Racks und Quandles

In der Mathematik sind Racks und Quandles Mengen mit binären Operationen, die Axiome erfüllen, die den Reidemeister-Zügen zur Manipulation von Knotendiagrammen analog sind .

Obwohl sie hauptsächlich zur Gewinnung von Invarianten von Knoten verwendet werden, können sie auch als eigenständige algebraische Konstruktionen betrachtet werden. Insbesondere axiomatisiert die Definition eines Quandels die Eigenschaften der Konjugation in einer Gruppe .

1942 führte Mituhisa Takasaki eine algebraische Struktur ein, die er Kei (圭) nannte ^{[1, 2} ] und die später ^{als involutives Quandle bekannt werden} sollte ^{[ 3 ]} . Seine Motivation war es, eine nichtassoziative algebraische Struktur zu finden, um den Begriff der Spiegelung im Kontext der endlichen Geometrie zu erfassen ^{[2, 3} ] . Die ^{Idee wurde in einem unveröffentlichten} Briefwechsel von 1959 zwischen John Conway und Gavin Wraith , damals Studenten an der Universität Cambridge , wiederentdeckt und verallgemeinert. Hier tauchen erstmals die modernen Definitionen von Quandles und Racks auf. Wraith hatte sich während seines Studiums für diese Strukturen (die er anfänglich als Sequentials bezeichnete ) interessiert . ^{[ 4 ]} Conway benannte sie in „wracks“ um , teils als Wortspiel mit dem Namen seines Kollegen, teils weil sie als Überreste (oder „Zerstörungsreste“) einer Gruppe entstehen , wenn man die multiplikative Struktur außer Acht lässt und nur die Konjugationsstruktur betrachtet . Die Schreibweise „rack“ hat sich mittlerweile durchgesetzt.

Diese Konstrukte tauchten in den 1980er Jahren erneut auf: in einer Arbeit von David Joyce aus dem Jahr 1982 ^{[ 5 ]} (in der der Begriff „Quandle“ , ein willkürliches Fantasiewort, geprägt wurde) ^{[ 6 ]} , in einer Arbeit von Sergei Matveev aus dem Jahr 1982 (unter der Bezeichnung „distributive Gruppoide “) ^{[ 7 ]} und in einem Konferenzbeitrag von Egbert Brieskorn aus dem Jahr 1986 (in dem sie als „automorphe Mengen “ bezeichnet wurden ) ^{[ 8 ]} . Eine detaillierte Übersicht über Racks und ihre Anwendungen in der Knotentheorie findet sich in der Arbeit von Colin Rourke und Roger Fenn ^{[ 9 ]} .

Ein Rack kann als eine Menge mit einer binären Operation definiert werden , sodass für jedes das Selbstdistributivgesetz gilt: ${\displaystyle \mathrm {R} }$${\displaystyle \triangleleft }$${\displaystyle a,b,c\in \mathrm {R} }$$${\displaystyle a\triangleleft (b\triangleleft c)=(a\triangleleft b)\triangleleft (a\triangleleft c)}$$

und für jedes gibt es ein eindeutiges solches ${\displaystyle a,b\in \mathrm {R} }$${\displaystyle c\in \mathrm {R} }$$${\displaystyle a\triangleleft c=b.}$$

Diese Definition ist zwar kurz und gebräuchlich, aber für bestimmte Zwecke suboptimal, da sie einen Existenzquantor enthält, der nicht unbedingt notwendig ist. Um dies zu vermeiden, können wir schreiben: das eindeutige , sodass für . Dann haben wir ${\displaystyle c\in \mathrm {R} }$${\displaystyle a\triangleleft c=b}$${\displaystyle b\triangleright a}$$${\displaystyle a\triangleleft c=b\iff c=b\triangleright a,}$$

und somit $${\displaystyle a\triangleleft (b\triangleright a)=b,}$$

Und $${\displaystyle (a\triangleleft b)\triangleright a=b.}$$

Mit dieser Idee kann ein Rack äquivalent als eine Menge mit zwei binären Operationen definiert werden , sodass für alle gilt : ${\displaystyle \mathrm {R} }$${\displaystyle \triangleleft }$${\displaystyle \triangleright }$${\displaystyle a,b,c\in \mathrm {R} }$

1. ${\displaystyle a\triangleleft (b\triangleleft c)=(a\triangleleft b)\triangleleft (a\triangleleft c)}$(linkes Selbstverteilungsgesetz)
2. ${\displaystyle (c\triangleright b)\triangleright a=(c\triangleright a)\triangleright (b\triangleright a)}$(Rechtes Selbstverteilungsgesetz)
3. ${\displaystyle (a\triangleleft b)\triangleright a=b}$
4. ${\displaystyle a\triangleleft (b\triangleright a)=b}$

Es ist zweckmäßig zu sagen, dass das Element im Ausdruck von links und im Ausdruck von rechts wirkt . Die dritten und vierten Rack-Axiome besagen dann, dass diese linken und rechten Aktionen zueinander invers sind. Damit können wir jede dieser Aktionen aus der Definition des Racks eliminieren. Eliminieren wir die rechte Aktion und behalten die linke bei, erhalten wir die ursprünglich angegebene, prägnante Definition. ${\displaystyle a\in \mathrm {R} }$${\displaystyle a\triangleleft b}$${\displaystyle b\triangleright a}$

In der Literatur über Racks und Quandles werden viele verschiedene Konventionen verwendet. Beispielsweise bevorzugen viele Autoren die Arbeit mit der geraden Aktion . Darüber hinaus ist die Verwendung der Symbole und keineswegs universell: Viele Autoren verwenden die Exponentialschreibweise. ${\displaystyle \triangleleft }$${\displaystyle \triangleright }$$${\displaystyle a\triangleleft b={}^{a}b}$$

Und $${\displaystyle b\triangleright a=b^{a},}$$

während viele andere schreiben $${\displaystyle b\triangleright a=b\star a.}$$

Eine weitere äquivalente Definition eines Racks besagt, dass es sich um eine Menge handelt, in der jedes Element links und rechts als Automorphismus des Racks wirkt, wobei die linke Wirkung die Umkehrung der rechten ist. In dieser Definition kodiert die Tatsache, dass jedes Element als Automorphismus wirkt, die Gesetze der linken und rechten Selbstdistributivität sowie die folgenden Gesetze:

$${\displaystyle {\begin{aligned}a\triangleleft (b\triangleright c)&=(a\triangleleft b)\triangleright (a\triangleleft c)\\(c\triangleleft b)\triangleright a&=(c\triangleright a)\triangleleft (b\triangleright a)\end{aligned}}}$$

welche Konsequenzen der zuvor gegebenen Definition(en) sind.

Ein Quandle ist definiert als ein idempotentes Rack, , sodass für alle oder äquivalent dazu ${\displaystyle \mathrm {Q} }$${\displaystyle a\in \mathrm {Q} }$$${\displaystyle a\triangleleft a=a,}$$$${\displaystyle a\triangleright a=a.}$$

Jede Gruppe liefert ein Quandel, bei dem die Operationen aus der Konjugation stammen: $${\displaystyle {\begin{aligned}a\triangleleft b&=aba^{-1}\\b\triangleright a&=a^{-1}ba\\&=a^{-1}\triangleleft b\end{aligned}}}$$

Tatsächlich folgt jedes Gleichungsgesetz, das durch Konjugation in einer Gruppe erfüllt wird, aus den Quandelaxiomen. Man kann sich ein Quandel also als das vorstellen, was von einer Gruppe übrig bleibt, wenn man Multiplikation, Identität und Inverse außer Acht lässt und sich nur noch an die Konjugation erinnert.

Jeder zahme Knoten im dreidimensionalen euklidischen Raum (oder allgemeiner auf einer 3-Sphäre ) besitzt ein „fundamentales Quandel“ ^{[ 5 ],} analog zur Knotengruppe eines zahmen Knotens . Die Knotengruppe eines zahmen Knotens besitzt eine Wirtinger-Präsentation, in der die Erzeuger der Gruppe als Konjugierte angegeben werden. Diese Präsentation kann somit auch für das fundamentale Quandel verwendet werden. Vereinfacht gesagt: An jeder Kreuzung in einem Diagramm, gegeben einen Oberstrang und Unterstränge, wobei die Kreuzungen untereinander zurückführen , definiert die folgende Relation eine Präsentation für das Knotenquandel, deren Erzeuger aus den Bögen des Knotendiagramms stammen: ${\displaystyle x}$${\displaystyle u,v}$${\displaystyle u}$${\displaystyle x}$${\displaystyle v}$

1. ${\displaystyle u\triangleright x=v}$(falls es sich um einen Rechtsverkehr handelt)
2. ${\displaystyle u\triangleleft x=v}$(falls es sich um einen Rechtsverkehr handelt)

Beachten Sie, dass dies nicht dasselbe sein muss wie das Konjugationsquandel der Knotengruppe.

Das Fundamentalquandel ist eine sehr mächtige Invariante von Knoten. Insbesondere gilt: Besitzen zwei zahme Knoten isomorphe Fundamentalquandel, so existiert ein Homöomorphismus des dreidimensionalen euklidischen Raums, der unter Umständen orientierungsumkehrend ist und den einen Knoten auf den anderen abbildet.

Weniger leistungsstarke, aber leichter berechenbare Invarianten von Knoten lassen sich durch Zählen der Homomorphismen vom Knotenquandel zu einem festen Quandel gewinnen . Da das Knotenquandel in einem Knotendiagramm eine Präsentation mit einem Erzeuger pro Strang besitzt , können diese Invarianten berechnet werden, indem man die Möglichkeiten zählt, jeden Strang unter bestimmten Nebenbedingungen mit einem Element von zu beschriften . Komplexere Invarianten dieser Art lassen sich mithilfe der Quandelkohomologie konstruieren . ${\displaystyle \mathrm {Q} }$${\displaystyle \mathrm {Q} }$

DerAlexander-Quandle sind auch deshalb wichtig, weil sie zur Berechnung des Alexander-Polynoms eines Knotens verwendet werden können. Seiein Modul über dem Ringder Laurent-Polynome in einer Variablen (d. h.ist eine abelsche Gruppe mit einem Automorphismus , derdurch wirkt). Dannwird das Alexander-Quandle zu einem Quandle mit der Linkswirkung gegeben durch ${\displaystyle \mathrm {A} }$${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$${\displaystyle \mathrm {A} }$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathrm {A} }$$${\displaystyle a\triangleleft b=tb+(1-t)a.}$$

Racks sind eine nützliche Verallgemeinerung von Quandles in der Topologie, da Quandles Knoten auf einem runden linearen Objekt (wie einem Seil oder einem Faden) darstellen können, Racks hingegen Bänder darstellen können, die sowohl verdreht als auch verknotet sein können.

Ein Quandel wird als involutory bezeichnet , wenn für alle${\displaystyle \mathrm {Q} }$${\displaystyle a,b\in \mathrm {Q} }$$${\displaystyle a\triangleleft (a\triangleleft b)=b}$$

oder gleichbedeutend mit $${\displaystyle (b\triangleright a)\triangleright a=b.}$$

Dies lässt sich einfacher ausdrücken als dies ermöglicht eine Gleichungsdefinition mit nur einer Operation. $${\displaystyle a\triangleleft b=b\triangleright a,}$$

Jeder symmetrische Raum liefert ein involutorisches Quandel, wobei das Ergebnis der Spiegelung an der Ebene ist . ${\displaystyle a\triangleleft b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$

• Biracks und Biquandles
• Laver-Tisch

• Knotenprobleme gelöst durch Quandles – Eine Einführung in Quandles und andere Knoteninvarianten für Bachelor-Studierende
• Eine Übersicht über Quandle-Ideen von Scott Carter
• Knoteninvarianten, abgeleitet aus Quandles und Racks von Seiichi Kamada
• Regale, Gestelle, Spindeln und Quandles , S. 56 aus Lie 2-Algebren von Alissa Crans
• https://ncatlab.org/nlab/show/quandle