Logikübersetzung

Logische Übersetzung ist der Prozess der Darstellung eines Textes in der formalen Sprache eines logischen Systems . Ist der Ausgangstext in Alltagssprache formuliert, spricht man oft von Formalisierung in natürlicher Sprache . Ein Beispiel ist die Übersetzung des englischen Satzes „some men are bald“ in die Prädikatenlogik erster Stufe . [ ^{a ] Ziel} ist es, die logische Struktur der Argumente offenzulegen. Dadurch können die präzisen Regeln der formalen Logik angewendet werden, um die Korrektheit dieser Argumente zu überprüfen. Die Übersetzung kann auch das logische Denken leiten , indem sie zu neuen Schlussfolgerungen führt . ${\displaystyle \exists x(M(x)\land B(x))}$

Viele Schwierigkeiten des Prozesses entstehen durch vage oder mehrdeutige Ausdrücke in der natürlichen Sprache. Beispielsweise kann das englische Wort „is“ bedeuten, dass etwas existiert , dass es mit etwas anderem identisch ist oder dass es eine bestimmte Eigenschaft besitzt . Dies steht im Gegensatz zur Präzision der formalen Logik, die solche Mehrdeutigkeiten vermeidet. Die Formalisierung natürlicher Sprache ist in verschiedenen Bereichen der Natur- und Geisteswissenschaften relevant. Sie kann für die Logik im Allgemeinen eine Schlüsselrolle spielen, da sie notwendig ist, um eine Verbindung zwischen vielen Formen des Denkens und abstrakten logischen Systemen herzustellen. Die Verwendung informeller Logik ist eine Alternative zur Formalisierung, da sie die Schlüssigkeit von Argumenten der Alltagssprache in ihrer ursprünglichen Form analysiert. Die Formalisierung natürlicher Sprache unterscheidet sich von Logikübersetzungen, die Formeln von einem logischen System in ein anderes übertragen, beispielsweise von der Modallogik in die Prädikatenlogik erster Stufe. Diese Form der Logikübersetzung ist insbesondere für die logische Programmierung und die Metalogik relevant .

Eine zentrale Herausforderung bei der Logikübersetzung besteht darin, die Genauigkeit von Übersetzungen zu bestimmen und gute von schlechten zu unterscheiden. Der Fachbegriff hierfür lautet „ Kriterien für adäquate Übersetzungen“ . Ein häufig zitiertes Kriterium besagt, dass Übersetzungen die Schlussfolgerungsbeziehungen zwischen Sätzen erhalten sollten. Dies impliziert, dass ein Argument, das im Originaltext gültig ist , auch in der Übersetzung gültig sein sollte. Ein weiteres Kriterium ist, dass Originalsatz und Übersetzung dieselben Wahrheitsbedingungen erfüllen . Weitere vorgeschlagene Bedingungen sind, dass eine Übersetzung keine zusätzlichen oder unnötigen Symbole enthält und ihre grammatikalische Struktur dem Originalsatz ähnelt. Es wurden verschiedene Verfahren zur Textübersetzung vorgeschlagen. Vorbereitende Schritte umfassen das Verständnis der Bedeutung des Originaltextes und dessen Paraphrasierung , um Mehrdeutigkeiten zu beseitigen und seine logische Struktur expliziter darzustellen. Als Zwischenschritt kann eine Übersetzung in eine Hybridsprache erfolgen. Diese Hybridsprache implementiert einen logischen Formalismus, behält aber den Wortschatz des Originalausdrucks bei. Im letzten Schritt wird dieser Wortschatz durch logische Symbole ersetzt. Übersetzungsverfahren sind in der Regel keine exakten Algorithmen, und ihre Anwendung beruht auf intuitivem Verständnis. Logikübersetzungen werden oft kritisiert, weil sie nicht alle Aspekte und Nuancen des Originaltextes präzise wiedergeben können.

Eine logische Übersetzung ist die Übertragung eines Textes in ein logisches System . Beispielsweise ist die Übersetzung des Satzes „Alle Wolkenkratzer sind hoch“ eine logische Übersetzung, die einen englischen Satz im logischen System der Prädikatenlogik erster Stufe ausdrückt . Ziel logischer Übersetzungen ist es in der Regel, die logische Struktur von Argumenten in der natürlichen Sprache explizit zu machen. Dadurch können die Regeln der formalen Logik verwendet werden, um die Gültigkeit der Argumente zu überprüfen . ^{[ 1 ]}${\displaystyle \forall x(S(x)\to T(x))}$

Übersetzung im weitesten Sinne ist ein Prozess, der Ausdrücke einer Ausgangssprache mit Ausdrücken einer Zielsprache verknüpft. ^{[ 2 ]} Beispielsweise werden bei einer satzweisen Übersetzung eines englischen Textes ins Französische englische Sätze mit ihren französischen Entsprechungen verbunden. Charakteristisch für logische Übersetzungen ist, dass die Zielsprache einem logischen System angehört. ^{[ 3 ]} Logische Übersetzungen unterscheiden sich von regulären Übersetzungen dadurch, dass sie sich hauptsächlich mit der Wiedergabe der logischen Struktur des Ausgangstextes und weniger mit dessen konkretem Inhalt befassen. Reguläre Übersetzungen hingegen berücksichtigen verschiedene zusätzliche Faktoren, die Inhalt, Bedeutung und Stil des Ausgangsausdrucks betreffen. ^{[ 4 ]} Aus diesem Grund argumentieren einige Theoretiker, wie Peregrin und Svoboda, dass es sich dabei nicht um eine Form der Übersetzung handelt. Sie verwenden stattdessen Begriffe wie „Formalisierung“, „Symbolisierung“ und „Explikation“. ^{[ 5 ]} Diese Ansicht wird nicht von allen Logikern geteilt, und einige, wie Mark Sainsbury , argumentieren, dass gelungene logische Übersetzungen die gesamte ursprüngliche Bedeutung bewahren und gleichzeitig die logische Struktur explizit machen. ^{[ 6 ]}

Diskussionen über logische Übersetzungen konzentrieren sich üblicherweise auf das Problem, die logische Struktur von Sätzen der Alltagssprache in einem formalen logischen System auszudrücken. Der Begriff umfasst auch Fälle, in denen die Übersetzung von einem logischen System in ein anderes erfolgt. ^{[ 7 ]}

Verschiedene grundlegende Konzepte werden in der Untersuchung und Analyse logischer Übersetzungen verwendet. Die Logik befasst sich mit korrektem Denken, das in Form von Schlussfolgerungen oder Argumenten erfolgt. Ein Argument besteht aus Prämissen und einer Schlussfolgerung. ^{[ 8 ]} Ein Argument ist deduktiv gültig, wenn seine Schlussfolgerung unmöglich falsch sein kann, falls alle Prämissen wahr sind. ^{[ 9 ]} Gültige Argumente folgen einer Schlussregel , die vorschreibt, wie Prämissen und Schlussfolgerung aufgebaut sein müssen. ^{[ 10 ]} Eine wichtige Schlussregel ist der Modus ponens , der besagt, dass Argumente der Form „(1) p ; (2) wenn p, dann q ; (3) daher q “ gültig sind. ^{[ 11 ]} Ein Beispiel für ein Argument nach Modus ponens ist: „(1) Heute ist Sonntag; (2) wenn heute Sonntag ist, dann muss ich heute nicht zur Arbeit gehen; (3) daher muss ich heute nicht zur Arbeit gehen.“ ^{[ 12 ]}

Es gibt verschiedene logische Systeme zur Beurteilung der Gültigkeit von Argumenten. ^{[ 13 ]} Die Aussagenlogik konzentriert sich beispielsweise ausschließlich auf Schlussfolgerungen, die auf logischen Verknüpfungen wie „und“ oder „wenn…dann“ basieren. Die Prädikatenlogik erster Stufe hingegen umfasst auch Schlussfolgerungsmuster, die zu Ausdrücken wie „jeder“ oder „einige“ gehören. Erweiterte Logiken decken weitere Schlussfolgerungen ab, beispielsweise in Bezug auf das Mögliche und Notwendige oder auf temporale Beziehungen. ^{[ 14 ]}

Dies bedeutet, dass logische Systeme üblicherweise nicht alle Schlussfolgerungsmuster erfassen. Dies ist für die Logikübersetzung relevant, da sie möglicherweise Muster übersehen, für die sie nicht konzipiert wurden. Beispielsweise kann die Aussagenlogik verwendet werden, um die Korrektheit des folgenden Arguments in der Alltagssprache zu beweisen: „(1) John ist kein Pilot; (2) John ist Pilot oder Bill ist Dichter; (3) daher ist Bill Dichter.“ Sie kann jedoch nicht beweisen, dass das Argument „(1) John ist Pilot; (2) daher kann John fliegen“ korrekt ist, da sie die Schlussfolgerungsbeziehung zwischen den Begriffen „Pilot“ und „kann fliegen“ nicht erfassen kann. ^{[ 15 ]} Wird ein logisches System auf Fälle angewendet, die über seinen begrenzten Anwendungsbereich hinausgehen, kann es die Gültigkeit von Argumenten in der Alltagssprache nicht beurteilen. Der Vorteil dieser Einschränkung besteht darin, dass die Unschärfe und Mehrdeutigkeit von Argumenten in der Alltagssprache vermieden werden, indem einige Schlussfolgerungsmuster sehr deutlich gemacht werden. ^{[ 16 ]}

Formale logische Systeme verwenden präzise formale Sprachen, um ihre Formeln und Schlussfolgerungen auszudrücken. In der Aussagenlogik werden Buchstaben wie „a“ und „b“ verwendet, um einfache Aussagen darzustellen. Diese können mithilfe von Aussagenverknüpfungen wie „a“ und „b“ zu komplexeren Aussagen kombiniert werden. „a“ drückt aus, dass beide Aussagen wahr sind, und „b “ drückt aus, dass mindestens eine der Aussagen wahr ist. Steht beispielsweise „a“ für „Adam ist sportlich“ und „ b“ für „Barbara ist sportlich“, so repräsentiert die Formel „a“ die Aussage: „Adam ist sportlich, und auch Barbara ist sportlich.“ ^{[ 17 ]} Die Prädikatenlogik erster Stufe verwendet ebenfalls Aussagenverknüpfungen, führt aber zusätzliche Symbole ein. Großbuchstaben stehen für Prädikate und Kleinbuchstaben für Individuen. Steht beispielsweise „a“ für das Prädikat „ist wütend“ und „b“ für das Individuum Elsa, so drückt die Formel „a“ die Aussage „Elsa ist wütend“ aus. Eine weitere Neuerung der Prädikatenlogik erster Stufe ist die Verwendung von Quantoren wie „a“ und „b“ zur Darstellung der Bedeutung von Begriffen wie „einige“ und „alle“. ^{[ 18 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \land }$${\displaystyle \lor }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\land B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle e}$${\displaystyle A(e)}$${\displaystyle \exists }$${\displaystyle \forall }$

Logische Übersetzungen lassen sich anhand der Ausgangssprache des Originaltextes klassifizieren. Bei vielen logischen Übersetzungen ist der Originaltext eine natürliche Sprache wie Englisch oder Französisch. In diesem Fall spricht man häufig von „Formalisierung in natürlicher Sprache“. ^{[ 19 ]} Beispielsweise lässt sich der Satz „Dana ist Logikerin und Dana ist eine nette Person“ mithilfe der logischen Formel in Aussagenlogik formalisieren . ^{[ 20 ]} Eine weitere Art der logischen Übersetzung findet zwischen zwei logischen Systemen statt. Das bedeutet, dass der Ausgangstext aus logischen Formeln eines logischen Systems besteht und das Ziel darin besteht, diese mit logischen Formeln eines anderen logischen Systems zu verknüpfen. ^{[ 21 ]} Beispielsweise lässt sich die Formel der Modallogik mithilfe der Formel in Prädikatenlogik erster Stufe übersetzen . ^{[ 22 ]}${\displaystyle L\land N}$${\displaystyle \Box A(x)}$${\displaystyle \forall y(R(x,y)\to A(y))}$

Die Formalisierung natürlicher Sprache ist eine Form der semantischen Analyse ^{[ b ]} , die von einem Satz in natürlicher Sprache ausgeht und diesen in eine logische Formel übersetzt. ^{[ 3 ]} Ihr Ziel ist es, die logische Struktur von Sätzen und Argumenten in natürlicher Sprache explizit zu machen. ^{[ 25 ]} Sie befasst sich hauptsächlich mit deren logischer Form, während deren spezifischer Inhalt üblicherweise unberücksichtigt bleibt. ^{[ 26 ]} Logische Analyse ist ein eng verwandter Begriff, der den Prozess der Ermittlung der logischen Form oder Struktur eines Satzes beschreibt. ^{[ 27 ]} Die Formalisierung natürlicher Sprache ermöglicht es, formale Logik zur Analyse und Bewertung von Argumenten in natürlicher Sprache zu verwenden. Dies ist insbesondere für komplexe Argumente relevant, die ohne formale Werkzeuge oft schwer zu bewerten sind. Die logische Übersetzung kann auch verwendet werden, um neue Argumente zu finden und so den Argumentationsprozess zu steuern. ^{[ 28 ]} Der umgekehrte Prozess der Formalisierung wird manchmal als „Verbalisierung“ bezeichnet. Er findet statt, wenn logische Formeln wieder in natürliche Sprache übersetzt werden. Dieser Prozess ist weniger differenziert, und Diskussionen über das Verhältnis zwischen natürlicher Sprache und Logik konzentrieren sich üblicherweise auf das Problem der Formalisierung. ^{[ 29 ]}

Der Erfolg der Anwendung formaler Logik auf die natürliche Sprache setzt eine korrekte Übersetzung voraus. ^{[ 30 ]} Eine Formalisierung ist korrekt, wenn ihre expliziten logischen Merkmale mit den impliziten logischen Merkmalen des ursprünglichen Satzes übereinstimmen. ^{[ 31 ]} Die logische Form von Sätzen der Alltagssprache ist oft nicht offensichtlich, da es viele Unterschiede zwischen natürlichen Sprachen und den von Logikern verwendeten formalen Sprachen gibt. ^{[ 32 ]} Dies stellt die Formalisierung vor verschiedene Schwierigkeiten. Beispielsweise enthalten alltägliche Ausdrücke häufig vage und mehrdeutige Formulierungen. Daher hängt die Gültigkeit eines Arguments oft nicht nur von den Ausdrücken selbst ab, sondern auch von deren Interpretation. ^{[ 33 ]} Der Satz „Esel haben Ohren“ könnte beispielsweise bedeuten, dass alle Esel (ausnahmslos) Ohren haben oder dass Esel typischerweise Ohren haben . Die zweite Übersetzung schließt die Existenz von Eseln ohne Ohren nicht aus. Dieser Unterschied ist entscheidend dafür, ob ein Allquantor zur Übersetzung des Satzes verwendet werden kann. Solche Mehrdeutigkeiten finden sich nicht in den präzisen Formulierungen künstlicher logischer Sprachen und müssen vor einer Übersetzung aufgelöst werden. ^{[ 34 ]}

Das Problem der Formalisierung natürlicher Sprache hat vielfältige Implikationen für die Natur- und Geisteswissenschaften , insbesondere für die Linguistik , die Kognitionswissenschaft und die Informatik . ^{[ 35 ]} Im Bereich der formalen Linguistik unterbreitet Richard Montague beispielsweise in seiner Theorie der Universalgrammatik verschiedene Vorschläge zur Formalisierung englischer Ausdrücke . ^{[ 36 ]} Auch in der Philosophie der Logik wird die Formalisierung im Hinblick auf ihre Rolle beim Verständnis und der Anwendung von Logik diskutiert. ^{[ 37 ]} Versteht man Logik als die Theorie gültiger Schlussfolgerungen im Allgemeinen, so spielt die Formalisierung eine zentrale Rolle, da viele dieser Schlussfolgerungen in Alltagssprache formuliert werden. Die Übersetzung logischer Systeme ist notwendig, um formale Logiksysteme mit Argumenten in Alltagssprache zu verknüpfen. ^{[ 38 ]} Eine damit verbundene These lautet, dass alle logischen Sprachen, einschließlich hochabstrakter wie Modallogik und mehrwertiger Logik , „in den Strukturen der natürlichen Sprache verankert“ sein müssen. ^{[ 39 ]} Eine Schwierigkeit besteht darin, dass Logik üblicherweise als formale Wissenschaft verstanden wird , eine Theorie ihrer Beziehung zu empirischen Fragestellungen der Alltagssprache jedoch über diese rein formale Konzeption hinausgeht. ^{[ 40 ]} Aus diesem Grund identifizieren einige Theoretiker wie Georg Brun einen reinen Zweig der Logik und stellen ihn der angewandten Logik gegenüber, die das Problem der Formalisierung umfasst. ^{[ 41 ]}

Einige Theoretiker schließen aus diesen Überlegungen, dass informelles Denken Vorrang vor formalem Denken hat. Dies würde bedeuten, dass formale Logik nur dann erfolgreich sein kann, wenn sie auf korrekter Formalisierung beruht. ^{[ 42 ]} So vertreten beispielsweise Michael Baumgartner und Timm Lampert die Ansicht, dass es keine informellen Fehlschlüsse gebe , sondern lediglich Missverständnisse informeller Argumente, die durch unzureichende Formalisierungen ausgedrückt werden. ^{[ 43 ]} Diese Position wird von Jaroslav Peregrin und Vladimír Svoboda abgelehnt, die argumentieren, dass informelles Denken nicht immer korrekt ist und durch die Anwendung formaler Logik korrigiert werden kann. ^{[ 44 ]}

An alternative to formalization is to use informal logic, which analyzes the cogency of natural language arguments in their original form. This has many advantages by avoiding the difficulties associated with logic translations but it also comes with various drawbacks. For example, informal logic lacks the precision found in formal logic for distinguishing between good arguments and fallacies.^[45]

For propositional logic, the sentence "Tiffany sells jewelry, and Gucci sells cologne" can be translated as ${\displaystyle T\land G}$. In this example, ${\displaystyle T}$ represents the claim "Tiffany sells jewelry", ${\displaystyle G}$ stands for "Gucci sells cologne", and ${\displaystyle \land }$ is the logical conjunction corresponding to "and". Another example is the sentence "Notre Dame raises tuition if Purdue does", which can be formalized as ${\displaystyle P\to N}$.^[46]

For predicate logic, the sentence "Ann loves Ben" can be translated as ${\displaystyle L(a,b)}$. In this example, ${\displaystyle L}$ stands for "loves", ${\displaystyle a}$ stands for Ann and ${\displaystyle b}$ stands for Ben.^[47] Other examples are "some men are bald" as ${\displaystyle \exists x(M(x)\land B(x))}$,^[48] "all rivers have a head" as ${\displaystyle \forall x(R(x)\to H(x))}$,^[49] "no frogs are birds" as ${\displaystyle \forall x(F(x)\to \lnot B(x))}$,^[50] and "if Elizabeth is a historian, then some women are historians" as ${\displaystyle H(e)\to \exists x(W(x)\land H(x))}$.^[51]

For various natural language expressions, it is not clear how they should be translated and the right translation may differ from case to case. The vagueness and ambiguity of ordinary language, in contrast to the precise nature of logic, is often responsible for these problems. For this reason, it has proven difficult to find a general algorithm to cover all cases of translation.^[52] For example, the meaning of basic English expressions like "and", "or", and "if...then" can vary from context to context. The corresponding logical operators in symbolic logic (${\displaystyle \land }$, ${\displaystyle \lor }$, ${\displaystyle \to }$), on the other hand, have very precisely defined meanings. In this regard, they only capture some aspects of the original meaning.^[53]

Das englische Wort „is“ stellt eine weitere Schwierigkeit dar, da es viele Bedeutungen hat. Es kann Existenz ausdrücken (wie in „There is a Santa Claus“), Identität (wie in „Superman is Clark Kent“) und Prädikation (wie in „Venus is a planet“). Jede dieser Bedeutungen wird in logischen Systemen wie der Prädikatenlogik erster Stufe unterschiedlich ausgedrückt. ^{[ 54 ]} Eine weitere Schwierigkeit besteht darin, dass Quantoren in der Alltagssprache oft nicht explizit ausgedrückt werden. Beispielsweise enthält der Satz „Smaragde sind grün“ nicht direkt den Allquantor „alle“, also „Alle Smaragde sind grün“. Sätze mit ähnlicher Struktur, wie etwa „Kinder wohnen nebenan“, implizieren jedoch den Existenzquantor „einige“, also „Einige Kinder wohnen nebenan“. ^{[ 55 ]}

Ein eng verwandtes Problem findet sich bei einigen gültigen Argumenten der natürlichen Sprache, deren offensichtlichste Übersetzungen in der formalen Logik ungültig sind. Beispielsweise ist das Argument „(1) Fury ist ein Pferd; (2) daher ist Fury ein Tier“ gültig, das entsprechende formallogische Argument von „ zu“ jedoch ungültig. Eine Lösung besteht darin, dem Argument eine zusätzliche Prämisse hinzuzufügen, die besagt, dass „alle Pferde Tiere sind“. Eine andere ist, den Satz „Fury ist ein Pferd“ mit „zu“ zu übersetzen . Diese Lösungen bringen jedoch ihrerseits neue Probleme mit sich. ^{[ 56 ]} Weitere problematische Ausdrücke sind definite Beschreibungen , Konditionalsätze und attributive Adjektive sowie Massennomen und Anaphern . ^{[ 57 ]}${\displaystyle H(f)}$${\displaystyle A(f)}$${\displaystyle H(f)\land A(f)}$

Eine weitere Art der Logikübersetzung findet zwischen logischen Systemen statt. Eine Übersetzung zwischen zwei logischen Systemen lässt sich formal als mathematische Funktion definieren . Diese Funktion bildet Sätze des ersten Systems auf Sätze des zweiten Systems ab und berücksichtigt dabei die Folgerungsbeziehungen zwischen den ursprünglichen Sätzen. Das bedeutet: Wenn ein Satz in der ersten Logik einen anderen Satz impliziert, so muss die Übersetzung des ersten Satzes die Übersetzung des zweiten Satzes in der zweiten Logik implizieren. Auf diese Weise repräsentiert eine Übersetzung von einer Logik in eine andere die Formeln, Beweise und Modelle der ersten Logik mithilfe der zweiten. ^{[ 58 ]} Dies wird mitunter als konservative Übersetzung bezeichnet . Sie steht im Gegensatz zur groben Übersetzung , die lediglich die Sätze der ersten Logik auf Sätze der zweiten Logik abbildet, ohne deren Folgerungsbeziehungen zu berücksichtigen. ^{[ 59 ]}

Eine Grundvoraussetzung für Logikübersetzungen ist, dass es nicht nur eine Logik, sondern viele Logiken gibt. ^{[ 60 ]} Diese Logiken unterscheiden sich sowohl hinsichtlich der verwendeten Sprachen als auch der von ihnen als gültig angesehenen Schlussregeln. Beispielsweise unterscheidet sich die intuitionistische Logik von der klassischen Logik, da sie bestimmte Schlussregeln ablehnt, wie etwa die doppelte Negationselimination . Diese Regel besagt, dass ein Satz wahr ist, wenn er nicht falsch ist, d. h. dass aus folgt . ^{[ 61 ]} Eine Möglichkeit, intuitionistische Logik in nicht-intuitionistische Logik zu übersetzen, besteht in der Verwendung eines Modaloperators . Dies basiert auf der Idee, dass die intuitionistische Logik nicht nur ausdrückt, was wahr ist, sondern auch, was erkennbar ist . Beispielsweise kann die Formel in der intuitionistischen Logik übersetzt werden als , wobei ein Modelloperator ist, der ausdrückt, dass die folgende Formel erkennbar ist. ^{[ 62 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle \lnot \lnot A}$${\displaystyle \lnot p}$${\displaystyle K\lnot p}$${\displaystyle K}$

Ein weiteres Beispiel ist die Übersetzung von Modallogik in reguläre Prädikatenlogik. Die Modallogik enthält zusätzliche Symbole für Möglichkeit ( ) und Notwendigkeit ( ), die in der regulären Prädikatenlogik nicht vorkommen. Eine Möglichkeit, diese zu übersetzen, besteht darin, neue Prädikate einzuführen, wie beispielsweise das Prädikat R, das angibt, dass eine mögliche Welt von einer anderen möglichen Welt aus erreichbar ist. So kann beispielsweise der modallogische Ausdruck (Es ist möglich, dass p in der realen Welt wahr ist) übersetzt werden als (Es existiert eine mögliche Welt, die von der realen Welt aus erreichbar ist, und in dieser Welt ist p wahr). ^{[ 63 ]}${\displaystyle \diamond }$${\displaystyle \Box }$${\displaystyle \lfloor \diamond p\rfloor _{\iota }}$${\displaystyle \exists vR(\iota ,v)\land \lfloor p\rfloor _{v}}$

Übersetzungen zwischen Logiken sind für die Metalogik und die logische Programmierung relevant . In der Metalogik können sie zur Untersuchung der Eigenschaften logischer Systeme und ihrer Beziehungen genutzt werden. ^{[ 64 ]} In der logischen Programmierung ermöglichen sie die Anwendung von Programmen, die auf einen Logiktyp beschränkt sind, auf viele weitere Anwendungsfälle. Mithilfe logischer Übersetzungen können Programme wie Prolog zur Lösung von Problemen der Modallogik und Temporallogik eingesetzt werden , obwohl Prolog diese logischen Systeme nicht nativ unterstützt. ^{[ 65 ]} Ein eng verwandtes Problem betrifft die Frage, wie eine formale Sprache wie Controlled English in ein logisches System übersetzt werden kann . Controlled English ist eine kontrollierte Sprache , die Grammatik und Vokabular einschränkt, um Mehrdeutigkeit und Komplexität zu reduzieren. Der Vorteil von Controlled English liegt darin, dass jeder Satz eine eindeutige Interpretation besitzt. Dies ermöglicht die Verwendung von Algorithmen zur Übersetzung in formale Logik, was bei natürlichen Sprachen im Allgemeinen nicht möglich ist. ^{[ 66 ]}

Kriterien für adäquate Übersetzungen legen fest, wie gute von schlechten Übersetzungen unterschieden werden können. Sie bestimmen, ob eine logische Formel die logische Struktur des übersetzten Satzes korrekt wiedergibt. Dadurch helfen sie Logikern, zwischen verschiedenen Übersetzungen desselben Satzes zu entscheiden. ^{[ 67 ]} In der Fachliteratur werden verschiedene Kriterien diskutiert. ^{[ 68 ]} Laut verschiedenen Theoretikern, wie Peregrin und Svoboda, ist das grundlegendste Kriterium, dass Übersetzungen die Schlussfolgerungsbeziehungen zwischen Sätzen erhalten sollten. Dieses Prinzip wird mitunter als Kriterium der syntaktischen Korrektheit oder als Kriterium der Zuverlässigkeit bezeichnet . ^{[ 69 ]} Es besagt, dass ein Argument, das im Originaltext gültig ist, auch in der Übersetzung gültig ist. ^{[ 70 ]} Eine Schwierigkeit besteht darin, dass derselbe Satz Teil mehrerer Argumente sein kann, mal als Prämisse, mal als Schlussfolgerung. Eine Übersetzung ist nur dann korrekt, wenn in allen oder nahezu allen diesen Fällen die Schlussfolgerungsbeziehungen erhalten bleiben. ^{[ 71 ]} Aus holistischer Sicht bedeutet dies, dass Satzübersetzungen nicht einzeln bewertet werden können. Diese Position besagt, dass die Korrektheit der Übersetzung eines Satzes davon abhängt, wie andere Sätze übersetzt werden, um die Übereinstimmung in den Schlussfolgerungsbeziehungen sicherzustellen. Diese Ansicht wird von Atomisten abgelehnt, die behaupten, dass die Korrektheit von Satzübersetzungen individuell beurteilt werden kann. ^{[ 72 ]}

Ein eng verwandtes Kriterium konzentriert sich auf die Wahrheitsbedingungen von Sätzen. ^{[ 73 ]} Eine Wahrheitsbedingung eines Satzes beschreibt, wie die Welt beschaffen sein muss, damit dieser Satz wahr ist. ^{[ 74 ]} Dieses Kriterium besagt, dass bei adäquaten Übersetzungen die Wahrheitsbedingungen des Originalsatzes mit denen des übersetzten Satzes identisch sein müssen. Die bloße Tatsache, dass Satz und Übersetzung denselben Wahrheitswert haben, genügt nicht. Vielmehr bedeutet dies, dass immer dann, wenn der eine Satz wahr ist, auch der andere wahr ist, d. h., sie müssen unter allen möglichen Umständen denselben Wahrheitswert haben. ^{[ 75 ]} Dieses Kriterium ist nicht allgemein anerkannt und wurde mit der Begründung kritisiert, logische Formeln hätten keine Wahrheitsbedingungen. Nach dieser Ansicht seien die verwendeten Symbole an sich bedeutungslos und dienten lediglich dazu, die logische Form eines Satzes auszudrücken, ohne einen konkreten Inhalt zu implizieren. ^{[ 31 ]} Ein weiteres Problem dieses Ansatzes ist, dass alle Tautologien dieselben Wahrheitsbedingungen hätten: Sie seien unabhängig von den Umständen wahr. Dies würde bedeuten, dass jede Tautologie eine korrekte Übersetzung jeder anderen Tautologie ist. ^{[ 76 ]}

Neben diesen Kernkriterien werden in der Fachliteratur häufig weitere Kriterien diskutiert. Ihr Ziel ist es in der Regel, fehlerhafte Übersetzungen auszuschließen, die dennoch die anderen Kriterien erfüllen. Beispielsweise könnte der Satz „Es regnet“ gemäß den ersten beiden Kriterien als „Es regnet“ oder „Es regnet“ formalisiert werden . Der Grund dafür ist, dass beide Formulierungen dieselben Wahrheitsbedingungen und dieselben Schlussfolgerungsmuster aufweisen. Die zweite Formulierung ist jedoch eine fehlerhafte Übersetzung. Ein weiteres Kriterium besagt, dass Übersetzungen keine Symbole enthalten sollten, die keinen Ausdrücken im Originalsatz entsprechen. Demnach sollte die Übersetzung von „Es regnet“ das Symbol für logische Negation ( ) nicht enthalten, da im Originalsatz kein entsprechender Ausdruck existiert. ^{[ 77 ]}${\displaystyle p}$${\displaystyle \lnot \lnot \lnot \lnot \lnot \lnot p}$${\displaystyle \lnot }$

Ein weiteres Kriterium besagt, dass die Reihenfolge der Symbole in der Übersetzung der Reihenfolge der Ausdrücke im Originalsatz entsprechen sollte. Beispielsweise sollte der Satz „Pete ging den Hügel hinauf und Quinn ging den Hügel hinauf“ als „Pete ging den Hügel hinauf und Quinn ging den Hügel hinauf“ und nicht als „Pete ging den Hügel hinauf“ übersetzt werden . ^{[ 77 ]} Ein eng verwandtes Kriterium ist das Prinzip der Transparenz , welches besagt, dass Übersetzungen dem Originalausdruck möglichst ähnlich sein sollten. Dies betrifft beispielsweise die grammatikalische Struktur des Originalsatzes. ^{[ 78 ]} Das Prinzip der Sparsamkeit besagt, dass einfache Übersetzungen (d. h. logische Formeln mit möglichst wenigen Symbolen) vorzuziehen sind. ^{[ 79 ]} Eine Möglichkeit, die Korrektheit einer Formalisierung zu überprüfen, besteht darin, sie in die natürliche Sprache zurückzuübersetzen und zu prüfen, ob diese zweite Übersetzung mit dem Original übereinstimmt. ^{[ 80 ]}${\displaystyle p\land q}$${\displaystyle q\land p}$

Das Problem der Kriterien für adäquate Übersetzungen wird in Einführungen in die Logik oft nicht ausführlich behandelt. Ein Grund dafür ist, dass einige Theoretiker, wie Herbert E. Hendry, die logische Übersetzung als Kunst oder intuitive Praxis betrachten. Dieser Ansicht zufolge basiert sie auf einer praktischen Fertigkeit, die durch Erfahrung mit vielen Beispielen erlernt und von einigen groben Faustregeln geleitet wird. Diese Sichtweise impliziert, dass es keine strengen Regeln für eine adäquate Formalisierung gibt. Kritiker dieser Idee argumentieren, dass es ohne klare Kriterien für adäquate Übersetzungen sehr schwierig ist, zwischen konkurrierenden Formalisierungen desselben Satzes zu entscheiden. ^{[ 81 ]}

Verschiedene Logiker haben Übersetzungsverfahren vorgeschlagen, die mehrere Schritte umfassen, um zu korrekten Übersetzungen zu gelangen. Einige stellen lediglich grobe Richtlinien dar, die Übersetzern den Prozess erleichtern, während andere detaillierte und effektive Verfahren beinhalten, die alle notwendigen Schritte für eine Übersetzung abdecken. In beiden Fällen handelt es sich in der Regel nicht um exakte Algorithmen, denen blind gefolgt werden kann, sondern vielmehr um Werkzeuge zur Vereinfachung des Übersetzungsprozesses. ^{[ 82 ]}

Vor der eigentlichen Übersetzung können vorbereitende Schritte innerhalb der natürlichen Sprache unternommen werden. Ein erster Schritt besteht oft darin, die Bedeutung des Originaltextes zu verstehen, beispielsweise durch die Analyse der darin enthaltenen Aussagen. Dies umfasst die Identifizierung der vorgebrachten Argumente und die Unterscheidung, ob eine Aussage als Prämisse oder Schlussfolgerung fungiert. ^{[ 83 ]} In diesem Stadium empfiehlt es sich häufig, die Sätze zu paraphrasieren, um die Aussagen zu verdeutlichen, Mehrdeutigkeiten zu beseitigen und ihre logische Struktur hervorzuheben. Beispielsweise könnte der Satz „Johannes Paul II. ist unfehlbar“ paraphrasiert werden als „Es ist nicht der Fall, dass Johannes Paul II. fehlbar ist“. ^{[ 84 ]} Dies kann die Identifizierung von wahrheitsfunktionalen Konjunktionen wie „und“, „wenn…dann“ oder „nicht“ und die entsprechende Zerlegung des Textes beinhalten. Jede der so analysierten Einheiten stellt eine einzelne Aussage dar, die entweder wahr oder falsch ist. ^{[ 85 ]} Ein eng verwandter Schritt ist die Gruppierung der einzelnen Ausdrücke zu logischen Einheiten und deren Klassifizierung nach ihrer logischen Funktion. Im obigen Satz ist beispielsweise „ist fehlbar“ ein Prädikat und der Ausdruck „es ist nicht der Fall, dass“ entspricht der logischen Verknüpfung für die Negation . ^{[ 86 ]}

Nach diesen Vorbereitungen empfehlen einige Theoretiker, wie Peregrin und Svoboda, die Übersetzung in eine Hybridsprache. Solche Hybridausdrücke enthalten bereits einen logischen Formalismus, behalten aber die regulären Bezeichnungen für Prädikate und Eigennamen bei. Beispielsweise könnte der Satz „Alle Flüsse haben Quellen“ übersetzt werden als . Der Gedanke dahinter ist, dass die regulären Begriffe ihre ursprüngliche Bedeutung behalten und dadurch das Verständnis der Formeln und deren Bezug zum Originaltext erleichtern. Der Wortschatz der natürlichen Sprache ist üblicherweise nicht präzise definiert und weist daher nicht die von der formalen Logik geforderte Exaktheit auf. ^{[ 87 ]} Im letzten Schritt werden diese regulären Begriffe dann durch logische Symbole ersetzt. Für den obigen Ausdruck ergäbe dies die Formel . Dadurch wird die Verbindung zur Bedeutung in der Alltagssprache gekappt. Die Formeln werden zu einem rein formalen Ausdruck der logischen Struktur des Originaltextes, und jeglicher spezifischer Inhalt geht verloren. ^{[ 88 ]}${\displaystyle \forall x((River(x))\to HasHead(x))}$${\displaystyle \forall x((R(x))\to H(x))}$

Die Formalisierung eines vollständigen Arguments umfasst mehrere Schritte, da das Argument aus mehreren Aussagen besteht. ^{[ 89 ]} Sobald die Übersetzung abgeschlossen ist, können die formalen Werkzeuge des logischen Systems, wie beispielsweise seine Schlussregeln, verwendet werden, um zu beurteilen, ob das Argument gültig ist. ^{[ 90 ]}

Die Kritik an Logikübersetzungen konzentriert sich primär auf deren Grenzen und Anwendungsbereich sowie auf die Art und Weise ihrer Diskussion in der Fachliteratur. Logikübersetzung ist ein weit verbreitetes und anerkanntes Verfahren in der Logik und anderen Disziplinen, selbst unter Theoretikern, die Aspekte davon kritisieren. ^{[ 91 ]} Einzelne Logikübersetzungen werden mitunter kritisiert, weil sie nicht alle Aspekte und Nuancen des Originaltextes präzise wiedergeben können. So ist beispielsweise das logische Vokabular meist nicht in der Lage, Sarkasmus , indirekte Andeutungen oder Betonungen zu erfassen . In diesem Zusammenhang werden viele Bedeutungsaspekte des Originalausdrucks, die über Wahrheitswert, Gültigkeit und logische Struktur hinausgehen, häufig vernachlässigt. ^{[ 92 ]} Auf der Ebene informeller Schlussfolgerungen gibt es verschiedene Ausdrücke, die sich mit den präzisen, aber begrenzten Sprachen der formalen Logik nicht ohne Weiteres darstellen lassen. ^{[ 93 ]} Aus diesen Gründen ist die Korrektheit einer bestimmten Logikübersetzung mitunter umstritten. Wird eine logische Übersetzung zur Verteidigung der Schlussfolgerung eines Arguments in natürlicher Sprache verwendet, kann man diese Verteidigung untergraben, indem man behauptet, die logische Übersetzung sei fehlerhaft. Dies impliziert, dass die aus der formalen logischen Analyse gewonnenen Erkenntnisse für das ursprüngliche Argument keine Bedeutung haben. ^{[ 90 ]}

Eine weitere Kritik richtet sich nicht gegen Logikübersetzungen an sich, sondern gegen deren Behandlung in vielen Standardwerken und Logikkursen. Theoretiker wie Georg Brun, Peregrin und Svoboda argumentieren in diesem Zusammenhang, dass solche Werke die Rolle und die Grenzen von Logikübersetzungen nicht ausreichend erörtern. Stattdessen wird dieses Thema lediglich als Randnotiz behandelt. Zwar werden einige Beispiele angeführt, der Schwerpunkt liegt jedoch auf den formalen Systemen selbst. Dadurch fehlt eine eingehende Auseinandersetzung mit der Anwendung dieser Systeme auf gewöhnliche Argumente. ^{[ 94 ]}

• Gemeinsame Logik
• Übersetzung mit doppelter Negation
• Standardübersetzung