Laplace-Transformation

In der Mathematik ist die Laplace - Transformation , benannt nach Pierre-Simon Laplace ( / l ə ˈ p l ɑː s / ), eine Integraltransformation , die eine Funktion einer reellen Variablen (üblicherweise im Zeitbereich ) in eine Funktion einer komplexen Variablen (im komplexwertigen Frequenzbereich , auch s- Bereich oder s -Ebene genannt ) umwandelt. Die Funktionen werden oft mit einem Kleinbuchstaben für die Funktion im Zeitbereich und dem entsprechenden Großbuchstaben für die Funktion im Frequenzbereich bezeichnet, z. B. f(x) und f(x ) . ${\displaystyle t}$${\displaystyle s}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle X(s)}$

Die Transformation ist nützlich, um Differentiation und Integration im Zeitbereich in die algebraischen Operationen Multiplikation und Division im Laplace-Bereich umzuwandeln (analog zur Vereinfachung von Multiplikation und Division durch Logarithmen zu Addition und Subtraktion durch Logarithmen ). Dadurch ergeben sich zahlreiche Anwendungen der Transformation in Wissenschaft und Technik , vor allem als Werkzeug zur Lösung linearer Differentialgleichungen ^{[ 1 ]} und dynamischer Systeme, indem gewöhnliche Differentialgleichungen und Integralgleichungen durch algebraische Polynomgleichungen und Faltungen durch Multiplikation ersetzt werden . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Beispielsweise wird mithilfe der Laplace-Transformation die Gleichung des harmonischen Oszillators ( Hookesches Gesetz ) in eine algebraische Gleichung umgewandelt, die die Anfangsbedingungen enthält und nach der unbekannten Funktion aufgelöst werden kann . Nach der Lösung kann die inverse Laplace-Transformation verwendet werden , um die Gleichung in den ursprünglichen Definitionsbereich zurückzutransformieren. Hierbei helfen häufig Tabellen wie die untenstehende . $${\displaystyle x''(t)+kx(t)=0}$$$${\displaystyle s^{2}X(s)-sx(0)-x'(0)+kX(s)=0,}$$${\displaystyle x(0)}$${\displaystyle x'(0)}$${\displaystyle X(s)}$

Die Laplace-Transformation ist (für geeignete Funktionen ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ ) definiert durch das Integral , wobei ⁠ ⁠ eine komplexe Zahl ist . $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt,}$$${\displaystyle s}$

Die Laplace-Transformation ist mit vielen anderen Transformationen verwandt. Sie entspricht im Wesentlichen der Mellin-Transformation und ist eng mit der Fourier-Transformation verwandt . Im Gegensatz zur Fourier-Transformation ist die Laplace-Transformierte einer Funktion oft eine analytische Funktion , d. h. sie lässt sich als lokal konvergierende Potenzreihe darstellen , deren Koeffizienten die Momente der ursprünglichen Funktion repräsentieren. Darüber hinaus können Methoden der komplexen Analysis , insbesondere Konturintegrale , zur Vereinfachung der Berechnungen verwendet werden.

Die Laplace-Transformation ist nach dem Mathematiker und Astronomen Pierre-Simon, Marquis de Laplace , benannt, der eine ähnliche Transformation in seinen Arbeiten zur Wahrscheinlichkeitstheorie verwendete . ^{[ 4 ] [ 5 ]} Laplace schrieb ausführlich über die Verwendung erzeugender Funktionen (1814), und die Integralform der Laplace-Transformation entwickelte sich daraus auf natürliche Weise. ^{[ 6 ]}

Laplaces Verwendung von erzeugenden Funktionen ähnelte der heute als z-Transformation bekannten Methode , und er schenkte dem von Niels Henrik Abel diskutierten Fall der kontinuierlichen Variablen wenig Beachtung . ^{[ 7 ]}

Ab 1744 untersuchte Leonhard Euler Integrale der Form als Lösungen von Differentialgleichungen und führte insbesondere die Gammafunktion ein . ^{[ 8 ]} Joseph-Louis Lagrange war ein Bewunderer Eulers und untersuchte in seinen Arbeiten zur Integration von Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen Ausdrücke der Form, die einer Laplace-Transformation ähneln. ^{[ 9 ] [ 10 ]}$${\displaystyle z=\int X(x)e^{ax}\,dx\quad {\text{ und }}\quad z=\int X(x)x^{A}\,dx}$$$${\displaystyle \int X(x)e^{-ax}a^{x}\,dx,}$$

Diese Art von Integralen scheint Laplaces Aufmerksamkeit erstmals 1782 erregt zu haben, als er, in Anlehnung an Euler, die Integrale selbst als Lösungen von Gleichungen verwendete. ^{[ 11 ]} 1785 gelang Laplace jedoch der entscheidende Schritt: Anstatt lediglich nach einer Lösung in Form eines Integrals zu suchen, begann er, die Transformationen in dem Sinne anzuwenden, der später populär werden sollte. Er nutzte ein Integral ähnlich der Mellin-Transformation , um eine Differenzengleichung vollständig zu transformieren und so Lösungen der transformierten Gleichung zu finden. Anschließend wandte er die Laplace-Transformation auf dieselbe Weise an und begann, einige ihrer Eigenschaften abzuleiten und ihr Potenzial zu erkennen. ^{[ 12 ]}$${\displaystyle \int x^{s}\varphi (x)\,dx,}$$

Laplace erkannte auch, dass Joseph Fouriers Methode der Fourierreihen zur Lösung der Diffusionsgleichung nur auf einen begrenzten Raumbereich anwendbar war, da die Lösungen periodisch waren . 1809 wandte Laplace seine Transformation an, um Lösungen zu finden, die sich unendlich im Raum ausbreiteten. ^{[ 13 ]} 1821 entwickelte Cauchy einen Operatorenkalkül für die Laplace-Transformation, mit dem sich lineare Differentialgleichungen ähnlich wie heute in der Ingenieurwissenschaft untersuchen ließen . Diese Methode wurde um die Jahrhundertwende von Oliver Heaviside popularisiert und möglicherweise wiederentdeckt . ^{[ 14 ]}

Bernhard Riemann verwendete die Laplace-Transformation in seiner 1859 erschienenen Arbeit „ Über die Anzahl der Primzahlen kleiner als eine gegebene Größe“ , in der er auch den Umkehrsatz entwickelte. Riemann nutzte die Laplace-Transformation zur Herleitung der Funktionalgleichung der Riemannschen Zetafunktion , und seine Methode wird noch heute verwendet, um das modulare Transformationsgesetz der Jacobi-Thetafunktion , das sich leicht mittels Poisson-Summation beweisen lässt , mit der Funktionalgleichung in Verbindung zu bringen. ^{[ 15 ]}

Hjalmar Mellin gehörte zu den Ersten, die die Laplace-Transformation in der Schule von Karl Weierstrass rigoros untersuchten und sie um die Jahrhundertwende zum 20. Jahrhundert auf die Untersuchung von Differentialgleichungen und speziellen Funktionen anwandten. ^{[ 16 ]} Etwa zur gleichen Zeit beschäftigte sich Heaviside mit seinem Operatorenkalkül. Thomas Joannes Stieltjes betrachtete eine Verallgemeinerung der Laplace-Transformation im Zusammenhang mit seinen Arbeiten über Momente . Weitere Beiträge in dieser Zeit waren Mathias Lerch , ^{[ 17 ]} Oliver Heaviside und Thomas Bromwich . ^{[ 18 ]}

1929 veröffentlichten Vannevar Bush und Norbert Wiener „Operational Circuit Analysis“ , ein Lehrbuch zur Analyse elektrischer Schaltungen im Ingenieurwesen. Darin wandten sie sowohl Fourier-Transformationen als auch die Operatorenrechnung an und präsentierten eine der ersten Vorläufertabellen der modernen Laplace-Transformationen. 1934 veröffentlichten Raymond Paley und Norbert Wiener das bedeutende Werk „Fourier transforms in the complex domain“ über die heute als Laplace-Transformation bekannte Theorie (siehe unten). Ebenfalls in den 1930er Jahren spielte die Laplace-Transformation eine entscheidende Rolle in Godfrey Harold Hardys und John Edensor Littlewoods Untersuchung der Tauberschen Sätze . Diese Anwendung wurde später von Widder (1941) weiterentwickelt , der auch andere Aspekte der Theorie, wie beispielsweise eine neue Inversionsmethode, erarbeitete. Edward Charles Titchmarsh verfasste 1937 die einflussreiche „ Introduction to the theory of the Fourier integral“ .

Die heutige weite Verbreitung der Transformation (hauptsächlich im Ingenieurwesen) entstand während und kurz nach dem Zweiten Weltkrieg [ ^{19 ] und} ersetzte den früheren Heaviside- Operationskalkül . Die Vorteile der Laplace-Transformation wurden bereits von Gustav Doetsch hervorgehoben . ^{[ 20 ]}

Die Laplace-Transformation einer Funktion f ( t ) , definiert für alle reellen Zahlen t ≥ 0 , ist die Funktion F ( s ), definiert durch

wobei es sich um einen komplexen Frequenzbereichsparameter mit reellen Zahlen σ und ω handelt . ^{[ 21 ]}${\displaystyle s}$${\textstyle s=\sigma +i\omega }$

Eine alternative Notation für die Laplace-Transformation ist${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}}$statt F . ^{[ 3 ]} Somit in funktionaler Notation . Dies wird oft, insbesondere im Ingenieurwesen, als ⁠ ⁠ geschrieben , wobei davon auszugehen ist, dass die Dummy - Variable nicht in der Funktion erscheint .${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f\}(s)}$${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle F(s)}$

Die Bedeutung des Integrals hängt von den betrachteten Funktionen ab. Eine notwendige Bedingung für die Existenz des Integrals ist, dass f auf [0, ∞) lokal integrierbar sein muss . Für lokal integrierbare Funktionen, die gegen Unendlich abklingen oder vom Exponentialtyp sind ( ) , kann das Integral als (echtes) Lebesgue-Integral verstanden werden. Für viele Anwendungen ist es jedoch notwendig , es als bedingt konvergentes, uneigentliches Integral bei ∞ zu betrachten . Allgemeiner kann das Integral auch in einem schwachen Sinne verstanden werden , was weiter unten behandelt wird. ${\displaystyle \vert f(t)\vert \leq Ae^{B\vert t\vert }}$

Die Laplace-Transformation eines endlichen Borel-Maßes μ kann durch das Lebesgue-Integral definiert werden ^{[ 22 ].}$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{\mu \}(s)=\int _{[0,\infty )}e^{-st}\,d\mu (t).}$$

Ein wichtiger Spezialfall ist der, in dem μ ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist , beispielsweise die Dirac-Delta-Funktion . In der Operatorenrechnung wird die Laplace-Transformation eines Maßes oft so behandelt, als stamme das Maß von einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f . Um mögliche Verwechslungen zu vermeiden, schreibt man in diesem Fall oft , wobei die untere Grenze von 0 ⁻ eine Kurzschreibweise für ist. $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt,}$$$${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\varepsilon }^{\infty }.}$$

Diese Grenze verdeutlicht, dass jede Punktmasse bei 0 vollständig von der Laplace-Transformation erfasst wird. Obwohl dies beim Lebesgue-Integral nicht notwendig ist, erscheint es im Zusammenhang mit der Laplace-Stieltjes-Transformation natürlicher .

Wenn man ohne weitere Spezifizierung von „Laplace-Transformation“ spricht, ist üblicherweise die einseitige Transformation gemeint. Alternativ kann die Laplace-Transformation auch als zweiseitige Laplace-Transformation definiert werden , indem man den Integrationsbereich auf die gesamte reelle Achse ausdehnt. In diesem Fall wird die übliche einseitige Transformation zu einem Spezialfall der zweiseitigen Transformation, bei dem die Definition der zu transformierenden Funktion die Multiplikation mit der Heaviside-Sprungfunktion beinhaltet .

Die bilaterale Laplace-Transformation F ( s ) ist wie folgt definiert:

Eine alternative Notation für die bilaterale Laplace-Transformation ist ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}}$ , anstelle von F .

Zwei integrierbare Funktionen besitzen genau dann dieselbe Laplace-Transformierte, wenn sie sich auf einer Menge mit Lebesgue-Maß Null unterscheiden. Dies bedeutet, dass es auf dem Bildbereich der Transformation eine inverse Transformation gibt. Tatsächlich ist die Laplace-Transformation neben integrierbaren Funktionen auch in vielen anderen Funktionenräumen eine bijektive Abbildung von einem Funktionenraum in einen anderen, obwohl der Bildbereich üblicherweise nicht einfach charakterisiert werden kann.

Typische Funktionenräume, in denen dies zutrifft, sind beispielsweise die Räume beschränkter stetiger Funktionen, der Raum L ^{^∞} (0, ∞) oder allgemeiner temperierte Distributionen auf (0, ∞) . Die Laplace-Transformation ist auch für geeignete Räume temperierter Distributionen definiert und injektiv.

In diesen Fällen liegt das Bild der Laplace-Transformation in einem Raum analytischer Funktionen im Konvergenzbereich . Die inverse Laplace-Transformation ist durch das folgende komplexe Integral gegeben, das unter verschiedenen Namen bekannt ist ( Bromwich-Integral , Fourier-Mellin-Integral und Mellinsche Umkehrformel ):

wobei γ eine reelle Zahl ist, sodass der Integrationsweg im Konvergenzbereich von F ( s ) liegt . In den meisten Anwendungen kann der Integrationsweg geschlossen sein, was die Anwendung des Residuensatzes ermöglicht . Eine alternative Formel für die inverse Laplace-Transformation ist die Postsche Inversionsformel . Der Grenzwert wird hier in der schwachen Topologie interpretiert .

In der Praxis ist es in der Regel bequemer, eine Laplace-Transformation in bekannte Transformationen von Funktionen aus einer Tabelle zu zerlegen und die Inverse durch Inspektion zu konstruieren.

In der reinen und angewandten Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Laplace - Transformation als Erwartungswert definiert . Ist X eine Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f , so ist die Laplace-Transformation von f gegeben durch den Erwartungswert, wobei der Erwartungswert der Zufallsvariablen ist .$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right],}$$${\displaystyle \operatorname {E} [r]}$${\displaystyle r}$

Konventionsgemäß wird dies als die Laplace-Transformation der Zufallsvariablen X selbst bezeichnet. Ersetzt man hier s durch −t , erhält man die momenterzeugende Funktion von X. Die Laplace-Transformation findet Anwendung in der gesamten Wahrscheinlichkeitstheorie, unter anderem bei der Berechnung der ersten Durchgangszeiten stochastischer Prozesse wie Markov-Ketten und in der Erneuerungstheorie .

Von besonderem Nutzen ist die Möglichkeit, die kumulative Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen X mit Hilfe der Laplace-Transformation wie folgt zu ermitteln: ^{[ 23 ].}$${\displaystyle F_{X}(x)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s}}\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right]\right\}(x)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\{f\}(s)\right\}(x).}$$

Die Laplace-Transformation lässt sich alternativ auch rein algebraisch definieren, indem man eine Bruchrechnung auf den Faltungsring der Funktionen auf der positiven Halbgeraden anwendet. Der resultierende Raum abstrakter Operatoren ist exakt äquivalent zum Laplace-Raum, jedoch müssen bei dieser Konstruktion die Hin- und Rücktransformationen nie explizit definiert werden (wodurch die damit verbundenen Schwierigkeiten beim Konvergenzbeweis vermieden werden). ^{[ 24 ]}

Ist f eine lokal integrierbare Funktion (oder allgemeiner ein Borel-Maß mit lokal beschränkter Variation), so konvergiert die Laplace-Transformierte F ( s ) von f , vorausgesetzt, der Grenzwert existiert. $${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f(t)e^{-st}\,dt}$$

Die Laplace-Transformation konvergiert absolut, wenn das Integral als echtes Lebesgue-Integral existiert. Üblicherweise versteht man die Laplace-Transformation als bedingt konvergent , d. h. sie konvergiert im ersteren, aber nicht im letzteren Sinne. $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left|f(t)e^{-st}\right|\,dt}$$

Die Menge der Werte, für die F ( s ) absolut konvergiert, hat entweder die Form Re( s ) > a oder Re( s ) ≥ a , wobei a eine erweiterte reelle Konstante mit −∞ ≤ a ≤ ∞ ist (eine Folge des Satzes von der dominierten Konvergenz ). Die Konstante a wird als Abszisse der absoluten Konvergenz bezeichnet und hängt vom Wachstumsverhalten von f ( t ) ab . ^{[ 25 ]} Analog konvergiert die zweiseitige Transformation absolut in einem Streifen der Form a < Re( s ) < b , der möglicherweise die Geraden Re( s ) = a oder Re( s ) = b enthält . ^{[ 26 ]} Die Teilmenge der Werte von s , für die die Laplace-Transformation absolut konvergiert, wird als Bereich der absoluten Konvergenz oder als Definitionsbereich der absoluten Konvergenz bezeichnet. Im zweiseitigen Fall wird sie manchmal auch als Streifen der absoluten Konvergenz bezeichnet. Die Laplace-Transformation ist im Bereich der absoluten Konvergenz analytisch: Dies ist eine Folge des Satzes von Fubini und des Satzes von Morera .

Die Menge der Werte, für die F ( s ) (bedingt oder absolut) konvergiert _, wird als bedingter Konvergenzbereich oder kurz Konvergenzbereich (ROC) bezeichnet. Konvergiert die Laplace-Transformation (bedingt) an der Stelle s = s₀ , so konvergiert sie automatisch für alle s mit Re( s ) > Re( s₀ ) . Daher ist der Konvergenzbereich eine Halbebene der Form Re( s ) > a , _die gegebenenfalls Punkte der Randgeraden Re( s ) = a enthält .

Im Konvergenzbereich Re( s ) > Re( s₀ ) lässt sich die Laplace-Transformierte von f durch partielle Integration als Integral ausdrücken _.$${\displaystyle F(s)=(s-s_{0})\int _{0}^{\infty }e^{-(s-s_{0})t}\beta (t)\,dt,\quad \beta (u)=\int _{0}^{u}e^{-s_{0}t}f(t)\,dt.}$$

Das heißt, F ( s ) lässt sich im Konvergenzbereich effektiv als die absolut konvergente Laplace-Transformation einer anderen Funktion ausdrücken. Insbesondere ist sie analytisch. In ihrer allgemeinsten Form stellt die Laplace-Transformation eine bijektive Beziehung zwischen den holomorphen Funktionen her, die für ein bestimmtes s auf ℝ${\displaystyle \sigma \in \mathbb {R} }$ definiert und dort betragsmäßig durch ein Polynom beschränkt sind, und den Distributionen auf der reellen Achse mit Träger ℝ , die nach Multiplikation mit ℝ für ein bestimmtes s zu temperierten Distributionen werden . ^{[ 27 ]}${\displaystyle \{s\in \mathbb {C} \ \vert \ \mathrm {Re} (s)>\sigma \}}$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle e^{-\sigma t}}$${\displaystyle \sigma }$

Es gibt mehrere Paley-Wiener-Theoreme, die sich mit dem Zusammenhang zwischen den Abklingeigenschaften von f und den Eigenschaften der Laplace-Transformation im Konvergenzbereich befassen.

In technischen Anwendungen ist eine Funktion, die einem linearen zeitinvarianten (LTI-)System entspricht, stabil, wenn jede beschränkte Eingangsgröße eine beschränkte Ausgangsgröße erzeugt. Dies ist äquivalent zur absoluten Konvergenz der Laplace-Transformierten der Impulsantwortfunktion im Bereich Re( s ) ≥ 0. Folglich sind LTI-Systeme stabil, sofern die Pole der Laplace-Transformierten der Impulsantwortfunktion einen negativen Realteil besitzen.

Diese ROC-Kurve dient dazu, Erkenntnisse über die Kausalität und Stabilität eines Systems zu gewinnen.

Die wichtigste Eigenschaft der Laplace-Transformation ist, dass sie Differentiation und Integration im Zeitbereich in Multiplikation und Division durch s im Laplace-Bereich umwandelt. Daher wird die Laplace-Variable s auch als Operatorvariable im Laplace-Bereich bezeichnet: entweder als Ableitungsoperator oder (für s ^{− 1} ) als Integrationsoperator .

Gegeben seien die Funktionen f ( t ) und g ( t ) sowie ihre jeweiligen Laplace-Transformierten F ( s ) und G ( s ) , $${\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\},\\g(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\},\end{aligned}}}$$

Die folgende Tabelle enthält eine Liste der Eigenschaften der einseitigen Laplace-Transformation: ^{[ 28 ]}

Eigenschaften der einseitigen Laplace-Transformation

Eigentum	Zeitbereich	s -Domäne	Kommentar
Linearität	${\displaystyle af(t)+bg(t)\ }$	${\displaystyle aF(s)+bG(s)\ }$	Lässt sich mithilfe der grundlegenden Integrationsregeln beweisen.
Ableitung im Frequenzbereich	${\displaystyle tf(t)\ }$	${\displaystyle -F'(s)\ }$	F ′ ist die erste Ableitung von F nach s .
allgemeine Ableitung im Frequenzbereich	${\displaystyle t^{n}f(t)\ }$	${\displaystyle (-1)^{n}F^{(n)}(s)\ }$	Allgemeinere Form, n -te Ableitung von F ( s ) .
Derivat	${\displaystyle f'(t)\ }$	${\displaystyle sF(s)-f(0^{-})\ }$	Es wird angenommen, dass f eine differenzierbare Funktion istund ihre Ableitung vom Exponentialtyp ist. Diese kann dann durch partielle Integration erhalten werden.
Zweite Ableitung	${\displaystyle f''(t)\ }$	${\textstyle s^{2}F(s)-sf(0^{-})-f'(0^{-})\ }$	Es wird angenommen, dass f zweimal differenzierbar ist und die zweite Ableitung vom Exponentialtyp ist. Dies folgt durch Anwendung des Differentiationsgesetzes auf f ′( t ) .
Allgemeine Ableitung	${\displaystyle f^{(n)}(t)\ }$	${\displaystyle s^{n}F(s)-\sum _{k=1}^{n}s^{nk}f^{(k-1)}(0^{-})\ }$	f wird als n -mal differenzierbar vorausgesetzt, wobei die n -te Ableitung vom Exponentialtyp ist. Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion .
Frequenzbereichsintegration​	${\displaystyle {\frac {1}{t}}f(t)\ }$	${\displaystyle \int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma \ }$	Dies wird unter Verwendung der Natur der Frequenzdifferenzierung und der bedingten Konvergenz hergeleitet.
Zeitbereichsintegration	${\displaystyle \int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =(u*f)(t)}$	${\displaystyle {1 \over s}F(s)}$	u ( t ) ist die Heaviside-Sprungfunktion und ( u ∗ f )( t ) ist die Faltung von u ( t ) und f ( t ) .
Frequenzverschiebung	${\displaystyle e^{at}f(t)}$	${\displaystyle F(s-a)}$
Zeitverschiebung	${\displaystyle f(t-a)u(t-a)}$ ${\displaystyle f(t)u(t-a)\ }$	${\displaystyle e^{-as}F(s)\ }$ ${\displaystyle e^{-as}{\mathcal {L}}\{f(t+a)\}}$	a > 0 , u ( t ) ist die Heaviside-Sprungfunktion
Zeitskalierung	${\displaystyle f(at)}$	${\displaystyle {\frac {1}{a}}F\left({s \over a}\right)}$	a > 0
Multiplikation	${\displaystyle f(t)g(t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}F(\sigma )G(s-\sigma )\,d\sigma \ }$	Die Integration erfolgt entlang der vertikalen Geraden Re( σ ) = c , die vollständig innerhalb des Konvergenzbereichs von F liegt . [ 29 ]
Faltung	${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }$	${\displaystyle F(s)\cdot G(s)\ }$
Zirkuläre Faltung	${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{0}^{T}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }$	${\displaystyle F(s)\cdot G(s)\ }$	Für periodische Funktionen mit Periode T .
Komplexe Konjugation	${\displaystyle f^{*}(t)}$	${\displaystyle F^{*}(s^{*})}$
Periodische Funktion	${\displaystyle f(t)}$	${\displaystyle {1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt}$	f ( t ) ist eine periodische Funktion mit der Periode T , sodass f ( t ) = f ( t + T ) für alle t ≥ 0 gilt. Dies ist eine Folge der Zeitverschiebungseigenschaft und der geometrischen Reihe .
Periodische Summation	${\displaystyle f_{P}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }f(t-Tn)}$ ${\displaystyle f_{P}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}f(t-Tn)}$	${\displaystyle F_{P}(s)={\frac {1}{1-e^{-Ts}}}F(s)}$ ${\displaystyle F_{P}(s)={\frac {1}{1+e^{-Ts}}}F(s)}$

Anfangswertsatz

${\displaystyle f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}.}$

Schlusswertsatz

,${\displaystyle f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}}$ wenn alle Pole von in der linken Halbebene liegen .${\displaystyle sF(s)}$

Der Endwertsatz ist nützlich, da er das Langzeitverhalten angibt, ohne dass Partialbruchzerlegungen (oder andere schwierige algebraische Operationen) durchgeführt werden müssen. Besitzt F ( s ) einen Pol in der rechten Ebene oder Pole auf der imaginären Achse (z. B. wenn s = 0 oder s = 0 ), so ist das Verhalten dieser Formel undefiniert.${\displaystyle f(t)=e^{t}}$${\displaystyle f(t)=\sin(t)}$

Die Laplace-Transformation kann als kontinuierliches Analogon einer Potenzreihe betrachtet werden . ^{[ 30 ]} Ist a ( n ) eine diskrete Funktion einer positiven ganzen Zahl n , so ist die zu a ( n ) gehörige Potenzreihe die Reihe , wobei x eine reelle Variable ist (siehe Z-Transformation ). Ersetzt man die Summation über n durch die Integration über t , so erhält man eine kontinuierliche Version der Potenzreihe, wobei die diskrete Funktion a ( n ) durch die kontinuierliche Funktion f ( t ) ersetzt wird . $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a(n)x^{n}}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)x^{t}\,dt}$$

Die Änderung der Basis des Exponenten von x auf e ergibt $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)\left(e^{\ln {x}}\right)^{t}\,dt}$$

Damit dies beispielsweise für alle beschränkten Funktionen f konvergiert , muss ln x < 0 gelten. Die Substitution −s = ln x liefert genau die Laplace-Transformation: $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}$$

Mit anderen Worten ist die Laplace-Transformation ein kontinuierliches Analogon einer Potenzreihe, bei der der diskrete Parameter n durch den kontinuierlichen Parameter t und x durch e ^{− s} ersetzt wird .

^{Analog zu} einer Potenzreihe konvergiert die Potenzreihe gegen eine analytische Funktion in ^, wenn , und die Laplace${\displaystyle a(n)=O(\rho ^{-n})}$ -Transformation konvergiert gegen eine analytische Funktion für . ^[ 31 ]${\displaystyle \vert x\vert <\rho }$${\displaystyle f(t)=O(e^{-\sigma t})}$${\displaystyle \Re (s)>\sigma }$

Die Größen sind die Momente der Funktion f . Konvergieren die ersten n Momente von f absolut, so gilt durch wiederholtes Differentiieren unter dem Integral : Dies ist von besonderer Bedeutung in der Wahrscheinlichkeitstheorie, wo die Momente einer Zufallsvariablen X durch die Erwartungswerte gegeben sind . Dann gilt die Beziehung: $${\displaystyle \mu _{n}=\int _{0}^{\infty }t^{n}f(t)\,dt}$$$${\displaystyle (-1)^{n}({\mathcal {L}}f)^{(n)}(0)=\mu _{n}.}$$${\displaystyle \mu _{n}=\operatorname {E} [X^{n}]}$$${\displaystyle \mu _{n}=(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right](0).}$$

Es ist oft praktisch, die Differentiationseigenschaft der Laplace-Transformation zu nutzen, um die Transformation der Ableitung einer Funktion zu bestimmen. Dies lässt sich wie folgt aus dem Grundausdruck für eine Laplace-Transformation ableiten: Im zweiseitigen Fall ergibt sich :$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}&=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt\\[6pt]&=\left[{\frac {f(t)e^{-st}}{-s}}\right]_{0^{-}}^{\infty }-\int _{0^{-}}^{\infty }{\frac {e^{-st}}{-s}}f'(t)\,dt\quad {\text{(by parts)}}\\[6pt]&=\left[-{\frac {f(0^{-})}{-s}}\right]+{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0^{-}),}$$$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}.}$$

Das allgemeine Ergebnis, wobei die n -te Ableitung von f bezeichnet , kann dann mit einem induktiven Argument hergeleitet werden. $${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(t)\right\}=s^{n}\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-}),}$$${\displaystyle f^{(n)}}$

Eine nützliche Eigenschaft der Laplace-Transformation ist die folgende: Unter geeigneten Annahmen über das Verhalten von ⁠ ⁠ und ⁠ ⁠ in einer rechten Umgebung von und über die Abklingrate von ⁠ ⁠ und ⁠ ⁠ in einer linken Umgebung von ⁠ ⁠ ist die obige Formel eine Variante der partiellen Integration, bei der die Operatoren und durch und ersetzt werden . Wir beweisen nun die äquivalente Formulierung: $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)g(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}}f)(s)\cdot ({\mathcal {L}}^{-1}g)(s)\,ds}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$${\displaystyle \int \,dx}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}}$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}}f)(x)g(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }f(s)({\mathcal {L}}g)(s)\,ds.}$$

Durch Einsetzen der linken Seite ergibt sich: aber unter der Annahme, dass der Satz von Fubini gilt, erhalten wir durch Umkehrung der Integrationsreihenfolge die gewünschte rechte Seite. ${\displaystyle ({\mathcal {L}}f)(x)=\int _{0}^{\infty }f(s)e^{-sx}\,ds}$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }f(s)g(x)e^{-sx}\,ds\,dx,}$$

Mit dieser Methode lassen sich Integrale berechnen, die mit elementaren Methoden der Analysis sonst nur schwer zu berechnen wären. Zum Beispiel: $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}dx=\int _{0}^{\infty }{\mathcal {L}}(1)(x)\sin xdx=\int _{0}^{\infty }1\cdot {\mathcal {L}}(\sin )(x)dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}+1}}={\frac {\pi }{2}}.}$$

Die (einseitige) Laplace-Stieltjes-Transformation einer Funktion g  : ℝ → ℝ wird durch das Lebesgue-Stieltjes-Integral definiert$${\displaystyle \{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,d\,g(t)~.}$$

Die Funktion g wird als von beschränkter Variation angenommen . Wenn g die Stammfunktion von f ist : $${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,d\,t}$$

Dann stimmen die Laplace-Stieltjes-Transformation von g und die Laplace-Transformation von f überein. Im Allgemeinen ist die Laplace-Stieltjes-Transformation die Laplace-Transformation des zu g gehörigen Stieltjes-Maßes . In der Praxis besteht der einzige Unterschied zwischen den beiden Transformationen also darin, dass die Laplace-Transformation auf die Dichtefunktion des Maßes angewendet wird, während die Laplace-Stieltjes-Transformation auf dessen kumulative Verteilungsfunktion angewendet wird . ^{[ 32 ]}

Sei f eine komplexwertige, Lebesgue-integrierbare Funktion mit Träger auf ⁠ ⁠ und sei f ihre Laplace-Transformierte. Dann gilt innerhalb des Konvergenzbereichs ⁠ ⁠ , was die Fourier-Transformierte der Funktion f ist . ^{[ 33 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}f(s)}$$${\displaystyle F(\sigma +i\tau )=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-\sigma t}e^{-i\tau t}\,dt,}$$${\displaystyle f(t)e^{-\sigma t}}$

Die Fouriertransformation ist unter bestimmten Bedingungen ein Spezialfall der bilateralen Laplace-Transformation. Der Hauptunterschied besteht darin, dass die Fouriertransformation einer Funktion eine komplexe Funktion einer reellen Variablen (Frequenz )${\displaystyle \tau }$ ist , während die Laplace-Transformation eine komplexe Funktion einer komplexen Variablen (Dämpfungsfaktor und Frequenz ) ist . Die Laplace-Transformation ist üblicherweise auf die Transformation von Funktionen von t mit t ≥ 0 beschränkt . Daraus folgt, dass die Laplace-Transformation einer Funktion eine holomorphe Funktion der Variablen s ist . Im Gegensatz zur Fouriertransformation ist die Laplace-Transformation einer Verteilung im Allgemeinen eine wohldefinierte Funktion. Methoden der komplexen Analysis können auch zur direkten Untersuchung von Laplace-Transformationen eingesetzt werden. Als holomorphe Funktion besitzt die Laplace-Transformation eine Potenzreihendarstellung . Diese Potenzreihe drückt eine Funktion als lineare Superposition ihrer Momente aus . Diese Sichtweise findet Anwendung in der Wahrscheinlichkeitstheorie. ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \tau }$

Formal gesehen ist die Fourier-Transformation äquivalent zur Auswertung der bilateralen Laplace-Transformation mit imaginärem Argument s = iω ^{[ 34 ] [ 35 ],} wenn die unten erläuterte Bedingung erfüllt ist. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&={\mathcal {F}}\{f(t)\}\\[4pt]&={\mathcal {L}}\{f(t)\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }\\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}f(t)\,dt~.\end{aligned}}}$$

Diese Konvention der Fourier-Transformation ( ⁠ ⁠${\displaystyle {\hat {f}}_{3}(\omega )}$ in Fourier-Transformation § Andere Konventionen ) erfordert einen Faktor von ⁠1/2 πauf der inversen Fouriertransformation. Diese Beziehung zwischen der Laplace- und der Fouriertransformation wird häufig genutzt, um das Frequenzspektrum eines Signals oder dynamischen Systems zu bestimmen.

Die obige Beziehung ist genau dann gültig, wenn der Konvergenzbereich (ROC) von F ( s ) die imaginäre Achse σ = 0 enthält .

_{Die Funktion} f ( t ) = cos( ω₀t ) hat beispielsweise eine Laplace-Transformierte F ( s ) = s /( ^s² + ω₀² ) ^, _deren Konvergenzbereich Re( s ) > 0 ist . Da s = iω₀ ein Pol von F ( s ) ist , ergibt die Substitution _von s = iω in F ( s ) nicht die Fourier-Transformierte von f ( t ) u ( t ) , welche Terme enthält , die proportional zu den Dirac-Delta-Funktionen δ ( ω ± ω₀ ₎ sind .

Eine Beziehung dieser Form gilt jedoch unter wesentlich schwächeren Bedingungen. Dies gilt beispielsweise für das obige Beispiel, sofern der Grenzwert als schwacher Grenzwert von Maßen verstanden wird (siehe vage Topologie ). Allgemeine Bedingungen, die den Grenzwert der Laplace-Transformation einer Funktion auf dem Rand mit der Fourier-Transformation verknüpfen, haben die Form der Sätze von Paley-Wiener . $${\displaystyle \lim _{\sigma \to 0^{+}}F(\sigma +i\omega )={\hat {f}}(\omega )}$$

Die Mellin-Transformation und ihre Umkehrung sind mit der zweiseitigen Laplace-Transformation durch eine Variablentransformation verwandt.

Setzen wir in der Mellin-Transformation θ = e ^{− t, so} erhalten wir eine zweiseitige Laplace-Transformation. $${\displaystyle G(s)={\mathcal {M}}\{g(\theta )\}=\int _{0}^{\infty }\theta ^{s}g(\theta )\,{\frac {d\theta }{\theta }}}$$

Die einseitige Z-Transformation ist die Laplace-Transformation eines ideal abgetasteten Signals mit der Substitution, wobei T = 1/ f _s das Abtastintervall (in Zeiteinheiten, z. B. Sekunden) und f _s die Abtastrate (in Abtastungen pro Sekunde oder Hertz ) ist. $${\displaystyle z{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}e^{sT},}$$

Sei eine Abtastimpulsfolge (auch Dirac-Kamm genannt ) und sei die abgetastete Darstellung der kontinuierlichen Funktion x ( t ).$${\displaystyle \Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{q}(t)&{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}x(t)\Delta _{T}(t)=x(t)\sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle x[n]{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}x(nT)~.}$$

Die Laplace-Transformierte des abgetasteten Signals x _q ( t ) ist $${\displaystyle {\begin{aligned}X_{q}(s)&=\int _{0^{-}}^{\infty }x_{q}(t)e^{-st}\,dt\\&=\int _{0^{-}}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\int _{0^{-}}^{\infty }\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]e^{-nsT}~.\end{aligned}}}$$

Dies ist die genaue Definition der unilateralen Z-Transformation der diskreten Funktion x [ n ] mit der Substitution z → e ^sT . $${\displaystyle X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}}$$

Durch Vergleich der letzten beiden Gleichungen erhalten wir die Beziehung zwischen der einseitigen Z-Transformation und der Laplace-Transformation des abgetasteten Signals. $${\displaystyle X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z=e^{sT}}.}$$

Die Ähnlichkeit zwischen der Z- und der Laplace-Transformation wird in der Theorie der Zeitskalenrechnung weiter ausgeführt .

Die Integralform der Borel-Transformation ist ein Spezialfall der Laplace-Transformation für ganze Funktionen vom Exponentialtyp, d. h. für gewisse Konstanten A und B. Die verallgemeinerte Borel-Transformation erlaubt die Verwendung einer anderen Gewichtungsfunktion anstelle der Exponentialfunktion zur Transformation von Funktionen, die nicht vom Exponentialtyp sind. Der Satz von Nachbin liefert notwendige und hinreichende Bedingungen für die Wohldefiniertheit der Borel-Transformation. $${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(z)e^{-sz}\,dz}$$$${\displaystyle |f(z)|\leq Ae^{B|z|}}$$

Da sich die gewöhnliche Laplace-Transformation als Spezialfall einer zweiseitigen Transformation darstellen lässt und diese wiederum als Summe zweier einseitiger Transformationen, ist die Theorie der Laplace-, Fourier-, Mellin- und Z-Transformationen im Grunde ein und dasselbe Thema. Allerdings sind mit jeder dieser vier wichtigen Integraltransformationen unterschiedliche Sichtweisen und charakteristische Probleme verbunden.

Die folgende Tabelle enthält Laplace-Transformationen für viele gängige Funktionen einer einzelnen Variablen. ^{[ 36 ] [ 37 ]} Definitionen und Erläuterungen finden Sie in den Erläuterungen am Ende der Tabelle.

Da die Laplace-Transformation ein linearer Operator ist ,

• Die Laplace-Transformierte einer Summe ist die Summe der Laplace-Transformierten ihrer einzelnen Terme.$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)+g(t)\}={\mathcal {L}}\{f(t)\}+{\mathcal {L}}\{g(t)\}}$$
• Die Laplace-Transformation eines Vielfachen einer Funktion ist das Vielfache der Laplace-Transformation dieser Funktion.$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{af(t)\}=a{\mathcal {L}}\{f(t)\}}$$

Mithilfe dieser Linearität und verschiedener trigonometrischer , hyperbolischer und komplexer Zahlen (usw.) Eigenschaften und/oder Identitäten lassen sich einige Laplace-Transformationen schneller aus anderen ableiten, als wenn man die Definition direkt verwendet.

Die einseitige Laplace-Transformation benötigt als Eingabe eine Funktion, deren Zeitbereich die nichtnegativen reellen Zahlen sind. Deshalb sind alle Zeitbereichsfunktionen in der folgenden Tabelle Vielfache der Heaviside - Sprungfunktion u ( t ) .

Die Tabelleneinträge, die eine Zeitverzögerung τ beinhalten, müssen kausal sein (d. h. τ > 0 ). Ein kausales System ist ein System, dessen Impulsantwort h ( t ) für alle Zeitpunkte t vor t = 0 null ist . Im Allgemeinen ist der Konvergenzbereich kausaler Systeme nicht identisch mit dem von antikausalen Systemen .

Ausgewählte Laplace-Transformationen

Funktion	Zeitbereich ${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}}$	Laplace -s -Bereich ${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}}$	Konvergenzgebiet	Referenz
Einheitsimpuls	${\displaystyle \delta (t)\ }$	${\displaystyle 1}$	alle s	Inspektion
verzögerter Impuls	${\displaystyle \delta (t-\tau )\ }$	${\displaystyle e^{-\tau s}\ }$	alle s	Zeitverschiebung des Einheitsimpulses
Einheitsschritt	${\displaystyle u(t)\ }$	${\displaystyle {1 \over s}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	integrierender Einheitsimpuls
verzögerter Einheitsschritt	${\displaystyle u(t-\tau )\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{s}}e^{-\tau s}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	Zeitverschiebung des Einheitsschritts
Produkt aus verzögerter Funktion und verzögertem Schritt	${\displaystyle f(t-\tau )u(t-\tau )}$	${\displaystyle e^{-s\tau }{\mathcal {L}}\{f(t)\}}$		u-Substitution,${\displaystyle u=t-\tau }$
Rechteckimpuls	${\displaystyle u(t)-u(t-\tau )}$	${\displaystyle {\frac {1}{s}}(1-e^{-\tau s})}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$
Rampe	${\displaystyle t\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{s^{2}}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	Integrieren Sie den Einheitsimpuls zweimal
n -te Potenz(für ganze Zahlen n )	${\displaystyle t^{n}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {n! \over s^{n+1}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$ ( n > −1 )	Integriere Einheitsschritt n- mal
q -te Potenz(für komplexe q )	${\displaystyle t^{q}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\operatorname {\Gamma } (q+1) \over s^{q+1}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$${\displaystyle \operatorname {Re} (q)>-1}$	[ 38 ] [ 39 ]
n -te Wurzel	${\displaystyle {\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {1 \over s^{{\frac {1}{n}}+1}}\operatorname {\Gamma } \left({\frac {1}{n}}+1\right)}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	Setze q = 1/ n oben.
n -te Potenz mit Frequenzverschiebung	${\displaystyle t^{n}e^{-\alpha t}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {n!}{(s+\alpha )^{n+1}}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>-\alpha }$	Einheitssprung integrieren, Frequenzverschiebung anwenden
verzögerte n- te Potenz mit Frequenzverschiebung	${\displaystyle (t-\tau )^{n}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )}$	${\displaystyle {\frac {n!\cdot e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>-\alpha }$	Einheitssprung integrieren, Frequenzverschiebung anwenden, Zeitverschiebung anwenden
exponentieller Zerfall	${\displaystyle e^{-\alpha t}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {1 \over s+\alpha }}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>-\alpha }$	Frequenzverschiebung des Einheitssprungs
zweiseitiger exponentieller Abfall (nur bei bilateraler Transformation)	${\displaystyle e^{-\alpha |t|}\ }$	${\displaystyle {2\alpha \over \alpha ^{2}-s^{2}}}$	${\displaystyle -\alpha <\operatorname {Re} (s)<\alpha }$	Frequenzverschiebung des Einheitssprungs
exponentieller Ansatz	${\displaystyle (1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	Einheitssprung minus exponentieller Zerfall
Sinus	${\displaystyle \sin(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	[ 40 ]
Kosinus	${\displaystyle \cos(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s \over s^{2}+\omega ^{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	[ 40 ]
hyperbolischer Sinus	${\displaystyle \sinh(\alpha t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>\left|\alpha \right|}$	[ 41 ]
hyperbolischer Kosinus	${\displaystyle \cosh(\alpha t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s \over s^{2}-\alpha ^{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>\left|\alpha \right|}$	[ 41 ]
exponentiell abklingende Sinuswelle	${\displaystyle e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>-\alpha }$	[ 40 ]
exponentiell abklingende Kosinuswelle	${\displaystyle e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>-\alpha }$	[ 40 ]
natürlicher Logarithmus	${\displaystyle \ln(t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle -{1 \over s}\left[\ln(s)+\gamma \right]}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	[ 41 ]
Besselfunktion erster Art der Ordnung n	${\displaystyle J_{n}(\omega t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {\left({\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}-s\right)^{\!n}}{\omega ^{n}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$ ( n > −1 )	[ 42 ]
Fehlerfunktion	${\displaystyle \operatorname {erf} (t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{s}}e^{s^{2}/4}\!\left(1-\operatorname {erf} {\frac {s}{2}}\right)}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	[ 42 ]
Erläuterungen: u ( t ) stellt die Heaviside-Sprungfunktion dar . δ repräsentiert die Dirac-Delta-Funktion . Γ( z ) stellt die Gammafunktion dar . γ ist die Euler-Mascheroni-Konstante . t , eine reelle Zahl, repräsentiert typischerweise die Zeit , obwohl sie jede beliebige unabhängige Dimension repräsentieren kann. s ist der komplexe Frequenzbereichsparameter und Re( s ) ist sein Realteil . α , β , τ und ω sind reelle Zahlen . n ist eine ganze Zahl .

Die Laplace-Transformation wird häufig in der Schaltungsanalyse verwendet , indem Schaltungselemente in den s -Bereich transformiert werden. Schaltungselemente können in Impedanzen umgewandelt werden, die den Zeigerimpedanzen sehr ähnlich sind .

Hier ist eine Zusammenfassung der Äquivalente:

Beachten Sie, dass der Widerstand im Zeitbereich und im s -Bereich exakt gleich ist. Quellen werden eingefügt, wenn Anfangsbedingungen an den Schaltungselementen vorliegen. Wenn beispielsweise an einem Kondensator eine Anfangsspannung anliegt oder ein Anfangsstrom durch die Spule fließt, berücksichtigen die im s -Bereich eingefügten Quellen dies.

Die Äquivalente für Strom- und Spannungsquellen werden aus den Transformationen in der obigen Tabelle abgeleitet.

Die Laplace-Transformation findet häufig Anwendung in Ingenieurwesen und Physik . Die Ausgabe eines linearen, zeitinvarianten Systems lässt sich durch Faltung seiner Einheitsimpulsantwort mit dem Eingangssignal berechnen. Die Durchführung dieser Berechnung im Laplace-Raum wandelt die Faltung in eine Multiplikation um, die aufgrund ihrer algebraischen Form einfacher zu lösen ist. Weitere Informationen finden sich in der Regelungstechnik . Die Laplace-Transformation ist für eine große Klasse von Funktionen invertierbar. Ausgehend von einer mathematischen oder funktionalen Beschreibung eines Systemeingangs oder -ausgangs liefert die Laplace-Transformation eine alternative funktionale Beschreibung, die häufig die Analyse des Systemverhaltens oder die Synthese eines neuen Systems anhand vorgegebener Spezifikationen vereinfacht. ^{[ 43 ]}

Die Laplace-Transformation kann auch zur Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden und findet breite Anwendung im Maschinenbau und in der Elektrotechnik . Sie reduziert eine lineare Differentialgleichung auf eine algebraische Gleichung, die sich anschließend mithilfe der formalen Regeln der Algebra lösen lässt. Die ursprüngliche Differentialgleichung kann dann durch Anwendung der inversen Laplace-Transformation gelöst werden. Der englische Elektrotechniker Oliver Heaviside schlug als Erster ein ähnliches Verfahren vor, allerdings ohne Verwendung der Laplace-Transformation; der daraus resultierende Operatorenkalkül ist als Heaviside-Kalkül bekannt.

Sei ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)}$ . Dann (siehe Tabelle oben) $${\displaystyle \partial _{s}{\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\partial _{s}\int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}e^{-st}\,dt=-\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt=-F(s)}$$

Woraus man erhält: $${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{s}^{\infty }F(p)\,dp.}$$

Im Grenzwert erhält${\displaystyle s\rightarrow 0}$ man, sofern der Vertausch von Grenzwerten gerechtfertigt ist. Dies ist häufig als Folge des Endwertsatzes möglich. Selbst wenn der Vertausch nicht gerechtfertigt ist , kann die Rechnung aufschlussreich sein. Beispielsweise erhält man mit a ≠ 0 ≠ b formal:$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}\,dt=\int _{0}^{\infty }F(p)\,dp,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(at)-\cos(bt)}{t}}\,dt&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {p}{p^{2}+a^{2}}}-{\frac {p}{p^{2}+b^{2}}}\right)\,dp\\[6pt]&=\left[{\frac {1}{2}}\ln {\frac {p^{2}+a^{2}}{p^{2}+b^{2}}}\right]_{0}^{\infty }={\frac {1}{2}}\ln {\frac {b^{2}}{a^{2}}}=\ln \left|{\frac {b}{a}}\right|.\end{aligned}}}$$

In der Theorie elektrischer Schaltkreise ist der Stromfluss in einem Kondensator proportional zur Kapazität und zur Änderungsrate der elektrischen Spannung (mit Gleichungen wie im SI- Einheitensystem). Symbolisch wird dies durch die Differentialgleichung ausgedrückt, wobei C die Kapazität des Kondensators, i = i ( t ) der Stromfluss durch den Kondensator als Funktion der Zeit und v = v ( t ) die Spannung an den Anschlüssen des Kondensators, ebenfalls als Funktion der Zeit, ist .$${\displaystyle i=C{dv \over dt},}$$

Durch Anwendung der Laplace-Transformation auf diese Gleichung erhalten wir, wobei und $${\displaystyle I(s)=C(sV(s)-V_{0}),}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}I(s)&={\mathcal {L}}\{i(t)\},\\V(s)&={\mathcal {L}}\{v(t)\},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle V_{0}=v(0).}$$

Durch Auflösen nach V ( s ) erhalten wir $${\displaystyle V(s)={I(s) \over sC}+{V_{0} \over s}.}$$

Die Definition der komplexen Impedanz Z (in Ohm ) ist das Verhältnis der komplexen Spannung V geteilt durch den komplexen Strom I, wobei der Anfangszustand V ₀ auf Null gehalten wird: $${\displaystyle Z(s)=\left.{V(s) \over I(s)}\right|_{V_{0}=0}.}$$

Mithilfe dieser Definition und der vorherigen Gleichung erhalten wir: Dies ist der korrekte Ausdruck für die komplexe Impedanz eines Kondensators. Darüber hinaus findet die Laplace-Transformation vielfältige Anwendungen in der Regelungstechnik. $${\displaystyle Z(s)={\frac {1}{sC}},}$$

Betrachten Sie ein lineares, zeitinvariantes System mit Übertragungsfunktion$${\displaystyle H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}.}$$

Die Impulsantwort ist die inverse Laplace-Transformation dieser Übertragungsfunktion: $${\displaystyle h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}.}$$

Partialbruchzerlegung

Zur Auswertung dieser inversen Transformation beginnen wir mit der Entwicklung von H ( s ) mithilfe der Partialbruchzerlegung. $${\displaystyle {\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={P \over s+\alpha }+{R \over s+\beta }.}$$

Die unbekannten Konstanten P und R sind die Residuen an den entsprechenden Polen der Übertragungsfunktion. Jedes Residuum repräsentiert den relativen Beitrag dieser Singularität zur Gesamtform der Übertragungsfunktion.

Nach dem Residuensatz hängt die inverse Laplace-Transformation nur von den Polen und ihren Residuen ab. Um das Residuum P zu finden , multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit s + α und erhalten $${\displaystyle {\frac {1}{s+\beta }}=P+{R(s+\alpha ) \over s+\beta }.}$$

Setzt man dann s = − α , so verschwindet der Beitrag von R und es bleibt nur noch übrig $${\displaystyle P=\left.{1 \over s+\beta }\right|_{s=-\alpha }={1 \over \beta -\alpha }.}$$

In ähnlicher Weise ergibt sich der Rest R durch$${\displaystyle R=\left.{1 \over s+\alpha }\right|_{s=-\beta }={1 \over \alpha -\beta }.}$$