Oktaedrische Symmetrie

Ausgewählte Punktgruppen in drei Dimensionen
Polyedrische Gruppe , [n,3], (*n32)
Involutionssymmetrie C _s , (*) [ ] =	Zyklische Symmetrie C _nv , (*nn) [n] =	Diedersymmetrie D _nh , (*n22) [n,2] =
Tetraedrische Symmetrie T _d , (*332) [3,3] =	Oktaedrische Symmetrie O _h , (*432) [4,3] =	Ikosaedrische Symmetrie I _h , (*532) [5,3] =

Ein reguläres Oktaeder besitzt 24 Rotationssymmetrien (oder orientierungserhaltende Symmetrien) und insgesamt 48 Symmetrien. Dazu gehören Transformationen, die eine Spiegelung und eine Drehung kombinieren. Ein Würfel besitzt dieselben Symmetrien, da er das duale Polyeder zum Oktaeder ist.

Die Gruppe der orientierungserhaltenden Symmetrien ist S ₄ , die symmetrische Gruppe oder die Gruppe der Permutationen von vier Objekten, da es für jede Permutation der vier Diagonalen des Würfels genau eine solche Symmetrie gibt.

Details

Chirale und volle (oder achirale ) Oktaedersymmetrie sind die diskreten Punktsymmetrien (oder äquivalent dazu, Symmetrien auf der Kugelsphäre ) mit den größten Symmetriegruppen, die mit Translationssymmetrie vereinbar sind . Sie gehören zu den kristallographischen Punktgruppen des kubischen Kristallsystems .

Konjugationsklassen
Elemente von O		Inversionen von Elementen von O
Identität	0	Inversion	0′
3 × Drehung um 180° um eine 4-zählige Achse	7 , 16 , 23	3 × Spiegelung an einer Ebene senkrecht zu einer 4-zähligen Achse	7′ , 16′ , 23′
8 × Drehung um 120° um eine dreizählige Achse	3, 4, 8, 11, 12, 15, 19, 20	8 × Rotorreflexion um 60°	3′, 4′, 8′, 11′, 12′, 15′, 19′, 20′
6 × Drehung um 180° um eine zweizählige Achse	1′, 2′, 5′, 6′, 14′, 21′	6 × Spiegelung an einer Ebene senkrecht zu einer zweizähligen Achse	1, 2, 5, 6, 14, 21
6 × Drehung um 90° um eine 4-zählige Achse	9′, 10′, 13′, 17′, 18′, 22′	6 × Rotorumlenkung um 90°	9, 10, 13, 17, 18, 22

Beispiele
$(0,0)=0$	$(3,0)=7$	$(0,3)=3$	$(7,1)=1'$	$(4,5)=9'$
$(7,0)=0'$	$(4,0)=7'$	$(7,3)=3'$	$(0,1)=1$	$(3,5)=9$
Eine vollständige Liste finden Sie im Wikiversity-Artikel .

Da die hyperoktaedrische Gruppe der Dimension 3 die volle oktaedrische Gruppe ist, ist sie das _Kranzprodukt , und ihre Elemente lassen sich auf natürliche Weise als Paare ( m , n ) mit und identifizieren . Da sie aber auch das direkte Produkt S₄ _× S₂ ist , kann man die Elemente der tetraedrischen Untergruppe Td einfach _als und ihre Inversionen als identifizieren . $\mathrm {S} _{2}\wr \mathrm {S} _{3}\simeq \mathrm {S} _{2}^{3}\rtimes \mathrm {S} _{3}$ $m\in [0,2^{3})$ $n\in [0,3!)$ $a\in [0,4!)$ $a'$

So wird beispielsweise die Identität (0, 0) als 0 und die Inversion (7, 0) als 0′ dargestellt. (3, 1) wird als 6 und (4, 1) als 6′ dargestellt.

Eine Rotoreflektation ist eine Kombination aus Rotation und Spiegelung.

Illustration von Rotorreflexionen
Die Spiegelung 7′ angewendet auf die 120°-Drehung 4 ergibt die 60°-Rotoreflektierung 8′. $7'\circ 4=8'$
Die Spiegelung 7′ angewendet auf die 90°-Drehung 22′ ergibt die 90°-Rotoreflektierung 17. $7'\circ 22'=17$

Chirale oktaedrische Symmetrie

Drehachsen
C ₄	C ₃ >	C ₂
3	4	6

O , 432 oder [4,3] ⁺ der Ordnung 24, ist eine chirale Oktaedersymmetrie bzw. eine Rotationsoktaedersymmetrie . Diese Gruppe ähnelt der chiralen Tetraedersymmetrie T, jedoch sind die C₂ _- Achsen nun C₄ _- Achsen, und es gibt zusätzlich sechs C₂ _- Achsen, die durch die Mittelpunkte der Würfelkanten verlaufen. Td _und O sind als abstrakte Gruppen isomorph: Beide entsprechen S₄ _, der symmetrischen Gruppe über vier Objekten. Td _ist die Vereinigung von T und der Menge, die durch Inversion jedes Elements von O \ T entsteht. O ist die Rotationsgruppe des Würfels und des regulären Oktaeders .

Chirale oktaedrische Symmetrie
Orthogonale Projektion	Stereografische Projektion
2-fach	4-fach	3-fach	2-fach

Vollständige oktaedrische Symmetrie

O _h , *432 , [4,3], oder m3m der Ordnung 48 – achirale oktaedrische Symmetrie oder volle oktaedrische Symmetrie . Diese Gruppe hat dieselben Drehachsen wie O, jedoch mit Spiegelebenen, die sowohl die Spiegelebenen von T _d als auch von T _h umfassen . Diese Gruppe ist isomorph zu S ₄ .C ₂ und die volle Symmetriegruppe des Würfels und Oktaeders . Sie ist die hyperoktaedrische Gruppe für n = 3 . Siehe auch die Isometrien des Würfels .

Verbindung aus Würfel und Oktaeder

Jede Fläche des Disdyakis-Dodekaeders ist ein fundamentaler Bereich.

Die oktaedrische Gruppe O _h mit fundamentaler Domäne

Mit den vierzähligen Achsen als Koordinatenachsen ist der Fundamentalbereich von O _<sub>h</sub> durch 0 ≤ x ≤ y ≤ z gegeben . Ein Objekt mit dieser Symmetrie ist durch den Teil des Objekts im Fundamentalbereich charakterisiert, beispielsweise durch z = 1 für den Würfel und durch x + y + z = 1 für das Oktaeder (oder die entsprechenden Ungleichungen, um den Körper anstelle der Oberfläche zu erhalten). ax + by + cz = 1 ergibt ein Polyeder mit 48 Flächen, z. B. das Disdyakis-Dodekaeder.

Die Flächen sind 8x8-Flächen, die zu größeren Flächen kombiniert werden, wenn a = b = 0 (Würfel) bzw. a = b = c (Oktaeder).

Die neun Spiegelachsen der vollen oktaedrischen Symmetrie lassen sich in zwei Untergruppen von drei und sechs (lila und rot dargestellt) unterteilen, die zwei orthogonale Untersymmetrien repräsentieren: D _2h und T _d . Die D _{2h- Symmetrie kann durch Wiederherstellung von zwei Spiegelachsen aus einer von drei Orientierungen zu D}_4h verdoppelt werden .

Oktaedrische Symmetrie und reflektierende Untergruppen

Orthografische Projektion	Stereografische Projektion
Orthografische Projektion	4-fach	3-fach	2-fach
O _h , [4,3],, vollständige oktaedrische Symmetrie (3+6 Spiegel)

T _d , [3,3]=[1 ⁺ ,4,3],=, tetraedrische Untergruppe (6 Spiegel)

C _3v , [3],, Diedergruppe (3 Spiegel)

Orthografische Projektion	Stereografische Projektion
Orthografische Projektion	4-fach	3-fach	2-fach
D _4h , [4,2],Dieder-Untergruppe (1+2+2 Spiegel)

D _2h , [2,2]=[4,3*],= Diederuntergruppe (1+1+1 Spiegel)

C _4v , [4],, Diederuntergruppe (2+2 Spiegel)

Rotationsmatrizen

Man nehme die Menge aller 3×3 -Permutationsmatrizen und weise jeder der drei Einsen ein + oder − Vorzeichen zu. Es gibt Permutationen und Vorzeichenkombinationen für insgesamt 48 Matrizen, die die vollständige Oktaedergruppe bilden. 24 dieser Matrizen haben eine Determinante von +1; dies sind die Rotationsmatrizen der chiralen Oktaedergruppe. Die anderen 24 Matrizen haben eine Determinante von −1 und entsprechen einer Spiegelung oder Inversion. $3!=6$ $2^{3}=8$

Für die Oktaedersymmetrie werden drei Spiegelgeneratormatrizen benötigt, die die drei Spiegel eines Coxeter-Dynkin-Diagramms darstellen . Das Produkt der Spiegelungen ergibt drei Rotationsgeneratoren.

[4,3],
	Reflexionen			Rotationen			Rotoreflection
Generatoren	R ₀	R ₁	R ₂	R ₀ R ₁	R ₁ R ₂	R ₀ R ₂	R ₀ R ₁ R ₂
Gruppe
Befehl	2	2	2	4	3	2	6
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}1&{\phantom {+}}0&{\phantom {+}}0\\0&{\phantom {+}}1&{\phantom {+}}0\\0&{\phantom {+}}0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&{\phantom {+}}0&{\phantom {+}}0\\0&{\phantom {+}}0&{\phantom {+}}1\\0&-1&{\phantom {+}}0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&{\phantom {+}}1&{\phantom {+}}0\\1&{\phantom {+}}0&{\phantom {+}}0\\0&{\phantom {+}}0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\phantom {+}}0&1&0\\{\phantom {+}}0&0&1\\-1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$

Untergruppen mit voller oktaedrischer Symmetrie

O

T _d

T _h

Zyklusgraphen von Untergruppen der Ordnung 24

Rotationsuntergruppen

Reflektierende Untergruppen

Untergruppen mit Inversion

Schoenflies-Notation	Coxeter	Orb.	HM	Struktur	Befehl	Index
Oh	[4,3]	*432	m 3 m	S ₄ × S ₂	48	1
T _d	[3,3]	*332	4,3 m	S ₄	24	2
D _4h	[2,4]	*224	4/mmm	D ₂ ×D ₈	16	3
D _2h	[2,2]	*222	mmm	D³₂= D ₂ ×D ₄	8	6
C _4V	[4]	*44	4 mm	D ₈	8	6
C _3V	[3]	*33	3 m	D ₆ = S ₃	6	8
C _2v	[2]	*22	mm²	D²₂= D ₄	4	12
C _s = C _1v	[ ]	*	2 oder m	D ₂	2	24
T _h	[3 ⁺ ,4]	3*2	m 3	A ₄ ×S ₂	24	2
C _4h	[4 ⁺ ,2]	4*	4/m	Z ₄ ×D ₂	8	6
D _3d	[2 ⁺ ,6]	2*3	3 m	D ₁₂ = Z ₂ ×D ₆	12	4
D _2d	[2 ⁺ ,4]	2*2	4 2m	D ₈	8	6
C _2h = D _1d	[2 ⁺ ,2]	2*	2/m	Z ₂ ×D ₂	4	12
S ₆	[2 ⁺ ,6 ⁺ ]	3×	3	Z ₆ = Z ₂ ×Z ₃	6	8
S ₄	[2 ⁺ ,4 ⁺ ]	2×	4	Z ₄	4	12
S ₂	[2 ⁺ ,2 ⁺ ]	×	1	S ₂	2	24
O	[4,3] ⁺	432	432	S ₄	24	2
T	[3,3] ⁺	332	23	A ₄	12	4
D ₄	[2,4] ⁺	224	422	D ₈	8	6
D ₃	[2,3] ⁺	223	322	D ₆ = S ₃	6	8
D ₂	[2,2] ⁺	222	222	D ₄ = Z²₂	4	12
C ₄	[4] ⁺	44	4	Z ₄	4	12
C ₃	[3] ⁺	33	3	Z ₃ = A ₃	3	16
C ₂	[2] ⁺	22	2	Z ₂	2	24
C ₁	[ ] ⁺	11	1	Z ₁	1	48

Oktaedrische Untergruppen in Coxeter-Notation ^{[ 1 ]}

Die Isometrien des Würfels

Der Würfel besitzt 48 Isometrien (Symmetrieelemente), die die Symmetriegruppe O _h bilden , welche isomorph zu S ₄ × Z ₂ ist . Sie lassen sich wie folgt kategorisieren:

O (die Identität und 23 echte Drehungen) mit den folgenden Konjugationsklassen (in Klammern sind die Permutationen der Körperdiagonalen und der Einheitsquaternionendarstellung angegeben ):
- Identität (Identität; 1)
- Drehung um eine Achse vom Mittelpunkt einer Fläche zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Fläche um einen Winkel von 90°: 3 Achsen, 2 pro Achse, zusammen 6 ((1 2 3 4), usw.; ((1 ± i )/ √ 2 , usw.)
- Dasselbe gilt für einen Winkel von 180°: 3 Achsen, 1 pro Achse, zusammen 3 ((1 2) (3 4), usw.; i , j , k )
- Drehung um eine Achse vom Mittelpunkt einer Kante zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Kante um einen Winkel von 180°: 6 Achsen, 1 pro Achse, zusammen 6 ((1 2), usw.; (( i ± j )/ √ 2 , usw.)
- Drehung um eine Raumdiagonale um einen Winkel von 120°: 4 Achsen, 2 pro Achse, zusammen 8 ((1 2 3), usw.; (1 ± i ± j ± k )/2)
Gleiches gilt für die Inversion ( x wird auf −x abgebildet ) (ebenfalls 24 Isometrien). Eine Drehung um 180° um eine Achse in Kombination mit einer Inversion entspricht einer Spiegelung an der senkrechten Ebene. Die Kombination aus Inversion und Drehung um eine Raumdiagonale um 120° entspricht einer Drehung um die Raumdiagonale um 60° in Kombination mit einer Spiegelung an der senkrechten Ebene (die Drehung selbst bildet den Würfel nicht auf sich selbst ab; der Schnittpunkt der Spiegelebene mit dem Würfel ist ein regelmäßiges Sechseck ).

Eine Isometrie des Würfels kann auf verschiedene Weise identifiziert werden:

Bei den drei gegebenen, benachbarten Seiten (z. B. 1, 2 und 3 auf einem Würfel) werden folgende Werte zugeordnet:
durch das Bild eines Würfels mit einer nicht-symmetrischen Markierung auf einer Seite: die Seite mit der Markierung, ob sie normal oder spiegelbildlich ist, und die Orientierung
durch eine Permutation der vier Raumdiagonalen (jede der 24 Permutationen ist möglich), kombiniert mit einem Schalter zum Invertieren des Würfels, oder nicht

Bei Würfeln mit Farben oder Markierungen (wie sie Würfel haben) ist die Symmetriegruppe eine Untergruppe von O _h .

Beispiele:

C _4v , [4], (*422): Wenn eine Fläche eine andere Farbe hat (oder zwei gegenüberliegende Flächen Farben haben, die sich voneinander und von den anderen vier unterscheiden), hat der Würfel 8 Isometrien, wie ein Quadrat in 2D.
D _2h , [2,2], (*222): Wenn gegenüberliegende Flächen die gleiche Farbe haben, die für jedes Paar unterschiedlich ist, hat der Würfel 8 Isometrien, wie ein Quader .
D _4h , [4,2], (*422): Wenn zwei gegenüberliegende Flächen die gleiche Farbe haben und alle anderen Flächen eine andere Farbe haben, besitzt der Würfel 16 Isometrien, wie ein quadratisches Prisma (quadratischer Kasten).
C _2v , [2], (*22):
- Wenn zwei benachbarte Flächen die gleiche Farbe haben und alle anderen Flächen eine andere Farbe haben, besitzt der Würfel 4 Isometrien.
- Wenn drei Flächen, von denen zwei einander gegenüberliegen, eine Farbe haben und die anderen drei eine andere Farbe, hat der Würfel 4 Isometrien.
- Wenn zwei gegenüberliegende Flächen die gleiche Farbe haben, und zwei weitere gegenüberliegende Flächen ebenfalls, und die letzten beiden unterschiedliche Farben haben, dann hat der Würfel 4 Isometrien, wie ein leeres Blatt Papier mit einer Form mit Spiegelsymmetrie.
C _s , [ ], (*):
- Wenn zwei benachbarte Flächen unterschiedliche Farben haben und die anderen vier eine dritte Farbe haben, besitzt der Würfel 2 Isometrien.
- Wenn zwei gegenüberliegende Flächen die gleiche Farbe haben und alle anderen Flächen unterschiedliche Farben haben, besitzt der Würfel 2 Isometrien, wie ein asymmetrisches Blatt Papier.
C _3v , [3], (*33): Wenn drei Flächen, von denen keine einander gegenüberliegen, eine Farbe haben und die anderen drei eine andere Farbe, dann hat der Würfel 6 Isometrien.

Bei einigen größeren Untergruppen lässt sich ein Würfel mit dieser Gruppe als Symmetriegruppe nicht allein durch Einfärben ganzer Flächen erzeugen. Man muss ein Muster auf die Flächen zeichnen.

Beispiele:

D _2d , [2 ⁺ ,4], (2*2): Wenn eine Fläche eine Linie besitzt, die die Fläche in zwei gleich große Rechtecke teilt, und die gegenüberliegende Fläche die gleiche Linie in senkrechter Richtung besitzt, dann besitzt der Würfel 8 Isometrien; es gibt eine Symmetrieebene und eine zweizählige Drehsymmetrie mit einer Achse, die einen Winkel von 45° zu dieser Ebene bildet, und folglich gibt es auch eine weitere Symmetrieebene, die senkrecht zur ersten verläuft, und eine weitere Achse zweizähliger Drehsymmetrie, die senkrecht zur ersten verläuft.
T _h , [3 ⁺ ,4], (3*2): Wenn jede Fläche eine Linie besitzt, die die Fläche in zwei gleiche Rechtecke teilt, so dass sich die Liniensegmente benachbarter Flächen an der Kante nicht treffen, besitzt der Würfel 24 Isometrien: die geraden Permutationen der Raumdiagonalen und dieselben kombiniert mit Inversion ( x wird auf − x abgebildet ).
T _d , [3,3], (*332): Wenn der Würfel aus acht kleineren Würfeln besteht, vier weißen und vier schwarzen, die abwechselnd in allen drei Standardrichtungen zusammengefügt werden, hat der Würfel wieder 24 Isometrien: diesmal die geraden Permutationen der Raumdiagonalen und die Inversen der anderen echten Drehungen.
T, [3,3] ⁺ , (332): Wenn jede Fläche das gleiche Muster mit 2-facher Rotationssymmetrie aufweist, etwa den Buchstaben S, so dass an allen Kanten eine Spitze des einen S auf eine Seite des anderen S trifft, dann hat der Würfel 12 Isometrien: die geraden Permutationen der Raumdiagonalen.

Die volle Symmetrie des Würfels, O _h , [4,3], (*432), bleibt genau dann erhalten, wenn alle Flächen das gleiche Muster aufweisen, sodass die volle Symmetrie des Quadrats erhalten bleibt, wobei für das Quadrat eine Symmetriegruppe, Dih ₄ , [4], der Ordnung 8 vorliegt.

Die volle Symmetrie des Würfels unter geeigneten Drehungen, O, [4,3] ⁺ , (432), bleibt genau dann erhalten, wenn alle Flächen das gleiche Muster mit 4-facher Rotationssymmetrie , Z ₄ , [4] ^{+ ,} aufweisen .