Knotentheorie

In der Topologie befasst sich die Knotentheorie mit mathematischen Knoten . Inspiriert von Knoten aus dem Alltag, wie beispielsweise Schnürsenkeln oder Seilen, unterscheiden sich mathematische Knoten dadurch, dass ihre Enden so miteinander verbunden sind, dass sie nicht mehr gelöst werden können. Der einfachste Knoten ist ein Ring (oder „ Unknoten “). Mathematisch ausgedrückt ist ein Knoten die Einbettung eines Kreises in den dreidimensionalen euklidischen Raum . Zwei mathematische Knoten sind äquivalent, wenn sich der eine durch eine Deformation an sich selbst in den anderen überführen lässt (bekannt als Umgebungsisotopie ). Diese Transformationen entsprechen Manipulationen eines verknoteten Fadens, ohne ihn zu durchtrennen oder durch sich selbst zu führen. ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Knoten lassen sich auf verschiedene Weise beschreiben. Je nach Beschreibungsmethode können mehrere Beschreibungen desselben Knotens existieren. Eine gängige Methode zur Knotenbeschreibung ist beispielsweise ein ebenes Diagramm, das sogenannte Knotendiagramm, in dem jeder Knoten auf vielfältige Weise dargestellt werden kann. Daher besteht ein grundlegendes Problem der Knotentheorie darin, zu bestimmen, wann zwei Beschreibungen denselben Knoten repräsentieren.

Für dieses Problem existiert eine vollständige algorithmische Lösung mit unbekannter Komplexität . ^{[ 1 ]} In der Praxis werden Knoten häufig anhand einer Knoteninvariante unterschieden , einer „Größe“, die bei unterschiedlichen Beschreibungen eines Knotens immer gleich ist. Wichtige Invarianten sind Knotenpolynome , Knotengruppen und hyperbolische Invarianten.

Die ursprüngliche Motivation der Begründer der Knotentheorie bestand darin, eine Tabelle der Knoten und Verschlingungen zu erstellen , also Knoten aus mehreren, miteinander verschlungenen Komponenten. Seit den Anfängen der Knotentheorie im 19. Jahrhundert wurden mehr als sechs Milliarden Knoten und Verschlingungen tabellarisch erfasst .

Um weitere Erkenntnisse zu gewinnen, haben Mathematiker das Knotenkonzept auf verschiedene Weise verallgemeinert. Knoten lassen sich in anderen dreidimensionalen Räumen betrachten , und es können auch andere Objekte als Kreise verwendet werden; siehe Knoten (Mathematik) . Beispielsweise ist ein höherdimensionaler Knoten eine n- dimensionale Kugel, die in den ( n +2)-dimensionalen euklidischen Raum eingebettet ist. Die Knotentheorie kann auch erweitert werden, um Verschränkungen in offenen Kurven zu beschreiben , was zur Untersuchung von Knoten in Proteinen, DNA und physikalischen Seilen genutzt wird.

Archäologen haben herausgefunden, dass Knotenkunst bis in die prähistorische Zeit zurückreicht. Neben ihrer Verwendung, wie dem Festhalten von Informationen und dem Verbinden von Gegenständen, faszinierten Knoten die Menschen auch aufgrund ihrer Ästhetik und spirituellen Symbolik. Knoten finden sich in verschiedenen chinesischen Kunstwerken, die aus mehreren Jahrhunderten v. Chr. stammen (siehe Chinesische Knotenkunst ). Der Endlose Knoten taucht im tibetischen Buddhismus auf , während die Borromäischen Ringe in verschiedenen Kulturen immer wieder vorkommen und oft die Stärke der Einheit symbolisieren. Die keltischen Mönche, die das Book of Kells schufen , verzierten ganze Seiten mit kunstvollen keltischen Knotenmustern .

Eine mathematische Knotentheorie wurde erstmals 1771 von Alexandre-Théophile Vandermonde entwickelt , der die Bedeutung topologischer Merkmale bei der Erörterung der Eigenschaften von Knoten im Zusammenhang mit der Geometrie der Lage explizit hervorhob. Mathematische Untersuchungen von Knoten begannen im 19. Jahrhundert mit Carl Friedrich Gauß , der das Verschlingungsintegral definierte ( Silver 2006 ). In den 1860er Jahren führte Lord Kelvins Theorie , dass Atome Knoten im Äther seien, zur Erstellung der ersten Knotentabellen durch Peter Guthrie Tait für eine vollständige Klassifizierung. Tait veröffentlichte 1885 eine Tabelle von Knoten mit bis zu zehn Kreuzungen und die später als Tait-Vermutungen bekannt gewordenen Vermutungen . Diese Arbeit inspirierte die frühen Knotentheoretiker, doch die Knotentheorie wurde schließlich Teil des aufkommenden Gebiets der Topologie .

Diese Topologen des frühen 20. Jahrhunderts – Max Dehn , J. W. Alexander und andere – untersuchten Knoten aus der Perspektive der Knotengruppe und von Invarianten der Homologietheorie , wie beispielsweise dem Alexander-Polynom . Dies blieb der vorherrschende Ansatz in der Knotentheorie, bis eine Reihe bahnbrechender Erkenntnisse das Gebiet revolutionierte.

Ende der 1970er Jahre führte William Thurston mit dem Hyperbolisierungssatz die hyperbolische Geometrie in die Knotentheorie ein . Es zeigte sich, dass viele Knoten hyperbolische Knoten sind , wodurch die Geometrie zur Definition neuer, leistungsstarker Knoteninvarianten genutzt werden konnte . Die Entdeckung des Jones-Polynoms durch Vaughan Jones im Jahr 1984 ( Sossinsky 2002 , S. 71–89) und nachfolgende Beiträge von Edward Witten , Maxim Kontsevich , Louis Kauffman und anderen offenbarten tiefe Verbindungen zwischen der Knotentheorie und mathematischen Methoden der statistischen Mechanik und der Quantenfeldtheorie . Seitdem wurde eine Vielzahl von Knoteninvarianten mithilfe ausgefeilter Werkzeuge wie Quantengruppen und der Floer-Homologie entwickelt .

In den letzten Jahrzehnten des 20. Jahrhunderts begannen Wissenschaftler, sich für die Untersuchung physikalischer Knoten zu interessieren , um Verknotungsphänomene in DNA und anderen Polymeren zu verstehen. Mithilfe der Knotentheorie lässt sich feststellen, ob ein Molekül chiral ist (eine „Händigkeit“ aufweist) oder nicht ( Simon 1986 ). Verknotungen , also Stränge mit fixierten Enden, wurden erfolgreich zur Untersuchung der Wirkung von Topoisomerase auf DNA eingesetzt ( Flapan 2000 ). Die Knotentheorie könnte durch das Modell des topologischen Quantencomputings eine entscheidende Rolle beim Bau von Quantencomputern spielen ( Collins 2006 ).

Links ist der ungelöste Knoten und ein äquivalenter Knoten abgebildet. Es kann schwieriger sein, festzustellen, ob komplexe Knoten, wie der rechts, dem ungelösten Knoten äquivalent sind.

Ein Knoten entsteht, indem man mit einer eindimensionalen Strecke beginnt, diese beliebig um sich selbst wickelt und anschließend ihre beiden freien Enden zu einer geschlossenen Schleife verbindet ( Adams 2004 ; Sossinsky 2002 ). Vereinfacht ausgedrückt ist ein Knoten eine „einfache geschlossene Kurve“ (siehe Kurve ) – also eine nahezu injektive und stetige Funktion , deren einzige „Nicht-Injektivität“ die Kurve selbst ist . Topologen betrachten Knoten und andere Verschlingungen wie Verschlingungen und Zöpfe als äquivalent, wenn sich der Knoten glatt verschieben lässt, ohne sich selbst zu schneiden, sodass er mit einem anderen Knoten übereinstimmt. ${\displaystyle K}$${\displaystyle K\colon [0,1]\to \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle K(0)=K(1)}$

Die Idee der Knotenäquivalenz besteht darin, präzise zu definieren, wann zwei Knoten als gleich anzusehen sind, selbst wenn sie räumlich sehr unterschiedlich positioniert sind. Eine formale mathematische Definition lautet: Zwei Knoten sind äquivalent, wenn es einen orientierungserhaltenden Homöomorphismus mit gibt . ${\displaystyle K_{1},K_{2}}$${\displaystyle h\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle h(K_{1})=K_{2}}$

Diese Definition der Knotenäquivalenz besagt, dass zwei Knoten äquivalent sind, wenn es eine stetige Familie von Homöomorphismen des Raumes auf sich selbst gibt, sodass der letzte dieser Homöomorphismen den ersten Knoten auf den zweiten Knoten abbildet. (Im Detail: Zwei Knoten und sind äquivalent, wenn es eine stetige Abbildung gibt, sodass a) für jedes die Abbildung, die auf abbildet , ein Homöomorphismus des Raumes auf sich selbst ist; b) für alle gilt ; und c) . Eine solche Funktion wird als Umgebungsisotopie bezeichnet .) ${\displaystyle \{h_{t}:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}\ \mathrm {for} \ 0\leq t\leq 1\}}$${\displaystyle K_{1}}$${\displaystyle K_{2}}$${\displaystyle H:\mathbb {R} ^{3}\times [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle t\in [0,1]}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle H(x,t)\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle H(x,0)=x}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle H(K_{1},1)=K_{2}}$${\displaystyle H}$

Diese beiden Definitionen der Knotenäquivalenz stimmen genau darin überein, welche Knoten äquivalent sind: Zwei Knoten, die gemäß der Definition des orientierungserhaltenden Homöomorphismus äquivalent sind, sind auch gemäß der Definition der Umgebungsisotopie äquivalent, da jeder orientierungserhaltende Homöomorphismus eines Knotens auf sich selbst die letzte Stufe einer Umgebungsisotopie ist, die von der Identität ausgeht. Umgekehrt sind zwei Knoten, die gemäß der Definition der Umgebungsisotopie äquivalent sind, auch gemäß der Definition des orientierungserhaltenden Homöomorphismus äquivalent, da die (letzte) Stufe der Umgebungsisotopie ein orientierungserhaltender Homöomorphismus sein muss, der einen Knoten auf den anderen abbildet. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle t=1}$

Man könnte versuchen, die Äquivalenz von Knoten anhand der „ Isotopie “ anstelle der eingeschränkteren Eigenschaft der Umgebungsisotopie zu definieren. Das heißt, zwei Knoten sind isotopisch, wenn eine stetige Funktion existiert, die mit dem Wert beginnt , der die Einbettung liefert, und mit dem Wert endet , der die Einbettung liefert, wobei alle Zwischenwerte Einbettungen entsprechen. Diese Definition würde jedoch jeden Knoten zum Unknoten äquivalent machen, da die verknoteten Abschnitte zu einer Geraden „kontrahiert“ werden können. Das Problem besteht darin, dass diese Funktion zwar stetig, aber nicht injektiv im euklidischen Raum ist, in den der Knoten eingebettet ist. Die Forderung, dass die Homotopie durch Homöomorphismen gegeben ist, löst dieses Problem. ${\displaystyle t=0}$${\displaystyle K_{1}}$${\displaystyle t=1}$${\displaystyle K_{2}}$

Das grundlegende Problem der Knotentheorie, das Erkennungsproblem , besteht darin, die Äquivalenz zweier Knoten zu bestimmen. Es existieren Algorithmen zur Lösung dieses Problems; der erste wurde Ende der 1960er Jahre von Wolfgang Haken vorgestellt ( Hass 1998 ). Diese Algorithmen können jedoch extrem zeitaufwändig sein, und ein zentrales Thema der Theorie ist das Verständnis der tatsächlichen Schwierigkeit dieses Problems ( Hass 1998 ). Der Spezialfall der Erkennung des entknoteten Knotens , das sogenannte Entknotungsproblem , ist von besonderem Interesse ( Hoste 2005 ). Im Februar 2021 kündigte Marc Lackenby einen neuen Algorithmus zur Entknotungserkennung an, der in quasi-polynomieller Zeit läuft . ^{[ 2 ]}

Eine hilfreiche Methode, Knoten zu visualisieren und zu manipulieren, besteht darin, den Knoten auf eine Ebene zu projizieren – man kann sich das wie einen Schattenwurf des Knotens an der Wand vorstellen. Eine kleine Änderung der Projektionsrichtung gewährleistet eine eindeutige Abbildung , außer an den Doppelpunkten, den sogenannten Kreuzungspunkten , an denen sich der „Schatten“ des Knotens einmal quer kreuzt ( Rolfsen 1976 ). Um den ursprünglichen Knoten an jedem Kreuzungspunkt rekonstruieren zu können, muss der obere Strang vom unteren Strang unterschieden werden. Dies geschieht häufig durch eine Unterbrechung des unteren Strangs. Das resultierende Diagramm ist eine eingebettete ebene Kurve mit der zusätzlichen Information, welcher Strang an jedem Kreuzungspunkt oben und welcher unten liegt. (Diese Diagramme werden Knotendiagramme genannt , wenn sie einen Knoten darstellen , und Verschlingungsdiagramme, wenn sie eine Verschlingung darstellen.) Analog lassen sich verknotete Flächen im vierdimensionalen Raum mit eingebetteten Flächen im dreidimensionalen Raum in Beziehung setzen .

Ein reduziertes Diagramm ist ein Knotendiagramm, in dem keine reduzierbaren Kreuzungen (auch nugatorische oder entfernbare Kreuzungen genannt ) vorhanden sind oder in dem alle reduzierbaren Kreuzungen entfernt wurden. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Eine Blütenblattprojektion ist eine Art von Projektion, bei der sich alle Stränge des Knotens an einem einzigen Kreuzungspunkt treffen, anstatt Doppelpunkte zu bilden. Diese Stränge sind durch Schlaufen, die nicht verschachtelte „Blütenblätter“ bilden, mit diesem Punkt verbunden. ^{[ 5 ]}

Im Jahr 1927 demonstrierten J. W. Alexander und Garland Baird Briggs sowie unabhängig davon Kurt Reidemeister anhand dieser diagrammatischen Darstellung von Knoten, dass zwei Knotendiagramme desselben Knotens durch eine Folge von drei Arten von Operationen im Diagramm miteinander in Beziehung gesetzt werden können (siehe unten). Diese Operationen, die heute als Reidemeister-Operationen bezeichnet werden , sind:

Reidemeister bewegt

Typ I	Typ II
Typ III

Der Beweis, dass Diagramme äquivalenter Knoten durch Reidemeister-Bewegungen verbunden sind, beruht auf einer Analyse der planaren Projektion der Bewegung, die einen Knoten in einen anderen überführt. Die Bewegung lässt sich so gestalten, dass die Projektion fast immer ein Knotendiagramm ergibt, außer in endlich vielen Fällen, in denen ein „Ereignis“ oder eine „Katastrophe“ eintritt, beispielsweise wenn sich mehr als zwei Stränge in einem Punkt kreuzen oder mehrere Stränge sich in einem Punkt berühren. Eine genaue Betrachtung zeigt, dass sich komplizierte Ereignisse eliminieren lassen, sodass nur die einfachsten übrig bleiben: (1) Bildung oder Begradigung eines Knickes; (2) Berührung zweier Stränge in einem Punkt und Durchdringen desselben; und (3) Kreuzung dreier Stränge in einem Punkt. Dies sind genau die Reidemeister-Bewegungen ( Sossinsky 2002 , Kap. 3; Lickorish 1997 , Kap. 1).

Eine Knoteninvariante ist eine Größe, die für äquivalente Knoten gleich ist ( Adams 2004 ; Lickorish 1997 ; Rolfsen 1976 ). Wird die Invariante beispielsweise aus einem Knotendiagramm berechnet, sollte sie für zwei Knotendiagramme, die äquivalente Knoten darstellen, denselben Wert liefern. Eine Invariante kann für zwei verschiedene Knoten denselben Wert annehmen und ist daher möglicherweise nicht in der Lage, alle Knoten zu unterscheiden. Eine elementare Invariante ist die Dreifärbbarkeit .

Zu den „klassischen“ Knoteninvarianten gehören die Knotengruppe , die die Fundamentalgruppe des Knotenkomplements ist , und das Alexander-Polynom , das sich aus der Alexander-Invariante berechnen lässt, einem Modul, das aus der unendlichen zyklischen Überlagerung des Knotenkomplements konstruiert wird ( Lickorish 1997 ; Rolfsen 1976 ). Im späten 20. Jahrhundert wurden Invarianten wie „Quanten“-Knotenpolynome, Vassiliev-Invarianten und hyperbolische Invarianten entdeckt. Die genannten Invarianten stellen jedoch nur die Spitze des Eisbergs der modernen Knotentheorie dar.

Ein Knotenpolynom ist eine Knoteninvariante , die ein Polynom ist . Bekannte Beispiele sind das Jones-Polynom , das Alexander-Polynom und das Kauffman-Polynom . Eine Variante des Alexander-Polynoms, das Alexander-Conway-Polynom , ist ein Polynom in der Variablen z mit ganzzahligen Koeffizienten ( Lickorish 1997 ).

Das Alexander-Conway-Polynom ist tatsächlich über Verschlingungen definiert , die aus einem oder mehreren miteinander verschränkten Knoten bestehen. Die oben für Knoten erläuterten Konzepte, z. B. Diagramme und Reidemeister-Züge, gelten auch für Verschlingungen.

Betrachten wir ein orientiertes Linkdiagramm, d. h . ein Diagramm, in dem jede Komponente des Links eine bevorzugte Richtung besitzt, die durch einen Pfeil angegeben wird. Für eine gegebene Kreuzung des Diagramms seien die orientierten Linkdiagramme, die sich durch die Änderung des Diagramms wie in der Abbildung dargestellt ergeben, gegeben: ${\displaystyle L_{+},L_{-},L_{0}}$

Das ursprüngliche Diagramm kann entweder oder sein , abhängig von der Konfiguration der gewählten Kreuzung. Dann wird das Alexander-Conway-Polynom, , rekursiv nach den folgenden Regeln definiert: ${\displaystyle L_{+}}$${\displaystyle L_{-}}$${\displaystyle C(z)}$

• ${\displaystyle C(O)=1}$(Wo ist ein Diagramm des Unknotens ?)${\displaystyle O}$
• ${\displaystyle C(L_{+})=C(L_{-})+zC(L_{0}).}$

Die zweite Regel wird oft als Skein-Relation bezeichnet . Um zu überprüfen, ob diese Regeln eine Invariante einer orientierten Verschlingung liefern, muss man feststellen, dass sich das Polynom unter den drei Reidemeister-Zügen nicht ändert. Viele wichtige Knotenpolynome lassen sich auf diese Weise definieren.

Im Folgenden wird eine typische Berechnung mithilfe einer Skein-Relation veranschaulicht. Sie berechnet das Alexander-Conway-Polynom des Kleeblattknotens . Die gelben Bereiche markieren die Stellen, an denen die Relation angewendet wird.

C ( ) =  C ( ) +  z C ( )

Gibt den Entknoten und die Hopf-Verknüpfung an . Wendet man die Relation an der angegebenen Stelle auf die Hopf-Verknüpfung an,

C ( ) = C ( ) + z C ( )

Erzeugt eine Verknüpfung, die sich zu einer Verknüpfung mit 0 Kreuzungen verformen lässt (es handelt sich tatsächlich um die Entkopplung zweier Komponenten) und einen Entknoten. Die Entkopplung erfordert etwas Raffinesse:

C ( ) = C ( ) + z C ( )

woraus folgt, dass C (Entkopplung zweier Komponenten) = 0, da die ersten beiden Polynome vom Unknoten stammen und somit gleich sind.

Wenn man all das zusammennimmt, ergibt sich Folgendes:

${\displaystyle C(\mathrm {trefoil} )=1+z(0+z)=1+z^{2}}$

Da das Alexander-Conway-Polynom eine Knoteninvariante ist, zeigt dies, dass das Kleeblatt nicht äquivalent zum Unknoten ist. Das Kleeblatt ist also tatsächlich „verknotet“.

• 
  Der linkshändige Kleeblattknoten.
• 
  Der rechtshändige Kleeblattknoten.

Tatsächlich gibt es zwei Kleeblattknoten, den rechts- und den linkshändigen Kleeblattknoten, die spiegelbildlich zueinander sind (man nehme das oben dargestellte Kleeblattknotendiagramm und spiegele jede Kreuzung um). Diese beiden Knoten sind nicht äquivalent, d. h. sie sind nicht amphichiral. Dies wurde bereits vor der Erfindung der Knotenpolynome von Max Dehn mithilfe gruppentheoretischer Methoden gezeigt ( Dehn 1914 ). Das Alexander-Conway-Polynom ist jedoch für beide Arten von Kleeblattknoten identisch, wie die obige Berechnung mit dem Spiegelbild zeigt. Das Jones -Polynom kann tatsächlich zwischen links- und rechtshändigen Kleeblattknoten unterscheiden ( Lickorish 1997 ).

William Thurston bewies, dass viele Knoten hyperbolische Knoten sind , was bedeutet, dass das Knotenkomplement (d. h. die Menge der Punkte des dreidimensionalen Raums, die nicht auf dem Knoten liegen) eine geometrische Struktur besitzt, insbesondere die der hyperbolischen Geometrie . Da die hyperbolische Struktur nur vom Knoten abhängt, ist jede aus der hyperbolischen Struktur berechnete Größe eine Knoteninvariante ( Adams 2004 ).

Die Borromäischen Ringe sind eine Kette mit der Eigenschaft, dass das Entfernen eines Rings die Kette der anderen löst.

SnapPeas Blickwinkel: Die Borromäischen Ringe ergänzen sich aus der Perspektive eines Bewohners, der in der Nähe der roten Komponente lebt.

Die Geometrie ermöglicht es uns, das Innere eines Knotens oder einer Verschlingung zu visualisieren, indem wir uns Lichtstrahlen entlang der Geodäten der Geometrie vorstellen. Ein Beispiel hierfür ist die Abbildung des Komplements der Borromäischen Ringe . Der Betrachter dieser Verschlingung blickt aus der Nähe der roten Komponente in den Raum. Die Kugeln in der Abbildung stellen Horoball- Umgebungen der Verschlingung dar. Durch Verdickung der Verschlingung auf übliche Weise erhält man die Horoball-Umgebungen der Verschlingungskomponenten. Obwohl die Grenze einer Umgebung ein Torus ist, erscheint sie von innen betrachtet wie eine Kugel. Jede Verschlingungskomponente erscheint als unendlich viele Kugeln (einer Farbe), da unendlich viele Lichtstrahlen vom Betrachter zur Verschlingungskomponente verlaufen. Das in der Abbildung dargestellte Fundamentalparallelogramm kachelt sowohl vertikal als auch horizontal und zeigt, wie sich das Kugelmuster unendlich fortsetzen lässt.

Dieses Muster, das Horoball-Muster, ist selbst eine nützliche Invariante. Weitere hyperbolische Invarianten umfassen die Form des Fundamentalparallelogramms, die Länge der kürzesten Geodäte und das Volumen. Moderne Tabellierungsversuche für Knoten und Verschlingungen haben diese Invarianten effektiv genutzt. Schnelle Computer und ausgeklügelte Methoden zur Ermittlung dieser Invarianten machen deren Berechnung in der Praxis zu einer einfachen Aufgabe ( Adams, Hildebrand & Weeks 1991 ).

Ein Knoten im dreidimensionalen Raum lässt sich lösen, indem man ihn in den vierdimensionalen Raum überträgt. Dies geschieht durch das Verändern der Kreuzungspunkte. Angenommen, ein Strang liegt, von einem bestimmten Punkt aus betrachtet, hinter einem anderen. Man hebt ihn in die vierte Dimension, sodass kein Hindernis mehr vorhanden ist (der vordere Strang hat dort keine Komponente); dann schiebt man ihn nach vorn und lässt ihn wieder fallen, sodass er sich nun vor einem befindet. Analog dazu könnte man in der Ebene einen Faden von der Oberfläche abheben oder einen Punkt aus einem Kreis entfernen.

Tatsächlich entspricht in vier Dimensionen jede sich nicht schneidende geschlossene Schleife einer eindimensionalen Zeichenkette einem Unknoten. Man „schiebt“ die Schleife zunächst in einen dreidimensionalen Unterraum, was zwar technisch anspruchsvoll, aber stets möglich ist.

Der vierdimensionale Raum kommt jedoch in der klassischen Knotentheorie vor, und ein wichtiges Thema ist die Untersuchung von Scheibenknoten und Bandknoten .

^{Ein bekanntes ungelöstes Problem, das} oft Ralph Fox zugeschrieben wird [ ^{6 ] [ 7 ],} fragt, ob jeder Slice-Knoten auch ein Ribbon-Knoten ist. Ein Knoten gilt als glatter Slice-Knoten, wenn er die Grenze einer Kreisscheibe bildet, die glatt in eine vierdimensionale Kugel eingebettet ist. (Das Adjektiv „glatt“ wird üblicherweise vorausgesetzt, und glatter Slice-Knoten werden als Slice-Knoten bezeichnet. Es gibt andere Knotentypen, wie z. B. rationale Slice-Knoten, die nicht notwendigerweise glatter Slice-Knoten sind.) Ein Ribbon-Knoten ist ein Knoten, der eine in die 3-Sphäre eingebettete Kreisscheibe D begrenzt. Alle Ribbon-Knoten sind bekanntermaßen Slice-Knoten.

Da ein Knoten topologisch als eindimensionale Sphäre betrachtet werden kann, besteht die nächste Verallgemeinerung darin, eine zweidimensionale Sphäre ( ) in den vierdimensionalen euklidischen Raum ( ) einzubetten. Eine solche Einbettung heißt verknotet, wenn es keinen Homöomorphismus von auf sich selbst gibt, der die eingebettete 2-Sphäre auf die übliche „runde“ Einbettung der 2-Sphäre abbildet. Suspendierte Knoten und gesponnene Knoten sind zwei typische Familien solcher 2-Sphären-Knoten. ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Die mathematische Methode der „allgemeinen Position“ besagt, dass eine gegebene n- Sphäre im m- dimensionalen euklidischen Raum, falls m groß genug (abhängig von n ), knotenfrei sein sollte. Im Allgemeinen bilden stückweise lineare n- Sphären Knoten nur im ( n  +2)-dimensionalen Raum ( Zeeman 1963 ), obwohl dies keine Voraussetzung mehr für glatt geknotete Sphären ist. Tatsächlich existieren glatt geknotete Sphären im 6k - dimensionalen Raum; beispielsweise gibt es eine glatt geknotete 3-Sphäre in ( Haefliger 1962 ; Levine 1965 ). Die Kodimension eines glatten Knotens kann also beliebig groß sein, wenn die Dimension der geknoteten Sphäre nicht festgelegt ist; dennoch ist jede glatte k -Sphäre, die in eingebettet ist , knotenfrei. Der Begriff des Knotens hat in der Mathematik weitere Verallgemeinerungen, siehe: Knoten (Mathematik) , Isotopieklassifikation von Einbettungen . ${\displaystyle (4k-1)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle 2n-3k-3>0}$

Jeder Knoten in der n -Sphäre ist die Verknüpfung einer reell-algebraischen Menge mit isolierter Singularität in ( Akbulut & King 1981 ). ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

Ein n -Knoten ist ein einzelner Knoten, der in eingebettet ist . Eine n -Verkettung besteht aus k Kopien von , die in eingebettet sind , wobei k eine natürliche Zahl ist . Sowohl der n- als auch der n-Fall sind gut untersucht, ebenso wie der n-Fall. ^{[ 8 ] [ 9 ]}${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle m=n+2}$${\displaystyle m>n+2}$${\displaystyle n>1}$

Zwei Knoten lassen sich addieren, indem man beide Knoten aufschneidet und die Endenpaare verbindet. Diese Operation wird Knotensumme oder auch verbundene Summe bzw. Komposition zweier Knoten genannt. Formal lässt sie sich wie folgt definieren ( Adams 2004 ): Man betrachtet eine planare Projektion jedes Knotens und nimmt an, dass diese Projektionen disjunkt sind. Man findet ein Rechteck in der Ebene, in dem jeweils ein Paar gegenüberliegender Seiten Kreisbögen entlang jedes Knotens bildet, während der Rest des Rechtecks ​​disjunkt zu den Knoten ist. Ein neuer Knoten entsteht, indem man das erste Paar gegenüberliegender Seiten löscht und das andere Paar anfügt. Der resultierende Knoten ist die Summe der ursprünglichen Knoten. Je nachdem, wie dies durchgeführt wird, können zwei verschiedene Knoten (aber nicht mehr) entstehen. Diese Mehrdeutigkeit der Summe lässt sich beseitigen, indem man die Knoten als orientiert betrachtet , d. h. ihnen eine bevorzugte Bewegungsrichtung entlang des Knotens zuweist, und fordert, dass die Kreisbögen der Knoten in der Summe konsistent mit der orientierten Begrenzung des Rechtecks ​​orientiert sind.

Die Knotensumme orientierter Knoten ist kommutativ und assoziativ . Ein Knoten heißt Primknoten , wenn er nicht trivial ist und nicht als Knotensumme zweier nicht trivialer Knoten dargestellt werden kann. Ein Knoten, der sich als solche Summe darstellen lässt, heißt zusammengesetzt . Es gibt eine Primzahlzerlegung für Knoten, analog zu Prim- und zusammengesetzten Zahlen ( Schubert 1949 ). Für orientierte Knoten ist diese Zerlegung ebenfalls eindeutig. Knoten höherer Dimensionen können zwar auch addiert werden, es gibt jedoch einige Unterschiede. Während man den Unknoten in drei Dimensionen nicht durch Addition zweier nicht trivialer Knoten bilden kann, ist dies in höheren Dimensionen möglich, zumindest wenn man glatte Knoten in Kodimension mindestens 3 betrachtet.

Knoten lassen sich auch mithilfe der Schaltungstopologie konstruieren . Dies geschieht durch die Kombination von Basiseinheiten, sogenannten weichen Kontakten, mittels fünf Operationen (Parallel-, Serien-, Kreuz-, Konkordanz- und Subtraktion). ^{[ 10 ] [ 11 ]} Der Ansatz ist auch auf offene Ketten anwendbar und kann zudem auf sogenannte harte Kontakte erweitert werden.

In einem Artikel aus dem Jahr 2020 (basierend auf Ergebnissen, die ursprünglich in den 1970er Jahren erzielt wurden) führten VM Nezhinskij und VV Nesterenok eine binäre Operation auf der Menge der orientierten Knotenisotopieklassen ein , die mit bezeichnet wird . ^{[ 12 ]}${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{\mathcal {K}}\times {\mathcal {K}}\to {\mathcal {K}}}$

Um die Operation für die Klassen und zu definieren , werden Repräsentanten im linken bzw. rechten Halbraum und so gewählt, dass ihre Schnittpunkte mit der Trennebene bestimmte orthogonale Segmente bilden. Es wird ein Paar von Flächen und konstruiert, die diese Segmente gemeinsam begrenzen, und die Operation wird als die Isotopieklasse des geglätteten Randes der Vereinigung definiert . ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \mathbb {R} _{-}^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{3}}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle [\alpha,\beta]}$${\displaystyle \partial (V_{1}\cup V_{2})}$

Die Operation ist antisymmetrisch und erfüllt die Bedingung , wobei der Standard-Trivialknoten als rechtes Nullelement gilt: . Eine wichtige topologische Eigenschaft dieser Klammeroperation ist, dass sie Knoten mit einem trivialen Alexander-Conway-Polynom erzeugt; genauer gesagt, . Der Artikel stellt außerdem eine Beziehung zwischen dieser Klammeroperation und dem HOMFLY-PT-Polynom her , indem er es als Linearkombination der Polynome der zusammenhängenden Summen und der verdoppelten Komponenten und ausdrückt . ${\displaystyle [\beta ,\alpha ]=-[\alpha ,\beta ]}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle [\alpha ,\omega ]=\omega }$${\displaystyle \nabla ([\alpha,\beta])=1}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}([\alpha,\beta])}$${\displaystyle D(\alpha )}$${\displaystyle D(\beta )}$

Traditionell werden Knoten anhand ihrer Kreuzungszahl katalogisiert . Knotentabellen enthalten in der Regel nur Primknoten und jeweils nur einen Eintrag für einen Knoten und sein Spiegelbild (selbst wenn diese unterschiedlich sind) ( Hoste, Thistlethwaite & Weeks 1998 ). Die Anzahl nichttrivialer Knoten mit einer gegebenen Kreuzungszahl steigt rapide an, was die Tabellierung rechnerisch erschwert ( Hoste 2005 , S. 20). Trotz erfolgreicher Tabellierungsversuche konnten über 6 Milliarden Knoten und Verschlingungen erfasst werden ( Hoste 2005 , S. 28). Die Folge der Anzahl von Primknoten mit einer gegebenen Kreuzungszahl bis zur Kreuzungszahl 16 lautet: 0, 0, 1, 1, 2, 3, 7, 21, 49, 165, 552, 2176, 9988,46 972 ,253 293 ,1 388 705 ... (Folge A002863 in der OEIS ). Obwohl obere und untere Schranken für Exponentialfunktionen dieser Folge bekannt sind, ist nicht bewiesen, dass diese Folge streng monoton steigend ist ( Adams 2004 ).

Die ersten Knotentabellen von Tait, Little und Kirkman verwendeten Knotendiagramme, wobei Tait auch eine Vorstufe der Dowker-Notation nutzte . Für Knoten wurden verschiedene Notationen entwickelt, die eine effizientere Tabellierung ermöglichen ( Hoste 2005 ).

Die ersten Tabellen versuchten, alle Knoten mit maximal 10 Kreuzungen und alle alternierenden Knoten mit 11 Kreuzungen aufzulisten ( Hoste, Thistlethwaite & Weeks 1998 ). Die Weiterentwicklung der Knotentheorie durch Alexander, Reidemeister, Seifert und andere erleichterte die Überprüfung, und Tabellen mit Knoten bis einschließlich 9 Kreuzungen wurden Ende der 1920er Jahre von Alexander-Briggs und Reidemeister veröffentlicht.

Die erste umfassende Überprüfung dieser Arbeit erfolgte in den 1960er Jahren durch John Horton Conway , der nicht nur eine neue Notation, sondern auch das Alexander-Conway-Polynom entwickelte ( Conway 1970 ; Doll & Hoste 1991 ). Damit wurde die Liste der Knoten mit maximal 11 Kreuzungen sowie eine neue Liste von Verschlingungen mit bis zu 10 Kreuzungen bestätigt. Conway fand einige Auslassungen, aber nur eine Duplikation in den Tait-Little-Tabellen; allerdings übersah er die Duplikate , die als Perko-Paar bezeichnet werden und erst 1974 von Kenneth Perko entdeckt wurden ( Perko 1974 ). Dieser bekannte Fehler verbreitete sich, als Dale Rolfsen in seinem einflussreichen Lehrbuch, basierend auf Conways Arbeit, eine Knotentabelle hinzufügte. Conways Arbeit von 1970 zur Knotentheorie enthält auf der Seite über nicht-alternierende 11-Kreuzungsknoten eine typografische Duplikation und lässt vier Beispiele aus – zwei davon waren bereits in D. Lombarderos Abschlussarbeit von 1968 in Princeton aufgeführt, zwei weitere wurden später von Alain Caudron entdeckt . [Siehe Perko (1982), Primality of certain knots, Topology Proceedings] Weniger bekannt ist die Duplikation in seiner Tabelle der 10-Kreuzungsknoten: 2.-2.-20.20 ist das Spiegelbild von 8*-20:-20. [Siehe Perko (2016), Historical highlights of non-cyclic knot theory, J. Knot Theory Ramifications].

Ende der 1990er Jahre erfassten Hoste, Thistlethwaite und Weeks alle Knoten bis zu 16 Kreuzungen ( Hoste, Thistlethwaite & Weeks 1998 ). 2003 erfassten Rankin, Flint und Schermann die alternierenden Knoten bis zu 22 Kreuzungen ( Hoste 2005 ). 2020 erfasste Burton alle Primärknoten mit bis zu 19 Kreuzungen ( Burton 2020 ).

Dies ist die traditionellste Notation, die auf die Arbeit von James W. Alexander und Garland B. Briggs aus dem Jahr 1927 zurückgeht und später von Dale Rolfsen in seiner Knotentabelle erweitert wurde (siehe Abbildung oben und Liste der Primknoten ). Die Notation ordnet Knoten einfach nach ihrer Kreuzungszahl. Die Kreuzungszahl wird mit einem Index geschrieben, der ihre Position unter allen Knoten mit dieser Kreuzungszahl angibt. Diese Reihenfolge ist willkürlich und hat daher keine besondere Bedeutung (obwohl bei jeder Anzahl von Kreuzungen der Drehknoten nach dem Torusknoten kommt ). Verschlingungen werden mit der Kreuzungszahl, einem Exponenten für die Anzahl der Komponenten und einem Index für ihre Position innerhalb der Verschlingungen mit derselben Anzahl von Komponenten und Kreuzungen geschrieben. So wird der Kleeblattknoten mit 3 ₁ und die Hopf-Verschlingung mit 2 notiert.² ₁Die Alexander-Briggs-Namen im Bereich 10 ₁₆₂ bis 10 ₁₆₆ sind aufgrund der Entdeckung des Perko-Paares in Charles Newton Littles ursprünglichen und späteren Knotentabellen sowie unterschiedlicher Ansätze zur Korrektur dieses Fehlers in Knotentabellen und anderen, nach diesem Zeitpunkt erstellten Veröffentlichungen mehrdeutig. ^{[ 13 ]}

Die Dowker-Thistlethwaite-Notation , auch Dowker-Notation oder -Code genannt, für einen Knoten ist eine endliche Folge gerader ganzer Zahlen. Die Zahlen werden erzeugt, indem man dem Knoten folgt und die Kreuzungspunkte mit aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen markiert. Da jeder Kreuzungspunkt zweimal besucht wird, entstehen so Paare aus geraden und ungeraden ganzen Zahlen. Ein entsprechendes Vorzeichen kennzeichnet Über- und Unterkreuzungen. In der Abbildung beispielsweise sind die Kreuzungspunkte des Knotendiagramms mit den Paaren (1,6), (3,−12), (5,2), (7,8), (9,−4) und (11,−10) beschriftet. Die Dowker-Thistlethwaite-Notation für diese Beschriftung lautet: 6, −12, 2, 8, −4, −10. Ein Knotendiagramm hat mehr als eine mögliche Dowker-Notation, und es besteht eine gut verstandene Mehrdeutigkeit bei der Rekonstruktion eines Knotens aus einer Dowker-Thistlethwaite-Notation.

Die nach John Horton Conway benannte Conway-Notation für Knoten und Verschlingungen basiert auf der Theorie der Verwicklungen ( Conway 1970 ). Der Vorteil dieser Notation besteht darin, dass sie einige Eigenschaften des Knotens oder der Verschlingung widerspiegelt.

Die Notation beschreibt, wie ein bestimmtes Linkdiagramm des Links konstruiert wird. Ausgangspunkt ist ein Basispolyeder , ein vierwertiger, zusammenhängender, planarer Graph ohne Digonregionen . Ein solches Polyeder wird zunächst durch die Anzahl seiner Knoten und anschließend durch eine Anzahl von Sternchen bezeichnet, die seine Position in einer Liste von Basispolyedern festlegen. Beispielsweise bezeichnet 10** das zweite 10-Knoten-Polyeder in Conways Liste.

In jeden Knoten wird dann ein algebraischer Knoten eingesetzt (jeder Knoten ist orientiert, sodass die Einsetzung nicht willkürlich erfolgen kann). Jeder dieser Knoten hat eine Notation, die aus Zahlen und Plus- oder Minuszeichen besteht.

Ein Beispiel ist 1*2 −3 2. Das 1* bezeichnet das einzige eineckige Basispolyeder. 2 −3 2 ist eine Folge, die den Kettenbruch eines rationalen Knotens beschreibt . Dieser Knoten wird an der Ecke des Basispolyeders 1* eingefügt.

Ein komplexeres Beispiel ist 8*3.1.2 0.1.1.1.1.1. Auch hier bezieht sich 8* auf ein einfaches Polyeder mit 8 Ecken. Die Punkte trennen die einzelnen Elemente der einzelnen Knoten.

Jede Verbindung lässt sich so beschreiben, und es ist klar, dass dies eine sehr kompakte Notation ist, selbst für sehr große Kreuzungszahlen. Es gibt noch einige weitere gebräuchliche Kurzformen. Das letzte Beispiel wird üblicherweise als 8*3:2 0 geschrieben, wobei die Einsen weggelassen und die Anzahl der Punkte beibehalten wird, mit Ausnahme der Punkte am Ende. Bei einem algebraischen Knoten wie im ersten Beispiel wird 1* oft weggelassen.

Conways bahnbrechende Arbeit zu diesem Thema listet bis zu 10-eckige Basispolyeder auf, die er zur Tabellierung von Verknüpfungen verwendet; diese Tabellierung ist mittlerweile Standard für diese Verknüpfungen. Für eine weitere Auflistung von Polyedern mit höherer Eckpunktzahl stehen alternative Optionen zur Verfügung.

Der Gaußsche Code , ähnlich der Dowker-Thistlethwaite-Notation, stellt einen Knoten durch eine Folge von ganzen Zahlen dar. Anstatt jedoch jede Kreuzung durch zwei verschiedene Zahlen zu repräsentieren, wird sie nur mit einer Zahl gekennzeichnet. Bei einer Überkreuzung wird eine positive Zahl angegeben, bei einer Unterkreuzung eine negative. Beispielsweise kann der Kleeblattknoten im Gaußschen Code wie folgt dargestellt werden: 1,−2,3,−1,2,−3

Der Gauss-Code ist in seiner Fähigkeit, Knoten zu erkennen, eingeschränkt. Dieses Problem wird teilweise durch den erweiterten Gauss-Code behoben .

Während die klassische Knotentheorie Einbettungen anhand von Kreuzungen klassifiziert, enthalten viele natürlich vorkommende gefaltete Ketten neben Kettenkreuzungen auch Bindungen innerhalb der Kette, die von traditionellen knotentheoretischen Methoden nicht erfasst werden und primär in der Schaltkreistopologie untersucht werden . Im Jahr 2019 erweiterten Alireza Mashaghi und Colin Adams die Knotentheorie auf dreidimensionale Einbettungen linearer Ketten mit Bindungen innerhalb der Kette. ^{[ 14 ]} Sie führten verallgemeinerte Reidemeister-Bewegungen, angepasste Gauß-Codes und „Bondles“ (gebundene Quandles ) als Invarianten ein, um selbstwechselwirkende offene Ketten zu klassifizieren, und enthüllten so eine komplexere Knotenhierarchie jenseits klassischer Invarianten.

Über die reine Mathematik hinaus findet die Knotentheorie bedeutende Anwendungen in einer Vielzahl wissenschaftlicher Bereiche. In der Chemie liefert sie einen Rahmen zur Untersuchung der Chiralität von Molekülen und zur Beschreibung topologisch nichttrivialer Strukturen wie Katenane und Molekülknoten , bei denen die Verknotetheit des Molekülgerüsts physikalische und chemische Eigenschaften beeinflusst. In der Molekularbiologie wird die Knotentheorie zur Analyse der Wirkung von Enzymen wie Topoisomerasen eingesetzt , welche die Verschlingungszahl und die Superhelixstruktur der DNA verändern , und zur Modellierung von Prozessen wie der Rekombination und Replikation zirkulärer DNA. In der Physik treten Knoteninvarianten auf natürliche Weise in der topologischen Quantenfeldtheorie auf – beispielsweise entsteht das Jones-Polynom aus der Chern-Simons-Theorie – und knotentheoretische Konzepte werden in der Untersuchung der Wirbeldynamik , kosmischer Strings und bestimmter Modelle der statistischen Mechanik verwendet. In jüngerer Zeit wurden Methoden der Knotentheorie auf das Quantencomputing angewendet , wo Zopfgruppendarstellungen als Modell für topologische Qubits dienen , sowie auf die Materialwissenschaft bei der Entwicklung neuartiger Polymere und mechanischer Metamaterialien .

• Arithmetisches Seil
• Schaltungstopologie
• Trick mit dem Lampenkabel
• Legendarischer Knoten
• Link (Knotentheorie)
• Liste der Knotentheoriethemen
• Molekularer Knoten
• Krawattenknoten
• Quantentopologie
• Bandtheorie

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