Diffeomorphismus

In der Mathematik ist ein Diffeomorphismus ein Isomorphismus differenzierbarer Mannigfaltigkeiten . Es handelt sich um eine invertierbare Funktion , die eine differenzierbare Mannigfaltigkeit auf eine andere abbildet, sodass sowohl die Funktion als auch ihre Umkehrfunktion stetig differenzierbar sind .

Gegeben seien zwei differenzierbare Mannigfaltigkeiten und . Eine stetig differenzierbare Abbildung heißt Diffeomorphismus , wenn sie eine Bijektion ist und ihre Umkehrfunktion ebenfalls differenzierbar ist. Sind diese Funktionen mal stetig differenzierbar, so nennt man einen -Diffeomorphismus. ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$${\displaystyle f^{-1}\colon N\rightarrow M}$${\displaystyle r}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{r}}$

Zwei Mannigfaltigkeiten und heißen diffeomorph (üblicherweise mit ) genau dann, wenn es einen Diffeomorphismus von nach gibt . Zwei -differenzierbare Mannigfaltigkeiten heißen -diffeomorph, wenn es eine -mal stetig differenzierbare bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt, deren Umkehrabbildung ebenfalls -mal stetig differenzierbar ist. Ein -Diffeomorphismus ist einfach ein Diffeomorphismus, und ein -Diffeomorphismus ist ein Homöomorphismus. ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M\simeq N}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle C^{r}}$${\displaystyle C^{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle C^{0}}$

Gegeben seien zwei Teilmengen einer Mannigfaltigkeit . Eine Funktion heißt glatt, wenn es für alle eine Umgebung von und eine glatte Funktion gibt , sodass die folgenden Einschränkungen übereinstimmen: (Beachte, dass eine Erweiterung von ist ). Die Funktion heißt Diffeomorphismus, wenn sie bijektiv und glatt ist und ihre Umkehrfunktion glatt ist. ${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U\subset M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle g:U\to N}$${\displaystyle g_{|U\cap X}=f_{|U\cap X}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

Die Prüfung, ob eine differenzierbare Abbildung ein Diffeomorphismus ist, kann unter einigen milden Einschränkungen lokal durchgeführt werden. Dies ist der Satz von Hadamard-Caccioppoli: ^{[ 1 ]}

Sind und zusammenhängende offene Teilmengen von , so dass einfach zusammenhängend ist , so ist eine differenzierbare Abbildung ein Diffeomorphismus, wenn sie echt ist und wenn das Differential in jedem Punkt bijektiv (und damit ein linearer Isomorphismus ) ist . ${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f:U\to V}$${\displaystyle Df_{x}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$

Einige Anmerkungen:

Es ist wesentlich, dass die Funktion einfach zusammenhängend ist, damit sie global invertierbar ist (unter der einzigen Bedingung, dass ihre Ableitung in jedem Punkt eine bijektive Abbildung ist). Betrachten Sie beispielsweise die „Realisierung“ der komplexen Quadratfunktion. ${\displaystyle V}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\to \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\\(x,y)\mapsto (x^{2}-y^{2},2xy).\end{cases}}}$

Dann ist es surjektiv und erfüllt ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \det Df_{x}=4(x^{2}+y^{2})\neq 0.}$

Obwohl also an jedem Punkt bijektiv ist, ist es nicht invertierbar, weil es nicht injektiv ist (z. B. ). ${\displaystyle Df_{x}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(1,0)=(1,0)=f(-1,0)}$

Da das Differential an einem Punkt (für eine differenzierbare Funktion)

${\displaystyle Df_{x}:T_{x}U\to T_{f(x)}V}$

Ist eine Abbildung linear , so besitzt sie genau dann eine wohldefinierte Umkehrfunktion, wenn sie eine Bijektion ist. Die Matrixdarstellung von ist die Matrix der partiellen Ableitungen erster Ordnung, deren Eintrag in der -ten Zeile und -ten Spalte gleich ist . Diese sogenannte Jacobi-Matrix wird häufig für explizite Berechnungen verwendet. ${\displaystyle Df_{x}}$${\displaystyle Df_{x}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \partial f_{i}/\partial x_{j}}$

Diffeomorphismen sind notwendigerweise zwischen Mannigfaltigkeiten derselben Dimension . Stellen wir uns einen Übergang von Dimension n zu Dimension n vor . Wenn n = 1, dann kann die Abbildung niemals surjektiv sein, und wenn n = 2, dann kann die Abbildung niemals injektiv sein. In beiden Fällen ist die Abbildung daher keine Bijektion. ${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n<k}$${\displaystyle Df_{x}}$${\displaystyle n>k}$${\displaystyle Df_{x}}$${\displaystyle Df_{x}}$

Wenn eine Bijektion in ist, dann heißt ein lokaler Diffeomorphismus (da aufgrund der Stetigkeit auch für alle hinreichend nahe bei bijektiv ist ). ${\displaystyle Df_{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Df_{y}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

Gegeben sei eine glatte Abbildung von Dimension n nach Dimension n . Wenn f(x) (oder lokal ) surjektiv ist, dann heißt f(x) eine Submersion (oder lokal ) eine „lokale Submersion“; und wenn f(x) (oder lokal ) injektiv ist, dann heißt f(x) eine Immersion (oder lokal ) eine „lokale Immersion“). ${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle Df}$${\displaystyle Df_{x}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Df}$${\displaystyle Df_{x}}$${\displaystyle f}$

Eine differenzierbare Bijektion ist nicht notwendigerweise ein Diffeomorphismus. Beispielsweise ist die Abbildung kein Diffeomorphismus von nach sich selbst, da ihre Ableitung an der Stelle 0 verschwindet (und somit ihre Umkehrfunktion an der Stelle 0 nicht differenzierbar ist). Dies ist ein Beispiel für einen Homöomorphismus , der kein Diffeomorphismus ist. ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Wenn es sich um eine Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten handelt, ist eine Diffeomorphie eine stärkere Bedingung als eine Homöomorphie . Für einen Diffeomorphismus müssen sowohl die Abbildung als auch ihre Umkehrung differenzierbar sein ; für einen Homöomorphismus müssen sowohl die Abbildung als auch ihre Umkehrung lediglich stetig sein . Jeder Diffeomorphismus ist auch ein Homöomorphismus, aber nicht jeder Homöomorphismus ist ein Diffeomorphismus. ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f:M\to N}$Ein Diffeomorphismus ist genau dann ein Diffeomorphismus, wenn er in Koordinatenkarten die obige Definition erfüllt. Genauer gesagt: Man wählt eine beliebige Überdeckung von durch kompatible Koordinatenkarten und führt dasselbe für durch . Seien und Karten auf bzw. , wobei und die Bilder von bzw. sind . Die Abbildung ist dann ein Diffeomorphismus gemäß der obigen Definition, wann immer . ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi f\phi ^{-1}:U\to V}$${\displaystyle f(\phi ^{-1}(U))\subseteq \psi ^{-1}(V)}$

Da jede Mannigfaltigkeit lokal parametrisiert werden kann, können wir einige explizite Abbildungen von nach betrachten . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

• Lassen

${\displaystyle f(x,y)=\left(x^{2}+y^{3},x^{2}-y^{3}\right).}$

Wir können die Jacobi-Matrix berechnen:

${\displaystyle J_{f}={\begin{pmatrix}2x&3y^{2}\\2x&-3y^{2}\end{pmatrix}}.}$

Die Jacobi-Matrix hat genau dann die Determinante Null, wenn . Wir sehen, dass nur ein Diffeomorphismus von der x-Achse und der y-Achse weg sein kann. Da jedoch nicht bijektiv ist , kann es kein Diffeomorphismus sein.${\displaystyle xy=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x,y)=f(-x,y)}$

• Lassen

${\displaystyle g(x,y)=\left(a_{0}+a_{1,0}x+a_{0,1}y+\cdots ,\ b_{0}+b_{1,0}x+b_{0,1}y+\cdots \right)}$

wobei und beliebige reelle Zahlen sind und die ausgelassenen Terme mindestens vom Grad zwei in x und y sind . Wir können die Jacobi-Matrix an der Stelle 0 berechnen : ${\displaystyle a_{i,j}}$${\displaystyle b_{i,j}}$

${\displaystyle J_{g}(0,0)={\begin{pmatrix}a_{1,0}&a_{0,1}\\b_{1,0}&b_{0,1}\end{pmatrix}}.}$

Wir sehen, dass g genau dann ein lokaler Diffeomorphismus in 0 ist , wenn

${\displaystyle a_{1,0}b_{0,1}-a_{0,1}b_{1,0}\neq 0,}$

d. h. die linearen Terme in den Komponenten von g sind als Polynome linear unabhängig .

• Lassen

${\displaystyle h(x,y)=\left(\sin(x^{2}+y^{2}),\cos(x^{2}+y^{2})\right).}$

Wir können die Jacobi-Matrix berechnen:

${\displaystyle J_{h}={\begin{pmatrix}2x\cos(x^{2}+y^{2})&2y\cos(x^{2}+y^{2})\\-2x\sin(x^{2}+y^{2})&-2y\sin(x^{2}+y^{2})\end{pmatrix}}.}$

Die Jacobi-Matrix hat überall die Determinante Null! Tatsächlich sehen wir, dass das Bild von h der Einheitskreis ist .

In der Mechanik wird eine spannungsinduzierte Transformation als Deformation bezeichnet und kann durch einen Diffeomorphismus beschrieben werden. Ein Diffeomorphismus zwischen zwei Flächen und besitzt eine Jacobi-Matrix , die invertierbar ist . Tatsächlich ist gefordert, dass für jedes in eine Umgebung von existiert, in der die Jacobi-Matrix nicht singulär bleibt . Angenommen, in einer Karte der Fläche${\displaystyle f:U\to V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle Df}$${\displaystyle p}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$${\displaystyle Df}$${\displaystyle f(x,y)=(u,v).}$

Das totale Differential von u ist

${\displaystyle du={\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u}{\partial y}}dy}$und analog für v .

Das Bild ist dann eine lineare Transformation , die den Ursprung fixiert und sich als Wirkung einer komplexen Zahl eines bestimmten Typs ausdrücken lässt. Wird ( dx , dy ) ebenfalls als eine solche komplexe Zahl interpretiert, entspricht die Wirkung einer komplexen Multiplikation in der entsprechenden komplexen Zahlenebene. Somit gibt es einen Winkeltyp ( euklidisch , hyperbolisch oder Steigung ), der bei einer solchen Multiplikation erhalten bleibt. Da Df invertierbar ist, ist der Typ der komplexen Zahl auf der Fläche einheitlich. Folglich besitzt eine Flächendeformation oder ein Diffeomorphismus von Flächen die konforme Eigenschaft , Winkel (des entsprechenden Typs) zu erhalten. ${\displaystyle (du,dv)=(dx,dy)Df}$

Sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die zweitabzählbar und Hausdorffsch ist . Die Diffeomorphismengruppe von ist die Gruppe aller Diffeomorphismen von nach sich selbst, bezeichnet mit oder, wenn als gemeint ist, . Dies ist eine „große“ Gruppe, insofern sie – vorausgesetzt, ist nicht nulldimensional – nicht lokal kompakt ist . ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C^{r}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\text{Diff}}^{r}(M)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle {\text{Diff}}(M)}$${\displaystyle M}$

Die Diffeomorphismengruppe besitzt zwei natürliche Topologien : eine schwache und eine starke ( Hirsch 1997 ). Ist die Mannigfaltigkeit kompakt , stimmen diese beiden Topologien überein. Die schwache Topologie ist stets metrisierbar . Ist die Mannigfaltigkeit nicht kompakt, beschreibt die starke Topologie das Verhalten von Funktionen „im Unendlichen“ und ist nicht metrisierbar. Sie ist jedoch weiterhin Baire-Topologie .

Bei der Festlegung einer Riemannschen Metrik auf ist die schwache Topologie die durch die Familie der Metriken induzierte Topologie. ${\displaystyle M}$

${\displaystyle d_{K}(f,g)=\sup \nolimits _{x\in K}d(f(x),g(x))+\sum \nolimits _{1\leq p\leq r}\sup \nolimits _{x\in K}\left\|D^{p}f(x)-D^{p}g(x)\right\|}$

da über kompakte Teilmengen von variiert . Da nämlich -kompakt ist , gibt es eine Folge kompakter Teilmengen, deren Vereinigung ist . Dann: ${\displaystyle K}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle K_{n}}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle d(f,g)=\sum \nolimits _{n}2^{-n}{\frac {d_{K_{n}}(f,g)}{1+d_{K_{n}}(f,g)}}.}$

Die mit ihrer schwachen Topologie ausgestattete Diffeomorphismengruppe ist lokal homöomorph zum Raum der Vektorfelder ( Leslie 1967 ). Über einer kompakten Teilmenge von folgt dies durch Fixierung einer Riemannschen Metrik auf und Verwendung der Exponentialabbildung für diese Metrik. Ist endlich und die Mannigfaltigkeit kompakt, so ist der Raum der Vektorfelder ein Banachraum . Darüber hinaus sind die Übergangsabbildungen von einer Karte dieses Atlas zu einer anderen glatt, wodurch die Diffeomorphismengruppe zu einer Banachmannigfaltigkeit mit glatten Rechtstranslationen wird; Linkstranslationen und Inversionen sind nur stetig. Ist , so ist der Raum der Vektorfelder ein Fréchet-Raum . Darüber hinaus sind die Übergangsabbildungen glatt, wodurch die Diffeomorphismengruppe zu einer Fréchetmannigfaltigkeit und sogar zu einer regulären Fréchet-Lie-Gruppe wird . Ist die Mannigfaltigkeit -kompakt und nicht kompakt, so ist die volle Diffeomorphismengruppe für keine der beiden Topologien lokal zusammenziehbar. Man muss die Gruppe einschränken, indem man die Abweichung von der Identität im Unendlichen kontrolliert, um eine Diffeomorphismengruppe zu erhalten, die eine Mannigfaltigkeit ist. siehe ( Michor & Mumford 2013 ). ${\displaystyle C^{r}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r=\infty }$${\displaystyle \sigma }$

Die Lie-Algebra der Diffeomorphismengruppe von besteht aus allen Vektorfeldern auf , die mit der Lie-Klammer der Vektorfelder ausgestattet sind . Formal lässt sich dies durch eine kleine Änderung der Koordinate an jedem Punkt im Raum veranschaulichen: ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+\varepsilon h^{\mu }(x)}$

Die infinitesimalen Generatoren sind also die Vektorfelder.

${\displaystyle L_{h}=h^{\mu }(x){\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}.}$

• Wenn eine Lie-Gruppe ist , existiert eine natürliche Inklusion von in ihre eigene Diffeomorphismengruppe mittels Linkstranslation. Sei die Diffeomorphismengruppe von , dann existiert eine Zerlegung , wobei die Untergruppe von ist, die das neutrale Element der Gruppe fixiert .${\displaystyle M=G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\text{Diff}}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\text{Diff}}(G)\simeq G\times {\text{Diff}}(G,e)}$${\displaystyle {\text{Diff}}(G,e)}$${\displaystyle {\text{Diff}}(G)}$
• Die Diffeomorphismengruppe des euklidischen Raums besteht aus zwei Komponenten: den orientierungserhaltenden und den orientierungsumkehrenden Diffeomorphismen. Die allgemeine lineare Gruppe ist ein Deformationsretrakt der Untergruppe der Diffeomorphismen, die den Ursprung unter der Abbildung fixieren . Insbesondere ist die allgemeine lineare Gruppe auch ein Deformationsretrakt der vollen Diffeomorphismengruppe.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\text{Diff}}(\mathbb {R} ^{n},0)}$${\displaystyle f(x)\to f(tx)/t,t\in (0,1]}$
• Für eine endliche Punktmenge ist die Diffeomorphismengruppe einfach die symmetrische Gruppe . Analog gibt es für jede beliebige Mannigfaltigkeit eine Gruppenerweiterung . Hierbei ist die Untergruppe von , die alle Komponenten von erhält , und die Permutationsgruppe der Menge (der Komponenten von ). Das Bild der Abbildung ist die Menge der Bijektionen von , die Diffeomorphismenklassen erhalten.${\displaystyle M}$${\displaystyle 0\to {\text{Diff}}_{0}(M)\to {\text{Diff}}(M)\to \Sigma (\pi _{0}(M))}$${\displaystyle {\text{Diff}}_{0}(M)}$${\displaystyle {\text{Diff}}(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Sigma (\pi _{0}(M))}$${\displaystyle \pi _{0}(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\text{Diff}}(M)\to \Sigma (\pi _{0}(M))}$${\displaystyle \pi _{0}(M)}$

Für eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit operiert die Diffeomorphismengruppe transitiv auf . Allgemeiner operiert die Diffeomorphismengruppe transitiv auf dem Konfigurationsraum . Ist mindestens zweidimensional, so operiert die Diffeomorphismengruppe transitiv auf dem Konfigurationsraum , und die Operation auf ist mehrfach transitiv ( Banyaga 1997 , S. 29). ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C_{k}M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle F_{k}M}$${\displaystyle M}$

1926 fragte Tibor Radó , ob die harmonische Fortsetzung eines beliebigen Homöomorphismus oder Diffeomorphismus des Einheitskreises auf die Einheitskreisscheibe einen Diffeomorphismus auf der offenen Kreisscheibe ergibt. Kurz darauf lieferte Hellmuth Kneser einen eleganten Beweis . 1945 erbrachte Gustave Choquet , offenbar ohne Kenntnis dieses Ergebnisses, einen völlig anderen Beweis.

Die (orientierungserhaltende) Diffeomorphismengruppe des Kreises ist wegzusammenhängend. Dies lässt sich zeigen, indem man bemerkt, dass jeder solche Diffeomorphismus zu einem Diffeomorphismus der reellen Zahlen erweitert werden kann, der die Bedingung erfüllt ; dieser Raum ist konvex und somit wegzusammenhängend. Ein glatter, schließlich konstanter Weg zur Identität liefert eine zweite, elementarere Möglichkeit, einen Diffeomorphismus vom Kreis auf die offene Einheitskreisscheibe fortzusetzen (ein Spezialfall des Alexander-Tricks ). Darüber hinaus hat die Diffeomorphismengruppe des Kreises den Homotopietyp der orthogonalen Gruppe . ${\displaystyle f}$${\displaystyle [f(x+1)=f(x)+1]}$${\displaystyle O(2)}$

Das entsprechende Erweiterungsproblem für Diffeomorphismen höherdimensionaler Sphären wurde in den 1950er und 1960er Jahren intensiv untersucht, wobei René Thom , John Milnor und Stephen Smale bedeutende Beiträge leisteten. Ein Hindernis für solche Erweiterungen stellt die endliche abelsche Gruppe dar , die „ Gruppe der verdrehten Sphären “, definiert als der Quotient der abelschen Komponentengruppe der Diffeomorphismengruppe nach der Untergruppe der Klassen, die sich auf Diffeomorphismen der Kugel fortsetzen lassen . ${\displaystyle S^{n-1}}$${\displaystyle \Gamma _{n}}$${\displaystyle B^{n}}$

Bei Mannigfaltigkeiten ist die Diffeomorphismengruppe üblicherweise nicht zusammenhängend. Ihre Komponentengruppe wird als Abbildungsklassengruppe bezeichnet . In zwei Dimensionen (d. h. auf Flächen ) ist die Abbildungsklassengruppe eine endlich präsentierte Gruppe , die von Dehn-Twists erzeugt wird ; dies wurde von Max Dehn , W. B. R. Lickorish und Allen Hatcher bewiesen . Max Dehn und Jakob Nielsen zeigten, dass sie mit der äußeren Automorphismengruppe der Fundamentalgruppe der Fläche identifiziert werden kann .

William Thurston verfeinerte diese Analyse, indem er die Elemente der Abbildungsklassengruppe in drei Typen einteilte: solche, die einem periodischen Diffeomorphismus äquivalent sind; solche, die einem Diffeomorphismus äquivalent sind, der eine einfache geschlossene Kurve invariant lässt; und solche, die Pseudo-Anosov-Diffeomorphismen äquivalent sind . Im Fall des Torus ist die Abbildungsklassengruppe einfach die Modulgruppe , und die Klassifizierung wird klassisch in Bezug auf elliptische , parabolische und hyperbolische Matrizen. Thurston erreichte seine Klassifizierung, indem er beobachtete, dass die Abbildungsklassengruppe auf natürliche Weise auf einer Kompaktifizierung des Teichmüller-Raums operiert ; da dieser erweiterte Raum homöomorph zu einer abgeschlossenen Kugel ist, ist der Brouwersche Fixpunktsatz anwendbar. Smale vermutete, dass, wenn eine orientierte glatte geschlossene Mannigfaltigkeit ist, die neutrale Komponente der Gruppe der orientierungserhaltenden Diffeomorphismen einfach ist. Dies war zuerst von Michel Herman für ein Produkt von Kreisen bewiesen worden ; Thurston bewies es in voller Allgemeinheit. ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle M}$

• Die Diffeomorphismengruppe von hat den Homotopietyp der Untergruppe . Dies wurde von Stephen Smale bewiesen. ^{[ 2 ]}${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle \mathrm {O} (3)}$
• Die Diffeomorphismengruppe des Torus hat den Homotopietyp seiner linearen Automorphismen : .${\displaystyle S^{1}\times S^{1}\times {\text{GL}}(2,\mathbb {Z} )}$
• Die Diffeomorphismengruppen orientierbarer Flächen vom Geschlecht haben den Homotopietyp ihrer Abbildungsklassengruppen (d. h. die Komponenten sind zusammenziehbar).${\displaystyle g>1}$
• Der Homotopietyp der Diffeomorphismengruppen von 3-Mannigfaltigkeiten ist durch die Arbeiten von Ivanov, Hatcher, Gabai und Rubinstein recht gut verstanden, obwohl es noch einige wenige offene Fälle gibt (vor allem 3-Mannigfaltigkeiten mit endlichen Fundamentalgruppen ).
• Der Homotopietyp von Diffeomorphismengruppen von -Mannigfaltigkeiten ist unzureichend verstanden. Beispielsweise ist es ein offenes Problem, ob mehr als zwei Komponenten besitzt. Über Milnor, Kahn und Antonelli ist jedoch bekannt, dass für nicht den Homotopietyp eines endlichen CW-Komplexes besitzt .${\displaystyle n}$${\displaystyle n>3}$${\displaystyle \mathrm {Diff} (S^{4})}$${\displaystyle n>6}$${\displaystyle \mathrm {Diff} (S^{n})}$

Da jeder Diffeomorphismus ein Homöomorphismus ist, sind zwei Mannigfaltigkeiten, die zueinander diffeomorph sind, insbesondere zueinander homöomorph . Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.

Während es leicht ist, Homöomorphismen zu finden, die keine Diffeomorphismen sind, ist es schwieriger, ein Paar homöomorpher Mannigfaltigkeiten zu finden, die nicht diffeomorph sind. In den Dimensionen 1, 2 und 3 ist jedes Paar homöomorpher glatter Mannigfaltigkeiten diffeomorph. In Dimension 4 und höher existieren Beispiele für homöomorphe, aber nicht diffeomorphe Paare. Das erste derartige Beispiel wurde von John Milnor in Dimension 7 konstruiert. Er konstruierte eine glatte 7-dimensionale Mannigfaltigkeit (heute Milnors Sphäre genannt ), die homöomorph zur Standard-7-Sphäre, aber nicht diffeomorph zu ihr ist. Tatsächlich gibt es 28 orientierte Diffeomorphismusklassen von Mannigfaltigkeiten, die zur 7-Sphäre homöomorph sind (jede von ihnen ist der Totalraum eines Faserbündels über der 4-Sphäre mit der 3-Sphäre als Faser).

Ungewöhnlichere Phänomene treten bei 4-Mannigfaltigkeiten auf . Anfang der 1980er Jahre führte eine Kombination von Ergebnissen von Simon Donaldson und Michael Freedman zur Entdeckung exotischer Phänomene : Es gibt überabzählbar viele paarweise nicht-diffeomorphe offene Teilmengen von , die jeweils homöomorph zu sind , und es gibt außerdem überabzählbar viele paarweise nicht-diffeomorphe differenzierbare Mannigfaltigkeiten, die homöomorph zu sind und sich nicht glatt in einbetten lassen . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

• Anosov-Diffeomorphismen wie Arnolds Katzenkarte
• Diffeo-Anomalie , auch bekannt als Gravitationsanomalie , eine Typ-1 -Anomalie in der Quantenmechanik
• Diffeologie , glatte Parametrisierungen auf einer Menge, die einen diffeologischen Raum erzeugen
• Diffeomorphometrie , metrische Untersuchung von Form und Gestalt in der computergestützten Anatomie
• Étale Morphismus
• Großer Diffeomorphismus
• Lokaler Diffeomorphismus
• Superdiffeomorphismus

• Krantz, Steven G.; Parks, Harold R. (2013). Der Satz über implizite Funktionen: Geschichte, Theorie und Anwendungen . Modern Birkhäuser Classics. Boston. ISBN 978-1-4614-5980-4Die{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
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