Niels Henrik Abel

Niels Henrik Abel ( / ˈ ɑː b əl / AH -bəl , norwegisch: [ˌnɪls ˈhɛ̀nːɾɪk ˈɑ̀ːbl̩] ; 5. August 1802 – 6. April 1829) war ein norwegischer Mathematiker , der in verschiedenen Gebieten Pionierarbeit leistete. ^{[ 1 ]} Sein berühmtestes Ergebnis ist der erste vollständige Beweis für die Unlösbarkeit der allgemeinen Differentialgleichung fünften Grades mithilfe von Radikalen. Diese Frage zählte zu den herausragenden ungelösten Problemen seiner Zeit und war über 250 Jahre lang ungelöst geblieben. ^{[ 2 ]} Er war außerdem ein Innovator auf dem Gebiet der elliptischen Funktionen und der Entdecker der abelschen Funktionen . Er machte seine Entdeckungen in ärmlichen Verhältnissen und starb im Alter von 26 Jahren an Tuberkulose .

Den Großteil seiner Arbeit leistete er in sechs oder sieben Jahren seines Berufslebens. ^{[ 3 ]} Über Abel sagte der französische Mathematiker Charles Hermite : „Abel hat den Mathematikern genug hinterlassen, um sie fünfhundert Jahre lang zu beschäftigen.“ ^{[ 3 ] [ 4 ]} Ein anderer französischer Mathematiker, Adrien-Marie Legendre , sagte: „Was für ein kluger Kopf der junge Norweger hat!“ ^{[ 5 ]}

Søren Georg Abel

Anne Marie Abel

Niels Henrik Abels Eltern, 1809

Niels Henrik Abel wurde als zweites Kind des Pfarrers Søren Georg Abel und Anne Marie Simonsen in Nedstrand , Norwegen, vorzeitig geboren . Zum Zeitpunkt seiner Geburt lebte die Familie in einem Pfarrhaus auf Finnøy . Vieles deutet darauf hin, dass Niels Henrik in der Nachbargemeinde geboren wurde, da seine Eltern im Juli und August seines Geburtsjahres Gäste des Vogts in Nedstrand waren. ^{[ 6 ] [ Anmerkung 1 ]}

Niels Henrik Abels Vater, Søren Georg Abel, hatte einen Abschluss in Theologie und Philosophie und war Pfarrer an der Kirche von Hesby auf Finnøy . Sørens Vater, Niels’ Großvater Hans Mathias Abel, war ebenfalls Pfarrer, und zwar an der Kirche von Gjerstad bei Risør . Søren hatte seine Kindheit in Gjerstad verbracht und dort auch als Kaplan gewirkt. Nach dem Tod seines Vaters im Jahr 1804 wurde Søren zum Pfarrer von Gjerstad ernannt, und die Familie zog dorthin. Die Familie Abel stammte ursprünglich aus Schleswig und kam im 17. Jahrhundert nach Norwegen.

Anne Marie Simonsen stammte aus Risør ; ihr Vater, Niels Henrik Saxild Simonsen, war Kaufmann und Reeder und galt als der reichste Mann in Risør. Anne Marie wuchs mit zwei Stiefmüttern in relativ luxuriösen Verhältnissen auf. Im Pfarrhaus von Gjerstad organisierte sie gern Bälle und gesellschaftliche Zusammenkünfte. Vieles deutet darauf hin, dass sie früh Alkoholikerin wurde und sich wenig um die Erziehung ihrer Kinder kümmerte. Niels Henrik und seine Brüder wurden von ihrem Vater unterrichtet und lasen handgeschriebene Bücher. Eine Additionstabelle in einem Mathematikbuch lautet: 1 + 0 = 0. ^{[ 6 ]}

Mit der norwegischen Unabhängigkeit und den ersten Wahlen in Norwegen im Jahr 1814 wurde Søren Abel zum Abgeordneten des Stortings gewählt . Die Sitzungen des Stortings fanden bis 1866 im Hauptsaal der Domschule in Christiania (dem heutigen Oslo ) statt. Höchstwahrscheinlich kam er so mit der Schule in Kontakt und beschloss, dass sein ältester Sohn, Hans Mathias, im folgenden Jahr dort eingeschult werden sollte. Als sich jedoch der Zeitpunkt für Hans' Abreise näherte, war er so traurig und deprimiert über den bevorstehenden Abschied, dass sein Vater es nicht wagte, ihn fortzuschicken. Er beschloss stattdessen, Niels zu schicken. ^{[ 6 ]}

1815 trat Niels Abel im Alter von 13 Jahren in die Domschule ein. Sein älterer Bruder Hans folgte ihm ein Jahr später. Sie teilten sich ein Zimmer und hatten gemeinsamen Unterricht. Hans erzielte bessere Noten als Niels; 1818 wurde jedoch ein neuer Mathematiklehrer, Bernt Michael Holmboe , eingestellt. Dieser gab den Schülern mathematische Aufgaben für zu Hause. Er erkannte Niels Henriks Talent für Mathematik und ermutigte ihn, das Fach bis zum fortgeschrittenen Niveau zu studieren. Er gab Niels sogar Privatunterricht nach der Schule.

1818 geriet Søren Abel in eine öffentliche theologische Auseinandersetzung mit dem Theologen Stener Johannes Stenersen über dessen Katechismus von 1806. Die Debatte fand breite Beachtung in der Presse. Søren erhielt den Spitznamen „Abel Spandabel“ . Niels soll auf den Streit mit „überschwänglicher Fröhlichkeit“ reagiert haben. Gleichzeitig drohte Søren ein Amtsenthebungsverfahren, nachdem er Carsten Anker, den Gastgeber der norwegischen Verfassungsgebenden Versammlung, beleidigt hatte . Im September 1818 kehrte er mit zerstörter politischer Karriere nach Gjerstad zurück. Er verfiel dem Alkohol und starb nur zwei Jahre später, 1820, im Alter von 48 Jahren.

Bernt Michael Holmboe unterstützte Niels Henrik Abel mit einem Stipendium, damit dieser an der Schule bleiben konnte, und sammelte Geld von seinen Freunden, um ihm ein Studium an der Royal Frederick University zu ermöglichen .

Als Abel 1821 sein Studium an der Universität begann, galt er bereits als der bedeutendste Mathematiker Norwegens. Holmboe hatte ihm nichts mehr beizubringen, und Abel hatte die gesamte aktuelle mathematische Literatur der Universitätsbibliothek studiert. In dieser Zeit begann er, sich mit der Gleichung fünften Grades in Radikalen zu beschäftigen. Mathematiker suchten seit über 250 Jahren nach einer Lösung für dieses Problem. 1821 glaubte Abel, die Lösung gefunden zu haben. Die beiden Mathematikprofessoren in Christiania, Søren Rasmussen und Christopher Hansteen , fanden keine Fehler in Abels Formeln und leiteten die Arbeit an den führenden Mathematiker der nordischen Länder, Carl Ferdinand Degen, nach Kopenhagen weiter. Auch er fand keine Fehler, bezweifelte aber dennoch, dass die Lösung, nach der so viele herausragende Mathematiker so lange gesucht hatten, tatsächlich von einem unbekannten Studenten im fernen Christiania gefunden worden sein konnte. Degen bemerkte jedoch Abels außergewöhnlich scharfen Verstand und war der Ansicht, dass ein so talentierter junger Mann seine Fähigkeiten nicht an einem so „sterilen Objekt“ wie der Differentialgleichung fünften Grades vergeuden, sondern sich vielmehr elliptischen Funktionen und Transzendenz widmen sollte ; denn dann, so Degen, würde er „magellanische Wege zu großen Teilen eines riesigen analytischen Ozeans entdecken“. ^{[ 6 ]} Degen bat Abel um ein numerisches Beispiel seiner Methode. Beim Versuch, ein Beispiel zu liefern, entdeckte Abel einen Fehler in seiner Arbeit. ^{[ 9 ]} Dies führte 1823 zu der Erkenntnis, dass eine Lösung einer Differentialgleichung fünften oder höheren Grades durch eine Formel nicht notwendigerweise möglich ist. ^{[ 10 ]}

Abel schloss sein Studium 1822 ab. Seine Leistungen in Mathematik waren außergewöhnlich hoch, in anderen Fächern durchschnittlich.

Nach seinem Universitätsabschluss wurde Abel von Professoren finanziell unterstützt, und Professor Christopher Hansteen erlaubte ihm, ein Zimmer im Dachgeschoss seines Hauses zu wohnen. Später betrachtete Abel Frau Hansteen als seine zweite Mutter. Während seiner Zeit dort half Abel seinem jüngeren Bruder Peder Abel bei dessen Kunstprüfung . Außerdem unterstützte er seine Schwester Elisabeth bei der Arbeitssuche in der Stadt.

Anfang 1823 veröffentlichte Niels Abel seinen ersten Artikel im „Magazin for Naturvidenskaberne“, Norwegens erster wissenschaftlicher Zeitschrift, die von Professor Hansteen mitbegründet worden war. Abel veröffentlichte mehrere Artikel, doch die Zeitschrift erkannte bald, dass diese nicht für den allgemeinen Leser bestimmt waren. Im selben Jahr verfasste Abel auch eine Abhandlung in französischer Sprache. Sie trug den Titel „Eine allgemeine Darstellung der Möglichkeit, alle Differentialformeln zu integrieren“ ( norwegisch : en alminnelig Fremstilling af Muligheten at integrere alle mulige Differential-Formler) . Er beantragte an der Universität Fördermittel für die Veröffentlichung. Die Arbeit ging jedoch während des Begutachtungsprozesses verloren und blieb verschollen. ^{[ 6 ]}

Mitte 1823 schenkte Professor Rasmussen Abel 100 Spezianische Pfund, damit dieser nach Kopenhagen reisen und Ferdinand Degen und andere Mathematiker dort besuchen konnte. In Kopenhagen arbeitete Abel an Fermats letztem Satz . Abels Onkel, Peder Mandrup Tuxen, lebte auf dem Marinestützpunkt in Christianshavn , Kopenhagen, und auf einem Ball dort lernte Niels Abel Christine Kemp, seine zukünftige Verlobte, kennen. 1824 zog Christine nach Son in Norwegen, um dort als Gouvernante zu arbeiten, und das Paar verlobte sich über Weihnachten. ^{[ 6 ]}

Nach seiner Rückkehr aus Kopenhagen bewarb sich Abel um ein Regierungsstipendium, um führende Mathematiker in Deutschland und Frankreich zu besuchen. Stattdessen erhielt er jedoch für zwei Jahre jährlich 200 speciedaler, um in Christiania zu bleiben und Deutsch und Französisch zu studieren. Für die folgenden zwei Jahre wurde ihm ein Stipendium von 600 speciedaler jährlich zugesagt, das ihm dann Auslandsreisen ermöglichen sollte. ^{[ 6 ]} Während seines Sprachstudiums veröffentlichte Abel 1824 seine erste bedeutende Arbeit, „ Mémoire sur les équations algébriques où on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré“ ^{[ 11 ]} (Abhandlung über algebraische Gleichungen, in der die Unmöglichkeit der Lösung der allgemeinen Gleichung fünften Grades bewiesen wird). Im Jahr 1823 hatte Abel schließlich die Unmöglichkeit der Lösung der Differentialgleichung fünften Grades durch Radikale bewiesen (heute als Satz von Abel-Ruffini bekannt ). Allerdings war diese Arbeit schwer verständlich und umständlich, unter anderem, weil er sich aus Kostengründen auf nur sechs Seiten beschränkt hatte. Ein detaillierterer Beweis wurde 1826 im ersten Band von Crelles Journal veröffentlicht .

1825 schrieb Abel einen persönlichen Brief an König Carl Johan von Norwegen/Schweden und bat um Erlaubnis, ins Ausland reisen zu dürfen. Diese wurde ihm erteilt, und im September 1825 verließ er Christiania zusammen mit vier Studienfreunden (Christian P. B. Boeck, Balthazar M. Keilhau, Nicolay B. Møller und Otto Tank). Die vier Freunde reisten nach Berlin und in die Alpen, um Geologie zu studieren. Abel wollte ihnen nach Kopenhagen folgen und von dort aus nach Göttingen weiterreisen. Die Bedingungen seines Stipendiums sahen vor, dass er Gauß in Göttingen besuchen und anschließend nach Paris weiterreisen sollte. Als er jedoch Kopenhagen erreicht hatte, änderte er seine Pläne. Er wollte stattdessen seinen Freunden nach Berlin folgen und anschließend Göttingen und Paris besuchen. ^{[ 6 ]}

Auf dem Weg dorthin besuchte er den Astronomen Heinrich Christian Schumacher in Altona, heute ein Stadtteil von Hamburg. Anschließend verbrachte er vier Monate in Berlin, wo er August Leopold Crelle näher kennenlernte , der kurz vor der Veröffentlichung seiner mathematischen Fachzeitschrift „ Journal für die reine und angewandte Mathematik“ stand . Dieses Projekt wurde von Abel nachdrücklich unterstützt, der maßgeblich zu dessen Erfolg beitrug. ^{[ 12 ]} Im ersten Jahr veröffentlichte Abel sieben Artikel in der Zeitschrift.

Von Berlin aus folgte Abel seinen Freunden in die Alpen. Er reiste nach Leipzig und Freiberg , um Georg Amadeus Carl Friedrich Naumann und dessen Bruder, den Mathematiker August Naumann, zu besuchen . In Freiberg forschte Abel auf dem Gebiet der Funktionentheorie, insbesondere zu elliptischen , hyperelliptischen und einer neuen Klasse, die heute als abelsche Funktionen bekannt ist .

Von Freiberg aus reisten sie weiter nach Dresden, Prag, Wien, Triest, Venedig, Verona, Bozen, Innsbruck, Luzern und Basel. Ab Juli 1826 unternahm Abel allein Reisen von Basel nach Paris. Den Großteil seiner Arbeiten hatte er nach Berlin geschickt, um sie in Crelles Journal zu veröffentlichen. Sein wichtigstes Werk, einen Satz über die Addition algebraischer Differentiale, hatte er jedoch für die Französische Akademie der Wissenschaften aufbewahrt . Mithilfe des Malers Johan Gørbitz fand er eine Wohnung in Paris und setzte seine Arbeit an dem Satz fort. Im Oktober 1826 vollendete er ihn und reichte ihn bei der Akademie ein. Augustin-Louis Cauchy sollte ihn begutachten . Abels Arbeit war in Paris kaum bekannt, und seine Bescheidenheit hielt ihn davon ab, seine Forschungsergebnisse öffentlich zu machen. Der Satz geriet in Vergessenheit und blieb bis zu seinem Tod unbeachtet.

Abels begrenzte finanzielle Mittel zwangen ihn schließlich im Januar 1827 zum Abbruch seiner Reise. Er kehrte nach Berlin zurück und erhielt das Angebot, Redakteur von Crelles Journal zu werden, lehnte es jedoch ab. Im Mai 1827 war er wieder in Norwegen. Seine Auslandsreise galt als Misserfolg. Er hatte Gauß in Göttingen nicht besucht und in Paris nichts veröffentlicht. Sein Stipendium wurde daher nicht verlängert, und er musste einen Privatkredit über 200 Spesidaler bei der Norges Bank aufnehmen . Diesen Kredit beglich er nie. Er begann auch, Nachhilfe zu geben. Den Großteil seiner Arbeiten sandte er weiterhin an Crelles Journal. Mitte 1828 veröffentlichte er jedoch, in Konkurrenz zu Carl Jacobi , eine wichtige Arbeit über elliptische Funktionen in den Astronomischen Nachrichten in Altona.

Während seines Aufenthalts in Paris hatte sich Abel mit Tuberkulose infiziert . Weihnachten 1828 reiste er mit dem Schlitten nach Froland in Norwegen, um seine Verlobte zu besuchen. Auf der Reise verschlechterte sich sein Zustand rapide. Obwohl sich sein Zustand vorübergehend besserte und das Paar die Feiertage gemeinsam verbringen konnte, starb er relativ bald darauf am 6. April 1829, nur zwei Tage bevor ein Brief von August Crelle eintraf, in dem dieser ihm mitteilte, dass Crelle ihm eine Professur an der Universität Berlin verschafft hatte . ^{[ 13 ]}

Abel bewies mithilfe des Satzes von Abel-Ruffini , dass es keine allgemeine algebraische Lösung für die Wurzeln einer Gleichung fünften Grades oder einer beliebigen Polynomgleichung höheren Grades als vier gibt, die sich durch explizite algebraische Operationen ausdrücken lässt . Um dies zu beweisen, begründete er (unabhängig von Galois ) einen Teilbereich der Mathematik, die Gruppentheorie , die nicht nur in vielen Bereichen der Mathematik, sondern auch in weiten Teilen der Physik von unschätzbarem Wert ist . Abel sandte eine Abhandlung über die Unlösbarkeit der Gleichung fünften Grades an Carl Friedrich Gauß , der sie jedoch ohne weitere Prüfung als wertloses Werk eines Spinner abtat. ^{[ 14 ]}

Im Alter von 16 Jahren lieferte Abel einen strengen Beweis des Binomialsatzes, der für alle Zahlen gilt und Eulers Ergebnis erweiterte, das bis dahin nur für rationale Zahlen gültig gewesen war . ^{[ 15 ] [ 16 ]} Abel verfasste ein grundlegendes Werk zur Theorie der elliptischen Integrale , das die Grundlagen der Theorie der elliptischen Funktionen enthielt . Auf einer Reise nach Paris veröffentlichte er eine Abhandlung, die die doppelte Periodizität elliptischer Funktionen aufzeigte. Adrien-Marie Legendre beschrieb diese später gegenüber Augustin-Louis Cauchy als „ein Denkmal, beständiger als Bronze“ (in Anlehnung an einen berühmten Satz des römischen Dichters Horatius ). Cauchy verlor die Abhandlung jedoch. ^{[ 14 ]}

Während seines Auslandsaufenthalts hatte Abel den Großteil seiner Arbeiten zur Veröffentlichung in Crelles Journal nach Berlin geschickt . Sein wichtigstes Werk, einen Satz über die Addition algebraischer Differentiale, behielt er jedoch für die Französische Akademie der Wissenschaften auf. Dieser Satz geriet in Vergessenheit und blieb bis zu seinem Tod unbeachtet. In Freiberg forschte Abel auf dem Gebiet der Funktionentheorie, insbesondere zu elliptischen , hyperelliptischen und einer neuen Klasse, den heute als abelschen Funktionen bekannten Funktionen .

1823 verfasste Abel eine Abhandlung mit dem Titel „Eine allgemeine Darstellung der Möglichkeit, alle Differentialformeln zu integrieren“ ( norwegisch : en alminnelig Fremstilling af Muligheten at integrere alle mulige Differential-Formler ). Er beantragte an der Universität Fördermittel für die Veröffentlichung. Die Arbeit ging jedoch während des Begutachtungsprozesses verloren und blieb verschollen. ^{[ 6 ]}

Abel sagte bekanntlich über Carl Friedrich Gauß ’ Schreibstil: „Er ist wie der Fuchs, der mit dem Schwanz seine Spuren im Sand verwischt.“ Gauß erwiderte ihm: „Kein Architekt mit Selbstachtung lässt das Gerüst nach Fertigstellung seines Bauwerks stehen.“ ^{[ 17 ]}

Unter Abels Anleitung wurden die vorherrschenden Unklarheiten der Analysis allmählich beseitigt, neue Gebiete erschlossen und die Funktionentheorie so weit vorangetrieben, dass sie Mathematikern zahlreiche neue Wege für weitere Forschungen eröffnete. Seine Werke, die größtenteils ursprünglich in Crelles Journal erschienen , wurden von Bernt Michael Holmboe herausgegeben und 1839 von der norwegischen Regierung veröffentlicht. Eine umfassendere Ausgabe von Ludwig Sylow und Sophus Lie erschien 1881. ^{[ 12 ]} Das Adjektiv „abelsch“, abgeleitet von seinem Namen, ist in mathematischen Texten so gebräuchlich geworden, dass es üblicherweise mit einem kleinen „a“ am Anfang geschrieben wird (z. B. abelsche Gruppe , abelsche Kategorie , abelsche Varietät ).

Am 6. April 1929 wurden vier norwegische Briefmarken zum 100. Todestag Abels herausgegeben. Sein Porträt ist auf der 500- Kronen -Banknote (Version V) abgebildet, die von 1978 bis 1985 im Umlauf war. Am 5. Juni 2002, zwei Monate vor seinem 200. Geburtstag, erschienen vier weitere norwegische Briefmarken zu seinen Ehren. Auch eine 20-Kronen-Münze wurde in Norwegen zu seinen Ehren herausgegeben. In Oslo steht eine Statue von Abel, und der Mondkrater Abel wurde nach ihm benannt. ^{[ 18 ]}

Der Abelpreis für Mathematik wurde in Abels Andenken gestiftet und nach ihm benannt. Obwohl er ursprünglich 1899 als Ergänzung zu den Nobelpreisen vorgeschlagen wurde , wurde er erstmals 2003 verliehen , während Selberg im Jahr zuvor einen Ehrenpreis erhalten hatte.

Der Mathematiker Felix Klein schrieb über Abel:

Doch ich möchte diesen idealisierten Forschertypus, wie er in der Geschichte der Mathematik selten anzutreffen ist, nicht verlassen, ohne eine Gestalt aus einem anderen Bereich zu erwähnen, die trotz ihres völlig anderen Fachgebiets dennoch verwandt erscheint. Obwohl Abel, wie viele Mathematiker, keinerlei musikalisches Talent besaß, klingt es nicht absurd, seine Produktivität und seine Persönlichkeit mit denen Mozarts zu vergleichen . So könnte man diesem göttlich inspirierten Mathematiker ein Denkmal errichten, ähnlich dem für Mozart in Wien: Schlicht und bescheiden steht er da und lauscht, während anmutige Engel um ihn herumschweben und ihm spielerisch Inspiration aus einer anderen Welt bringen. Stattdessen muss ich das ganz andere Denkmal erwähnen, das tatsächlich für Abel in Christiania errichtet wurde und das jeden, der sein Wesen kennt, zutiefst enttäuschen muss. Auf einem hoch aufragenden, steilen Granitblock schreitet ein junger, athletischer Mann vom Byronischen Typus über zwei graue Opferfiguren, den Blick gen Himmel gerichtet. Man könnte den Helden gegebenenfalls als Symbol des menschlichen Geistes deuten, doch die tiefere Bedeutung der beiden Ungeheuer bleibt unergründlich. Sind es die bezwungenen Gleichungen fünften Grades oder elliptische Funktionen? Oder die Sorgen und Nöte seines Alltags? Auf dem Sockel des Denkmals prangt in riesigen Lettern die Inschrift ABEL. ^{[ 19 ]}

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  Niels Henrik Abel auf einer norwegischen 500-Kronen-Banknote, 1978
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  Statue von Niels Henrik Abel, genannt „Abelmonumentet“, in Oslo (ehemals Christiania) von Gustav Vigeland .
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  Abelmonumentet vor dem Königspalast in Oslo
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  Niels Henrik Abel-Denkmal in der Gemeinde Gjerstad
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  Ein Denkmal für Abel in Frolands Werk von Gustav Lærum

• Liste der Dinge, die nach Niels Henrik Abel benannt sind
• Évariste Galois

• Livio, Mario (2005). Die unlösbare Gleichung . New York: Simon & Schuster. ISBN 0-7432-5821-5Die
• Stubhaug, Arild (2000). Niels Henrik Abel und seine Zeiten . Trans. von Richard R. Daly. Springer. ISBN 3-540-66834-9Die
• Adrian Rice: „Vor 200 Jahren: Abels Lösung der Quintischen Frage“, Notices of AMS (Jan. 2026).

• Biografien und handschriftliche Manuskripte, archiviert am 25. März 2012 im Internetarchiv (Wayback Machine) der Abelpreis-Website
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Niels Henrik Abel" , MacTutor History of Mathematics Archive , University of St Andrews
• Biografie von Niels Henrik Abel
• Weisstein, Eric Wolfgang (Hrsg.). „Abel, Niels Henrik (1802–1829)“ . ScienceWorld .
• Niels Henrik Abel beim Mathematik-Genealogie-Projekt
• Übersetzung von Niels Henrik Abels „Forschung über elliptische Funktionen“ bei Convergence
• Berühmte Zitate von Niels Henrik Abel auf der Convergence-Konferenz. Archiviert am 12. Februar 2006 im Internetarchiv Wayback Machine.
• Der Niels-Henrik-Abel-Mathematikwettbewerb , die norwegische Mathematik-Olympiade
• Familiengenealogie