Liste regulärer Polytope

Ausgewählte reguläre Polytope

Regelmäßige (2D) Polygone
Konvex	Stern
{5}	{5/2}
Regelmäßige (3D) Polyeder
Konvex	Stern
{5,3}	{5/2,5}
Regelmäßige 4D-Polytope
Konvex	Stern
{5,3,3}	{5/2,5,3}
Regelmäßige 2D-Tessellationen
Euklidisch	Hyperbolisch
{4,4}	{5,4}
Regelmäßige 3D-Tessellationen
Euklidisch	Hyperbolisch
{4,3,4}	{5,3,4}

Dieser Artikel listet die regulären Polytope im euklidischen , sphärischen und hyperbolischen Raum auf.

Diese Tabelle zeigt eine Zusammenfassung der Anzahl regulärer Polytope nach Rang.

Ein Coxeter-Diagramm stellt Spiegelebenen als Knoten dar und umkreist einen Knoten, wenn ein Punkt nicht auf der Ebene liegt. Ein Dion { },sei ein Punkt p und sein Spiegelbildpunkt p' , und sei die Strecke zwischen ihnen.

Es gibt nur ein Polytop vom Rang 1 (1-Polytop), die geschlossene Strecke, die von ihren beiden Endpunkten begrenzt wird. Jede Realisierung dieses 1-Polytops ist regulär. Es hat das Schläfli-Symbol { }, ^{[ 3 ] [ 4 ]} oder ein Coxeter-Diagramm mit einem einzigen Ringknoten.Norman Johnson nennt es ein Dion ^{[ 5 ]} und gibt ihm das Schläfli-Symbol { }.

Obwohl es als Polytop trivial ist, tritt es als Kanten von Polygonen und anderen höherdimensionalen Polytopen auf. ^{[ 6 ]} Es wird in der Definition von uniformen Prismen wie dem Schläfli-Symbol { }×{p} oder dem Coxeter-Diagramm verwendet.als kartesisches Produkt einer Strecke und eines regelmäßigen Polygons. ^{[ 7 ]}

Die Polytope vom Rang 2 (2-Polytope) werden Polygone genannt . Regelmäßige Polygone sind gleichseitig und zyklisch . Ein p -eckiges regelmäßiges Polygon wird durch das Schläfli-Symbol {p} dargestellt.

Viele Quellen betrachten nur konvexe Polygone , doch Sternpolygone , wie beispielsweise das Pentagramm , können, wenn man sie genauer betrachtet, ebenfalls regelmäßig sein. Sie verwenden dieselben Eckpunkte wie die konvexen Formen, sind aber alternierend miteinander verbunden, wobei die Polygone den Kreis mehrfach durchlaufen, um vollständig zu sein.

Das Schläfli-Symbol {p} repräsentiert ein reguläres p -Eck .

Name	Dreieck ( 2-Simplex )	Quadrat ( 2-Orthoplex )( 2-Würfel )	Pentagon ( 2-pentagonales Polytop )	Hexagon	Heptagon	Achteck
Schläfli	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{8}
Symmetrie	D 3 , [3]	D 4 , [4]	D 5 , [5]	D 6 , [6]	D 7 , [7]	D 8 , [8]
Coxeter
Bild
Name	Nonagon (Enneagon)	Zehneck	Hendecagon	Dodekagon	Dreizehneck	Tetradecagon
Schläfli	{9}	{10}	{11}	{12}	{13}	{14}
Symmetrie	D 9 , [9]	D 10 , [10]	D 11 , [11]	D 12 , [12]	D 13 , [13]	D 14 , [14]
Coxeter
Bild
Name	Pentadekagon	Hexadecagon	Heptadekagon	Oktadekagon	Enneadecagon	Icosagon	p-gon
Schläfli	{15}	{16}	{17}	{18}	{19}	{20}	{ P }
Symmetrie	D 15 , [15]	D 16 , [16]	D 17 , [17]	D 18 , [18]	D 19 , [19]	D 20 , [20]	D p , [p]
Coxeter
Bild

Das reguläre Digon {2} kann als entartetes reguläres Polygon betrachtet werden. Es lässt sich in einigen nichteuklidischen Räumen, wie beispielsweise auf der Oberfläche einer Kugel oder eines Torus , nicht-entartet realisieren . So kann ein Digon beispielsweise als sphärische Mondscheibe nicht-entartet realisiert werden . Ein Monogon {1} könnte ebenfalls auf der Kugel als ein einziger Punkt mit einem Großkreis durch ihn realisiert werden. ^{[ 8 ]} Ein Monogon ist jedoch kein gültiges abstraktes Polytop , da seine einzige Kante nur mit einem Eckpunkt anstatt mit zwei inzident ist.

Name	Monogon	Digon
Schläfli-Symbol	{1}	{2}
Symmetrie	D 1 , [ ]	D 2 , [2]
Coxeter-Diagramm	oder
Bild

Es existieren unendlich viele reguläre Sternpolytope in zwei Dimensionen, deren Schläfli-Symbole aus rationalen Zahlen { n / m } bestehen . Sie werden Sternpolygone genannt und weisen die gleiche Eckpunktanordnung wie die konvexen regulären Polygone auf.

Im Allgemeinen gibt es für jede natürliche Zahl n reguläre n -zackige Sterne mit Schläfli-Symbolen { n / m } für alle m mit m < n /2 (genauer gesagt: { n / m } = { n /( n − m )} ), wobei m und n teilerfremd sind (daher sind alle Sternanordnungen eines Polygons mit einer Primzahl an Seiten reguläre Sterne). Symbole, bei denen m und n nicht teilerfremd sind, können zur Darstellung zusammengesetzter Polygone verwendet werden .

Name	Pentagramm	Heptagramme		Oktagramm	Enneagramme		Dekagramm	... n-Gramme
Schläfli	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3}	{ p/q }
Symmetrie	D 5 , [5]	D 7 , [7]		D 8 , [8]	D 9 , [9],		D 10 , [10]	D p , [ p ]
Coxeter
Bild

Regelmäßige Sternpolygone mit bis zu 20 Seiten

{11/2}	{11/3}	{11/4}	{11/5}	{12/5}	{13/2}	{13/3}	{13/4}	{13/5}	{13/6}
{14/3}	{14/5}	{15/2}	{15/4}	{15/7}	{16/3}	{16/5}	{16/7}
{17/2}	{17/3}	{17/4}	{17/5}	{17/6}	{17/7}	{17/8}	{18/5}	{18/7}
{19/2}	{19/3}	{19/4}	{19/5}	{19/6}	{19/7}	{19/8}	{19/9}	{20/3}	{20.7.}	{20/9}

Es gibt möglicherweise Sternpolygone, die nur als sphärische Parkettierungen existieren können, ähnlich wie Monogone und Digone (zum Beispiel: {3/2}, {5/3}, {5/4}, {7/4}, {9/5}), diese wurden jedoch noch nicht im Detail untersucht.

Es gibt auch fehlgeschlagene Sternpolygone, wie zum Beispiel das Piangle , die die Oberfläche eines Kreises nicht endlich oft überdecken. ^{[ 9 ]}

Neben den planaren regelmäßigen Polygonen gibt es unendlich viele regelmäßige schiefe Polygone . Schiefe Polygone können durch die Überblendungsoperation erzeugt werden.

Die Mischung zweier Polygone P und Q , geschrieben P # Q , kann wie folgt konstruiert werden:

1. Man bildet das kartesische Produkt ihrer Eckpunkte V _P × V _Q .
2. add edges ( p ₀ × q ₀ , p ₁ × q ₁ ) where ( p ₀ , p ₁ ) is an edge of P and ( q ₀ , q ₁ ) is an edge of Q .
3. Wähle eine beliebige Zusammenhangskomponente des Ergebnisses aus.

Alternativ ist die Mischung das Polygon ⟨ ρ ₀ σ ₀ , ρ ₁ σ ₁ ⟩, wobei ρ und σ die erzeugenden Spiegelbilder von P und Q in orthogonalen Unterräumen sind. ^{[ 10 ]} Die Mischungsoperation ist kommutativ, assoziativ und idempotent.

Jedes regelmäßige schiefe Polygon lässt sich als Mischung einer eindeutigen Menge ^{[ i ]} ebener Polygone darstellen. ^{[ 10 ]} Wenn P und Q keine gemeinsamen Faktoren haben, dann gilt Dim( P # Q ) = Dim( P ) + Dim( Q ) .

Die regulären endlichen Polygone im dreidimensionalen Raum sind exakte Mischungen aus planaren Polygonen (Dimension 2) und dem Diagon (Dimension 1). Ihre Eckpunkte entsprechen einem Prisma ( { n / m }#{}, wobei n ungerade ist) oder einem Antiprisma ( { n / m }#{}, wobei n gerade ist). Alle Polygone im dreidimensionalen Raum haben eine gerade Anzahl von Eckpunkten und Kanten.

Einige davon erscheinen als Petrie-Polygone regulärer Polyeder.

Die regulären endlichen Polygone in vier Dimensionen sind genau die Polygone, die durch die Überlagerung zweier verschiedener ebener Polygone entstehen. Ihre Eckpunkte liegen auf einem Clifford-Torus und sind durch eine Clifford-Verschiebung miteinander verbunden . Im Gegensatz zu dreidimensionalen Polygonen können schiefe Polygone nach doppelter Rotation eine ungerade Anzahl von Seiten aufweisen.

Polytope der Dimension 3 werden Polyeder genannt :

Ein reguläres Polyeder mit Schläfli-Symbol { p , q } , Coxeter-Diagrammehat einen regulären Flächentyp { p } und eine reguläre Eckpunktfigur { q } .

Eine Eckfigur (eines Polyeders) ist ein Polygon, das entsteht, wenn man die Eckpunkte verbindet, die von einem gegebenen Eckpunkt durch eine Kante verbunden sind. Bei regelmäßigen Polyedern ist diese Eckfigur immer ein regelmäßiges (und planares) Polygon.

Die Existenz eines regulären Polyeders { p , q } wird durch eine Ungleichung eingeschränkt, die mit dem Winkeldefekt der Eckfigur zusammenhängt : $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}>{\frac {1}{2}}:{\text{Polyhedron (existing in Euclidean 3-space)}}\\[6pt]&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{2}}:{\text{Euclidean plane tiling}}\\[6pt]&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}<{\frac {1}{2}}:{\text{Hyperbolic plane tiling}}\end{aligned}}}$$

Durch Aufzählen der Permutationen finden wir fünf konvexe Formen, vier Sternformen und drei ebene Parkettierungen, alle mit Polygonen { p } und { q } , die auf {3}, {4}, {5}, {5/2} und {6} beschränkt sind.

Jenseits des euklidischen Raums existiert eine unendliche Menge regulärer hyperbolischer Parkettierungen.

Die fünf konvexen regulären Polyeder werden als platonische Körper bezeichnet . Die Eckpunktfigur wird mit der jeweiligen Eckpunktanzahl angegeben. Alle diese Polyeder haben eine Euler-Charakteristik ( ) von 2. ${\displaystyle \chi }$

Name	Schläfli { p , q }	Coxeter	Bild (durchgezogen)	Bild (Kugel)	Gesichter { p }	Kanten	Knoten { q }	Symmetrie	Dual
Tetraeder ( 3-Simplex )	{3,3}				4 {3}	6	4 {3}	T d [3,3] (*332)	(selbst)
Hexaederwürfel ( 3- Würfel )	{4,3}				6 {4}	12	8 {3}	O h [4,3] (*432)	Oktaeder
Oktaeder ( 3-Orthoplex )	{3,4}				8 {3}	12	6 {4}	O h [4,3] (*432)	Würfel
Dodekaeder	{5,3}				12 {5}	30	20 {3}	I h [5,3] (*532)	Ikosaeder
Ikosaeder	{3,5}				20 {3}	30	12 {5}	I h [5,3] (*532)	Dodekaeder

In der sphärischen Geometrie existieren reguläre sphärische Polyeder ( Parkettierungen der Sphäre ), die ansonsten als Polytope entartet wären. Dies sind die Hosoeder {2,n} und ihre dualen Dieder {n,2}. Coxeter nennt diese Fälle „uneigentliche“ Parkettierungen. ^{[ 11 ]}

Die ersten Fälle (n von 2 bis 6) sind unten aufgeführt.

Hosohedra

Name	Schläfli {2,p}	Coxeter- Diagramm	Bild (Kugel)	Flächen {2} π/p	Kanten	Eckpunkte {p}	Symmetrie	Dual
Digonales Hosoeder	{2,2}			2 {2} π/2	2	2 {2} π/2	D 2h [2,2] (*222)	Selbst
Trigonales Hosoeder	{2,3}			3 {2} π/3	3	2 {3}	D 3h [2,3] (*322)	Trigonales Dieder
Quadratisches Hosoeder	{2,4}			4 {2} π/4	4	2 {4}	D 4h [2,4] (*422)	Quadratischer Dieder
Pentagonales Hosoeder	{2,5}			5 {2} π/5	5	2 {5}	D 5h [2,5] (*522)	Pentagonales Dieder
Hexagonales Hosoeder	{2,6}			6 {2} π/6	6	2 {6}	D 6h [2,6] (*622)	Hexagonales Dieder

Dieder

Name	Schläfli {p,2}	Coxeter- Diagramm	Bild (Kugel)	Gesichter {p}	Kanten	Eckpunkte {2}	Symmetrie	Dual
Diagonaler Dieder	{2,2}			2 {2} π/2	2	2 {2} π/2	D 2h [2,2] (*222)	Selbst
Trigonales Dieder	{3,2}			2 {3}	3	3 {2} π/3	D 3h [3,2] (*322)	Trigonales Hosoeder
Quadratischer Dieder	{4,2}			2 {4}	4	4 {2} π/4	D 4h [4,2] (*422)	Quadratisches Hosoeder
Pentagonales Dieder	{5,2}			2 {5}	5	5 {2} π/5	D 5h [5,2] (*522)	Pentagonales Hosoeder
Hexagonales Dieder	{6,2}			2 {6}	6	6 {2} π/6	D 6h [6,2] (*622)	Hexagonales Hosoeder

Für jedes Sternpolygon { p / q } existieren auch Stern-Dieder und Hosoeder { p / q , 2} und {2, p / q } .

Die regulären Sternpolyeder werden Kepler-Poinsot-Polyeder genannt . Es gibt vier davon, basierend auf der Eckpunktanordnung des Dodekaeders {5,3} und des Ikosaeders {3,5}:

Als sphärische Parkettierungen überlappen diese Sternformen die Kugel mehrfach; diese Überlappung wird als Dichte bezeichnet und beträgt für diese Formen 3 oder 7. Die Abbildungen der Parkettierungen zeigen eine einzelne sphärische Polygonfläche in Gelb.

Name	Bild (skelettartig)	Bild (durchgezogen)	Bild (Kugel)	Sterndiagramm​	Schläfli { p , q } und Coxeter	Gesichter { p }	Kanten	Knoten { q } verf.	χ	Dichte	Symmetrie	Dual
Kleines Sterndodekaeder					{5/2,5}	12 {5/2}	30	12 {5}	-6	3	I h [5,3] (*532)	Großes Dodekaeder
Großes Dodekaeder					{5,5/2}	12 {5}	30	12 {5/2}	-6	3	I h [5,3] (*532)	Kleines Sterndodekaeder
Großes Sterndodekaeder					{5/2,3}	12 {5/2}	30	20 {3}	2	7	I h [5,3] (*532)	Großes Ikosaeder
Großes Ikosaeder					{3,5/2}	20 {3}	30	12 {5/2}	2	7	I h [5,3] (*532)	Großes Sterndodekaeder

Es gibt unendlich viele nicht existierende Sternpolyeder. Diese sind ebenfalls sphärische Parkettierungen mit Sternpolygonen in ihren Schläfli-Symbolen, bedecken die Kugel jedoch nicht endlich oft. Beispiele hierfür sind {5/2,4}, {5/2,9}, {7/2,3}, {5/2,5/2}, {7/2,7/3}, {4,5/2} und {3,7/3}.

Reguläre schiefe Polyeder sind Verallgemeinerungen der Menge der regulären Polyeder , die auch die Möglichkeit nichtplanarer Eckfiguren umfassen .

Für vierdimensionale schiefe Polyeder schlug Coxeter ein modifiziertes Schläfli-Symbol {l,m|n} vor, wobei {l,m} die Eckfigur , m l -Ecke um einen Eckpunkt und n -eckige Löcher bezeichnet. Ihre Eckfiguren sind schiefe Polygone , die zwischen zwei Ebenen zickzackförmig verlaufen.

Die regulären schiefen Polyeder, dargestellt durch {l,m|n}, gehorchen dieser Gleichung:

$${\displaystyle 2\sin \left({\frac {\pi }{l}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{m}}\right)=\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$$

Vier davon können in vier Dimensionen als Teilmenge von Flächen vier regulärer 4-Polytope betrachtet werden , die die gleiche Eckpunkt- und Kantenanordnung aufweisen :

{4, 6 | 3}	{6, 4 | 3}	{4, 8 | 3}	{8, 4 | 3}

Reguläre 4-Polytope mit Schläfli-Symbol haben Zellen vom Typ , Flächen vom Typ , Kantenfiguren und Eckfiguren . ${\displaystyle \{p,q,r\}}$${\displaystyle \{p,q\}}$${\displaystyle \{p\}}$${\displaystyle \{r\}}$${\displaystyle \{q,r\}}$

• Eine Eckfigur (eines 4-Polytops) ist ein Polyeder, das durch die Anordnung benachbarter Eckpunkte um einen gegebenen Eckpunkt herum definiert wird. Bei regulären 4-Polytopen ist diese Eckfigur ein reguläres Polyeder.
• Eine Kantenfigur ist ein Polygon, das durch die Anordnung der Flächen entlang einer Kante entsteht. Bei regelmäßigen 4-Polytopen ist diese Kantenfigur immer ein regelmäßiges Polygon.

Die Existenz eines regulären 4-Polytops ist durch die Existenz regulärer Polyeder eingeschränkt . Ein vorgeschlagener Name für 4-Polytope ist „Polychoron“. ^{[ 12 ]}${\displaystyle \{p,q,r\}}$${\displaystyle \{p,q\},\{q,r\}}$

Jedes dieser Elemente existiert in einem Raum, der von diesem Ausdruck abhängt:

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{r}}\right)-\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)}$

${\displaystyle >0}$ Hypersphärische 3-Raum-Wabenstruktur oder 4-Polytop

${\displaystyle =0}$ : Euklidischer dreidimensionaler Wabenkörper

${\displaystyle <0}$ Hyperbolische dreidimensionale Wabenstruktur

Diese Einschränkungen erlauben 21 Formen: 6 sind konvex, 10 sind nichtkonvex, eine ist eine euklidische dreidimensionale Wabenstruktur und 4 sind hyperbolische Wabenstrukturen.

Die sechs konvexen regulären 4-Polytope sind in der folgenden Tabelle dargestellt. Alle diese 4-Polytope haben eine Euler-Charakteristik ( ) von 0. ${\displaystyle \chi }$

Name	Schläfli {p,q,r}	Coxeter	Zellen {p,q}	Gesichter {p}	Kanten {r}	Knoten {q,r}	Dual {r,q,p}
5-Zelle ( 4-Simplex )	{3,3,3}		5 {3,3}	10 {3}	10 {3}	5 {3,3}	(selbst)
8-Zelle ( 4-Würfel ) (Tesserakt)	{4,3,3}		8 {4,3}	24 {4}	32 {3}	16 {3,3}	16-Zellen
16-Zellen ( 4-Orthoplex )	{3,3,4}		16 {3,3}	32 {3}	24 {4}	8 {3,4}	Tesserakt
24-Zellen	{3,4,3}		24 {3,4}	96 {3}	96 {3}	24 {4,3}	(selbst)
120-Zellen	{5,3,3}		120 {5,3}	720 {5}	1200 {3}	600 {3,3}	600-Zellen
600-Zellen	{3,3,5}		600 {3,3}	1200 {3}	720 {5}	120 {3,5}	120-Zellen

5-Zellen	8-Zellen	16-Zellen	24-Zellen	120-Zellen	600-Zellen
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
Drahtgittermodell ( Petrie-Polygon ) – schiefe orthografische Projektionen
Solide orthografische Projektionen
Tetraedrische Hülle (zell-/ eckenzentriert)	kubische Hülle (zellzentriert)	kubische Hülle (zellzentriert)	Kuboktaedrische Hülle (zellzentriert)	abgeschnittene rhombische Triakontaederhülle (zellzentriert )	Pentakis - Ikosidodekaederhülle (scheitelpunktzentriert)
Schlegel -Diagramme ( Perspektivische Projektion )
(zellzentriert)	(zellzentriert)	(zellzentriert)	(zellzentriert)	(zellzentriert)	(scheitelpunktzentriert)
Drahtgitter -Stereografieprojektionen ( Hypersphärisch )

Di-4-Tope und Hoso-4-Tope existieren als reguläre Parkettierungen der 3-Sphäre .

Reguläre Di-4-Tope (2 Facetten) umfassen: {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3,5,2}, {p,2,2} und ihre Hoso-4-Tope- Duale (2 Ecken): {2,3,3}, {2,4,3}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,5,3}, {2,2, p }. 4-Polytope der Form {2, p , 2} sind identisch mit {2,2, p }. Es gibt außerdem die Fälle { p , 2, q }, die Diederzellen und Hosoederfiguren an den Ecken aufweisen.

Regelmäßige Hoso-4-Tope als 3-Kugel -Waben

Schläfli {2, p , q }	Coxeter	Zellen {2, p } π/ q	Flächen {2} π/ p ,π/ q	Kanten	Eckpunkte	Eckpunktfigur { p , q }	Symmetrie	Dual
{2,3,3}		4 {2,3} π/3	6 {2} π/3,π/3	4	2	{3,3}	[2,3,3]	{3,3,2}
{2,4,3}		6 {2,4} π/3	12 {2} π/4,π/3	8	2	{4,3}	[2,4,3]	{3,4,2}
{2,3,4}		8 {2,3} π/4	12 {2} π/3,π/4	6	2	{3,4}	[2,4,3]	{4,3,2}
{2,5,3}		12 {2,5} π/3	30 {2} π/5,π/3	20	2	{5,3}	[2,5,3]	{3,5,2}
{2,3,5}		20 {2,3} π/5	30 {2} π/3,π/5	12	2	{3,5}	[2,5,3]	{5,3,2}

Es gibt zehn reguläre Stern-4-Polytope , die Schläfli-Hess-4-Polytope genannt werden . Ihre Eckpunkte basieren auf den konvexen 120-Zellen {5,3,3} und 600-Zellen {3,3,5} .

Ludwig Schläfli fand vier davon und übersprang die letzten sechs, weil er keine Formen zuließ, die die Euler-Charakteristik auf Zellen oder Scheitelpunktfiguren nicht erfüllten (für Tori mit Nulllöchern: F+V−E=2). Edmund Hess (1843–1903) vervollständigte die vollständige Zehnerliste in seinem deutschen Buch Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder (1883) [1] .

Aus diesen 10 regulären Stern-4-Polytopen ergeben sich 4 einzigartige Kantenanordnungen und 7 einzigartige Flächenanordnungen , dargestellt als orthogonale Projektionen :

Name	Drahtgittermodell	Solide	Schläfli {p, q, r} Coxeter	Zellen {p, q}	Gesichter {p}	Kanten {r}	Knoten {q, r}	Dichte	χ	Symmetriegruppe	Dual {r, q,p}
Ikosaedrisches 120-Zellen-System (facettiertes 600-Zellen-System)			{3,5,5/2}	120 {3,5}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	4	480	H 4 [5,3,3]	Kleine sternförmige 120-Zellen-Zelle
Kleine sternförmige 120-Zellen-Zelle			{5/2,5,3}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	1200 {3}	120 {5,3}	4	-480	H 4 [5,3,3]	Ikosaedrisches 120-Zellen-System
Großartige 120-Zellen-Batterie			{5,5/2,5}	120 {5,5/2}	720 {5}	720 {5}	120 {5/2,5}	6	0	H 4 [5,3,3]	Selbstdualismus
Grand 120-Zellen			{5,3,5/2}	120 {5,3}	720 {5}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	20	0	H 4 [5,3,3]	Großartige sternförmige 120-Zellen-Box
Großartige sternförmige 120-Zellen-Box			{5/2,3,5}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	720 {5}	120 {3,5}	20	0	H 4 [5,3,3]	Grand 120-Zellen
Grand sternförmiger 120-Zellen-			{5/2,5,5/2}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	66	0	H 4 [5,3,3]	Selbstdualismus
Großartiger 120-Zellen-Akku			{5,5/2,3}	120 {5,5/2}	720 {5}	1200 {3}	120 {5/2,3}	76	-480	H 4 [5,3,3]	Großes ikosaedrisches 120-Zellen-System
Großartiges ikosaedrisches 120-Zellen-Element (großartiges facettiertes 600-Zellen-Element)			{3,5/2,5}	120 {3,5/2}	1200 {3}	720 {5}	120 {5/2,5}	76	480	H 4 [5,3,3]	Großartiger 120-Zellen-Akku
Grand 600-Zellen			{3,3,5/2}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	191	0	H 4 [5,3,3]	Großartiges, sternförmiges 120-Zellen-System
Großartiges, sternförmiges 120-Zellen-System			{5/2,3,3}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	1200 {3}	600 {3,3}	191	0	H 4 [5,3,3]	Grand 600-Zellen

Es gibt vier nicht existierende mögliche reguläre Stern-4-Polytop-Permutationen: {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}. Ihre Zellen und Eckpunktfiguren existieren, aber sie überdecken keine Hypersphäre mit einer endlichen Anzahl von Wiederholungen.

Zusätzlich zu den oben genannten 16 planaren 4-Polytopen existieren 18 endliche schiefe Polytope. ^{[ 13 ]} Eines davon erhält man als Petrie-Dual des Tesserakts, die übrigen 17 lassen sich durch Anwendung der Kappa-Operation auf die planaren Polytope und das Petrie-Dual des Tesserakts bilden.

5-Polytope können mit dem Symbol bezeichnet werden, wobei der 4-Flächen-Typ, der Zelltyp, der Flächentyp, die Flächenfigur, die Kantenfigur und die Eckpunktfigur ist. ${\displaystyle \{p,q,r,s\}}$${\displaystyle \{p,q,r\}}$${\displaystyle \{p,q\}}$${\displaystyle \{p\}}$${\displaystyle \{s\}}$${\displaystyle \{r,s\}}$${\displaystyle \{q,r,s\}}$

Eine Eckpunktfigur (eines 5-Polytops) ist ein 4-Polytop, das durch die Anordnung der benachbarten Eckpunkte zu jedem Eckpunkt dargestellt wird.

Eine Kantenfigur (eines 5-Polytops) ist ein Polyeder, das durch die Anordnung der Flächen um jede Kante herum sichtbar wird.

Eine Flächenfigur (eines 5-Polytops) ist ein Polygon, das durch die Anordnung der Zellen um jede Fläche herum sichtbar wird.

Ein reguläres 5-Polytop existiert nur dann, wenn und reguläre 4-Polytope sind. ${\displaystyle \{p,q,r,s\}}$${\displaystyle \{p,q,r\}}$${\displaystyle \{q,r,s\}}$

Der Raum, in den es passt, basiert auf folgendem Ausdruck:

${\displaystyle {\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{q}}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{p}}\right)}}+{\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{r}}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{s}}\right)}}}$

${\displaystyle <1}$ Sphärische 4-Raum-Tessellation oder 5-Raum-Polytop

${\displaystyle =1}$ Euklidische 4-Raum-Tessellation

${\displaystyle >1}$ hyperbolische 4-Raum-Tessellation

Die Aufzählung dieser Bedingungen ergibt 3 konvexe Polytope, keine Sternpolytope, 3 Parkettierungen des euklidischen 4-Raums und 5 Parkettierungen des parakompakten hyperbolischen 4-Raums. Die einzigen nicht-konvexen regulären Polytope für Ränge ab 5 sind schiefe Polytope.

In Dimensionen 5 und höher gibt es nur drei Arten von konvexen regulären Polytopen. ^{[ 14 ]}

Name	Schläfli- Symbol {p 1 ,...,p n −1 }	Coxeter	k -Flächen	Facettentyp​	Scheitelfigur​	Dual
n -Simplex	{3 n −1 }	...	${\displaystyle {{n+1} \choose {k+1}}}$	{3 n −2 }	{3 n −2 }	Selbstdualismus
n -Würfel	{4,3 n −2 }	...	${\displaystyle 2^{n-k}{n \choose k}}$	{4,3 n −3 }	{3 n −2 }	n -Orthoplex
n -Orthoplex	{3 n −2 ,4}	...	${\displaystyle 2^{k+1}{n \choose {k+1}}}$	{3 n −2 }	{3 n −3 ,4}	n -Würfel

Es gibt auch Fälle, in denen einige Zahlen im Schläfli-Symbol 2 sind. Beispielsweise ist {p,q,r,...2} ein uneigentliches reguläres sphärisches Polytop, wenn {p,q,r...} ein reguläres sphärisches Polytop ist, und {2,...p,q,r} ist ein uneigentliches reguläres sphärisches Polytop, wenn {...p,q,r} ein reguläres sphärisches Polytop ist. Solche Polytope können auch als Facetten verwendet werden, wodurch Formen wie {p,q,...2...y,z} entstehen.

Name	Schläfli- Symbol {p,q,r,s} Coxeter	Facetten {p,q,r}	Zellen {p,q}	Gesichter {p}	Kanten	Eckpunkte	Gesichtsfigur ( en)	Kantenfigur { r,s}	Eckpunktfigur { q,r,s}
5-Simplex	{3,3,3,3}	6 {3,3,3}	15 {3,3}	20 {3}	15	6	{3}	{3,3}	{3,3,3}
5-Würfel	{4,3,3,3}	10 {4,3,3}	40 {4,3}	80 {4}	80	32	{3}	{3,3}	{3,3,3}
5-Orthoplex	{3,3,3,4}	32 {3,3,3}	80 {3,3}	80 {3}	40	10	{4}	{3,4}	{3,3,4}

5-Simplex

5-Würfel

5-Orthoplex

6-Simplex

6-Würfel

6-Orthoplex

7-Simplex

7-Würfel

7-Orthoplex

8-Simplex

8-Würfel

8-Orthoplex

9-Simplex

9-Würfel

9-Orthoplex

10-Simplex

10-Würfel

10-Orthoplex

Es gibt keine regulären Sternpolytope vom Rang 5 oder höher, mit Ausnahme von entarteten Polytopen, die durch das Sternprodukt von Sternpolytopen niedrigeren Ranges entstehen, z. B. Hosotope und Ditope.

Ein projektives reguläres ( n +1) -Polytop existiert, wenn eine ursprüngliche reguläre n- sphärische Parkettierung {p,q,...} zentralsymmetrisch ist . Ein solches Polytop wird als Hemi-{p,q,...} bezeichnet und enthält halb so viele Elemente. Coxeter gibt das Symbol {p,q,...}/2 an, während McMullen {p,q,...} _h/2 schreibt, wobei h die Coxeter-Zahl ist . ^{[ 15 ]}

Regelmäßige Polygone mit geraden Seiten haben Halb- 2n -Eck-Projektive Polygone, {2p}/2.

Es gibt 4 reguläre projektive Polyeder, die mit 4 von 5 platonischen Körpern in Verbindung stehen .

Der Halbwürfel und das Halboktaeder lassen sich zu Halb -n- Würfeln bzw. Halb -n - Orthoplexen auf beliebige Ränge verallgemeinern.

reguläre Halbpolytope vom Rang 3

Name	Coxeter McMullen	Bild	Gesichter	Kanten	Eckpunkte	χ	Skelettdiagramm
Halbwürfel	{4,3}/2 {4,3} 3		3	6	4	1	K 4
Halboktaeder	{3,4}/2 {3,4} 3		4	6	3	1	Doppelseitiger K 3
Halb-Dodekaeder	{5,3}/2 {5,3} 5		6	15	10	1	G(5,2)
Halbikosaeder	{3,5}/2 {3,5} 5		10	15	6	1	K 6

Fünf von sechs konvexen regulären 4-Polytopen sind zentralsymmetrisch und erzeugen projektive 4-Polytope. Die drei Spezialfälle sind die Hemi-24-Zelle, die Hemi-600-Zelle und die Hemi-120-Zelle.

Nur zwei von drei regulären sphärischen Polytopen sind für Ränge ab 5 zentralsymmetrisch. Die entsprechenden regulären projektiven Polytope sind die Halbversionen des regulären Hyperwürfels und Orthoplexes. Sie sind beispielsweise für Rang 5 unten tabellarisch aufgeführt:

Ein Apeirotop oder unendliches Polytop ist ein Polytop mit unendlich vielen Facetten . Ein n -Apeirotop ist ein unendliches n- Polytop: Ein 2-Apeirotop oder Apeirogon ist ein unendliches Polygon, ein 3-Apeirotop oder Apeirohedron ist ein unendliches Polyeder usw.

Es gibt zwei Hauptklassen geometrischer Apeirotope: ^{[ 16 ]}

• Regelmäßige Wabenstrukturen in n Dimensionen, die einen n- dimensionalen Raum vollständig ausfüllen .
• Reguläre schiefe Apeirotope , die eine n- dimensionale Mannigfaltigkeit in einem höheren Raum umfassen.

Das gerade Apeirogon ist eine regelmäßige Parkettierung der Geraden, die diese in unendlich viele gleich große Segmente unterteilt. Es besitzt unendlich viele Ecken und Kanten. Sein Schläfli-Symbol ist {∞}, und sein Coxeter-DiagrammDie

... ...

Es existiert als Grenzwert des p -Ecks für p gegen unendlich, und zwar wie folgt:

Name	Monogon	Digon	Dreieck	Quadrat	Pentagon	Hexagon	Heptagon	p-gon	Apeirogon
Schläfli	{1}	{2}	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{ P }	{∞}
Symmetrie	D 1 , [ ]	D 2 , [2]	D 3 , [3]	D 4 , [4]	D 5 , [5]	D 6 , [6]	D 7 , [7]	[P]
Coxeter	oder
Bild

Apeirogone in der hyperbolischen Ebene , insbesondere das reguläre Apeirogon , {∞}, können eine Krümmung haben, genau wie endliche Polygone der euklidischen Ebene, wobei die Eckpunkte von Horozyklen oder Hyperzyklen anstatt von Kreisen umschrieben werden .

Reguläre Apeirogone, die so skaliert sind, dass sie im Unendlichen konvergieren, haben das Symbol {∞} und existieren auf Horozyklen, während sie allgemeiner auf Hyperzyklen existieren können.

{∞}	{iπ/λ}
Apeirogon auf dem Horocycle	Apeirogon auf Hypercycle

Oben sind zwei reguläre hyperbolische Apeirogone im Poincaré-Scheibenmodell dargestellt ; das rechte zeigt senkrechte Spiegelungslinien divergenter Fundamentaldomänen , die durch die Länge λ voneinander getrennt sind.

Ein schiefes Apeirogon in zwei Dimensionen bildet eine Zickzacklinie in der Ebene. Ist der Zickzack gerade und symmetrisch, so ist das Apeirogon regulär.

Schiefe Apeirogone lassen sich in beliebig vielen Dimensionen konstruieren. In drei Dimensionen beschreibt ein reguläres schiefes Apeirogon eine spiralförmige Struktur und kann entweder links- oder rechtsdrehend sein.

2 Dimensionen	3 Dimensionen
Zickzack-Apeirogon	Helix apeirogon

Es gibt sechs regelmäßige Parkettierungen der Ebene: die drei unten aufgeführten und ihre entsprechenden Petriale.

Name	Quadratische Fliesen (Quadrille)	Dreiecksparkettierung (Deltille)	Hexagonale Parkettierung (Hextille)
Symmetrie	p4m, [4,4], (*442)	p6m, [6,3], (*632)
Schläfli {p,q}	{4,4}	{3,6}	{6,3}
Coxeter-Diagramm
Bild

Es gibt zwei uneigentliche reguläre Parkettierungen: {∞,2}, ein apeirogonales Dieder , das aus zwei Apeirogonen besteht , von denen jedes die Hälfte der Ebene ausfüllt; und zweitens sein Dual, {2,∞}, ein apeirogonales Hosoeder , das als unendliche Menge paralleler Geraden betrachtet wird.

{∞,2} ,

{2,∞} ,

Es gibt keine regelmäßigen ebenen Parkettierungen von Sternpolygonen . Es gibt viele Aufzählungen, die in die Ebene passen (1/ p + 1/ q = 1/2), wie z. B. {8/3,8}, {10/3,5}, {5/2,10}, {12/5,12} usw., aber keine wiederholt sich periodisch.

Parkettierungen des hyperbolischen 2-Raums sind hyperbolische Parkettierungen . Es gibt unendlich viele reguläre Parkettierungen in H² ^. Wie bereits erwähnt, ergibt jedes Paar positiver ganzer Zahlen { p , q } mit 1/ p  + 1/ q < 1/2 eine hyperbolische Parkettierung. Tatsächlich gilt dies auch für das allgemeine Schwarzsche Dreieck ( p ,  q ,  r ) für 1/ p  + 1/ q  + 1/ r < 1.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die hyperbolische Ebene darzustellen, darunter das Poincaré-Scheibenmodell , das die Ebene auf einen Kreis abbildet, wie unten gezeigt. Man sollte beachten, dass alle Polygonflächen in den untenstehenden Parkettierungen gleich groß sind und nur aufgrund der angewandten Projektion zu den Rändern hin kleiner erscheinen, ähnlich dem Effekt eines Fischaugenobjektivs .

Es gibt unendlich viele flache reguläre 3-Apeirotope (Apeirohedra) als reguläre Parkettierungen der hyperbolischen Ebene der Form {p,q}, wobei p+q<pq/2.

• {3,7}, {3,8}, {3,9} ... {3,∞}
• {4,5}, {4,6}, {4,7} ... {4,∞}
• {5,4}, {5,5}, {5,6} ... {5,∞}
• {6,4}, {6,5}, {6,6} ... {6,∞}
• {7,3}, {7,4}, {7,5} ... {7,∞}
• {8,3}, {8,4}, {8,5} ... {8,∞}
• {9,3}, {9,4}, {9,5} ... {9,∞}
• ...
• {∞,3}, {∞,4}, {∞,5} ... {∞,∞}

Eine Auswahl:

Regelmäßige hyperbolische Parkettierungstabelle v T e
Sphärische (uneigentliche / platonische) / euklidische /hyperbolische (Poincaré-Scheibe: kompakte / parakompakte / nichtkompakte ) Parkettierungen mit ihrem Schläfli-Symbol
p \ q	2	3	4	5	6	7	8	...	∞	...	iπ/λ
2	{2 , 2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	{2,6}	{2,7}	{2,8}		{2,∞}		{2,iπ/λ}
3	{3,2}	( Tetraeder ) {3,3}	( Oktaeder ) {3,4}	( Ikosaeder ) {3,5}	( deltille ) {3,6}	{3,7}	{3,8}		{3,∞}		{3,iπ/λ}
4	{4,2}	( Würfel ) {4,3}	( Quadrille ) {4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}		{4,∞}		{4,iπ/λ}
5	{5,2}	( Dodekaeder ) {5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}		{5,∞}		{5,iπ/λ}
6	{6,2}	( hextille ) {6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}		{6,∞}		{6,iπ/λ}
7	{7,2}	{7,3}	{7,4}	{7,5}	{7,6}	{7,7}	{7,8}		{7,∞}		{7,iπ/λ}
8	{8,2}	{8,3}	{8,4}	{8,5}	{8,6}	{8,7}	{8,8}		{8,∞}		{8,iπ/λ}
...
∞	{∞,2}	{∞,3}	{∞,4}	{∞,5}	{∞,6}	{∞,7}	{∞,8}	{∞,∞}	{∞,iπ/λ}
...
iπ/λ	{iπ/λ,2}	{iπ/λ,3}	{iπ/λ,4}	{iπ/λ,5}	{iπ/λ,6}	{iπ/λ,7}	{iπ/λ,8}	{iπ/λ,∞}	{iπ/λ, iπ/λ}

Die Parkettierungen {p, ∞} besitzen ideale Eckpunkte auf dem Rand des Poincaré-Scheibenmodells. Ihre Duale {∞, p} haben ideale apeirogonale Flächen, d. h. sie sind in Horozyklen einbeschrieben . Man könnte noch einen Schritt weitergehen (wie in der obigen Tabelle dargestellt) und Parkettierungen mit ultra-idealen Eckpunkten außerhalb der Poincaré-Scheibe finden, die dual zu in Hyperzyklen einbeschriebenen Parkettierungen sind ; in der oben symbolisierten Menge {p, iπ/λ} passen immer noch unendlich viele Parkettierungen um jeden ultra-idealen Eckpunkt. ^{[ 17 ]} (Parallele Geraden im erweiterten hyperbolischen Raum schneiden sich in einem idealen Punkt; ultraparallele Geraden schneiden sich in einem ultra-idealen Punkt.) ^{[ 18 ]}

Es gibt zwei unendliche Formen hyperbolischer Parkettierungen, deren Flächen oder Eckfiguren Sternpolygone sind: { m /2, m } und ihre Duale { m , m /2} mit m = 7, 9, 11, .... ^{[ 19 ]} Die { m /2, m } Parkettierungen sind Sternbildungen der { m , 3} Parkettierungen, während die dualen { m , m /2} Parkettierungen Facettierungen der {3, m } Parkettierungen und Vergrößerungen ^{[ ii ]} der { m , 3} Parkettierungen sind.

Die Muster { m /2, m } und { m , m /2} setzen sich für ungerades m < 7 als Polyeder fort : Für m = 5 erhält man das kleine Sterndodekaeder und das große Dodekaeder ^{[ 19 ]} , und für m = 3 degeneriert der Fall zu einem Tetraeder . Die beiden anderen Kepler-Poinsot-Polyeder (das große Sterndodekaeder und das große Ikosaeder ) besitzen keine regulären hyperbolischen Parkettierungsanaloga. Ist m gerade, erhält man, je nach Definition von { m /2}, entweder degenerierte Doppelüberdeckungen anderer Parkettierungen oder zusammengesetzte Parkettierungen.

Name	Schläfli	Coxeter-Diagramm	Bild	Gesichtstyp {p}	Scheitelpunktfigur {q}	Dichte	Symmetrie	Dual
Heptagrammische Parkettierung der Ordnung 7	{7/2,7}			{7/2}	{7}	3	*732 [7,3]	Heptagrammische heptagonale Parkettierung
Heptagrammische heptagonale Parkettierung	{7,7/2}			{7}	{7/2}	3	*732 [7,3]	Heptagrammische Parkettierung der Ordnung 7
Enneagrammische Kachelung der Ordnung 9	{9/2,9}			{9/2}	{9}	3	*932 [9,3]	Enneagrammische Ordnung, enneagonale Parkettierung
Enneagrammische Ordnung, enneagonale Parkettierung	{9,9/2}			{9}	{9/2}	3	*932 [9,3]	Enneagrammische Kachelung der Ordnung 9
Hendekagrammische Parkettierung der Ordnung 11	{11/2,11}			{11/2}	{11}	3	*11.3.2 [11,3]	hendekagrammische hendekagonale Parkettierung
hendekagrammische hendekagonale Parkettierung	{11,11/2}			{11}	{11/2}	3	*11.3.2 [11,3]	Hendekagrammische Parkettierung der Ordnung 11
Ordnungs- p -p -grammatische Kachelung	{ p /2, p }			{ p /2}	{ P }	3	* S. 32 [S. 3]	p -grammatische Ordnung p -gonale Parkettierung
p -grammatische Ordnung p -gonale Parkettierung	{ p , p /2}			{ P }	{ p /2}	3	* S. 32 [S. 3]	Ordnungs- p -p -grammatische Kachelung

Es gibt drei reguläre schiefe Apeiroheder im dreidimensionalen euklidischen Raum mit planaren Flächen. ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]} Sie haben die gleiche Eckpunkt- und Kantenanordnung wie drei konvexe, uniforme Wabenstrukturen .

• 6 Quadrate um jeden Eckpunkt: {4,6|4}
• 4 Sechsecke um jeden Eckpunkt: {6,4|4}
• 6 Sechsecke um jeden Eckpunkt: {6,6|3}

• Regelmäßige schiefe Polyeder mit planaren Flächen
• 
  Der Mucube
• 
  Das Muoktaeder
• 
  Das Mutetraeder

Unter Berücksichtigung schiefer Flächen existieren 30 reguläre Apeiroheder im dreidimensionalen euklidischen Raum. ^{[ 23 ]} Dazu gehören die 12 gemischten Apeiroheder, die durch Mischungen mit den planaren euklidischen Apeirohedern entstehen, sowie 18 reine Apeiroheder, die sich nicht als nicht-triviale Mischung aus den planaren Apeirohedern und den drei oben genannten dreidimensionalen Apeirohedern darstellen lassen.

Die dreidimensionalen reinen Apeiroheder sind:

• {4,6|4} , der Mukubus
• {∞,6} _4,4 , das Petrial des Mukubus
• {6,6|3} , das Mutetraeder
• {∞,6} _6,3 , das Petrial des Mutetraeders
• {6,4|4} , das Mu-Oktaeder
• {∞,4} _6,4 , das Petrial des Muoktaeders
• {6,6} ₄ , die Halbierung des Mukubus
• {4,6} ₆ , das Petrial von {6,6} ₄
• {∞,4} _·,*3 , die Verzerrung des Mu-Oktaeders
• {6,4} ₆ , die Schiefe von {∞,4} _6,4
• {∞,3} ^{( a )}
• {∞,3} ^{( b )}

Es gibt 31 reguläre schiefe Apeiroheder mit konvexen Flächen im hyperbolischen dreidimensionalen Raum mit kompakter oder parakompakter Symmetrie: ^{[ 24 ]}

• 14 sind kompakt: {8,10|3}, {10,8|3}, {10,4|3}, {4,10|3}, {6,4|5}, {4,6|5}, {10,6|3}, {6,10|3}, {8,8|3}, {6,6|4}, {10,10|3},{6,6|5}, {8,6|3} und {6,8|3}.
• 17 sind parakompakt: {12,10|3}, {10,12|3}, {12,4|3}, {4,12|3}, {6,4|6}, {4,6|6}, {8,4|4}, {4,8|4}, {12,6|3}, {6,12|3}, {12,12|3}, {6,6|6}, {8,6|4}, {6,8|4}, {12,8|3}, {8,12|3} und {8,8|4}.

Es gibt nur eine nicht-ausgeartete reguläre Parkettierung des dreidimensionalen Raums ( Wabenmuster ), {4, 3, 4}: ^{[ 25 ]}

Name	Schläfli {p,q,r}	Coxeter	Zelltyp { p,q}	Gesichtstyp { p}	Kantenfigur { r}	Eckpunktfigur { q,r}	χ	Dual
Kubische Wabenstruktur	{4,3,4}		{4,3}	{4}	{4}	{3,4}	0	Selbstdualismus

Es gibt sechs uneigentliche reguläre Parkettierungen, die jeweils auf den drei regulären euklidischen Parkettierungen basieren. Ihre Zellen und Eckfiguren sind allesamt reguläre Hosoeder {2,n}, Dieder {n,2} und euklidische Parkettierungen. Diese uneigentlichen regulären Parkettierungen sind durch Abschneideoperationen konstruktiv mit prismatischen gleichmäßigen Waben verwandt. Sie sind höherdimensionale Analoga der apeirogonalen Parkettierung zweiter Ordnung und des apeirogonalen Hosoeders .

Schläfli {p,q,r}	Coxeter- Diagramm	Zelltyp { p,q}	Gesichtstyp { p}	Kantenfigur { r}	Eckpunktfigur { q,r}
{2,4,4}		{2,4}	{2}	{4}	{4,4}
{2,3,6}		{2,3}	{2}	{6}	{3,6}
{2,6,3}		{2,6}	{2}	{3}	{6,3}
{4,4,2}		{4,4}	{4}	{2}	{4,2}
{3,6,2}		{3,6}	{3}	{2}	{6,2}
{6,3,2}		{6,3}	{6}	{2}	{3,2}