Mehrdimensionale Analysis

Die mehrdimensionale Analysis (auch bekannt als multivariate Analysis ) ist die Erweiterung der Analysis einer Variablen auf Funktionen mehrerer Variablen : die Differentiation und Integration von Funktionen mit mehreren Variablen ( multivariat ), anstatt nur einer. ^{[ 1 ]}

Die mehrdimensionale Analysis kann als ein elementarer Teil der Analysis im euklidischen Raum betrachtet werden . Der Spezialfall der Analysis im dreidimensionalen Raum wird oft als Vektoranalysis bezeichnet .

In der Analysis einer Variablen werden Operationen wie Differenzieren und Integrieren auf Funktionen einer einzigen Variablen angewendet. In der mehrdimensionalen Analysis müssen diese Operationen auf mehrere Variablen verallgemeinert werden, wodurch der Definitionsbereich mehrdimensional wird. Bei diesen Verallgemeinerungen ist daher besondere Vorsicht geboten, da zwischen eindimensionalen und höherdimensionalen Räumen zwei wesentliche Unterschiede bestehen:

1. Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, sich einem einzelnen Punkt in höheren Dimensionen zu nähern, im Gegensatz zu zwei Möglichkeiten (aus positiver und negativer Richtung) in 1D;
2. Mit der Dimension sind mehrere erweiterte Objekte verbunden; zum Beispiel wird eine 1D-Funktion als Kurve in der 2D- Kartesischen Ebene dargestellt , aber eine skalare Funktion zweier Variablen ist eine Fläche im 3D-Raum, während Kurven auch im 3D-Raum existieren können.

Die Konsequenz der ersten Differenz ist die unterschiedliche Definition von Grenzwerten und Stetigkeit. Richtungsgrenzwerte und -ableitungen definieren den Grenzwert und das Differential entlang einer parametrisierten 1D-Kurve und reduzieren das Problem somit auf den 1D-Fall. Aus diesen Operatoren lassen sich weitere, höherdimensionale Objekte konstruieren.

Die Folge des zweiten Unterschieds ist die Existenz mehrerer Integrationsarten, darunter Linienintegrale , Oberflächenintegrale und Volumenintegrale . Aufgrund der Nicht-Eindeutigkeit dieser Integrale lässt sich ein Stammintegral oder ein unbestimmtes Integral nicht eindeutig definieren.

Eine Untersuchung von Grenzwerten und Stetigkeit in der mehrdimensionalen Analysis liefert viele kontraintuitive Ergebnisse, die bei Funktionen einer einzelnen Variable nicht zu beobachten sind.

Ein Grenzwert entlang eines Weges kann definiert werden, indem man einen parametrisierten Weg im n-dimensionalen euklidischen Raum betrachtet. Jede Funktion kann dann als 1D-Funktion auf den Weg projiziert werden . Der Grenzwert von f an einem Punkt auf dem Weg kann daher wie folgt definiert werden: ${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f({\overrightarrow {x}}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle f(s(t))}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s(t_{0})}$${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle \lim _{{\overrightarrow {x}}\to s(t_{0})}f({\overrightarrow {x}})=\lim _{t\to t_{0}}f(s(t))}$

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Beachten Sie, dass der Wert dieses Grenzwerts von der Form von abhängen kann , d. h. vom gewählten Pfad, und nicht nur von dem Punkt, dem sich der Grenzwert annähert. ^{[ 1 ] : 19–22} Betrachten Sie beispielsweise die Funktion ${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}.}$

Wenn man sich dem Punkt entlang der Geraden oder in parametrischer Form nähert: ${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle y=kx}$

${\displaystyle x(t)=t,\,y(t)=kt}$

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Dann ergibt sich die Grenze entlang des Pfades wie folgt:

${\displaystyle \lim _{t\to 0}f(x(t),y(t))=\lim _{t\to 0}{\frac {kt^{3}}{t^{4}+k^{2}t^{2}}}=0}$

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Wählt man hingegen den Pfad (oder parametrisch ), so ergibt sich folgender Grenzwert: ${\displaystyle y=\pm x^{2}}$${\displaystyle x(t)=t,\,y(t)=\pm t^{2}}$

${\displaystyle \lim _{t\to 0}f(x(t),y(t))=\lim _{t\to 0}{\frac {\pm t^{4}}{t^{4}+t^{4}}}=\pm {\frac {1}{2}}}$

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Da unterschiedliche Wege zum selben Punkt unterschiedliche Werte ergeben, kann für die Funktion kein allgemeiner Grenzwert an diesem Punkt definiert werden. ${\displaystyle (0,0)}$

Ein allgemeiner Grenzwert kann definiert werden, wenn die Grenzwerte eines Punktes entlang aller möglichen Wege gegen denselben Wert konvergieren, d. h. wir sagen für eine Funktion, dass der Grenzwert von f(x) an einem Punkt gleich L ist, genau dann, wenn ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}f(s(t))=L}$

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für alle stetigen Funktionen, für die gilt : ${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle s(t_{0})=x_{0}}$

Aus dem Begriff des Grenzwerts entlang eines Weges lässt sich dann die Definition der mehrdimensionalen Stetigkeit auf die gleiche Weise ableiten, d. h.: Wir sagen, dass eine Funktion an der Stelle x stetig ist , wenn x = 0 genau dann stetig ist, wenn x = 0 ist. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}f(s(t))=f(x_{0})}$

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für alle stetigen Funktionen, für die gilt : ${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle s(t_{0})=x_{0}}$

Wie bei Grenzwerten impliziert Stetigkeit entlang eines Pfades nicht Stetigkeit in mehreren Variablen. ${\displaystyle s(t)}$

Dass Stetigkeit in jedem Argument nicht hinreichend für multivariate Stetigkeit ist, zeigt auch das folgende Beispiel. ^{[ 1 ] : 17–19} Zum Beispiel impliziert für eine reellwertige Funktion mit zwei reellwertigen Parametern, , die Stetigkeit von in für festes und die Stetigkeit von in für festes nicht die Stetigkeit von . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$

In Betracht ziehen

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {y}{x}}-y&{\text{falls}}\quad 0\leq y<x\leq 1\\{\frac {x}{y}}-x&{\text{falls}}\quad 0\leq x<y\leq 1\\1-x&{\text{falls}}\quad 0<x=y\\0&{\text{an allen anderen Stellen}}.\end{cases}}}$

Man kann leicht überprüfen, dass diese Funktion definitionsgemäß auf dem Rand und außerhalb des Vierecks null ist . Außerdem sind die für Konstanten und definierten Funktionen durch${\displaystyle (0,1)\times (0,1)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle 0\leq a\leq 1}$

${\displaystyle g_{a}(x)=f(x,a)\quad }$Und${\displaystyle \quad h_{a}(y)=f(a,y)\quad }$

sind kontinuierlich. Genauer gesagt:

${\displaystyle g_{0}(x)=f(x,0)=h_{0}(0,y)=f(0,y)=0}$für alle x und y . Daher gilt außerdem entlang der Koordinatenachsen und . Folglich ist die Funktion entlang beider Argumente stetig.${\displaystyle f(0,0)=0}$${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,0)=0}$${\displaystyle \lim _{y\to 0}f(0,y)=0}$

Betrachten wir jedoch den parametrischen Pfad . Die parametrische Funktion wird dann ${\displaystyle x(t)=t,\,y(t)=t}$

${\displaystyle f(x(t),y(t))={\begin{cases}1-t&{\text{falls}}\quad t>0\\0&{\text{sonst}}.\end{cases}}}$

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Daher,

${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(x(t),y(t))=1\neq f(0,0)=0}$

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Daraus ist klar, dass die Funktion nicht multivariat stetig ist, obwohl sie in beiden Koordinaten stetig ist.

• Alle Eigenschaften der Linearität und Superposition aus der Analysis einer Variablen lassen sich auf die Analysis mehrerer Variablen übertragen.
• Komposition : Wenn und beide multivariate stetige Funktionen an den Punkten bzw. sind , dann ist auch eine multivariate stetige Funktion am Punkt .${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle g\circ f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle x_{0}}$
• Multiplikation : Wenn und beide stetige Funktionen im Punkt sind , dann ist stetig in und ist ebenfalls stetig in vorausgesetzt, dass .${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle fg:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f/g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle g(x_{0})\neq 0}$
• Wenn eine Funktion an der Stelle stetig ist , dann ist auch an derselben Stelle stetig.${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle |f|}$
• Wenn f Lipschitz-stetig ist (gegebenenfalls mit den entsprechenden normierten Räumen) in der Umgebung des Punktes x , dann ist f multivariat stetig an der Stelle x.${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$

Nachweisen

Aus der Lipschitz-Stetigkeitsbedingung für erhalten wir ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f(s(t))-f(s(t_{0}))|\leq K|s(t)-s(t_{0})|}$ 8 wobei die Lipschitz-Konstante ist. Beachten Sie außerdem, dass, da stetig in ist , für jedes ein existiert, sodass . ${\displaystyle K}$${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle |s(t)-s(t_{0})|<\delta }$${\displaystyle \forall |t-t_{0}|<\epsilon }$ Daher wähle für jedes ; es existiert ein , sodass für alle , die , und erfüllen . Somit konvergiert gegen , unabhängig von der genauen Form von . ${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \delta ={\frac {\alpha }{K}}}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle t}$${\displaystyle |t-t_{0}|<\epsilon }$${\displaystyle |s(t)-s(t_{0})|<\delta }$${\displaystyle |f(s(t))-f(s(t_{0}))|\leq K|s(t)-s(t_{0})|<K\delta =\alpha }$${\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}f(s(t))}$${\displaystyle f(s(t_{0}))}$${\displaystyle s(t)}$

Die Ableitung einer Funktion mit einer Variablen ist definiert als

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

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Unter Verwendung der oben diskutierten Erweiterung der Grenzwerte kann man dann die Definition der Ableitung auf eine skalarwertige Funktion entlang eines bestimmten Pfades erweitern : ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \left.{\frac {df}{dx}}\right|_{s(t),t=t_{0}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(s(t_{0}+h))-f(s(t_{0}))}{|s(t_{0}+h)-s(t_{0})|}}}$

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Im Gegensatz zu Grenzwerten, bei denen der Wert von der genauen Form des Pfades abhängt , kann gezeigt werden, dass die Ableitung entlang des Pfades nur vom Tangentenvektor des Pfades an abhängt , d. h. , vorausgesetzt, dass Lipschitz-stetig an ist und dass der Grenzwert für mindestens einen solchen Pfad existiert. ${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle s(t_{0})}$${\displaystyle s'(t_{0})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s(t_{0})}$

Nachweisen

Für eine bis zur ersten Ableitung stetige Funktion (diese Aussage ist wohldefiniert, da es sich um eine Funktion einer Variablen handelt) können wir die Taylor-Entwicklung von um schreiben und den Rest mithilfe des Taylor-Theorems konstruieren: ${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle s(t)=s(t_{0})+s'(\tau )(t-t_{0})}$ 11 Wo . ${\displaystyle \tau \in [t_{0},t]}$ Setzt man dies in 10 ein , ${\displaystyle \left.{\frac {df}{dx}}\right|_{s(t),t=t_{0}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(s(t_{0})+s'(\tau )h)-f(s(t_{0}))}{|s'(\tau )h|}}}$ 12 Wo . ${\displaystyle \tau (h)\in [t_{0},t_{0}+h]}$ Die Lipschitz-Stetigkeit liefert uns für ein endliches , . Daraus folgt . ${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq K|x-y|}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle |f(x+O(h))-f(x)|\sim O(h)}$ Beachten Sie auch, dass aufgrund der Stetigkeit von , wie . ${\displaystyle s'(t)}$${\displaystyle s'(\tau )=s'(t_{0})+O(h)}$${\displaystyle h\to 0}$ Setzt man diese beiden Bedingungen in 12 ein , ${\displaystyle \left.{\frac {df}{dx}}\right|_{s(t),t=t_{0}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(s(t_{0})+s'(t_{0})h)-f(s(t_{0}))+O(h^{2})}{|s'(t_{0})h|+O(h^{2})}}}$ 13 deren Grenze nur von als dem dominanten Term abhängt. ${\displaystyle s'(t_{0})}$

Daher lässt sich die Definition der Richtungsableitung wie folgt verallgemeinern: Die Richtungsableitung einer skalarwertigen Funktion entlang des Einheitsvektors an einem bestimmten Punkt ist ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle {\hat {\mathbf {u}}}}$${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)-f(x_{0})}{t}}}$

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oder, ausgedrückt in Form gewöhnlicher Differentiation,

${\displaystyle \nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=\left.{\frac {df(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)}{dt}}\right|_{t=0}}$

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was ein wohldefinierter Ausdruck ist, da es sich um eine Skalarfunktion mit einer Variablen in handelt . ${\displaystyle f(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)}$${\displaystyle t}$

Es ist nicht möglich, eine eindeutige skalare Ableitung ohne Richtungsangabe zu definieren; beispielsweise ist klar, dass . Ebenso ist es möglich, dass Richtungsableitungen für einige Richtungen existieren, für andere jedoch nicht. ${\displaystyle \nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=-\nabla _{-{\hat {\mathbf {u}}}}f(x_{0})}$

Die partielle Ableitung verallgemeinert den Begriff der Ableitung auf höhere Dimensionen. Eine partielle Ableitung einer Funktion mit mehreren Variablen ist die Ableitung nach einer Variablen, wobei alle anderen Variablen konstant gehalten werden. ^{[ 1 ] : 26ff}

Eine partielle Ableitung kann man sich als die Richtungsableitung der Funktion entlang einer Koordinatenachse vorstellen.

Partielle Ableitungen lassen sich auf interessante Weise kombinieren, um komplexere Ausdrücke für die Ableitung zu erzeugen. In der Vektoranalysis dient der del- Operator ( ) dazu, Gradient , Divergenz und Rotation mithilfe partieller Ableitungen zu definieren. Eine Matrix partieller Ableitungen, die Jacobi- Matrix, kann verwendet werden, um die Ableitung einer Funktion zwischen zwei Räumen beliebiger Dimension darzustellen. Die Ableitung kann somit als lineare Transformation verstanden werden, die sich im Definitionsbereich der Funktion direkt von Punkt zu Punkt ändert. ${\displaystyle \nabla }$

Differentialgleichungen mit partiellen Ableitungen werden als partielle Differentialgleichungen (PDEs) bezeichnet. Diese Gleichungen sind im Allgemeinen schwieriger zu lösen als gewöhnliche Differentialgleichungen , die Ableitungen nur nach einer Variablen enthalten. ^{[ 1 ] : 654ff}

Das Mehrfachintegral erweitert den Integralbegriff auf Funktionen mit beliebiger Anzahl von Variablen. Doppel- und Dreifachintegrale können zur Berechnung von Flächen und Volumina in der Ebene und im Raum verwendet werden. Der Satz von Fubini garantiert, dass ein Mehrfachintegral als wiederholtes oder iteriertes Integral ausgewertet werden kann , solange der Integrand im gesamten Integrationsbereich stetig ist. ^{[ 1 ] : 367ff}

Das Oberflächenintegral und das Linienintegral werden verwendet, um über gekrümmte Mannigfaltigkeiten wie Flächen und Kurven zu integrieren .

In der Analysis einer Variablen stellt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung einen Zusammenhang zwischen Ableitung und Integral her. Dieser Zusammenhang in der Analysis mehrerer Variablen wird durch die Integralsätze der Vektoranalysis verkörpert: ^{[ 1 ] : 543ff}

• Gradientensatz
• Satz von Stokes
• Divergenzsatz
• Satz von Green .

Bei einer weiterführenden Untersuchung der mehrdimensionalen Analysis zeigt sich, dass diese vier Theoreme spezielle Ausprägungen eines allgemeineren Theorems sind, des verallgemeinerten Satzes von Stokes , der für die Integration von Differentialformen über Mannigfaltigkeiten gilt . ^{[ 2 ]}

Methoden der mehrdimensionalen Analysis werden zur Untersuchung vieler interessanter Objekte in der materiellen Welt eingesetzt. Insbesondere

		Funktionstypen	Anwendbare Techniken
Kurven		${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ für${\displaystyle n>1}$	Kurvenlängen, Linienintegrale und Krümmung .
Oberflächen		${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{n}}$ für${\displaystyle n>2}$	Flächeninhalte , Oberflächenintegrale , Fluss durch Flächen und Krümmung.
Skalarfelder		${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$	Maxima und Minima, Lagrange-Multiplikatoren , Richtungsableitungen , Niveaumengen .
Vektorfelder		${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$	Alle Operationen der Vektorrechnung, einschließlich Gradient , Divergenz und Rotation .

Die mehrdimensionale Analysis kann zur Analyse deterministischer Systeme mit mehreren Freiheitsgraden angewendet werden . Funktionen mit unabhängigen Variablen, die jeweils einem Freiheitsgrad entsprechen, werden häufig verwendet, um diese Systeme zu modellieren, und die mehrdimensionale Analysis bietet Werkzeuge zur Charakterisierung der Systemdynamik .

Die mehrdimensionale Analysis findet Anwendung in der optimalen Steuerung kontinuierlicher dynamischer Systeme . Sie wird in der Regressionsanalyse verwendet , um Formeln zur Abschätzung von Beziehungen zwischen verschiedenen empirischen Datensätzen abzuleiten .

Die mehrdimensionale Analysis findet in vielen Bereichen der Natur- und Sozialwissenschaften sowie der Ingenieurwissenschaften Anwendung , um hochdimensionale Systeme mit deterministischem Verhalten zu modellieren und zu untersuchen. In der Wirtschaftswissenschaft werden beispielsweise die Konsumentscheidungen hinsichtlich verschiedener Güter und die Produzentenentscheidungen hinsichtlich verschiedener Produktionsfaktoren und -produkte mithilfe der mehrdimensionalen Analysis modelliert.

Nichtdeterministische oder stochastische Systeme können mit Hilfe einer anderen Art von Mathematik, wie zum Beispiel der stochastischen Analysis , untersucht werden .

• Liste der Themen der mehrdimensionalen Analysis
• Multivariate Statistik

• MIT-Videovorlesungen zur mehrdimensionalen Analysis, Herbst 2007
• Mehrdimensionale Analysis : Ein kostenloses Online-Lehrbuch von George Cain und James Herod
• Multivariable Calculus Online : Ein kostenloses Online-Lehrbuch von Jeff Knisley
• Mehrdimensionale Analysis – Eine sehr kurze Übersicht , Prof. Blair Perot, Universität von Massachusetts Amherst
• Mehrdimensionale Analysis , Online-Lehrbuch von Dr. Jerry Shurman