Untergruppe

In der Gruppentheorie , einem Teilgebiet der Mathematik , ist eine Teilmenge einer Gruppe G eine Untergruppe von G, wenn die Elemente dieser Teilmenge bezüglich der Gruppenoperation in G eine Gruppe bilden.

Formal ausgedrückt: Gegeben sei eine Gruppe G bezüglich einer binären Operation  ∗. Eine Teilmenge H von G heißt Untergruppe von G, wenn H ebenfalls eine Gruppe bezüglich der Operation ∗ bildet. Genauer gesagt: H ist eine Untergruppe von G, wenn die Einschränkung von ∗ auf H × H eine Gruppenoperation auf H ist . Dies wird oft mit H ≤ G geschrieben und als „ H ist eine Untergruppe von G “ gelesen .

Die triviale Untergruppe einer beliebigen Gruppe ist die Untergruppe { e }, die nur aus dem neutralen Element besteht. ^{[ 1 ]}

Eine echte Untergruppe einer Gruppe G ist eine Untergruppe H, die eine echte Teilmenge von G ist (d. h. H ≠ G ). Dies wird oft notationell mit H < G dargestellt , gelesen als „ H ist eine echte Untergruppe von G “. Manche Autoren schließen auch die triviale Gruppe von der Einstufung als echte Untergruppe aus (d. h. H ≠ { e } ). ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Wenn H eine Untergruppe von G ist , dann wird G manchmal als Obergruppe von H bezeichnet .

Die gleichen Definitionen gelten allgemeiner, wenn G eine beliebige Halbgruppe ist , aber dieser Artikel befasst sich nur mit Untergruppen von Gruppen.

Angenommen, G ist eine Gruppe und H eine Teilmenge von G. Nehmen wir vorerst an, dass die Gruppenoperation von G multiplikativ geschrieben wird, was mit Juxtaposition bezeichnet wird.

• Dann ist H genau dann eine Untergruppe von G , wenn H nicht leer und bezüglich Produkten und Inversen abgeschlossen ist. Abgeschlossen bezüglich Produkten bedeutet, dass für alle a und b ∈ H das Produkt ab in H liegt . Abgeschlossen bezüglich Inversen bedeutet, dass für jedes a ∈ H die Inverse a⁻¹ in H liegt . Diese beiden Bedingungen lassen sich zu einer einzigen Bedingung zusammenfassen, nämlich dass für alle a und b ∈ H das Element ab⁻¹ in H liegt ^{. Es ist jedoch natürlicher und in der Regel genauso einfach ,} die beiden Abgeschlossenheitsbedingungen separat zu prüfen. ^{[ 4 ]}
• Wenn H endlich ist , lässt sich der Test vereinfachen: H ist genau dann eine Untergruppe, wenn sie nicht leer und unter Produkten abgeschlossen ist. Allein diese Bedingungen implizieren, dass jedes Element a von H eine endliche zyklische Untergruppe von H erzeugt , etwa der Ordnung n , und dass dann das Inverse von a ein ^{n −1} ist . ^{[ 4 ]}

Wird die Gruppenoperation stattdessen mit Addition bezeichnet, so sollte „abgeschlossen unter Produkten“ durch „abgeschlossen unter Addition“ ersetzt werden , was die Bedingung ist, dass für jedes a und b in H die Summe a + b in H liegt , und „abgeschlossen unter Inversen“ sollte dahingehend geändert werden, dass für jedes a in H das Inverse −a in H liegt .

• Das Einselement einer Untergruppe ist das Einselement der Gruppe: Wenn G eine Gruppe mit Einselement e _G ist und H eine Untergruppe von G mit Einselement e _H ist , dann ist e _H = e _G.
• Das Inverse eines Elements in einer Untergruppe ist das Inverse des Elements in der Gruppe: Wenn H eine Untergruppe einer Gruppe G ist und a und b Elemente von H sind , sodass ab = ba = e _H , dann ist ab = ba = e _G.
• Wenn H eine Untergruppe von G ist , dann ist die Inklusionsabbildung H → G, die jedes Element a von H auf sich selbst abbildet, ein Homomorphismus .
• Der Schnitt der Untergruppen A und B von G ist wiederum eine Untergruppe von G. ^{[ 5 ]} Beispielsweise ist der Schnitt der x -Achse und der y -Achse in G${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ bezüglich der Addition die triviale Untergruppe. Allgemeiner gilt : Der Schnitt einer beliebigen Menge von Untergruppen von G ist eine Untergruppe von G.
• Die Vereinigung von Untergruppen A und B ist genau dann eine Untergruppe , wenn A ⊆ B oder B ⊆ A gilt. Ein Nichtbeispiel: ist keine Untergruppe von , da 2 und 3 Elemente dieser Teilmenge sind , deren Summe 5 nicht in der Teilmenge enthalten ist. Ebenso ist die Vereinigung der x -Achse und der y -Achse in keine Untergruppe von .${\displaystyle 2\mathbb {Z} \cup 3\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$
• Ist S eine Teilmenge von G , so existiert eine kleinste Untergruppe, die S enthält , nämlich der Schnitt aller Untergruppen, die S enthalten ; dieser Schnitt wird mit ⟨S⟩ bezeichnet und als von S erzeugte Untergruppe bezeichnet . Ein Element von G liegt genau dann in ⟨S⟩ , wenn es ein endliches Produkt von Elementen aus S und ihren Inversen ist, wobei die Elemente auch mehrfach vorkommen können . ^{[ 6 ]}
• Jedes Element a einer Gruppe G erzeugt eine zyklische Untergruppe ⟨a⟩ . Ist ⟨a⟩ isomorph zu den ganzen Zahlen modulo${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ n für eine positive ganze Zahl n , so ist n die kleinste positive ganze Zahl , für die a⟩ ⁼ e gilt , und n wird als Ordnung von a bezeichnet . Ist ⟨a⟩ isomorph zu den ganzen Zahlen modulo n , so hat a unendliche Ordnung .${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$
• Die Untergruppen einer gegebenen Gruppe bilden unter Inklusion einen vollständigen Verband , den sogenannten Untergruppenverband . (Das Infimum ist hier der übliche mengentheoretische Durchschnitt, das Supremum einer Menge von Untergruppen hingegen die von der mengentheoretischen Vereinigung der Untergruppen erzeugte Untergruppe , nicht die mengentheoretische Vereinigung selbst.) Ist e das neutrale Element von G , so ist die triviale Gruppe { e } die kleinste Untergruppe von G , während die größte Untergruppe die Gruppe G selbst ist.

Gegeben eine Untergruppe H und ein Element a ∈ G , definieren wir die linke Nebenklasse aH = { ah  : h ∈ H }. Da a invertierbar ist, ist die Abbildung φ : H → aH mit φ( h ) = ah eine Bijektion . Jedes Element von G ist genau in einer linken Nebenklasse von H enthalten ; die linken Nebenklassen sind die Äquivalenzklassen, die der _{Äquivalenzrelation a₁ ~ a₂} entsprechen , _genau dann , wenn a ∈ H. Die${\displaystyle a_{1}^{-1}a_{2}}$ Anzahl der linken Nebenklassen von H heißt Index von H in G und wird mit [ G  : H ] notiert .

Der Satz von Lagrange besagt, dass für eine endliche Gruppe G und eine Untergruppe H ,

${\displaystyle [G:H]={|G| \over |H|}}$

wobei | G | und | H | die Ordnungen von G bzw. H bezeichnen . Insbesondere muss die Ordnung jeder Untergruppe von G (und die Ordnung jedes Elements von G ) ein Teiler von | G | sein . ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Rechtsnebenklassen werden analog definiert: Ha = { ha  : h in H }. Sie sind auch die Äquivalenzklassen für eine geeignete Äquivalenzrelation und ihre Anzahl ist gleich [ G  : H ] .

Wenn aH = Ha für jedes a ∈ G gilt , dann heißt H ein Normalteiler . Jede Untergruppe vom Index 2 ist normal: Die linken und rechten Nebenklassen sind einfach die Untergruppe und ihr Komplement. Allgemeiner gilt: Ist p die kleinste Primzahl, die die Ordnung einer endlichen Gruppe G teilt , dann ist jede Untergruppe vom Index p (sofern eine solche existiert) normal.

Sei G die endliche zyklische Gruppe

${\displaystyle \mathrm {Z} _{8}=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}}$

Bei der Addition modulo 8 ist die Teilmenge der Vielfachen von 2 eine Untergruppe von . Allgemeiner gilt: Für jeden Teiler d von 8 bilden die Vielfachen von d eine Untergruppe. Explizit sind diese Untergruppen für die . ${\displaystyle \{0,2,4,6\}}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{8}}$${\displaystyle d=1,2,4,8}$${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5,6,7\},\{0,2,4,6\},\{0,4\},\{0\}}$

Im Allgemeinen kann man für jede positive ganze Zahl n alle Untergruppen der endlichen zyklischen Gruppe analog beschreiben: Für jeden Teiler d von n bilden die Vielfachen von d in eine Untergruppe der Ordnung , und jede Untergruppe entsteht auf diese Weise. ${\displaystyle \mathrm {Z} _{n}}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{n}}$${\displaystyle n/d}$

Untergruppen von zyklischen Gruppen sind zyklisch. ^{[ 9 ]}

Die symmetrische Gruppe S₄ ist die Gruppe, deren Elemente die Permutationen von ℝ sind . Im Folgenden sind alle ihre Untergruppen, nach Kardinalität geordnet, aufgeführt _.${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$

Alle 30 Untergruppen Vereinfacht Hasse-Diagramme des Verbandes der Untergruppen von S 4

Wie jede Gruppe ist auch S ₄ eine Untergruppe von sich selbst.

Die alternierende Gruppe A ₄ besteht aus allen geraden Permutationen in S ₄ . Da sie vom Index 2 ist, ist sie ein Normalteiler .

Es gibt drei Untergruppen der Ordnung 8, die jeweils isomorph zur Diedergruppe D ₄ , der Symmetriegruppe eines Quadrats, sind.

Durch die Kennzeichnung der Eckpunkte eines Quadrats im Uhrzeigersinn kann man D ₄ als Untergruppe von S ₄ betrachten . Diese Untergruppe wird durch die 90-Grad-Drehung im Uhrzeigersinn und durch die Spiegelung an der Diagonalenachse, die die Eckpunkte 1 und 3 verbindet, erzeugt; dies sind die Permutationen und . ${\displaystyle 1,2,3,4}$${\displaystyle (1234)}$${\displaystyle (24)}$

Bis auf Symmetrien des Quadrats gibt es drei verschiedene Möglichkeiten, die Eckpunkte eines Quadrats zu beschriften. Sie unterscheiden sich dadurch, welche Zahlenpaare an gegenüberliegenden Ecken stehen. In der obigen Beschriftung standen sich 1 und 3 sowie 2 und 4 gegenüber; in einer anderen Variante stehen sich 1 und 4 sowie 2 und 3 gegenüber; in der dritten Variante stehen sich 1 und 2 sowie 3 und 4 gegenüber. Die drei Beschriftungen führen zu drei verschiedenen, zueinander konjugierten Untergruppen der Ordnung 8 in _S⁴ , die jeweils isomorph zu D⁴ _sind .

Es gibt vier Untergruppen der Ordnung 6, die jeweils isomorph zu S₃ sind. Jede dieser _Untergruppen ist der Stabilisator eines Elements von _S₄ . Beispielsweise ist der Stabilisator von 4 die Gruppe der Permutationen in S₄ , die 4 auf 4 abbilden und dabei beliebig permutieren ; sie wird beispielsweise von den Permutationen 4 und 5 erzeugt . Die vier Untergruppen der Ordnung 6 sind zueinander konjugiert. ${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$${\displaystyle \{1,2,3\}}$${\displaystyle (12)}$${\displaystyle (123)}$

Es gibt sieben Untergruppen der Ordnung 4, die sich in drei Konjugationsklassen von Untergruppen einteilen lassen:

• Die Teilmenge ist ein Normalteiler, der isomorph zur Kleinschen Vierergruppe V ₄ ist .${\displaystyle \{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}}$

• Die von und erzeugte Gruppe ist eine weitere Untergruppe, die isomorph zu V ₄ ist , aber sie ist nicht normal. Stattdessen besitzt sie Konjugierte, nämlich die von und erzeugte Gruppe und die von und erzeugte Gruppe .${\displaystyle (12)}$${\displaystyle (34)}$${\displaystyle (13)}$${\displaystyle (24)}$${\displaystyle (14)}$${\displaystyle (23)}$

• Jeder der sechs 4-Zyklen in S⁴ erzeugt eine zyklische Untergruppe der Ordnung 4. Da jeder 4-Zyklus dieselbe Untergruppe wie seine Inverse erzeugt, gibt es nur drei verschiedene Untergruppen dieses Typs. Diese drei Untergruppen sind zueinander konjugiert, da alle 4-Zyklen in _S⁴ zueinander konjugiert sind _.

Es gibt vier Untergruppen der Ordnung 3, die jeweils von einem 3-Zyklus erzeugt werden. In S₄ gibt es acht 3-Zyklen _, von denen jeder dieselbe Untergruppe als seine Inverse erzeugt. Die resultierenden vier Untergruppen sind zueinander konjugiert.

Es gibt neun Untergruppen der Ordnung 2, die in zwei Konjugationsklassen von Untergruppen fallen:

• Jede der Transpositionen (2-Zyklen) erzeugt eine Untergruppe der Ordnung 2. Diese sechs Untergruppen sind konjugiert.${\displaystyle {\binom {4}{2}}=6}$

• Jede der Doppeltranspositionen , , erzeugt eine Untergruppe der Ordnung 2. Diese drei Untergruppen sind konjugiert.${\displaystyle (12)(34)}$${\displaystyle (13)(24)}$${\displaystyle (14)(23)}$

Die triviale Untergruppe ist die eindeutige Untergruppe der Ordnung 1.

• Die geraden ganzen Zahlen bilden eine Untergruppe des${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ganzen Zahlenrings . Die Summe${\displaystyle \mathbb {Z} :}$ zweier gerader ganzer Zahlen ist gerade, und das Negative einer geraden ganzen Zahl ist gerade.
• Jedes Ideal in einem Ring R ist eine Untergruppe der additiven Gruppe von R.
• Jeder lineare Unterraum eines Vektorraums ist eine Untergruppe der additiven Gruppe der Vektoren.
• In einer abelschen Gruppe bilden die Elemente endlicher Ordnung eine Untergruppe, die Torsionsuntergruppe genannt wird .

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