Bessel-Funktion

Bessel-Funktionen sind eine Klasse spezieller Funktionen , die häufig in Problemen der Wellenbewegung , der Wärmeleitung und anderen physikalischen Phänomenen mit Kreis- oder Zylindersymmetrie auftreten . Sie sind nach dem deutschen Astronomen und Mathematiker Friedrich Bessel benannt , der sie 1824 systematisch untersuchte. ^{[ 1 ]}

Besselfunktionen sind Lösungen einer speziellen Art von gewöhnlicher Differentialgleichung : Dabei ist eine Zahl, die die Form der Lösung bestimmt. Diese Zahl wird als Ordnung der Besselfunktion bezeichnet und kann jede komplexe Zahl sein. Obwohl dieselbe Gleichung sowohl für als auch für auftritt , definieren Mathematiker für jedes separate Besselfunktionen, um sicherzustellen, dass sich die Funktionen bei Änderung der Ordnung stetig verhalten. $${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)y=0,}$$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle -\alpha }$

Die wichtigsten Fälle sind die, in denen eine ganze oder eine halbe Zahl ist. Ist eine ganze Zahl, werden die resultierenden Besselfunktionen oft als Zylinderfunktionen oder Zylinderharmonische bezeichnet , da sie beim Lösen von Problemen (wie der Laplace-Gleichung) in Zylinderkoordinaten natürlich auftreten . Ist eine halbe Zahl, werden die Lösungen als sphärische Besselfunktionen bezeichnet und in sphärischen Systemen verwendet, beispielsweise zur Lösung der Helmholtz-Gleichung in sphärischen Koordinaten . ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$

Die Bessel-Gleichung tritt auf, wenn man separable Lösungen der Laplace-Gleichung und der Helmholtz-Gleichung in Zylinder- oder Kugelkoordinaten sucht . Bessel-Funktionen sind daher besonders wichtig für viele Probleme der Wellenausbreitung und statischen Potentiale. Bei der Lösung von Problemen in Zylinderkoordinatensystemen erhält man Bessel-Funktionen ganzzahliger Ordnung ( ); in Kugelkoordinatensystemen erhält man halbzahlige Ordnungen ( ). Zum Beispiel: ${\displaystyle \alpha =n}$${\displaystyle \alpha =n+1/2}$

• Elektromagnetische Wellen in einem zylindrischen Wellenleiter
• Druckamplituden reibungsfreier Rotationsströmungen
• Wärmeleitung in einem zylindrischen Objekt
• Schwingungsmoden einer dünnen kreisförmigen oder ringförmigen akustischen Membran (wie z. B. eines Trommelfells oder eines anderen Membranophons ) oder dickerer Platten wie z. B. Blech (siehe Kirchhoff-Love-Plattentheorie , Mindlin-Reissner-Plattentheorie )
• Diffusionsprobleme auf einem Gitter
• Lösungen der Schrödingergleichung in sphärischen und zylindrischen Koordinaten für ein freies Teilchen
• Ortsraumdarstellung des Feynman- Propagators in der Quantenfeldtheorie
• Bestimmung von Mustern der akustischen Strahlung
• Frequenzabhängige Reibung in kreisförmigen Rohrleitungen
• Dynamik schwimmender Körper
• Winkelauflösung
• Röntgenkristallographie von Helixstrukturen, einschließlich DNA und der Alpha-Helix von Proteinen ^{[ 2 ].}
• Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des Produkts zweier normalverteilter Zufallsvariablen ^{[ 3 ]}
• Analyse der durch Mikrobeben erzeugten Oberflächenwellen in der Geophysik und Seismologie .

Bessel-Funktionen finden sich auch in anderen Bereichen, wie beispielsweise der Signalverarbeitung (siehe z. B. FM-Audiosynthese , Kaiser-Fenster oder Bessel-Filter ). Sie treten auch in der reinen Mathematik als Bestandteil der Fourier-Entwicklung von Maass-Formen auf .

Da es sich um eine lineare Differentialgleichung handelt , können die Lösungen auf beliebige Amplituden skaliert werden. Die für die Funktionen gewählten Amplituden stammen aus früheren Arbeiten, in denen die Funktionen als Lösungen bestimmter Integrale und nicht als Lösungen von Differentialgleichungen auftraten. Da die Differentialgleichung zweiter Ordnung ist, existieren zwei linear unabhängige Lösungen: eine erster und eine zweiter Art. Je nach den Umständen sind jedoch verschiedene Formulierungen dieser Lösungen geeignet. Unterschiedliche Varianten sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst und in den folgenden Abschnitten beschrieben. Der Index n wird üblicherweise anstelle von verwendet, wenn bekannt ist, dass eine ganze Zahl ist. ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$

Besselfunktionen zweiter Art und sphärische Besselfunktionen zweiter Art werden manchmal mit N _n bzw. n _n bezeichnet , anstatt mit Y _n bzw. y _n . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Besselfunktionen erster Art, bezeichnet mit J_{_α}( x ) , sind Lösungen der Besselschen Differentialgleichung. Für ganzzahlige oder positive  α sind Besselfunktionen erster Art im Ursprung ( x = 0 ) endlich; für negative nicht-ganzzahlige  α divergieren sie hingegen mit x gegen null. Die Funktion lässt sich als Produkt einer Maclaurin-Reihe definieren (beachten Sie, dass α nicht ganzzahlig sein muss und nicht-ganzzahlige Potenzen in einer Taylor-Reihe nicht zulässig sind). Diese Reihe kann mithilfe der Frobenius-Methode auf die Besselsche Gleichung angewendet werden: ^{[ 6 ]} wobei Γ( z ) die Gammafunktion ist , eine verschobene Verallgemeinerung der Fakultätsfunktion auf nicht-ganzzahlige Werte. Einige frühere Autoren definierten die Besselfunktion erster Art anders, im Wesentlichen ohne die Division durch z in J _α(x) ; ^{[ 7 ]} diese Definition wird in diesem Artikel nicht verwendet. Die Besselfunktion erster Art ist eine ganze Funktion , wenn α eine ganze Zahl ist; andernfalls ist sie eine mehrwertige Funktion mit einer Singularität bei Null. Die Graphen von Besselfunktionen ähneln in etwa oszillierenden Sinus- oder Kosinusfunktionen , die proportional zu α abklingen (siehe auch ihre asymptotischen Formen weiter unten), obwohl ihre Nullstellen im Allgemeinen nicht periodisch sind, außer asymptotisch für große x . (Die Reihe zeigt, dass _−J₁ ( x ) die Ableitung von J₀(x) ist , ähnlich wie −sin x die Ableitung von cos x ist ; allgemeiner lässt sich die Ableitung von Jₙ( x ₎ durch _die folgenden Identitäten in Abhängigkeit von Jₙ ± _{₁ (} x ) ausdrücken .) ${\displaystyle x^{\alpha }}$$${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha },}$$${\displaystyle 2}$${\displaystyle x/2}$${\displaystyle x^{-{1}/{2}}}$

Für nicht-ganzzahlige Werte von α sind die Funktionen J_{_α} ( x ) und J _{_−α} ( x ) linear unabhängig und somit die beiden Lösungen der Differentialgleichung. Für ganzzahlige Werte von n gilt hingegen die folgende Beziehung (die Gammafunktion besitzt einfache Pole an jeder der nicht-positiven ganzen Zahlen): ^{[ 8 ]}$${\displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x).}$$

Dies bedeutet, dass die beiden Lösungen nicht mehr linear unabhängig sind. In diesem Fall handelt es sich bei der zweiten linear unabhängigen Lösung um die Bessel-Funktion zweiter Art, wie im Folgenden erläutert wird.

Eine weitere Definition der Bessel-Funktion für ganzzahlige Werte von n ist mithilfe einer Integralrepräsentation möglich: ^{[ 9 ]} die auch als Hansen-Bessel-Formel bezeichnet wird. ^{[ 10 ]}$${\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\tau -x\sin \tau )\,d\tau ={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \left(\int _{0}^{\pi }e^{i(n\tau -x\sin \tau )}\,d\tau \right),}$$

Diesen Ansatz verwendete Bessel ^{[ 11 ]} , und aus dieser Definition leitete er mehrere Eigenschaften der Funktion ab. Die Definition lässt sich für Re( x ) > 0 mithilfe eines der Schläfli-Integrale auf nicht-ganzzahlige Ordnungen erweitern : ^{[ 9 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}$${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )\,d\tau -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\sinh t-\alpha t}\,dt.}$$

Die Bessel-Funktionen können mithilfe der verallgemeinerten hypergeometrischen Reihe ausgedrückt werden ^{[ 16 ]} .$${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\;_{0}F_{1}\left(-;\alpha +1;-{\frac {x^{2}}{4}}\right).}$$

Dieser Ausdruck steht im Zusammenhang mit der Entwicklung von Bessel-Funktionen mithilfe der Bessel-Clifford-Funktion .

Die Bessel-Funktion kann mithilfe der Laguerre-Polynome L _k und eines beliebig gewählten Parameters t wie folgt ausgedrückt werden ^{[ 17 ].}$${\displaystyle {\frac {J_{\alpha }(x)}{\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}}={\frac {e^{-t}}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {L_{k}^{(\alpha )}\left({\frac {x^{2}}{4t}}\right)}{\binom {k+\alpha }{k}}}{\frac {t^{k}}{k!}}.}$$

Die Bessel-Funktionen zweiter Art, bezeichnet mit Y _{_α} ( x ) , gelegentlich auch mit N_{_α}( x ) , sind Lösungen der Bessel-Differentialgleichung mit einer Singularität im Ursprung ( x = 0 ) und sind mehrdeutig . Sie werden manchmal auch Weber-Funktionen genannt , da sie von H. M. Weber  ( 1873 ) eingeführt wurden , und auch Neumann-Funktionen nach Carl Neumann . ^{[ 18 ]}

Für nicht-ganzzahlige Werte von α besteht folgender Zusammenhang zwischen Y _α ( x ) und J _α ( x ) :$${\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}.}$$

Im Fall ganzzahliger Ordnung n wird die Funktion durch den Grenzwert definiert, wenn eine nicht-ganzzahlige Zahl α gegen n strebt : $${\displaystyle Y_{n}(x)=\lim _{\alpha \to n}Y_{\alpha }(x).}$$

Ist n eine nichtnegative ganze Zahl, so erhalten wir die Reihe ^{[ 19 ]} , wobei die Digammafunktion ist , die logarithmische Ableitung der Gammafunktion . ^{[ 5 ]}$${\displaystyle Y_{n}(z)=-{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{-n}}{\pi }}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {z^{2}}{4}}\right)^{k}+{\frac {2}{\pi }}J_{n}(z)\ln {\frac {z}{2}}-{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }(\psi (k+1)+\psi (n+k+1)){\frac {\left(-{\frac {z^{2}}{4}}\right)^{k}}{k!(n+k)!}}}$$${\displaystyle \psi (z)}$

Es gibt auch eine entsprechende Integralformel (für Re( x ) > 0 ): ^{[ 20 ]}$${\displaystyle Y_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x\sin \theta -n\theta )\,d\theta -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left(e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt}\right)e^{-x\sinh t}\,dt.}$$

Im Fall n = 0 : (wobei die Eulersche Zahl ist )${\displaystyle \gamma }$$${\displaystyle Y_{0}\left(x\right)={\frac {4}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\cos \left(x\cos \theta \right)\left(\gamma +\ln \left(2x\sin ^{2}\theta \right)\right)\,d\theta .}$$

Y _{_α}( x ) ist als zweite linear unabhängige Lösung der Bessel-Gleichung notwendig, wenn α eine ganze Zahl ist. Y _{_α}( x ) hat aber noch eine weitere Bedeutung. Es kann als „natürlicher“ Partner von J _{_α}( x ) betrachtet werden . Siehe dazu auch den Abschnitt über Hankel-Funktionen weiter unten.

Wenn α eine ganze Zahl ist, gilt darüber hinaus, wie es analog bei den Funktionen erster Art der Fall war, die folgende Beziehung: $${\displaystyle Y_{-n}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x).}$$

Sowohl J _{_α} ( x ) als auch Y _{_α}( x ) sind holomorphe Funktionen von x in der komplexen Ebene, geschnitten entlang der negativen reellen Achse. Ist α eine ganze Zahl, so sind die Bessel-Funktionen J ganze Funktionen von x . Wird x auf einen von Null verschiedenen Wert fixiert, so sind die Bessel-Funktionen ganze Funktionen von α .

Die Bessel-Funktionen zweiter Art sind, wenn α eine ganze Zahl ist, ein Beispiel für eine Lösung zweiter Art im Satz von Fuchs .

Eine weitere wichtige Formulierung der beiden linear unabhängigen Lösungen der Bessel-Gleichung sind die Hankel-Funktionen erster und zweiter Art , H.⁽¹⁾ _α( x ) und H⁽²⁾ _α( x ) , definiert als ^{[ 21 ]} , wobei i die imaginäre Einheit ist . Diese Linearkombinationen werden auch als Bessel-Funktionen dritter Art bezeichnet ; sie sind zwei linear unabhängige Lösungen der Besselschen Differentialgleichung. Sie sind nach Hermann Hankel benannt . $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&=J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x),\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=J_{\alpha }(x)-iY_{\alpha }(x),\end{aligned}}}$$

Diese Formen der Linearkombination erfüllen zahlreiche scheinbar einfache Eigenschaften, wie etwa asymptotische Formeln oder Integraldarstellungen. „Einfach“ bedeutet hier das Auftreten eines Faktors der Form e^{ⁱ f (x)} . Für reelle x, y und z , die reelle Werte annehmen, sind die Bessel-Funktionen erster und zweiter Art der Real- bzw. Imaginärteil der ersten Hankel-Funktion und der Real- bzw. negative Imaginärteil der zweiten Hankel-Funktion. Somit sind die obigen Formeln Analoga der Euler-Formel , wobei H ₁ = 0,16.${\displaystyle x>0}$${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$⁽¹⁾ _α( x ) , H⁽²⁾ _α( x ) für und , für , , wie in der asymptotischen Entwicklung explizit gezeigt . ${\displaystyle e^{\pm ix}}$${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$${\displaystyle \cos(x)}$${\displaystyle \sin(x)}$

Die Hankel-Funktionen werden verwendet, um nach außen bzw. nach innen propagierende zylindrische Wellenlösungen der zylindrischen Wellengleichung auszudrücken (oder umgekehrt, je nach Vorzeichenkonvention für die Frequenz ).

Unter Verwendung der vorherigen Beziehungen können sie wie folgt ausgedrückt werden $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{-\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{i\sin \alpha \pi }},\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{-i\sin \alpha \pi }}.\end{aligned}}}$$

Ist α eine ganze Zahl, muss der Grenzwert berechnet werden. Die folgenden Beziehungen gelten unabhängig davon, ob α eine ganze Zahl ist oder nicht: ^{[ 22 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{-\alpha }^{(1)}(x)&=e^{\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(1)}(x),\\[6mu]H_{-\alpha }^{(2)}(x)&=e^{-\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(2)}(x).\end{aligned}}}$$

Insbesondere wenn α = m + ⁠1/2⁠ wobei m eine nichtnegative ganze Zahl ist, implizieren die obigen Beziehungen direkt, dass $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m+1}Y_{m+{\frac {1}{2}}}(x),\\[5pt]Y_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m}J_{m+{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}$$

Diese sind nützlich bei der Entwicklung der sphärischen Bessel-Funktionen (siehe unten).

Die Hankel-Funktionen besitzen für Re( x ) > 0 die folgenden Integraldarstellungen : ^{[ 23 ]} wobei die Integrationsgrenzen die Integration entlang einer Kontur angeben , die wie folgt gewählt werden kann: von −∞ bis 0 entlang der negativen reellen Achse, von 0 bis ± πi entlang der imaginären Achse und von ± πi bis +∞± πi entlang einer zur reellen Achse parallelen Kontur. ^{[ 20 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty +\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=-{\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty -\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\end{aligned}}}$$

Die Bessel-Funktionen sind auch für komplexe Argumente x gültig , wobei ein wichtiger Spezialfall rein imaginärer Argumente vorliegt. In diesem Fall werden die Lösungen der Bessel-Gleichung als modifizierte Bessel-Funktionen (oder gelegentlich hyperbolische Bessel-Funktionen ) erster und zweiter Art bezeichnet und sind wie folgt definiert ^{[ 24 ]} , wenn α keine ganze Zahl ist. Ist α eine ganze Zahl, wird der Grenzwert verwendet. Für reelle und positive Argumente x sind diese Funktionen reellwertig . Die Reihenentwicklung für I_{_α}( x ) ist daher analog zu der für J _{_α} ( x ) , jedoch ohne den alternierenden Faktor (−1) ^{^m}. $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha },\\[5pt]K_{\alpha }(x)&={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin \alpha \pi }},\end{aligned}}}$$

${\displaystyle K_{\alpha }}$lässt sich mithilfe von Hankel-Funktionen ausdrücken: $${\displaystyle K_{\alpha }(x)={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(1)}(ix)&-\pi <\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}\\{\frac {\pi }{2}}(-i)^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(2)}(-ix)&-{\frac {\pi }{2}}<\arg x\leq \pi \end{cases}}}$$

Mithilfe dieser beiden Formeln lässt sich das Ergebnis für , allgemein bekannt als Nicholson-Integral oder Nicholson-Formel, wie folgt herleiten: ${\displaystyle J_{\alpha }^{2}(z)+Y_{\alpha }^{2}(z)}$$${\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }\cosh(2\alpha t)K_{0}(2x\sinh t)\,dt,}$$

vorausgesetzt, die Bedingung Re( x ) > 0 ist erfüllt. Es lässt sich auch zeigen, dass dies nur dann gilt, wenn | Re( α ) | < ⁠$${\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8\cos(\alpha \pi )}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }K_{2\alpha }(2x\sinh t)\,dt,}$$1/2und Re( x ) ≥ 0 ,aber nicht wenn x = 0 . ^{[ 25 ]}

Wir können die erste und zweite Besselfunktion durch die modifizierten Besselfunktionen ausdrücken (diese sind gültig, wenn − π < arg z ≤ ⁠π/2) : ^{[ 26 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {\alpha \pi i}{2}}I_{\alpha }(z),\\[1ex]Y_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {(\alpha +1)\pi i}{2}}I_{\alpha }(z)-{\tfrac {2}{\pi }}e^{-{\frac {\alpha \pi i}{2}}}K_{\alpha }(z).\end{aligned}}}$$

I _α ( x ) und K _α ( x ) sind die beiden linear unabhängigen Lösungen der modifizierten Bessel-Gleichung : ^{[ 27 ]}$${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-\left(x^{2}+\alpha ^{2}\right)y=0.}$$

Im Gegensatz zu den gewöhnlichen Besselfunktionen, die als Funktionen eines reellen Arguments oszillieren, sind I_{_α} und K_{_α} exponentiell wachsende bzw. abklingende Funktionen. Wie die gewöhnliche Besselfunktion J_{_α} strebt die Funktion I_{_α} für α > 0 gegen null an der Stelle x = 0 und ist für α = 0 endlich an der Stelle x = 0. Analog dazu divergiert K_{_α} an der Stelle x = 0, wobei die Singularität für K _{_α} = 0 logarithmischer Natur ist .1/2⁠ Γ(| α |)(2/ x ) ^{| α |} sonst. ^{[ 28 ]}

Zwei Integralformeln für die modifizierten Besselfunktionen lauten (für Re( x ) > 0 ): ^{[ 29 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x\cos \theta }\cos \alpha \theta \,d\theta -{\frac {\sin \alpha \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]K_{\alpha }(x)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t}\cosh \alpha t\,dt.\end{aligned}}}$$

Bessel-Funktionen lassen sich als Fourier-Transformationen von Potenzen quadratischer Funktionen beschreiben. Zum Beispiel (für Re(ω) > 0 ): $${\displaystyle 2\,K_{0}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{i\omega t}}{\sqrt {t^{2}+1}}}\,dt.}$$

Dies lässt sich beweisen, indem man die Gleichheit mit der obigen Integraldefinition für K ₀ zeigt . Dies geschieht durch Integration einer geschlossenen Kurve im ersten Quadranten der komplexen Ebene.

Modifizierte Bessel-Funktionen zweiter Art können mit dem Bassett-Integral dargestellt werden ^{[ 30 ].}$${\displaystyle K_{n}(xz)={\frac {\Gamma {\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}(2z)^{n}}{{\sqrt {\pi }}x^{n}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(xt)\,dt}{(t^{2}+z^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}}}.}$$

Modifizierte Bessel-Funktionen K _1/3 und K _2/3 können durch schnell konvergierende Integrale dargestellt werden ^{[ 31 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\frac {1}{3}}(\xi )&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx,\\[5pt]K_{\frac {2}{3}}(\xi )&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {3+2x^{2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}}\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx.\end{aligned}}}$$

Die modifizierte Bessel-Funktion eignet sich, um die Laplace-Verteilung als eine Mischung von Normalverteilungen mit exponentieller Skala darzustellen. ${\displaystyle K_{\frac {1}{2}}(\xi )=(2\xi /\pi )^{-1/2}\exp(-\xi )}$

Die modifizierte Bessel-Funktion zweiter Art wurde auch unter folgenden Namen bezeichnet (heute selten):

• Basset-Funktion nach Alfred Barnard Basset
• Modifizierte Bessel-Funktion dritter Art
• Modifizierte Hankel-Funktion ^{[ 32 ]}
• Macdonald-Funktion nach Hector Munro Macdonald

Bei der Lösung der Helmholtz-Gleichung in Kugelkoordinaten durch Trennung der Variablen hat die Radialgleichung die Form $${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}$$

Die beiden linear unabhängigen Lösungen dieser Gleichung werden als sphärische Besselfunktionen j _n und y _n bezeichnet und stehen in Beziehung zu den gewöhnlichen Besselfunktionen J _n und Y _n durch ^{[ 33 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x),\\y_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}$$

y _n wird auch als n _n oder η _n bezeichnet ; einige Autoren nennen diese Funktionen die sphärischen Neumann-Funktionen .

Aus den Beziehungen zu den gewöhnlichen Bessel-Funktionen ergibt sich unmittelbar: $${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-1)^{n}y_{-n-1}(x)\\y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)\end{aligned}}}$$

Die sphärischen Bessel-Funktionen lassen sich auch wie folgt schreiben:Rayleighs Formeln ) ^{[ 34 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\sin x}{x}},\\y_{n}(x)&=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\cos x}{x}}.\end{aligned}}}$$

Die nullte sphärische Besselfunktion j₀ ( x ) wird auch als (unnormierte) sinc-Funktion bezeichnet . Die ersten sphärischen Besselfunktionen sind: ^{[ 35 ]} und ^{[ 36 ]} _.$${\displaystyle {\begin{aligned}j_{0}(x)&={\frac {\sin x}{x}}.\\j_{1}(x)&={\frac {\sin x}{x^{2}}}-{\frac {\cos x}{x}},\\j_{2}(x)&=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}},\\j_{3}(x)&=\left({\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\cos x}{x}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{\frac {\cos x}{x}},\\y_{1}(x)&=j_{-2}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2}}}-{\frac {\sin x}{x}},\\y_{2}(x)&=-j_{-3}(x)=\left(-{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}-{\frac {3\sin x}{x^{2}}},\\y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x^{3}}}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}.\end{aligned}}}$$

Die ersten von Null verschiedenen Nullstellen der ersten sphärischen Bessel-Funktionen sind:

Nicht-Nullstellen der sphärischen Besselfunktion (erster Art)

Befehl	Wurzel 1	Wurzel 2	Root 3	Wurzel 4	Wurzel 5
${\displaystyle j_{0}}$	3,141593	6,283185	9,424778	12,566371	15,707963
${\displaystyle j_{1}}$	4,493409	7,725252	10,904122	14.066194	17.220755
${\displaystyle j_{2}}$	5,763459	9.095011	12,322941	15.514603	18,689036
${\displaystyle j_{3}}$	6,987932	10,417119	13,698023	16,923621	20.121806
${\displaystyle j_{4}}$	8,182561	11.704907	15,039665	18.301256	21,525418

Nicht-Nullstellen der sphärischen Besselfunktion (zweiter Art)

Befehl	Wurzel 1	Wurzel 2	Root 3	Wurzel 4	Wurzel 5
${\displaystyle y_{0}}$	1,570796	4,712389	7,853982	10,995574	14.137167
${\displaystyle y_{1}}$	2,798386	6.121250	9,317866	12,486454	15,644128
${\displaystyle y_{2}}$	3,959528	7,451610	10,715647	13,921686	17.103359
${\displaystyle y_{3}}$	5,088498	8,733710	12.067544	15,315390	18.525210
${\displaystyle y_{4}}$	6.197831	9,982466	13,385287	16,676625	19,916796

Die sphärischen Bessel-Funktionen haben die erzeugenden Funktionen ^{[ 37 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{z}}\cos \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),\\{\frac {1}{z}}\sin \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}y_{n-1}(z).\end{aligned}}}$$

Im Gegensatz zu den ganzzahligen Besselfunktionen J _n ( x ), Y _n ( x ) besitzen die sphärischen Besselfunktionen j _n ( x ), y _n ( x ) einen endlichen Reihenausdruck: ^{[ 38 ]}$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\&={\frac {1}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{r-n-1}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{r-n-1}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}\right]\\&={\frac {1}{x}}\left[\sin \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}+\cos \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}}\right]\\\end{alignedat}}}$$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)=(-1)^{n+1}{\frac {\pi }{2x}}J_{-\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}(x)\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{r+n}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{r+n}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}\right]\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{x}}\left[\cos \left(x+{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}-\sin \left(x+{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}}\right]\end{alignedat}}}$$

Im Folgenden ist f _n eine beliebige Zahl von j _n , y _n , h .⁽¹⁾ _n, H⁽²⁾ _nfür n = 0, ±1, ±2, ... ^{[ 39 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_{n}(z)\right)&=z^{n-m+1}f_{n-m}(z),\\\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{-n}f_{n}(z)\right)&=(-1)^{m}z^{-n-m}f_{n+m}(z).\end{aligned}}}$$

Es gibt auch sphärische Analoga der Hankel-Funktionen : $${\displaystyle {\begin{aligned}h_{n}^{(1)}(x)&=j_{n}(x)+iy_{n}(x),\\h_{n}^{(2)}(x)&=j_{n}(x)-iy_{n}(x).\end{aligned}}}$$

Es existieren einfache geschlossene Ausdrücke für die Besselfunktionen halbzahliger Ordnung mithilfe der Standard- Trigonometriefunktionen und somit auch für die sphärischen Besselfunktionen. Insbesondere gilt für nichtnegative ganze Zahlen n : und h$${\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)=(-i)^{n+1}{\frac {e^{ix}}{x}}\sum _{m=0}^{n}{\frac {i^{m}}{m!\,(2x)^{m}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}},}$$⁽²⁾ _nist die komplex Konjugierte davon (für reelle x ). Daraus folgt beispielsweise, dass j ₀ ( x ) = ⁠sin x/Xund y 0 ( x ₎ = − ⁠cos x/Xund so weiter.

Die sphärischen Hankel-Funktionen treten in Problemen auf, die die Ausbreitung sphärischer Wellen betreffen , zum Beispiel in der Multipolentwicklung des elektromagnetischen Feldes .

Riccati -Bessel-Funktionen unterscheiden sich nur geringfügig von sphärischen Bessel-Funktionen: $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(x)&=xj_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\C_{n}(x)&=-xy_{n}(x)=-{\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\\xi _{n}(x)&=xh_{n}^{(1)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(1)}(x)=S_{n}(x)-iC_{n}(x)\\\zeta _{n}(x)&=xh_{n}^{(2)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(2)}(x)=S_{n}(x)+iC_{n}(x)\end{aligned}}}$$

Sie erfüllen die Differentialgleichung $${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}$$

Beispielsweise tritt diese Art von Differentialgleichung in der Quantenmechanik bei der Lösung der radialen Komponente der Schrödingergleichung mit einer hypothetischen zylindrischen unendlichen Potentialbarriere auf. ^{[ 40 ]} Diese Differentialgleichung und die Riccati-Bessel-Lösungen treten auch bei der Streuung elektromagnetischer Wellen an einer Kugel auf, bekannt als Mie-Streuung, benannt nach der ersten veröffentlichten Lösung von Mie (1908). Siehe z. B. Du (2004) ^{[ 41 ]} für neuere Entwicklungen und weiterführende Literatur.

In Anlehnung an Debye (1909) wird manchmal die Notation ψ _n , χ _n anstelle von S _n , C _n verwendet .

Die Bessel-Funktionen haben die folgenden asymptotischen Formen. Für kleine Argumente erhält man, wenn keine negative ganze Zahl ist: ^{[ 6 ]}${\displaystyle 0<z\ll {\sqrt {\alpha +1}}}$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }.}$$

Wenn α eine negative ganze Zahl ist, gilt: $${\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {(-1)^{\alpha }}{(-\alpha )!}}\left({\frac {2}{z}}\right)^{\alpha }.}$$

Für die Besselfunktion zweiter Art gibt es drei Fälle: wobei γ die Euler-Mascheroni-Konstante (0,5772...) ist. Im zweiten Fall (wobei eine positive ganze Zahl ist) dominiert ein Term, es sei denn, ist imaginär. $${\displaystyle Y_{\alpha }(z)\sim {\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi }}\left(\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)+\gamma \right)&{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]-{\dfrac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }+{\dfrac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }\cot(\alpha \pi )&{\text{if }}\alpha {\text{ is a positive integer,}}\\[1ex]-{\dfrac {(-1)^{\alpha }\Gamma (-\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha {\text{ is a negative integer,}}\end{cases}}}$$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$

Für große reelle Argumente z ≫ | α ² − ⁠1/4Man kann keine echte asymptotische Form für Besselfunktionen erster und zweiter Art angeben (es sei denn,αisteine halbe ganze Zahl ) , da siebis ins UnendlicheNullstellen besitzen, die von jeder asymptotischen Entwicklung exakt wiedergegeben werden müssten. Für einen gegebenen Wert von arg z lässtsicheine Gleichung mit einem Term der Ordnung| z | ^{− 1} aufstellen : ^{[ 42 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\cos \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{\left|\operatorname {Im} (z)\right|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1}\right)\right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<\pi ,\\Y_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\sin \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{\left|\operatorname {Im} (z)\right|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1}\right)\right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<\pi .\end{aligned}}}$$

(Für α = ⁠1/2Die letzten Terme in diesen Formeln fallen vollständig weg; siehe die oben genannten sphärischen Bessel-Funktionen. )

Die asymptotischen Formen der Hankel-Funktionen lauten: $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<2\pi ,\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-2\pi <\arg z<\pi .\end{aligned}}}$$

Diese können mithilfe von Gleichungen, die H in Beziehung setzen, auf andere Werte von arg z erweitert werden.⁽¹⁾ _α( ze ^{im π} ) und H⁽²⁾ _α( ze ^{im π} ) zu H⁽¹⁾ _α( z ) und H⁽²⁾ _α( z ) . ^{[ 43 ]}

Es ist interessant, dass die Bessel-Funktion erster Art zwar der Mittelwert der beiden Hankel-Funktionen ist, J _α ( z ) aber nicht asymptotisch zum Mittelwert dieser beiden asymptotischen Formen konvergiert, wenn z negativ ist (da in diesem Fall die eine oder andere Form, abhängig vom verwendeten arg z , nicht korrekt ist ). Die asymptotischen Formen der Hankel-Funktionen erlauben es uns jedoch, asymptotische Formen für die Bessel-Funktionen erster und zweiter Art für komplexe (nicht-reelle) z anzugeben , solange | z | mit konstantem Phasenwinkel arg z gegen unendlich strebt (unter Verwendung der Quadratwurzel mit positivem Realteil). $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi ,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim -i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi .\end{aligned}}}$$

Für die modifizierten Bessel-Funktionen entwickelte Hankel ebenfalls asymptotische Entwicklungen : ^{[ 44 ] [ 45 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1-{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)}{2!(8z)^{2}}}-{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)\left(4\alpha ^{2}-25\right)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\frac {\pi }{2}},\\K_{\alpha }(z)&\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\left(1+{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)}{2!(8z)^{2}}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)\left(4\alpha ^{2}-25\right)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\frac {3\pi }{2}}.\end{aligned}}}$$

Es gibt auch die asymptotische Form (für große reelle Zahlen ) ^{[ 46 ].}${\displaystyle z}$$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi z}}{\sqrt[{4}]{1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\exp \left(-\alpha \operatorname {arcsinh} \left({\frac {\alpha }{z}}\right)+z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}\right)\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

Wenn α = ⁠1/2⁠ , alle Terme außer dem ersten verschwinden, und wir haben $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sinh(z)}{\sqrt {z}}}\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\tfrac {\pi }{2}},\\[1ex]K_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {e^{-z}}{\sqrt {z}}}.\end{aligned}}}$$

Bei kleinen Argumenten gilt: ${\displaystyle 0<|z|\ll {\sqrt {\alpha +1}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha },\\[1ex]K_{\alpha }(z)&\sim {\begin{cases}-\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)-\gamma &{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]{\frac {\Gamma (\alpha )}{2}}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha >0\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Für jede Bessel-Funktion, deren Ordnung keine negative ganze Zahl ist, können die Ableitungen der Funktion wie folgt definiert werden: ^{[ 47 ]}${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {d \over dx}J_{\alpha }(x)=J_{\alpha -1}(x)-{\alpha \over x}J_{\alpha }(x)}$

oder, gleichbedeutend,

${\displaystyle {d \over dx}J_{\alpha }(x)={\alpha \over x}J_{\alpha }(x)-J_{\alpha +1}(x)}$

Mithilfe dieser Formeln lässt sich eine Rekursionsgleichung für bestimmen , deren allgemeinere Form im Folgenden angegeben wird . ^{[ 47 ]}${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$

Für ganzzahlige Ordnung α = n wird J _n oft über eine Laurent-Reihe für eine erzeugende Funktion definiert : ein Ansatz, der von PA Hansen im Jahr 1843 verwendet wurde . (Dies kann durch Konturintegration oder andere Methoden auf nicht-ganzzahlige Ordnung verallgemeinert werden .) $${\displaystyle e^{{\frac {x}{2}}\left(t-{\frac {1}{t}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(x)t^{n}}$$

Unendliche Reihen von Bessel-Funktionen der Form , wobei in vielen physikalischen Systemen auftreten und in geschlossener Form durch die Sung-Reihe definiert sind . ^{[ 48 ]} Zum Beispiel für N = 3: . Allgemeiner lassen sich die Sung-Reihe und die alternierende Sung-Reihe wie folgt schreiben: ${\textstyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{N\nu +p}(x)}$$\nu ,p\in \mathbb {Z} ,\ N\in \mathbb {Z} ^{+}$${\textstyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{3\nu +p}(x)={\frac {1}{3}}\left[1+2\cos {(x{\sqrt {3}}/2-2\pi p/3)}\right]}$$${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{N\nu +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {2\pi q/N}}e^{-i2\pi pq/N}}$$$${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }(-1)^{\nu }J_{N\nu +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {(2q+1)\pi /N}}e^{-i(2q+1)\pi p/N}}$$