Riemannsche Differentialgleichung

In der Mathematik ist die Riemannsche Differentialgleichung , benannt nach Bernhard Riemann , eine Verallgemeinerung der hypergeometrischen Differentialgleichung , die es erlaubt, dass reguläre singuläre Punkte an beliebigen Stellen der Riemannschen Zahlenkugel auftreten , anstatt nur bei 0, 1 und . Die Gleichung ist auch als Papperitz-Gleichung bekannt . ^{[ 1 ]}${\displaystyle \infty }$

Die hypergeometrische Differentialgleichung ist eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit drei regulären singulären Punkten, 0, 1 und . Diese Gleichung besitzt zwei linear unabhängige Lösungen; in der Nähe einer Singularität nehmen die Lösungen die Form an , wobei eine lokale Variable ist und lokal holomorph zu ist . Die reelle Zahl wird als Exponent der Lösung an bezeichnet . Seien α , β und γ die Exponenten der einen Lösung an den Punkten 0, 1 bzw. ; und seien α ′ , β ′ und γ ′ die der anderen. Dann ${\displaystyle \infty }$${\displaystyle z_{s}}$${\displaystyle x^{s}f(x)}$${\displaystyle x=z-z_{s}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(0)\neq 0}$${\displaystyle s}$${\displaystyle z_{s}}$${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle \alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1.}$

Durch geeignete Variablentransformationen lässt sich die hypergeometrische Gleichung umformen: Möbius-Transformationen verändern die Positionen der regulären singulären Punkte, während andere Transformationen (siehe unten) die Exponenten an den regulären singulären Punkten verändern können, wobei die Summe der Exponenten 1 ergibt.

Die Differentialgleichung lautet:

${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {1-\alpha -\alpha '}{za}}+{\frac {1-\beta -\beta '}{zb}}+{\frac {1-\gamma -\gamma '}{zc}}\right]{\frac {dw}{dz}}}$

${\displaystyle +\left[{\frac {\alpha \alpha '(ab)(ac)}{za}}+{\frac {\beta \beta '(bc)(ba)}{zb}}+{\frac {\gamma \gamma '(ca)(cb)}{zc}}\right]{\frac {w}{(za)(zb)(zc)}}=0.}$

Die regulären singulären Punkte sind a , b und c . Die Exponenten der Lösungen an diesen regulären singulären Punkten sind jeweils α ; α ′ , β ; β ′ und γ ; γ ′ . Wie zuvor unterliegen die Exponenten der Bedingung

${\displaystyle \alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1.}$

Die Lösungen werden mit dem Riemannschen P-Symbol (auch Papperitz-Symbol genannt ) bezeichnet.

${\displaystyle w(z)=P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}}$

Die Standard -Hypergeometrische Funktion kann wie folgt ausgedrückt werden:

${\displaystyle \;_{2}F_{1}(a,b;c;z)=P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\;\\0&a&0&z\\1-c&b&c-ab&\;\end{matrix}}\right\}}$

Die P-Funktionen erfüllen eine Reihe von Identitäten; eine davon erlaubt es, eine allgemeine P-Funktion mithilfe der hypergeometrischen Funktion auszudrücken.

${\displaystyle P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}=\left({\frac {za}{zb}}\right)^{\alpha }\left({\frac {zc}{zb}}\right)^{\gamma }P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\;\\0&\alpha +\beta +\gamma &0&\;{\frac {(za)(cb)}{(zb)(ca)}}\\\alpha '-\alpha &\alpha +\beta '+\gamma &\gamma '-\gamma &\;\end{matrix}}\right\}}$

Anders ausgedrückt, lassen sich die Lösungen mithilfe der hypergeometrischen Funktion wie folgt ausdrücken:

${\displaystyle w(z)=\left({\frac {za}{zb}}\right)^{\alpha }\left({\frac {zc}{zb}}\right)^{\gamma }\;_{2}F_{1}\left(\alpha +\beta +\gamma ,\alpha +\beta '+\gamma ;1+\alpha -\alpha ';{\frac {(za)(cb)}{(zb)(ca)}}\right)}$

Auf diese Weise kann die vollständige Anzahl der 24 Lösungen von Kummer ermittelt werden; siehe den Artikel hypergeometrische Differentialgleichung für eine Behandlung der Lösungen von Kummer.

Die P-Funktion besitzt eine einfache Symmetrie unter der Wirkung fraktionaler linearer Transformationen, bekannt als Möbius-Transformationen (konforme Abbildungen der Riemannschen Zahlenkugel), oder äquivalent unter der Wirkung der Gruppe GL (2, C ) . Gegeben seien beliebige komplexe Zahlen A , B , C , D mit AD − BC ≠ 0. Die Größen werden definiert als

${\displaystyle u={\frac {Az+B}{Cz+D}}\quad {\text{ und }}\quad \eta ={\frac {Aa+B}{Ca+D}}}$

Und

${\displaystyle \zeta ={\frac {Ab+B}{Cb+D}}\quad {\text{ und }}\quad \theta ={\frac {Ac+B}{Cc+D}}}$

Dann hat man die einfache Beziehung

${\displaystyle P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}=P\left\{{\begin{matrix}\eta &\zeta &\theta &\;\\\alpha &\beta &\gamma &u\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}}$

die Symmetrie zum Ausdruck bringen.

Wenn die obige Möbius-Transformation die singulären Punkte verschiebt, aber die Exponenten nicht ändert, verschiebt die folgende Transformation die singulären Punkte nicht, ändert aber die Exponenten: ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle \left({\frac {za}{zb}}\right)^{k}\left({\frac {zc}{zb}}\right)^{l}P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}=P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha +k&\beta -kl&\gamma +l&z\\\alpha '+k&\beta '-kl&\gamma '+l&\;\end{matrix}}\right\}}$

• Methode von Frobenius
• Monodromie

• Milton Abramowitz und Irene A. Stegun (Hrsg.), Handbuch mathematischer Funktionen mit Formeln, Graphen und mathematischen Tabellen (Dover: New York, 1972)
  • Kapitel 15 Hypergeometrische Funktionen
    • Abschnitt 15.6 Riemannsche Differentialgleichung