Polynommatrix

In der Mathematik ist eine Polynommatrix eine Matrix , deren Elemente univariate oder multivariate Polynome sind . Äquivalent dazu ist eine Polynommatrix ein Polynom, dessen Koeffizienten Matrizen sind .

Eine univariate Polynommatrix vom Grad n ist definiert als: ^{[ 1 ]} wobei A eine Matrix mit konstanten Koeffizienten bezeichnet und λ ungleich null ist. Beispiel einer 3×3-Polynommatrix vom Grad 2: Dies lässt sich ausdrücken, indem man sagt, dass für einen Ring R die Ringe R und R isomorph sind . ${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle A(x)=\sum _{i=0}^{n}A_{i}x^{i}=A_{0}+A_{1}x+A_{2}x^{2}+\cdots +A_{n}x^{n},}$$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle A_{n}}$$${\displaystyle A(x)={\begin{pmatrix}1&x^{2}&x\\0&2x&2\\3x+2&x^{2}-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&2\\2&-1&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&2&0\\3&0&0\end{pmatrix}}x+{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}x^{2}.}$$${\displaystyle M_{n}(R[X])}$${\displaystyle (M_{n}(R))[X]}$

• Eine Polynommatrix über einem Körper , deren Determinante gleich einem von Null verschiedenen Element dieses Körpers ist, heißt unimodular und besitzt eine Inverse , die ebenfalls eine Polynommatrix ist. Beachten Sie, dass die einzigen skalaren unimodularen Polynome Polynome vom Grad 0 (mit von Null verschiedenen Konstanten) sind, da die Inverse eines beliebigen Polynoms höheren Grades eine rationale Funktion ist.
• Die Nullstellen einer Polynommatrix über den komplexen Zahlen sind die Punkte in der komplexen Ebene , an denen die Matrix ihren Rang verliert .

Beachten Sie, dass Polynommatrizen nicht mit Monommatrizen verwechselt werden dürfen . Monommatrizen sind einfach Matrizen, die in jeder Zeile und Spalte genau einen von Null verschiedenen Eintrag haben.

Bezeichnet man mit λ ein beliebiges Element des Körpers , über dem die Matrix konstruiert wurde, mit I die Einheitsmatrix und sei A eine Polynommatrix, so ist die Matrix λ I  −  A die charakteristische Matrix der Matrix A. Ihre Determinante, |λ I  −  A | , ist das charakteristische Polynom der Matrix  A.