Wronski-Anhänger

In der Mathematik ist die Wronski-Determinante differenzierbarer Funktionen die Determinante einer Matrix, die aus den Funktionen und ihren Ableitungen bis zur Ordnung gebildet wird . Sie wurde 1812 von dem polnischen Mathematiker Józef Wroński eingeführt und findet Anwendung in der Untersuchung von Differentialgleichungen , wo sie die lineare Unabhängigkeit bestimmter Lösungsmengen aufzeigen kann .${\displaystyle n}$${\displaystyle n-1}$

Die Wroński-Determinante zweier differenzierbarer Funktionen und ist . ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle W(f,g)=fg'-gf'}$

Allgemeiner ist für reell- oder komplexwertige Funktionen , die auf einem Intervall mal differenzierbar sind , die Wronski-Determinante die Funktion ${\displaystyle n}$${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle I}$${\displaystyle W(f_{1},\ldots ,f_{n})}$

${\displaystyle W(f_{1},\ldots ,f_{n})(x)={\begin{vmatrix}f_{1}(x)&f_{2}(x)&\cdots &f_{n}(x)\\f_{1}'(x)&f_{2}'(x)&\cdots &f_{n}'(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(x)&f_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &f_{n}^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}}}$

für alle definiert . ${\displaystyle x\in I}$

Dies ist die Determinante der Matrix , die durch Einordnen der Funktionen in die erste Zeile, ihrer ersten Ableitungen in die zweite Zeile usw. bis zur -ten Ableitung konstruiert wird , wodurch eine quadratische Matrix entsteht . ${\displaystyle (n-1)}$

Sind die Funktionen Lösungen einer linearen Differentialgleichung , so lässt sich die Wroński-Determinante mithilfe der Abelschen Identität explizit bestimmen , selbst wenn die Funktionen selbst nicht explizit bekannt sind. (Siehe unten.)

Sind die Funktionen linear abhängig, so sind auch die Spalten der Wroński-Determinante linear abhängig (da die Differentiation eine lineare Operation ist), und die Wroński-Determinante verschwindet. Man kann also zeigen, dass eine Menge differenzierbarer Funktionen auf einem Intervall linear unabhängig ist , indem man zeigt, dass ihre Wroński-Determinante nicht identisch verschwindet. Sie kann jedoch an isolierten Punkten verschwinden. ^{[ 1 ]}

Ein weit verbreiteter Irrtum ist die Annahme, dass ^überall lineare Abhängigkeit impliziert. Peano (1889) wies darauf hin, dass die Funktionen x² und | x | · x stetige Ableitungen besitzen und ihre Wronski-Determinante überall verschwindet, sie aber dennoch in keiner Umgebung von 0 linear abhängig sind . ^{[ a ]} Es gibt mehrere zusätzliche Bedingungen, die zusammen mit dem Verschwinden der Wronski-Determinante in einem Intervall lineare Abhängigkeit implizieren. ${\displaystyle W=0}$ 

• Maxime Bôcher stellte fest, dass, wenn die Funktionen analytisch sind , das Verschwinden der Wroński-Determinante in einem Intervall impliziert, dass sie linear abhängig sind. ^{[ 3 ]}
• Bôcher (1901) gab mehrere weitere Bedingungen an, unter denen das Verschwinden der Wroński-Determinante auf lineare Abhängigkeit schließen lässt; zum Beispiel, wenn die Wroński-Determinante von n Funktionen identisch null ist und die n Wroński-Determinanten von n – 1 dieser Funktionen an keinem Punkt alle verschwinden, dann sind die Funktionen linear abhängig.
• Wolsson (1989a) gab eine allgemeinere Bedingung an, die zusammen mit dem Verschwinden der Wronski-Determinante eine lineare Abhängigkeit impliziert.

Über Körpern mit Charakteristik kann die Wronski-Determinante sogar für linear unabhängige Polynome verschwinden; zum Beispiel ist die Wronski-Determinante von und der konstanten Funktion identisch null. ${\displaystyle p}$${\displaystyle x^{p}}$${\displaystyle 1}$

Im Allgemeinen gilt für eine lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung: Wenn Lösungen bekannt sind, kann die letzte Lösung mithilfe der Wronski-Determinante bestimmt werden. ${\displaystyle n}$${\displaystyle n-1}$

Betrachten wir die Differentialgleichung zweiter Ordnung in Lagrangescher Notation : wobei und bekannt sind und die gesuchte unbekannte Funktion ist. Wir bezeichnen die beiden Lösungen der Gleichung mit und bilden ihre Wronski-Determinante. $${\displaystyle y''=a(x)y'+b(x)y}$$${\displaystyle a(x)}$${\displaystyle b(x)}$${\displaystyle y_{1},y_{2}}$$${\displaystyle W(x)=y_{1}y'_{2}-y_{2}y'_{1}}$$

Durch Differenzieren und unter Verwendung der Tatsache, dass sie der obigen Differentialgleichung gehorchen, zeigt sich, dass ${\displaystyle W(x)}$${\displaystyle y_{i}}$$${\displaystyle W'(x)=a(x)W(x)}$$

Daher gehorcht die Wronski-Determinante einer einfachen Differentialgleichung erster Ordnung und kann exakt gelöst werden: wobei und eine Konstante ist. $${\displaystyle W(x)=C~e^{A(x)}}$$${\displaystyle A'(x)=a(x)}$${\displaystyle C}$

Nehmen wir nun an, wir kennen eine der Lösungen, sagen wir . Dann gehorcht diese nach der Definition der Wroński- Determinante einer Differentialgleichung erster Ordnung: und kann (zumindest theoretisch) exakt gelöst werden. ${\displaystyle y_{2}}$${\displaystyle y_{1}}$$${\displaystyle y'_{1}-{\frac {y'_{2}}{y_{2}}}y_{1}=-W(x)/y_{2}}$$

Die Methode lässt sich leicht auf Gleichungen höherer Ordnung verallgemeinern.

Der Zusammenhang zwischen der Wronski-Determinante und der linearen Unabhängigkeit lässt sich auch im Kontext einer Differentialgleichung verdeutlichen. Sind linear unabhängige Funktionen Lösungen derselben homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung (wobei ein linearer Differentialoperator bezüglich der Ordnung kleiner als ist ) auf einem Intervall , so ist ihre Wronski-Determinante nirgends auf null . Somit sind Gegenbeispiele wie und (deren Wronski-Determinante überall null ist) oder sogar und (deren Wronski-Determinante irgendwo null ist) ausgeschlossen; keines dieser Paare kann aus Lösungen derselben Differentialgleichung zweiter Ordnung dieses Typs bestehen. (Es stimmt, dass und beide Lösungen derselben Differentialgleichung dritter Ordnung sind . Die Wronski-Determinante der drei unabhängigen Lösungen , , und ist jedoch nirgends null.) ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle y^{(n)}+Ly=0}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle x{|x|}}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2x}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle y^{(3)}=0}$${\displaystyle -2}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 1}$

Für n Funktionen mehrerer Variablen ist eine verallgemeinerte Wronski- Determinante die Determinante einer n × n- Matrix mit Einträgen D _{_i} ( f _{_j} ) (mit 0 ≤ i < n ), wobei jedes D _{_i} ein linearer partieller Differentialoperator der Ordnung i mit konstanten Koeffizienten ist . Sind die Funktionen linear abhängig, so verschwinden alle verallgemeinerten Wronski-Determinanten. Wie im Fall einer einzelnen Variablen gilt die Umkehrung im Allgemeinen nicht: Verschwinden alle verallgemeinerten Wronski-Determinanten, so folgt daraus nicht, dass die Funktionen linear abhängig sind. In vielen Spezialfällen ist die Umkehrung jedoch wahr. Sind die Funktionen beispielsweise Polynome und verschwinden alle verallgemeinerten Wronski-Determinanten, so sind die Funktionen linear abhängig. Roth verwendete dieses Ergebnis über verallgemeinerte Wronski-Determinanten in seinem Beweis des Satzes von Roth . Allgemeinere Bedingungen für die Gültigkeit der Umkehrung finden sich bei Wolsson (1989b) .

Der Wrońskian wurde von Józef Hoene-Wroński  ( 1812 ) eingeführt und erhielt seinen heutigen Namen von Thomas Muir  ( 1882 , Kapitel XVIII).

• Variation der Parameter
• Moore-Matrix , analog zur Wroński-Matrix, wobei die Differentiation durch den Frobenius-Endomorphismus über einem endlichen Körper ersetzt wird.
• Alternativmatrix
• Vandermonde-Matrix

• Bender, Carl M.; Orszag , Steven A. (1999) [1978]. Höhere mathematische Methoden für Naturwissenschaftler und Ingenieure: Asymptotische Methoden und Störungstheorie . Springer New York. ISBN 978-0-387-98931-0Die

• Bôcher, Maxime (1900–1901). „The theory of linear dependence“ . Annals of Mathematics . 2 (1/4): 81–96 . doi : 10.2307/2007186 . hdl : 2027/hvd.hn57mn . ISSN  0003-486X . JSTOR  2007186 .

• Bôcher, Maxime (1901). „Bestimmte Fälle, in denen das Verschwinden der Wronski-Determinante eine hinreichende Bedingung für lineare Abhängigkeit ist“ (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 2 (2): 139–149 . doi : 10.2307/1986214 . ISSN  0002-9947 . JFM  32.0313.02 . JSTOR  1986214 .

• Bostan, Alin; Dumas, Philippe (2010). „Wronski-Determinanten und lineare Unabhängigkeit“. American Mathematical Monthly . 117 (8): 722–727 . arXiv : 1301.6598 . doi : 10.4169/000298910x515785 . ISSN  0002-9890 . JSTOR  10.4169/000298910x515785 .

• Hartman, Philip (1964), Gewöhnliche Differentialgleichungen , New York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-89871-510-1, MR  0171038 , Zbl  0125.32102{{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)

• Hoene-Wroński, Józef (1812), Réfutation de la théorie des fonctions analytiques de Lagrange , Paris

• Muir, Thomas (1882), Eine Abhandlung über die Theorie der Determinanten. , Macmillan, JFM  15.0118.05

• Peano, Giuseppe (1889), „Sur le déterminant wronskien.“ , Mathesis (auf Französisch), IX : 75–76 , 110–112 , JFM  21.0153.01

• Rozov, N. Kh. (2001) [1994], „Wronskian“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press

• Wolsson, Kenneth (1989a), „Eine Bedingung, die der linearen Abhängigkeit für Funktionen mit verschwindender Wronski-Determinante äquivalent ist“, Linear Algebra and Its Applications , 116 : 1–8 , doi : 10.1016/0024-3795(89)90393-5 , ISSN  0024-3795 , MR  0989712 , Zbl  0671.15005

• Wolsson, Kenneth (1989b), „Lineare Abhängigkeit einer Funktionenmenge von m Variablen mit verschwindenden verallgemeinerten Wronski-Determinanten“, Linear Algebra and Its Applications , 117 : 73–80 , doi : 10.1016/0024-3795(89)90548-X , ISSN  0024-3795 , MR  0993032 , Zbl  0724.15004