Noetherianisches Modul

In der abstrakten Algebra ist ein noetherscher Modul ein Modul , der die aufsteigende Kettenbedingung für seine Untermoduln erfüllt , wobei die Untermoduln durch Inklusion partiell geordnet sind . ^{[ 1 ]}

Historisch gesehen war Hilbert der erste Mathematiker, der sich mit den Eigenschaften endlich erzeugter Untermoduln befasste . Er bewies einen wichtigen Satz, den sogenannten Hilbertschen Basissatz, der besagt, dass jedes Ideal im multivariaten Polynomring eines beliebigen Körpers endlich erzeugt ist . Benannt ist diese Eigenschaft jedoch nach Emmy Noether , die als Erste die wahre Bedeutung dieser Eigenschaft erkannte.

Bei Vorliegen des Auswahlaxioms [ ^{2 ]} sind zwei weitere Charakterisierungen möglich ^:

• Jede nichtleere Menge S von Untermoduln des Moduls besitzt ein maximales Element (bezüglich Mengeninklusion ). Dies wird als Maximumbedingung bezeichnet .
• Alle Untermoduln des Moduls sind endlich erzeugt . ^{[ 3 ]}

Ist M ein Modul und K ein Untermodul, so ist M genau dann noethersch , wenn K und M / K noethersch sind. Dies steht im Gegensatz zur allgemeinen Situation bei endlich erzeugten Moduln: Ein Untermodul eines endlich erzeugten Moduls muss nicht selbst endlich erzeugt sein. ^{[ 4 ]}

• Die ganzen Zahlen , betrachtet als Modul über dem Ring der ganzen Zahlen, sind ein noetherscher Modul.
• Ist R  = M _{_n} ( F ) der volle Matrixring über einem Körper und M  = M _{_n1} ( F ) die Menge der Spaltenvektoren über F , so lässt sich M durch Multiplikation der Elemente von M mit Elementen von R links davon zu einem Modul machen . Dies ist ein noetherscher Modul.
• Jeder Modul, der als Menge endlich ist, ist noethersch.
• Jeder endlich erzeugte Rechtsmodul über einem rechtsnoetherschen Ring ist ein noetherscher Modul.

Ein rechtsnoetherscher Ring R ist definitionsgemäß ein noetherscher rechtsnoetherscher R -Modul über sich selbst, wobei die Multiplikation von rechts erfolgt. Analog dazu wird ein Ring linksnoetherscher Ring genannt, wenn R als linksnoetherscher R -Modul betrachtet noethersch ist. Ist R ein kommutativer Ring , können die Bezeichnungen links und rechts weggelassen werden, da sie überflüssig sind. Ist R beidseitig noethersch, bezeichnet man ihn üblicherweise als noethersch und nicht als „links- und rechtsnoethersch“.

Die Noethersche Bedingung lässt sich auch auf Bimodulstrukturen definieren : Ein noetherscher Bimodul ist ein Bimodul, dessen partiell geordnete Menge von Unter-Bimoduln die aufsteigende Kettenbedingung erfüllt. Da ein Unter-Bimodul eines R - S -Bimoduls M insbesondere ein linker R- Modul ist, ist M, betrachtet als linker R- Modul, automatisch ein noetherscher Bimodul. Es kann jedoch vorkommen, dass ein Bimodul noethersch ist, ohne dass seine linke oder rechte Struktur noethersch ist .

• Artinisches Modul
• Zustand der aufsteigenden/absteigenden Kette
• Kompositionsreihe
• Endlich erzeugtes Modul
• Krull-Dimension

• Eisenbud, Kommutative Algebra mit Blick auf die algebraische Geometrie , Springer-Verlag, 1995.

• Roman, Stephen (2008), Höhere Lineare Algebra , Graduate Texts in Mathematics (3. Aufl.), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5