| Dreieckswabenstruktur der Ordnung 8-3 | |
|---|---|
| Typ | Regelmäßige Wabenstruktur |
| Schläfli-Symbole | {3,8,3} |
| Coxeter-Diagramme |     |
| Zellen | {3,8} |
| Gesichter | {3} |
| Kantenfigur | {3} |
| Scheitelfigur | {8,3} |
| Dual | Selbstdualismus |
| Coxeter-Gruppe | [3,8,3] |
| Eigenschaften | Regulär |
In der Geometrie des hyperbolischen 3-Raums ist die dreieckige Wabenstruktur der Ordnung 8-3 (oder 3,8,3-Wabenstruktur ) eine reguläre raumfüllende Parkettierung (oder Wabenstruktur ) mit Schläfli-Symbol {3,8,3}.
Geometrie
Es besitzt drei Dreiecksparkettierungen der Ordnung 8 {3,8} um jede Kante. Alle Eckpunkte sind ultra-ideal (existieren jenseits der Idealgrenze), wobei um jeden Eckpunkt unendlich viele Dreiecksparkettierungen in einer achteckigen Parkettierungsfigur existieren .
 Poincaré-Scheibenmodell |
Verwandte Polytope und Waben
Es handelt sich um einen Teil einer Folge regelmäßiger Honigwaben mit dreieckigen Kachelzellen der Ordnung 8 : {3,8, p }.
Es handelt sich um einen Teil einer Folge regelmäßiger Honigwaben mit achteckigen Eckpunktfiguren : { p ,8,3}.
Es ist Teil einer Sequenz von selbstdualen regulären Waben: { p ,8, p }.
Dreieckswabenstruktur, Ordnung 8-4
| Dreieckswabenstruktur, Ordnung 8-4 | |
|---|---|
| Typ | Regelmäßige Wabenstruktur |
| Schläfli-Symbole | {3,8,4} |
| Coxeter-Diagramme |   =  |
| Zellen | {3,8} |
| Gesichter | {3} |
| Kantenfigur | {4} |
| Scheitelfigur | {8,4} r{8,8}  |
| Dual | {4,8,3} |
| Coxeter-Gruppe | [3,8,4] |
| Eigenschaften | Regulär |
In der Geometrie des hyperbolischen dreidimensionalen Raums ist die dreieckige Wabenstruktur der Ordnung 8-4 (oder 3,8,4-Wabenstruktur ) eine reguläre raumfüllende Parkettierung (oder Wabenstruktur ) mit Schläfli-Symbol {3,8,4}.
Es besitzt vier Dreiecksparkettierungen der Ordnung 8 , {3,8}, um jede Kante herum. Alle Knoten sind ultra-ideal (existieren jenseits der Idealgrenze), wobei um jeden Knoten unendlich viele Dreiecksparkettierungen der Ordnung 8 in einer hexagonalen Parkettierungsanordnung der Ordnung 4 existieren .
 Poincaré-Scheibenmodell |
Es besitzt eine zweite Konstruktion als gleichmäßige Wabenstruktur, Schläfli-Symbol {3,8 1,1 }, Coxeter-Diagramm,, mit abwechselnden Typen oder Farben von Dreiecksparkettzellen der Ordnung 8. In Coxeter-Notation ist die Halbsymmetrie [3,8,4,1 + ] = [3,8 1,1 ].
Dreieckige Wabenstruktur, Ordnung 8-5
| Dreieckige Wabenstruktur, Ordnung 8-5 | |
|---|---|
| Typ | Regelmäßige Wabenstruktur |
| Schläfli-Symbole | {3,8,5} |
| Coxeter-Diagramme |  |
| Zellen | {3,8} |
| Gesichter | {3} |
| Kantenfigur | {5} |
| Scheitelfigur | {8,5} |
| Dual | {5,8,3} |
| Coxeter-Gruppe | [3,8,5] |
| Eigenschaften | Regulär |
In der Geometrie des hyperbolischen dreidimensionalen Raums ist die 8-3-Dreieckswabe (oder 3,8,5-Wabe ) eine reguläre raumfüllende Parkettierung (oder Wabe ) mit dem Schläfli-Symbol {3,8,5}. Sie besitzt fünf Dreiecksparkettierungen 8. Ordnung , {3,8}, entlang jeder Kante. Alle Eckpunkte sind ultra-ideal (existieren jenseits der Idealgrenze), und um jeden Eckpunkt existieren unendlich viele Dreiecksparkettierungen 8. Ordnung in einer achteckigen Parkettierungsfigur 5. Ordnung .
 Poincaré-Scheibenmodell |
Dreieckswabenstruktur der Ordnung 8-6
| Dreieckswabenstruktur der Ordnung 8-6 | |
|---|---|
| Typ | Regelmäßige Wabenstruktur |
| Schläfli-Symbole | {3,8,6} {3,(8,3,8)} |
| Coxeter-Diagramme |  = |
| Zellen | {3,8} |
| Gesichter | {3} |
| Kantenfigur | {6} |
| Scheitelfigur | {8,6} {(8,3,8)}  |
| Dual | {6,8,3} |
| Coxeter-Gruppe | [3,8,6] |
| Eigenschaften | Regulär |
In der Geometrie des hyperbolischen dreidimensionalen Raums ist die 8-6-Dreieckswabe (oder 3,8,6-Wabe ) eine reguläre raumfüllende Parkettierung (oder Wabe ) mit dem Schläfli-Symbol {3,8,6}. Sie besitzt unendlich viele Dreiecksparkettierungen der Ordnung 8 , {3,8}, um jede Kante herum. Alle Eckpunkte sind ultra-ideal (existieren jenseits der idealen Grenze), wobei um jeden Eckpunkt unendlich viele Dreiecksparkettierungen der Ordnung 8 in einer achteckigen Parkettierung der Ordnung 6 , {8,6}, existieren .
 Poincaré-Scheibenmodell |
Dreieckswabenstruktur der Ordnung 8 - unendlich
| Dreieckswabenstruktur der Ordnung 8 - unendlich | |
|---|---|
| Typ | Regelmäßige Wabenstruktur |
| Schläfli-Symbole | {3,8,∞} {3,(8,∞,8)} |
| Coxeter-Diagramme |  = |
| Zellen | {3,8} |
| Gesichter | {3} |
| Kantenfigur | {∞} |
| Scheitelfigur | {8,∞} {(8,∞,8)}  |
| Dual | {∞,8,3} |
| Coxeter-Gruppe | [∞,8,3] [3,((8,∞,8))] |
| Eigenschaften | Regulär |
In der Geometrie des hyperbolischen dreidimensionalen Raums ist die unendliche Dreieckswabe achter Ordnung (oder 3,8,∞-Wabe ) eine reguläre raumfüllende Parkettierung (oder Wabe ) mit dem Schläfli-Symbol {3,8,∞}. Sie besitzt unendlich viele Dreiecksparkettierungen achter Ordnung {3,8} um jede Kante. Alle Eckpunkte sind ultra-ideal (existieren jenseits der Idealgrenze ), wobei um jeden Eckpunkt unendlich viele Dreiecksparkettierungen achter Ordnung in einer achteckigen Parkettierung unendlicher Ordnung {8,∞} existieren .
 Poincaré-Scheibenmodell |
Es besitzt eine zweite Konstruktion als gleichmäßige Wabenstruktur, Schläfli-Symbol {3,(8,∞,8)}, Coxeter-Diagramm,=, mit abwechselnden Typen oder Farben von Dreiecksparkettzellen der Ordnung 8. In Coxeter-Notation ist die Halbsymmetrie [3,8,∞,1 + ] = [3,((8,∞,8))].
Order-8-3 quadratische Waben
| Order-8-3 quadratische Waben | |
|---|---|
| Typ | Regelmäßige Wabenstruktur |
| Schläfli-Symbol | {4,8,3} |
| Coxeter-Diagramm | |
| Zellen | {4,8} |
| Gesichter | {4} |
| Scheitelfigur | {8,3} |
| Dual | {3,8,4} |
| Coxeter-Gruppe | [4,8,3] |
| Eigenschaften | Regulär |
In der Geometrie des hyperbolischen dreidimensionalen Raums ist die quadratische Wabenstruktur der Ordnung 8-3 (oder 4,8,3-Wabenstruktur ) eine regelmäßige raumfüllende Parkettierung (oder Wabenstruktur ). Jede unendliche Zelle besteht aus einer achteckigen Parkettierung, deren Eckpunkte auf einem 2-Hyperzyklus liegen , von denen jeder einen Grenzkreis auf der idealen Sphäre besitzt.
Das Schläfli-Symbol der quadratischen Wabenstruktur der Ordnung 8-3 ist {4,8,3}, wobei an jeder Kante drei achteckige Parkettierungen der Ordnung 4 zusammentreffen. Die Eckfigur dieser Wabenstruktur ist eine achteckige Parkettierung, {8,3}.
 Poincaré-Scheibenmodell |
Fünfeckige Wabenstruktur der Ordnung 8-3
| Fünfeckige Wabenstruktur der Ordnung 8-3 | |
|---|---|
| Typ | Regelmäßige Wabenstruktur |
| Schläfli-Symbol | {5,8,3} |
| Coxeter-Diagramm | |
| Zellen | {5,8} |
| Gesichter | {5} |
| Scheitelfigur | {8,3} |
| Dual | {3,8,5} |
| Coxeter-Gruppe | [5,8,3] |
| Eigenschaften | Regulär |
In der Geometrie des hyperbolischen dreidimensionalen Raums ist die pentagonale Wabenstruktur der Ordnung 8-3 (oder 5,8,3-Wabenstruktur ) eine regelmäßige raumfüllende Parkettierung . Jede unendliche Zelle besteht aus einer pentagonalen Parkettierung der Ordnung 8, deren Eckpunkte auf einem 2-Hyperzyklus liegen , der jeweils einen Grenzkreis auf der idealen Sphäre besitzt.
Das Schläfli-Symbol der pentagonalen Wabenstruktur der Ordnung 6-3 ist {5,8,3}, wobei an jeder Kante drei pentagonale Parkettierungen der Ordnung 8 aufeinandertreffen. Die Eckfigur dieser Wabenstruktur ist eine achteckige Parkettierung, {8,3}.
 Poincaré-Scheibenmodell |
Sechseckige Wabenstruktur der Ordnung 8-3
| Sechseckige Wabenstruktur der Ordnung 8-3 | |
|---|---|
| Typ | Regelmäßige Wabenstruktur |
| Schläfli-Symbol | {6,8,3} |
| Coxeter-Diagramm | |
| Zellen | {6,8} |
| Gesichter | {6} |
| Scheitelfigur | {8,3} |
| Dual | {3,8,6} |
| Coxeter-Gruppe | [6,8,3] |
| Eigenschaften | Regulär |
In der Geometrie des hyperbolischen dreidimensionalen Raums ist die hexagonale Wabenstruktur der Ordnung 8-3 (oder 6,8,3-Wabenstruktur ) eine regelmäßige raumfüllende Parkettierung . Jede unendliche Zelle besteht aus einer hexagonalen Parkettierung der Ordnung 6, deren Eckpunkte auf einem 2-Hyperzyklus liegen , der jeweils einen Grenzkreis auf der idealen Sphäre besitzt.
Das Schläfli-Symbol der hexagonalen Wabenstruktur der Ordnung 8-3 ist {6,8,3}, wobei an jeder Kante drei hexagonale Parkettierungen der Ordnung 5 aufeinandertreffen. Die Eckfigur dieser Wabenstruktur ist eine achteckige Parkettierung, {8,3}.
 Poincaré-Scheibenmodell |
Apeirogonale Wabe der Ordnung 8-3
| Apeirogonale Wabe der Ordnung 8-3 | |
|---|---|
| Typ | Regelmäßige Wabenstruktur |
| Schläfli-Symbol | {∞,8,3} |
| Coxeter-Diagramm | |
| Zellen | {∞,8} |
| Gesichter | Apeirogon {∞} |
| Scheitelfigur | {8,3} |
| Dual | {3,8,∞} |
| Coxeter-Gruppe | [∞,8,3] |
| Eigenschaften | Regulär |
In der Geometrie des hyperbolischen dreidimensionalen Raums ist die apeirogonale Wabenstruktur der Ordnung 8-3 (oder ∞,8,3-Wabenstruktur ) eine reguläre raumfüllende Parkettierung . Jede unendliche Zelle besteht aus einer apeirogonalen Parkettierung der Ordnung 8, deren Eckpunkte auf einem 2-Hyperzyklus liegen , der jeweils einen Grenzkreis auf der idealen Sphäre besitzt.
Das Schläfli-Symbol der apeirogonalen Parkettierung in Wabenform ist {∞,8,3}, wobei sich an jeder Kante drei apeirogonale Parkettierungen der Ordnung 8 treffen. Die Eckfigur dieser Wabenform ist eine achteckige Parkettierung, {8,3}.
Die unten dargestellte „ideale Oberfläche“ ist eine Ebene im Unendlichen im Poincaré-Halbraummodell von H3. Sie zeigt ein apollinisches Dichtungsmuster aus Kreisen innerhalb eines größten Kreises.
 Poincaré-Scheibenmodell |
Order-8-4 quadratische Waben
| Order-8-4 quadratische Waben | |
|---|---|
| Typ | Regelmäßige Wabenstruktur |
| Schläfli-Symbol | {4,8,4} |
| Coxeter-Diagramme | = |
| Zellen | {4,8} |
| Gesichter | {4} |
| Kantenfigur | {4} |
| Scheitelfigur | {8,4} |
| Dual | Selbstdualismus |
| Coxeter-Gruppe | [4,8,4] |
| Eigenschaften | Regulär |
In der Geometrie des hyperbolischen 3-Raums ist die quadratische Wabenstruktur der Ordnung 8-4 (oder 4,8,4-Wabenstruktur ) eine reguläre raumfüllende Parkettierung (oder Wabenstruktur ) mit Schläfli-Symbol {4,8,4}.
Alle Eckpunkte sind ultra-ideal (existieren jenseits der idealen Grenze), wobei um jede Kante vier quadratische Parkettierungen der Ordnung 5 existieren und der Eckpunkt eine achteckige Parkettierungsfigur der Ordnung 4 aufweist .
 Poincaré-Scheibenmodell |
Fünfeckige Wabenstruktur der Ordnung 8-5
| Fünfeckige Wabenstruktur der Ordnung 8-5 | |
|---|---|
| Typ | Regelmäßige Wabenstruktur |
| Schläfli-Symbol | {5,8,5} |
| Coxeter-Diagramme | |
| Zellen | {5,8} |
| Gesichter | {5} |
| Kantenfigur | {5} |
| Scheitelfigur | {8,5} |
| Dual | Selbstdualismus |
| Coxeter-Gruppe | [5,8,5] |
| Eigenschaften | Regulär |
In der Geometrie des hyperbolischen dreidimensionalen Raums ist die pentagonale Wabenstruktur der Ordnung 8-5 (oder 5,8,5-Wabe ) eine regelmäßige raumfüllende Parkettierung (oder Wabenstruktur ) mit Schläfli-Symbol {5,8,5}.
Alle Eckpunkte sind ultra-ideal (existieren jenseits der idealen Grenze), wobei um jede Kante fünf pentagonale Parkettierungen der Ordnung 8 existieren und der Eckpunkt eine pentagonale Parkettierung der Ordnung 5 aufweist .
 Poincaré-Scheibenmodell |
Sechseckige Wabenstruktur der Ordnung 8-6
| Sechseckige Wabenstruktur der Ordnung 8-6 | |
|---|---|
| Typ | Regelmäßige Wabenstruktur |
| Schläfli-Symbole | {6,8,6} {6,(8,3,8)} |
| Coxeter-Diagramme | = |
| Zellen | {6,8} |
| Gesichter | {6} |
| Kantenfigur | {6} |
| Scheitelfigur | {8,6} {(5,3,5)}  |
| Dual | Selbstdualismus |
| Coxeter-Gruppe | [6,8,6] [6,((8,3,8))] |
| Eigenschaften | Regulär |
In der Geometrie des hyperbolischen dreidimensionalen Raums ist die hexagonale Wabenstruktur der Ordnung 8-6 (oder 6,8,6-Wabe ) eine reguläre raumfüllende Parkettierung (oder Wabenstruktur ) mit dem Schläfli-Symbol {6,8,6}. Sie besitzt sechs hexagonale Parkettierungen der Ordnung 8 , {6,8}, die sich um jede Kante erstrecken. Alle Eckpunkte sind ultra-ideal (existieren jenseits der idealen Grenze), und um jeden Eckpunkt existieren unendlich viele hexagonale Parkettierungen in einer achteckigen Anordnung der Eckpunkte der Ordnung 6 .
 Poincaré-Scheibenmodell |
Es besitzt eine zweite Konstruktion als gleichmäßige Wabenstruktur, Schläfli-Symbol {6,(8,3,8)}, Coxeter-Diagramm,, mit abwechselnden Zelltypen oder -farben. In Coxeter-Notation ist die Halbsymmetrie [6,8,6,1 + ] = [6,((8,3,8))].
Ordnung-8-unendliche apeirogonale Wabe
| Ordnung-8-unendliche apeirogonale Wabe | |
|---|---|
| Typ | Regelmäßige Wabenstruktur |
| Schläfli-Symbole | {∞,8,∞} {∞,(8,∞,8)} |
| Coxeter-Diagramme | ↔ |
| Zellen | {∞,8} |
| Gesichter | {∞} |
| Kantenfigur | {∞} |
| Scheitelfigur | {8,∞} {(8,∞,8)} |
| Dual | Selbstdualismus |
| Coxeter-Gruppe | [∞,8,∞] [∞,((8,∞,8))] |
| Eigenschaften | Regulär |
In der Geometrie des hyperbolischen dreidimensionalen Raums ist die unendliche apeirogonale Wabenstruktur achter Ordnung (oder ∞,8,∞-Wabenstruktur ) eine reguläre raumfüllende Parkettierung (oder Wabenstruktur ) mit dem Schläfli-Symbol {∞,8,∞}. Sie besitzt unendlich viele apeirogonale Parkettierungen achter Ordnung {∞,8} um jede Kante. Alle Eckpunkte sind ultra-ideal (existieren jenseits der Idealgrenze), und um jeden Eckpunkt existieren unendlich viele apeirogonale Parkettierungen achter Ordnung in einer achteckigen Parkettierungsfigur unendlicher Ordnung .
 Poincaré-Scheibenmodell |
Es besitzt eine zweite Konstruktion als gleichmäßige Wabenstruktur, Schläfli-Symbol {∞,(8,∞,8)}, Coxeter-Diagramm,, mit abwechselnden Zelltypen oder -farben.
Siehe auch
Referenzen
- Coxeter , Regular Polytopes , 3. Aufl., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8(Tabellen I und II: Reguläre Polytope und Waben, S. 294–296)
- Die Schönheit der Geometrie: Zwölf Essays (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8(Kapitel 10, Regelmäßige Wabenstrukturen im hyperbolischen Raum, archiviert am 10.06.2016 in der Wayback Machine ) Tabelle III
- Jeffrey R. Weeks The Shape of Space, 2. Auflage ISBN 0-8247-0709-5(Kapitel 16–17: Geometrien auf dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten I, II)
- George Maxwell, Kugelpackungen und hyperbolische Spiegelungsgruppen , JOURNAL OF ALGEBRA 79,78-97 (1982) [1]
- Hao Chen, Jean-Philippe Labbé, Lorentzian Coxeter groups and Boyd-Maxwell ball packings , (2013) [2]
- Visualisierung hyperbolischer Waben arXiv:1511.02851 Roice Nelson, Henry Segerman (2015)
Externe Links
- Hyperbolische Katakomben-Karussell: {3,7,3} Wabenmuster YouTube , Roice Nelson
- John Baez , Visuelle Einblicke : {7,3,3} Wabenmuster (01.08.2014) {7,3,3} Wabenmuster trifft Ebene im Unendlichen (14.08.2014)
- Danny Calegari , Kleinian, ein Werkzeug zur Visualisierung kleinianischer Gruppen, Geometrie und die Vorstellungskraft, 4. März 2014. [3]