Numerische analytische Fortsetzung

In der Vielteilchenphysik besteht das Problem der analytischen Fortsetzung darin, die spektrale Dichte einer Greenschen Funktion numerisch zu bestimmen , wenn ihre Werte auf der imaginären Achse bekannt sind. Dies ist ein notwendiger Nachbearbeitungsschritt für die Berechnung dynamischer Eigenschaften physikalischer Systeme aus Quanten-Monte-Carlo -Simulationen, die häufig nur die Werte der Greenschen Funktion zu imaginären Zeiten oder Matsubara-Frequenzen berechnen .

Mathematisch reduziert sich das Problem auf die Lösung einer Fredholmschen Integralgleichung erster Art mit einem schlecht konditionierten Kern. Daher handelt es sich um ein schlecht gestelltes inverses Problem ohne eindeutige Lösung, bei dem bereits geringes Rauschen im Eingangssignal zu großen Fehlern in der unregularisierten Lösung führt . Zur Lösung dieses Problems existieren verschiedene Methoden, darunter die Methode der maximalen Entropie ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ],} die Methode des mittleren Spektrums ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} und Padé-Approximationsmethoden ^{[ 9 ] [ 10 ] .}

Ein häufiges analytisches Fortsetzungsproblem besteht darin, die Spektralfunktion bei reellen Frequenzen aus den Werten der Greenschen Funktion bei Matsubara-Frequenzen durch numerische Invertierung der Integralgleichung zu erhalten.${\textstyle A(\omega )}$${\textstyle \omega }$${\textstyle {\mathcal {G}}(i\omega_{n})}$${\textstyle \omega _{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}(i\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega }{2\pi }}{\frac {1}{i\omega _{n}-\omega }}\;A(\omega )}$

wobei für fermionische Systeme bzw. für bosonische Systeme gilt und die inverse Temperatur ist. Diese Beziehung ist ein Beispiel für die Kramers-Kronig-Relation . ${\textstyle \omega _{n}=(2n+1)\pi /\beta }$${\textstyle \omega _{n}=2n\pi /\beta }$${\textstyle \beta =1/T}$

Die Spektralfunktion kann auch mit der Greenschen Funktion in imaginärer Zeit in Beziehung gesetzt werden, indem man die inverse Fouriertransformation auf die obige Gleichung anwendet.${\textstyle {\mathcal {G}}(\tau )}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\tau )\ \colon ={\frac {1}{\beta }}\sum _{\omega _{n}}e^{-i\omega _{n}\tau }{\mathcal {g}}(i\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega }{2\pi }}A(\omega ){\frac {1}{\beta }}\sum _{\omega _{n}}{\frac {e^{-i\omega _{n}\tau }}{i\omega _{n}-\omega }}}$

Die Auswertung der Summation über die Matsubara-Frequenzen liefert die gewünschte Beziehung .${\textstyle \tau \in [0,\beta ]}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega }{2\pi }}{\frac {-e^{-\tau \omega }}{1\pm e^{-\beta \omega }}}A(\omega )}$

wobei das obere Vorzeichen für fermionische Systeme und das untere Vorzeichen für bosonische Systeme gilt.

Ein weiteres Beispiel für die analytische Fortsetzung ist die Berechnung der optischen Leitfähigkeit aus den Werten der Strom-Strom-Korrelationsfunktion bei Matsubara-Frequenzen. Die beiden Größen hängen wie folgt zusammen. ${\displaystyle \sigma (\omega )}$${\displaystyle \Pi (i\omega_{n})}$

${\displaystyle \Pi (i\omega _{n})=\int _{0}^{\infty }{\frac {d\omega }{\pi }}{\frac {2\omega ^{2}}{\omega _{n}^{2}+\omega ^{2}}}\;A(\omega )}$

• Das Maxent-Projekt : Ein Open-Source-Dienstprogramm zur Durchführung analytischer Fortsetzungen unter Verwendung der Maximum-Entropie-Methode.
• Spektra : Kostenloses Online-Tool zur Durchführung analytischer Fortsetzung unter Verwendung der Mittelwertspektrummethode.
• SpM : Sparse modeling tool for analytic continuation of imaginary-time Green's function.

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