Pulskompression

Die Pulskompression ist eine Signalverarbeitungstechnik , die häufig in Radar- , Sonar- und Echografieverfahren eingesetzt wird , um entweder die Entfernungsauflösung bei begrenzter Pulslänge oder das Signal-Rausch- Verhältnis bei begrenzter Spitzenleistung und Bandbreite (bzw. Entfernungsauflösung) des Sendesignals zu erhöhen. Dies wird durch Modulation des Sendepulses und anschließende Korrelation des Empfangssignals mit dem Sendepuls erreicht. ^{[ 1 ]}

Das ideale Modell für die einfachsten und historisch ersten Signale, die ein Impulsradar oder Sonar aussenden kann, ist ein abgeschnittener Sinusimpuls (auch CW-Impuls genannt) mit Amplitude und Trägerfrequenz , der durch eine Rechteckfunktion mit Breite abgeschnitten wird . Der Impuls wird periodisch ausgesendet, aber das ist nicht das Hauptthema dieses Artikels; wir betrachten nur einen einzelnen Impuls . Wenn wir annehmen, dass der Impuls zum Zeitpunkt beginnt , kann das Signal in komplexer Notation wie folgt geschrieben werden : ${\displaystyle A}$${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle s(t)={\begin{cases}e^{2i\pi f_{0}t}&{\text{falls}}\;0\leq t<T\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}}$

Wir bestimmen die mit einem solchen Signal erreichbare Entfernungsauflösung. Das Rücksignal, geschrieben , ist eine abgeschwächte und zeitlich verschobene Kopie des ursprünglich gesendeten Signals (in der Realität kann auch der Doppler-Effekt eine Rolle spielen, ist hier aber nicht relevant). Das Eingangssignal enthält Rauschen sowohl im imaginären als auch im realen Kanal. Wir nehmen an, dass das Rauschen bandbegrenzt ist, d. h. nur Frequenzen im Frequenzbereich enthält (dies trifft in der Praxis im Allgemeinen zu, da üblicherweise ein Bandpassfilter als eine der ersten Stufen in der Empfangskette eingesetzt wird); wir bezeichnen dieses Rauschen mit . Zur Detektion des Eingangssignals wird üblicherweise ein angepasster Filter verwendet. Dieses Verfahren ist optimal, wenn ein bekanntes Signal inmitten von additivem Rauschen mit Normalverteilung detektiert werden soll . ${\displaystyle r(t)}$${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$${\displaystyle N(t)}$

Anders ausgedrückt: Die Kreuzkorrelation des empfangenen Signals mit dem gesendeten Signal wird berechnet. Dies geschieht durch Faltung des Eingangssignals mit einer konjugierten und zeitlich umgekehrten Version des gesendeten Signals. Diese Operation kann entweder in Software oder in Hardware durchgeführt werden. Wir schreiben für diese Kreuzkorrelation: ${\displaystyle \langle s,r\rangle (t)}$

${\displaystyle \langle s,r\rangle (t)=\int _{t'\,=\,0}^{+\infty }s^{\star }(t')r(t+t')dt'}$

Wenn das reflektierte Signal zum Zeitpunkt t zum Empfänger zurückkehrt und um den Faktor abgeschwächt ist , ergibt sich Folgendes: ${\displaystyle t_{r}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle r(t)=\left\{{\begin{array}{ll}Ae^{2i\pi f_{0}(t\,-\,t_{r})}+N(t)&{\mbox{if}}\;t_{r}\leq t<t_{r}+T\\N(t)&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.}$

Da wir das gesendete Signal kennen, erhalten wir:

${\displaystyle \langle s,r\rangle (t)=A\Lambda \left({\frac {t-t_{r}}{T}}\right)e^{2i\pi f_{0}(t\,-\,t_{r})}+N'(t)}$

Dabei ist das Ergebnis der Interkorrelation zwischen dem Rauschen und dem gesendeten Signal. Die Funktion ist eine Dreiecksfunktion, deren Wert auf 0 ist , die linear auf ansteigt, ihr Maximum von 1 erreicht und linear auf wieder auf 0 abfällt. Die Abbildungen am Ende dieses Absatzes zeigen den Verlauf der Interkorrelation für ein Beispielsignal (rot), in diesem Fall eine reelle, abgeschnittene Sinusfunktion mit einer Dauer von Sekunden, einer Amplitude von 1 und einer Frequenz von Hertz. Zwei Echos (blau) kehren mit Verzögerungen von 3 und 5 Sekunden und Amplituden zurück, die dem 0,5- bzw. 0,3-Fachen der Amplitude des gesendeten Impulses entsprechen; dies sind lediglich beispielhafte Werte. Da das Signal reell ist, wird die Interkorrelation mit einem zusätzlichen Faktor von 0,5 gewichtet . ${\displaystyle N'(t)}$${\displaystyle \Lambda }$${\textstyle [-\infty ,-{\frac {1}{2}}]\cup [{\frac {1}{2}},+\infty ]}$${\textstyle [-{\frac {1}{2}},0]}$${\textstyle [0,{\frac {1}{2}}]}$${\displaystyle T=1}$${\textstyle f_{0}=10}$

Wenn zwei Impulse (nahezu) gleichzeitig zurückkehren, entspricht die Interkorrelation der Summe der Interkorrelationen der beiden Teilsignale. Um die Hüllkurven der beiden Impulse voneinander zu unterscheiden, müssen die Ankunftszeiten der beiden Impulse mindestens so weit auseinanderliegen, dass sich ihre Maxima trennen lassen. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, verschmelzen die beiden Dreiecke und sind nicht mehr zu trennen. ${\displaystyle T}$

Da die von einer Welle während einer Laufzeit zurückgelegte Strecke (wobei c die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle im Medium ist) beträgt und diese Strecke einer Umlaufzeit entspricht, erhalten wir: ${\displaystyle T}$${\displaystyle cT}$

Ergebnis 1
Die Entfernungsauflösung bei einem sinusförmigen Impuls beträgt , wobei die Impulsdauer und die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle ist. ${\textstyle {\frac {1}{2}}cT}$${\displaystyle T}$${\displaystyle c}$ Schlussfolgerung: Um die Auflösung zu erhöhen, muss die Pulslänge verkürzt werden.

Beispiel (einfacher Impuls): Gesendetes Signal in Rot (Trägerfrequenz 10 Hertz, Amplitude 1, Dauer 1 Sekunde) und zwei Echos (in Blau).

Vor der Filterung mit Übereinstimmungen	Nach der Filterung mit Übereinstimmung

Die momentane Leistung des empfangenen Impulses beträgt . Die in dieses Signal eingebrachte Energie beträgt: ${\displaystyle P(t)=|r|^{2}(t)}$

${\displaystyle E=\int _{0}^{T}P(t)dt=A^{2}T}$

Ist die Standardabweichung des Rauschens, das die gleiche Bandbreite wie das Signal aufweist, so ergibt sich das Signal-Rausch-Verhältnis (SNR) am Empfänger wie folgt: ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle SNR={\frac {E_{r}}{\sigma ^{2}}}={\frac {A^{2}T}{\sigma ^{2}}}}$

Das Signal-Rausch-Verhältnis (SNR) ist proportional zur Pulsdauer , sofern alle anderen Parameter konstant bleiben. Dies führt zu einem Zielkonflikt: Eine Erhöhung der Pulsdauer verbessert zwar das SNR, verringert aber die Auflösung, und umgekehrt. ${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

Um einen ausreichend großen Impuls zu erzeugen und gleichzeitig ein gutes Signal-Rausch-Verhältnis (SNR) am Empfänger ohne Auflösungseinbußen zu erzielen, kann eine Impulskompression eingesetzt werden. Das Grundprinzip ist folgendes:

• Es wird ein Signal übertragen, dessen Länge ausreichend ist, damit die Energiebilanz korrekt ist.
• Dieses Signal ist so ausgelegt, dass nach der Filterung die Breite der interkorrelierten Signale kleiner ist als die Breite, die durch den standardmäßigen Sinusimpuls erzielt wird, wie oben erläutert (daher der Name der Technik: Impulskompression).

In Radar- oder Sonaranwendungen werden typischerweise lineare Chirps zur Pulskompression verwendet. Da der Puls eine endliche Länge hat, ist seine Amplitude eine Rechteckfunktion . Hat das gesendete Signal die Dauer , beginnt es bei und durchläuft das Frequenzband linear um den Träger , so lässt es sich wie folgt darstellen: ${\displaystyle T}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \Delta f}$${\displaystyle f_{0}}$

${\displaystyle s_{c}(t)=\left\{{\begin{array}{ll}e^{i2\pi \left(\left(f_{0}\,-\,{\frac {\Delta f}{2}}\right)t\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t^{2}\,\right)}&{\mbox{if}}\;0\leq t<T\\0&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.}$

Die obige Chirp-Definition bedeutet, dass die Phase des gechirpten Signals (d. h. das Argument der komplexen Exponentialfunktion) quadratisch ist:

${\displaystyle \phi (t)=2\pi \left(\left(f_{0}\,-\,{\frac {\Delta f}{2}}\right)t\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t^{2}\,\right)}$

Die Momentanfrequenz ist somit (definitionsgemäß):

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\left[{\frac {d\phi }{dt}}\right]_{t}=f_{0}-{\frac {\Delta f}{2}}+{\frac {\Delta f}{T}}t}$

Dies ist die beabsichtigte lineare Rampe, die von Punkt (a ) zu Punkt (a) verläuft . ${\displaystyle f_{0}-{\frac {\Delta f}{2}}}$${\displaystyle t=0}$${\textstyle f_{0}+{\frac {\Delta f}{2}}}$${\displaystyle t=T}$

Die Beziehung zwischen Phase und Frequenz wird oft in umgekehrter Richtung genutzt, indem man von der gewünschten Frequenz ausgeht und die Chirp-Phase durch Integration der Frequenz ermittelt: ${\displaystyle f(t)}$

${\displaystyle \phi (t)=2\pi \int _{0}^{t}f(u)\,du}$

Das gesendete Signal wird typischerweise vom Ziel reflektiert und erfährt aufgrund verschiedener Ursachen eine Dämpfung, sodass das empfangene Signal eine zeitverzögerte, gedämpfte Version des gesendeten Signals plus ein additives Rauschen mit konstanter spektraler Leistungsdichte auf und Null überall sonst ist: ${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$

${\displaystyle r(t)=\left\{{\begin{array}{ll}Ae^{i2\pi \left(\left(f_{0}\,-\,{\frac {\Delta f}{2}}\right)(t-t_{r})\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}(t-t_{r})^{2}\,\right)}+N(t)&{\mbox{if}}\;t_{r}\leq t<t_{r}+T\\N(t)&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.}$

Zur Berechnung der Korrelation des empfangenen Signals mit den gesendeten Signalen müssen zwei Maßnahmen ergriffen werden:

Die erste Maßnahme ist eine Vereinfachung. Anstatt die Kreuzkorrelation zu berechnen, kann eine Autokorrelation berechnet werden, die davon ausgeht, dass der Autokorrelationspeak bei Null zentriert ist. Dies ändert weder die Auflösung noch die Amplituden.

${\displaystyle r'(t)={\begin{cases}Ae^{2i\pi \left(f_{0}\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t\right)t}+N(t)&{\mbox{if}}\;-{\frac {T}{2}}\leq t<{\frac {T}{2}}\\N(t)&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

Der zweite Schritt besteht, wie unten dargestellt, darin, eine Amplitude für das Referenzsignal festzulegen, die nicht eins, sondern ist . Die Konstante ist so zu bestimmen, dass die Energie durch Korrelation erhalten bleibt. ${\displaystyle \rho \neq 1}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle s_{c}'(t)={\begin{cases}\rho e^{2i\pi \left(f_{0}\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t\right)t}&{\mbox{if}}\;-{\frac {T}{2}}\leq t<{\frac {T}{2}}\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

Nun kann gezeigt werden ^{[ 2 ]} , dass die Korrelationsfunktion von mit lautet: ${\displaystyle s_{c}'}$${\displaystyle r'}$

${\displaystyle \langle s_{c}',r'\rangle (t)=\rho A{\sqrt {T}}\Lambda \left({\frac {t}{T}}\right)\mathrm {sinc} \left[\Delta ft\Lambda \left({\frac {t}{T}}\right)\right]e^{2i\pi f_{0}t}+N'(t)}$

Wo liegt die Korrelation des Referenzsignals mit dem empfangenen Rauschen? ${\displaystyle N'(t)}$

Unter der Annahme, dass das Rauschen null ist, erreicht die Autokorrelationsfunktion ihr Maximum bei 0. Um 0 herum verhält sich diese Funktion wie der Sinus- Term (oder Kardinalsinus-Term), der hier als definiert ist . Die −3-dB-Zeitbreite dieses Kardinalsinus entspricht annähernd . Alles verhält sich so, als ob wir nach der Filterung die Auflösung hätten, die mit einem einfachen Impuls der Dauer erreicht worden wäre . Für die üblichen Werte von ist kleiner als , daher der Name Impulskompression . ${\displaystyle s_{c'}}$${\displaystyle sinc(x)=sin(\pi x)/(\pi x)}$${\textstyle T'={\frac {1}{\Delta f}}}$${\displaystyle T'}$${\displaystyle \Delta f}$${\displaystyle T'}$${\displaystyle T}$

Da die Kardinalsinusfunktion Nebenkeulen aufweisen kann , die Probleme verursachen, ist es üblich, das Ergebnis mit einem Fenster ( Hamming , Hann usw.) zu filtern. In der Praxis kann dies gleichzeitig mit der angepassten Filterung erfolgen, indem der Referenz-Chirp mit dem Filter multipliziert wird. Das Ergebnis ist ein Signal mit etwas geringerer maximaler Amplitude, wobei die Nebenkeulen herausgefiltert werden.

Ergebnis 2
Die mit einer linearen Frequenzmodulation eines Impulses auf einer Bandbreite erreichbare Entfernungsauflösung beträgt : wobei die Geschwindigkeit der Welle ist. ${\displaystyle \Delta f}$${\textstyle {\frac {c}{2\Delta f}}}$${\displaystyle c}$

Definition
Das Verhältnis ist das Pulskompressionsverhältnis. Es ist im Allgemeinen größer als 1 (üblicherweise liegt sein Wert zwischen 20 und 30). ${\textstyle {\frac {T}{T'}}=T\Delta f}$

Beispiel (gechirpter Impuls): Gesendetes Signal in Rot (Trägerfrequenz 10 Hertz, Modulation bei 16 Hertz, Amplitude 1, Dauer 1 Sekunde) und zwei Echos (in Blau).

Wenn das Referenzsignal mithilfe des Terms korrekt skaliert wird , ist es möglich, die Energie vor und nach der Korrelation zu erhalten. Die Spitzenleistung (und die mittlere Leistung) vor der Korrelation beträgt: ${\displaystyle s_{c}'}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle P_{r'}=|r'(t)|^{2}=P_{r'}^{peak}=A^{2}}$

Da der Impuls vor der Kompression eine kastenförmige Gestalt hat, beträgt die Energie vor der Korrelation:

${\displaystyle E_{r'}=\int _{-T/2}^{T/2}|r'(t)|^{2}dt=A^{2}T}$

Die maximale Leistung nach der Korrelation wird erreicht bei : ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle P_{<s_{c}',r'>}^{peak}=|<s_{c}',r'>(0)|^{2}=\rho ^{2}A^{2}T}$

Beachten Sie, dass diese Spitzenleistung der Energie des empfangenen Signals vor der Korrelation entspricht, was zu erwarten ist. Nach der Kompression wird der Impuls näherungsweise durch einen Kasten mit einer Breite beschrieben, die der typischen Breite der Funktion entspricht, also einer Breite von , sodass die Energie nach der Korrelation beträgt: ${\displaystyle \rho =1}$${\displaystyle sinc}$${\displaystyle T'=1/\Delta f}$

${\displaystyle E_{<s_{c}',r'>}=\int _{-\infty }^{+\infty }|<s_{c}',r'>(t)|^{2}dt\approx P_{<s_{c}',r'>}^{peak}\times T'=\rho ^{2}{\frac {A^{2}T}{\Delta f}}}$

Wenn Energie erhalten bleibt:

${\displaystyle E_{r'}=E_{<s_{c}',r'>}}$

... daraus ergibt sich: sodass die Spitzenleistung nach der Korrelation beträgt: ${\displaystyle \rho ={\sqrt {\Delta f}}}$

${\displaystyle P_{<s_{c}',r'>}^{peak}=\rho ^{2}A^{2}T=P_{r'}\times \Delta f\times T}$

Die Spitzenleistung des pulskomprimierten Signals entspricht der des empfangenen Rohsignals (vorausgesetzt, die Vorlage ist korrekt skaliert, um die Energie durch Korrelation zu erhalten). ${\displaystyle \Delta f\times T}$${\displaystyle s_{c}'}$

Die Energie des Signals ändert sich während der Pulskompression nicht. Sie befindet sich nun jedoch im Hauptlappen der Kardinalsinusfunktion, deren Breite ungefähr beträgt . Wenn die Leistung des Signals vor der Kompression und die Leistung des Signals nach der Kompression ist, bleibt die Energie erhalten. ${\textstyle T'\approx {\frac {1}{\Delta f}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P'}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle E=P\times T=P'\times T'}$

was nach der Pulskompression zu einer Leistungssteigerung führt:

${\displaystyle P'=P\times {\frac {T}{T'}}}$

Im Spektralbereich weist das Leistungsspektrum des Chirps im Intervall eine nahezu konstante spektrale Leistungsdichte auf und ist außerhalb dieses Intervalls null, sodass die Energie äquivalent als ausgedrückt werden kann . Diese spektrale Leistungsdichte bleibt nach der Filterung unverändert. ${\displaystyle D=P/\Delta f}$${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$${\displaystyle E=P\times T=D.\Delta f.T}$

Stellt man sich nun einen äquivalenten sinusförmigen (CW-)Impuls gleicher Dauer und identischer Eingangsleistung vor, so hat dieser äquivalente sinusförmige Impuls folgende Energie: ${\displaystyle T'=1/\Delta f}$

${\displaystyle E'=P\times T'=E{\frac {T'}{T}}}$

Nach der Filterung wird der äquivalente Sinusimpuls in ein dreieckförmiges Signal mit doppelter ursprünglicher Breite, aber gleicher Spitzenleistung umgewandelt. Die Energie bleibt erhalten. Der Spektralbereich wird durch eine nahezu konstante spektrale Leistungsdichte im Intervall approximiert, wobei . Aufgrund der Energieerhaltung gilt: ${\displaystyle D'}$${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$${\displaystyle \Delta f\approx 1/T'}$

${\displaystyle E'=E{\frac {T'}{T}}=D\Delta fT{\frac {T'}{T}}=D\Delta fT'}$

Da per Definition gilt : Die spektralen Dichten des gechirpten Pulses und des äquivalenten CW-Pulses sind nahezu identisch und entsprechen denen eines Bandpassfilters . Der Filtereffekt der Korrelation wirkt auch auf das Rauschen, d. h. das Referenzband für das Rauschen ist . Da , wird nach der Korrelation in beiden Fällen der gleiche Filtereffekt auf das Rauschen erzielt. Dies bedeutet, dass die Pulskompression im Vergleich zum äquivalenten CW-Puls das Signal-Rausch-Verhältnis (SNR) um einen Faktor verbessert, da das Signal verstärkt, das Rauschen jedoch nicht verstärkt wird. ${\displaystyle E'=D'\Delta fT'}$${\displaystyle D'=D}$${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$${\displaystyle \Delta f}$${\displaystyle D=D'}$${\displaystyle T/T'}$

Als Folge davon:  

Ergebnis 3

Nach der Pulskompression kann das Signal-Rausch-Verhältnis im Vergleich zum Ausgangszustand mit einem Dauerstrichpuls gleicher Dauer und Amplitude wie das chirpmodulierte Signal vor der Kompression als verstärkt betrachtet werden, wobei das empfangene Signal und das Rauschen (implizit) einer Bandpassfilterung unterzogen wurden . Diese zusätzliche Verstärkung kann in die Radargleichung einbezogen werden . ${\displaystyle T\Delta f}$${\displaystyle T'=1/\Delta f}$${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$

Beispiel: Dieselben Signale wie oben, ergänzt durch ein additives weißes Gaußsches Rauschen nach Bandpassfilterung (Standardabweichung des Realteils: 0,125 nach der Filterung). Nach der Korrelation bleibt die Rauschleistung unverändert. Das Signal selbst wird um den Faktor vier verstärkt (bzw. um den Faktor 16, wie theoretisch vorhergesagt).

Aus technischen Gründen wird die Korrelation nicht unbedingt für tatsächlich empfangene CW-Impulse durchgeführt, wie es bei gechirpten Impulsen der Fall ist. Während der Basisbandverschiebung erfährt das Signal jedoch eine Bandpassfilterung , die denselben Nettoeffekt auf das Rauschen hat wie die Korrelation, sodass die grundlegende Argumentation dieselbe bleibt (d. h. das SNR ist nur für Rauschen sinnvoll, das auf einer bestimmten Bandbreite definiert ist, hier der Bandbreite des Signals). ${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$

Dieser Gewinn im Signal-Rausch-Verhältnis (SNR) erscheint erstaunlich, doch man sollte bedenken, dass die spektrale Leistungsdichte nicht die Phase des Signals widerspiegelt. Tatsächlich unterscheiden sich die Phasen des äquivalenten CW-Impulses, des korrelierten CW-Impulses, des ursprünglichen gechirpten Impulses und des korrelierten gechirpten Impulses. Dies erklärt die unterschiedlichen Signalformen (insbesondere die variierenden Längen), obwohl das Leistungsspektrum in allen Fällen (nahezu) identisch ist. Sind die maximale Sendeleistung und die Bandbreite begrenzt, erzielt die Impulskompression somit eine höhere maximale Leistung (bei gleicher Auflösung), indem ein längerer Impuls (d. h. mit mehr Energie) im Vergleich zu einem äquivalenten CW-Impuls mit gleicher maximaler Leistung und Bandbreite übertragen und anschließend durch Korrelation komprimiert wird. Dieses Verfahren eignet sich optimal nur für eine begrenzte Anzahl von Signalarten, die nach der Korrelation eine schmalere maximale Leistung als das ursprüngliche Signal und geringe Nebenkeulen aufweisen. ${\displaystyle P}$${\displaystyle \Delta f}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \Delta f}$

Während die Pulskompression gleichzeitig ein gutes Signal-Rausch-Verhältnis und eine hohe Entfernungsauflösung gewährleisten kann, gestaltet sich die digitale Signalverarbeitung in einem solchen System aufgrund der hohen momentanen Bandbreite des Signals ( die Hunderte von Megahertz betragen oder sogar 1 GHz überschreiten kann) schwierig. Stretch Processing ist eine Technik zur angepassten Filterung von breitbandigen Chirp-Signalen und eignet sich für Anwendungen, die eine sehr hohe Entfernungsauflösung über relativ kurze Entfernungsintervalle erfordern. ^{[ 3 ]}${\displaystyle \Delta f}$

Die obige Abbildung zeigt das Szenario zur Analyse der Dehnungsverarbeitung. Der zentrale Referenzpunkt (CRP) befindet sich in der Mitte des relevanten Bereichsfensters bei einem Bereich von , was einer Zeitverzögerung von entspricht . ${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle t_{0}}$

Wenn es sich bei der übertragenen Wellenform um die Chirp-Wellenform handelt:

${\displaystyle x(t)=\exp \left(j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(t)^{2}\right)\exp(j2\pi f_{0}(t)),0\leq t\leq T}$

Das Echo vom Ziel in der Entfernung lässt sich dann wie folgt ausdrücken: ${\displaystyle R_{b}}$

${\displaystyle {\bar {x}}(t)=\rho \exp \left(j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(t-t_{b})^{2}\right)\exp(j2\pi f_{0}(t-t_{b})),0\leq t-t_{b}\leq T}$

wobei proportional zur Reflektivität des Streukörpers ist. Wir multiplizieren dann das Echo mit und das Echo lautet dann: ${\displaystyle \rho }$${\textstyle \exp(-j2\pi f_{0}t)\exp \left(-j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(t-t_{0})^{2}\right)}$

${\displaystyle y(t)=\rho \exp \left(-j{\frac {4\pi R_{b}}{\lambda }}\right)\exp \left(-j2\pi {\frac {\Delta f}{T}}\delta t_{b}(t-t_{0})\right)\exp \left(j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(\delta t_{b})^{2}\right),t_{0}\leq t-\delta t_{b}\leq t_{0}+T}$

Wo liegt die Wellenlänge einer elektromagnetischen Welle in Luft? ${\displaystyle \lambda }$

Nach der Abtastung und der diskreten Fourier-Transformation von y(t) kann die Sinusfrequenz berechnet werden:${\displaystyle F_{b}}$

${\displaystyle F_{b}=-\delta t_{b}{\frac {\Delta f}{T}}(Hz)}$

und der Differenzbereich kann ermittelt werden: ${\displaystyle \delta R_{b}}$

${\displaystyle \delta R_{b}=-{\frac {cTF_{b}}{2\Delta f}}}$

Um zu zeigen, dass die Bandbreite von y(t) kleiner ist als die Bandbreite des ursprünglichen Signals , nehmen wir an, dass das Entfernungsfenster groß ist. Befindet sich das Ziel an der unteren Grenze des Entfernungsfensters, trifft das Echo Sekunden nach der Aussendung ein; befindet es sich hingegen an der oberen Grenze, trifft das Echo Sekunden nach der Aussendung ein. Die Differenz der Ankunftszeiten beträgt in beiden Fällen bzw. . ${\displaystyle \Delta f}$${\displaystyle R_{w}={\frac {cT_{w}}{2}}}$${\displaystyle t_{0}-T_{w}/2}$${\displaystyle t_{0}+T_{w}/2}$${\displaystyle \delta t_{b}}$${\displaystyle -T_{w}/2}$${\displaystyle T_{w}/2}$

Die Bandbreite lässt sich dann ermitteln, indem man die Differenz der Sinusfrequenz für Ziele an der unteren und oberen Grenze des Entfernungsfensters betrachtet: Daraus folgt:   $${\displaystyle \Delta f_{s}=F_{b,{\text{near}}}-F_{b,{\text{far}}}=-{\frac {\Delta f}{T}}(-T_{w}/2-T_{w}/2)={\frac {T_{w}}{T}}\Delta f}$$

Ergebnis 4
Durch Stretch-Processing ist die Bandbreite am Empfängerausgang kleiner als die ursprüngliche Signalbandbreite , wodurch die Implementierung eines DSP-Systems in einem linearen Frequenzmodulationsradarsystem erleichtert wird. ${\displaystyle T_{w}<T}$

  Um zu zeigen, dass die Entfernungsauflösung durch Stretch-Processing erhalten bleibt, muss man verstehen, dass y(t) eine Impulsfolge mit Impulsdauer T und Periode π ist , die der Periode der gesendeten Impulsfolge entspricht. Folglich ist die Fouriertransformierte von y(t) eine Sinc-Funktion mit Rayleigh-Auflösung π . Das heißt, der Prozessor kann Streuer auflösen, deren Abstand mindestens π beträgt. ${\displaystyle T_{trans}}$${\textstyle {\frac {1}{T}}}$${\displaystyle F_{b}}$${\displaystyle \Delta F_{b}=1/T}$

Folglich,

${\displaystyle {\frac {1}{T}}=\left\vert {\frac {\Delta f}{T}}\Delta (\delta t_{b})\right\vert \Rightarrow \left\vert \Delta (\delta t_{b})\right\vert ={\frac {1}{\Delta f}}}$

Und,

${\displaystyle \Delta (\delta R_{b})={\frac {c\Delta (\delta t_{b})}{2}}={\frac {c}{2\Delta f}}}$

was der Auflösung der ursprünglichen linearen Frequenzmodulationswellenform entspricht.

Obwohl die Bandbreite des empfangenen Basisbandsignals durch Stretch-Processing reduziert werden kann, müssen alle analogen Komponenten der HF-Frontend-Schaltung dennoch eine momentane Bandbreite von … unterstützen . Darüber hinaus ändert sich die effektive Wellenlänge der elektromagnetischen Welle während des Frequenzdurchlaufs eines Chirp-Signals, wodurch sich die Antennenausrichtung in einem Phased-Array- System zwangsläufig ändert. ${\displaystyle \Delta f}$

Frequenzgestufte Wellenformen sind eine alternative Technik, die eine hohe Entfernungsauflösung und ein gutes Signal-Rausch-Verhältnis (SNR) des empfangenen Signals auch ohne große momentane Bandbreite ermöglicht. Im Gegensatz zur Chirping-Wellenform, die in einem einzelnen Impuls linear über die gesamte Bandbreite läuft, verwendet die Frequenzgestufte Wellenform eine Impulsfolge, bei der die Frequenz jedes Impulses gegenüber dem vorhergehenden Impuls um einen bestimmten Wert erhöht wird. Das Basisbandsignal lässt sich wie folgt ausdrücken: ${\displaystyle \Delta f}$${\displaystyle \Delta F}$

${\displaystyle x(t)=\sum _{m=0}^{M-1}x_{p}(t-mT)e^{j2\pi m\Delta F(t-mT)}}$

Dabei handelt es sich um einen Rechteckimpuls der Länge und M um die Anzahl der Impulse in einer einzelnen Impulsfolge. Die Gesamtbandbreite des Signals beträgt weiterhin , jedoch können die analogen Komponenten während der Zeit zwischen den Impulsen so zurückgesetzt werden, dass sie die Frequenz des folgenden Impulses unterstützen. Dadurch lässt sich das oben genannte Problem vermeiden. ${\displaystyle x_{p}(t)}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \Delta f=M\Delta F}$

Um die Entfernung des Ziels entsprechend einer Verzögerung zu berechnen , werden einzelne Impulse durch den einfachen impulsangepassten Filter verarbeitet: ${\displaystyle t_{l}+\delta t}$

${\displaystyle h_{p}(t)=x_{p}^{*}(-t)}$

und die Ausgabe des angepassten Filters lautet:

${\displaystyle y_{m}(t)=s_{p}^{*}(t-(t_{l}+\delta t)-mT)e^{j2\pi m\Delta F(t-(t_{l}+\delta t)-mT)}}$

Wo

${\displaystyle s_{p}^{*}(t-(t_{l}+\delta t)-mT)=x_{p}(t-(t_{l}+\delta t)-mT)*h_{p}(t)}$

Wenn wir bei eine Probe nehmen , erhalten wir: ${\displaystyle y_{m}(t)}$${\displaystyle t=t_{l}+mT}$

${\displaystyle y[l,m]=s_{p}^{*}(\delta t)e^{j2\pi m\Delta F\delta t}}$

wobei l das Bereichsintervall l bezeichnet. Führe eine DTFT durch (m dient hier als Zeit) und du erhältst:

${\displaystyle Y[l,\omega ]=\sum _{m=0}^{M-1}y[l,m]e^{-j\omega m}=s_{p}^{*}(\delta t)\sum _{m=0}^{M-1}e^{j(\omega -2\pi \Delta F\delta t)m}}$

Der Höhepunkt der Summation tritt auf, wenn . ${\displaystyle \omega =2\pi \Delta F\delta t}$

Folglich liefert die DTFT ein Maß für die Verzögerung des Ziels relativ zur Verzögerung des Entfernungsintervalls ; und die differentielle Entfernung kann ermittelt werden: ${\displaystyle y[l,m]}$${\displaystyle t_{l}}$$${\displaystyle \delta t={\frac {\omega _{p}}{2\pi \Delta F}}={\frac {f_{p}}{\Delta F}}}$$

${\displaystyle \delta R={\frac {cf_{p}}{2\Delta F}}}$

wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist .

Um zu zeigen, dass die Stufenfrequenzwellenform die Entfernungsauflösung beibehält, ist zu beachten, dass es sich um eine sinc-ähnliche Funktion handelt und daher eine Rayleigh-Auflösung von besitzt . Daraus folgt: ${\displaystyle Y[l,\omega ]}$${\displaystyle \Delta f_{p}=1/M}$

${\displaystyle \Delta (\delta t)={\frac {1}{M\Delta F}}={\frac {1}{\Delta f}}}$

und daher beträgt die differentielle Entfernungsauflösung:

${\displaystyle \Delta (\delta R)={\frac {c}{2\Delta f}}}$

was der Auflösung der ursprünglichen linearen Frequenzmodulationswellenform entspricht.

Es gibt weitere Möglichkeiten zur Signalmodulation. Phasenmodulation ist eine gängige Technik; dabei wird der Impuls in Zeitschlitze unterteilt , deren Phasenlage am Ursprung gemäß einer festgelegten Konvention gewählt wird. Beispielsweise kann die Phase in einigen Zeitschlitzen beibehalten werden (das Signal bleibt in diesen Zeitschlitzen unverändert), während sie in anderen Zeitschlitzen dephasiert wird (was einer Vorzeichenumkehr entspricht). Dies wird als binäre Phasenumtastung (BPSK ) bezeichnet . Die genaue Wahl der Phasenfolge kann mithilfe von Barker-Codes erfolgen . ${\displaystyle N}$${\textstyle {\frac {T}{N}}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \{0,\pi \}}$

Die Vorteile ^{[ 4 ]} der Barker-Codes liegen in ihrer Einfachheit (wie oben erwähnt, ist eine Dephasierung eine einfache Vorzeichenänderung), aber das Pulskompressionsverhältnis ist niedriger als im Chirp-Fall und die Kompression reagiert sehr empfindlich auf Frequenzänderungen aufgrund des Doppler-Effekts , wenn diese Änderung größer als ist . ${\displaystyle \pi }$${\textstyle {\frac {1}{T}}}$

Andere pseudozufällige Binärsequenzen , wie beispielsweise Gold- , JPL- oder Kasami-Codes , weisen nahezu optimale Pulskompressionseigenschaften auf, da ihr Autokorrelationspeak sehr schmal ist. Diese Sequenzen besitzen weitere interessante Eigenschaften, die sie beispielsweise für die GNSS- Positionierung geeignet machen.

Die Sequenz kann auf mehr als zwei Phasen codiert werden (Polyphasencodierung). Wie bei einem linearen Chirp wird die Pulskompression durch Interkorrelation erreicht.

• Dauerstrichradar
• Spreizspektrum
• Chirp-Kompression

• Nadav Levanon und Eli Mozeson. Radarsignale. Wiley.com, 2004.
• Hao He, Jian Li und Petre Stoica . Wellenformdesign für aktive Sensorsysteme: ein rechnergestützter Ansatz . Cambridge University Press, 2012.
• M. Soltanalian. Signal Design for Active Sensing and Communications . Uppsala Dissertations from the Faculty of Science and Technology (printed by Elanders Sverige AB), 2014.
• Solomon W. Golomb und Guang Gong . Signaldesign für gute Korrelation: für drahtlose Kommunikation, Kryptographie und Radar . Cambridge University Press, 2005.
• Fulvio Gini, Antonio De Maio und Lee Patton (Hrsg.). Wellenformdesign und Diversität für fortschrittliche Radarsysteme. Institution of Engineering and Technology, 2012.
• John J. Benedetto, Ioannis Konstantinidis und Muralidhar Rangaswamy. „ Phasencodierte Wellenformen und deren Entwurf .“ IEEE Signal Processing Magazine, 26.1 (2009): 22-31.
• Ducoff, Michael R., und Byron W. Tietjen. „Pulskompressionsradar.“ Radar Handbook (2008): 8-3.