive Varietät wäre, wenn das Polyeder auf diese Weise konvex gemacht werden könnte. Adrien Douady bewies jedoch, dass diese Verschiebung für eine Familie von Formen, zu der auch das Jessen-Ikosaeder gehört, nicht zu einem konvexen Polyeder führen kann. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Demazure nutzte dieses Ergebnis, um eine nicht-projektive glatte rationale vollständige dreidimensionale Varietät zu konstruieren. ^{[ 11 ]}

Het Ding , eine Tensegrity-Skulptur, deren Streben und Kabel die Umrisse von Jessens Ikosaeder bilden, an der Universität von Twente

Jessens Ikosaeder ist kein flexibler Polyeder : Selbst wenn seine Flächen aus starren, durch Gelenke verbundenen Platten bestehen, kann er seine Form nicht verändern. Er ist jedoch auch nicht infinitesimal starr . Das bedeutet, dass seine Eckpunkte eine kontinuierliche Bewegung ausführen können, die zwar die Kantenlängen und Flächenformen des Polyeders nicht exakt erhält, dies aber in erster Näherung tut . Als starrer, aber nicht infinitesimal starrer Polyeder ist er ein Beispiel für einen „wackeligen Polyeder“. ^{[ 5 ]} Da bereits sehr kleine Änderungen seiner Kantenlängen viel größere Änderungen seiner Winkel bewirken können, wirken physikalische Modelle des Polyeders flexibel. ^{[ 4 ]}

Ersetzt man die langen, konkav-dihedrischen Kanten des Jessen-Ikosaeders durch starre Streben und die kürzeren, konvex-dihedrischen Kanten durch Kabel oder Drähte, entsteht das Tensegrity-Ikosaeder , das auch als „Sechs-Stab-Tensegrity“ ^{[ 6 ]} und „erweitertes Oktaeder“ ^{[ 7 ]} bezeichnet wird. Neben Tensegrity-Skulpturen ist diese Struktur die am weitesten verbreitete Form von Tensegrity-Robotern, und das auf dieser Struktur basierende Kinderspielzeug „Skwish“ war in den 1980er-Jahren sehr beliebt ^{[ 6 ]} . Das auf diesem Design basierende Konzept des „Superball-Bots“ wurde vom NASA Institute for Advanced Concepts als Möglichkeit vorgeschlagen, Weltraumforschungsgeräte für sichere Landungen auf anderen Planeten einzukapseln. ^{[ 12 ] [ 13 ]} Anthony Pugh bezeichnet diese Struktur als „vielleicht die bekannteste und sicherlich eine der beeindruckendsten Tensegrity-Figuren“. ^{[ 7 ]}

Das Jessen-Ikosaeder ist schwach konvex , d. h. seine Eckpunkte liegen in konvexer Position . Seine Existenz beweist, dass schwach konvexe Polyeder nicht infinitesimal starr sein müssen. Es wurde jedoch vermutet, dass schwach konvexe Polyeder, die trianguliert werden können, infinitesimal starr sein müssen. Diese Vermutung wurde unter der zusätzlichen Annahme bewiesen, dass auch der äußere Teil der konvexen Hülle des Polyeders trianguliert werden kann. ^{[ 14 ]}

Eine ähnliche Form lässt sich erzeugen, indem man die Eckpunkte eines regulären Ikosaeders an ihren ursprünglichen Positionen belässt und bestimmte Paare gleichseitiger Dreiecke durch Paare gleichschenkliger Dreiecke ersetzt. Diese Form wurde fälschlicherweise auch als Jessen-Ikosaeder bezeichnet. ^{[ 15 ]} Obwohl das resultierende Polyeder dieselbe kombinatorische Struktur und Symmetrie wie das Jessen-Ikosaeder aufweist und diesem ähnlich sieht, bildet es keine Tensegrity-Struktur ^{[ 7 ]} und besitzt keine rechtwinkligen Diederwinkel.

Jessens Ikosaeder gehört zu einer Familie von Ikosaedern mit 20 Flächen, von denen 8 gleichseitige und 12 gleichschenklige Dreiecke sind. Jede Form dieser Familie entsteht aus einem regulären Oktaeder , indem dessen Kanten im gleichen Verhältnis geteilt und die Teilungspunkte entsprechend dem Muster eines regulären Ikosaeders verbunden werden. Diese Formen lassen sich durch das Verhältnis der Oktaederkantenteilung parametrisieren. Die konvexen Formen dieser Familie wurden 1940 von H. S. M. Coxeter beschrieben , der ihre Konstruktion aus Oktaedern Alicia Boole Stott zuschrieb ^{[ 16 ] [ 17 ]} . Diese konvexen Formen reichen vom Oktaeder selbst über das reguläre Ikosaeder bis hin zum Kuboktaeder , dessen quadratische Flächen in zwei rechtwinklige Dreiecke in einer Ebene unterteilt sind. Eine Erweiterung des Parameterbereichs über das Verhältnis hinaus, das den Kuboktaeder ergibt, führt zu nicht-konvexen Formen, darunter Jessens Ikosaeder. Die verdrillenden, expansiv-kontraktiven Transformationen zwischen Mitgliedern dieser Familie, die unterschiedlich parametrisiert werden, um einen konstanten Wert für eine der beiden Kantenlängen zu gewährleisten, wurden von Buckminster Fuller als Jitterbug-Transformationen bezeichnet . ^{[ 18 ]}

Im Jahr 2018 wurde Jessens Ikosaeder von V. A. Gor'kavyi und A. D. Milka zu einer unendlichen Familie starrer, aber nicht infinitesimal starrer Polyeder verallgemeinert. Diese Polyeder sind kombinatorisch verschieden und besitzen chirale Diedersymmetriegruppen beliebig hoher Ordnung. Im Gegensatz zu Jessens Ikosaeder sind jedoch nicht alle ihre Flächen Dreiecke. ^{[ 19 ]}

• Jessens orthogonales Ikosaeder ( Archiviert am 09.01.2022 in der Wayback Machine , The Polyhedra World, Maurice Stark; enthält ein 3D-Modell, das aus beliebigen Blickwinkeln betrachtet werden kann)