Rotationsinvarianz

In der Mathematik wird eine Funktion , die auf einem inneren Produktraum definiert ist, als rotationsinvariant bezeichnet, wenn sich ihr Wert nicht ändert, wenn beliebige Rotationen auf ihr Argument angewendet werden.

Zum Beispiel die Funktion

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$

ist invariant unter Drehungen der Ebene um den Ursprung, da für einen um einen beliebigen Winkel θ gedrehten Satz von Koordinaten

${\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta }$

${\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta }$

Die Funktion nimmt nach einigen Kürzen von Termen genau dieselbe Form an.

${\displaystyle f(x',y')={x}^{2}+{y}^{2}}$

Die Drehung der Koordinaten kann mithilfe der Rotationsmatrix in Matrixform ausgedrückt werden .

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}},}$

oder symbolisch: x ′ = Rx . Symbolisch ist die Rotationsinvarianz einer reellwertigen Funktion zweier reeller Variablen gegeben durch:

${\displaystyle f(\mathbf {x} ')=f(\mathbf {Rx} )=f(\mathbf {x} )}$

In Worten ausgedrückt: Die Funktion mit den gedrehten Koordinaten hat exakt dieselbe Form wie mit den ursprünglichen Koordinaten; der einzige Unterschied besteht darin, dass die gedrehten Koordinaten die ursprünglichen ersetzen. Für eine reellwertige Funktion mit drei oder mehr reellen Variablen lässt sich dieser Ausdruck mithilfe geeigneter Rotationsmatrizen leicht erweitern.

Das Konzept lässt sich auch auf eine vektorwertige Funktion f einer oder mehrerer Variablen übertragen;

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} ')=\mathbf {f} (\mathbf {Rx} )=\mathbf {f} (\mathbf {x} ).}$

In allen oben genannten Fällen werden die Argumente (hier der Einfachheit halber als „Koordinaten“ bezeichnet) gedreht, nicht die Funktion selbst.

Für eine Funktion

${\displaystyle f:X\rightarrow X,}$

Eine Funktion, die Elemente einer Teilmenge X der reellen Zahlengeraden auf sich selbst abbildet, kann unter Rotationsinvarianz auch bedeuten, dass die Funktion mit Rotationen von Elementen in X kommutiert . Dies gilt auch für einen Operator , der auf solche Funktionen wirkt. Ein Beispiel hierfür ist der zweidimensionale Laplace-Operator.${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}},}$

der auf eine Funktion f angewendet wird , um eine andere Funktion ∇ ² f zu erhalten . Dieser Operator ist invariant unter Rotationen.

Wenn g die Funktion g ( p ) = f ( R ( p )) ist, wobei R eine beliebige Rotation ist, dann ist (∇ ² g )( p ) = (∇ ² f )( R ( p )); das heißt, die Rotation einer Funktion rotiert lediglich ihren Laplace-Operator.

In der Physik gilt : Wenn sich ein System unabhängig von seiner räumlichen Orientierung gleich verhält, dann ist seine Lagrange-Funktion rotationsinvariant. Nach dem Noether-Theorem ist der Drehimpuls erhalten , wenn die Wirkung (das Zeitintegral seiner Lagrange-Funktion) eines physikalischen Systems rotationsinvariant ist .

In der Quantenmechanik bezeichnet Rotationsinvarianz die Eigenschaft, dass das System nach einer Rotation weiterhin der Schrödingergleichung gehorcht .

${\displaystyle [R,EH]=0}$

Für jede Rotation R gilt: Da die Rotation nicht explizit von der Zeit abhängt, kommutiert sie mit dem Energieoperator. Daher muss für die Rotationsinvarianz [ R ,  H ] = 0 gelten.

Für infinitesimale Drehungen (in diesem Beispiel in der xy -Ebene; analog lässt sich dies für jede Ebene durchführen) um einen Winkel dθ lautet der (infinitesimale) Drehoperator:

${\displaystyle R=1+J_{z}d\theta \,,}$

Dann

${\displaystyle \left[1+J_{z}d\theta ,{\frac {d}{dt}}\right]=0\,,}$

daher

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}J_{z}=0\,,}$

Mit anderen Worten: Der Drehimpuls bleibt erhalten.

• Axiale Symmetrie
• Invariantes Maß
• Isotropie
• Satz von Maxwell
• Rotationssymmetrie

• Stenger, Victor J. (2000). Zeitlose Realität . Prometheus Books. Insbesondere Kapitel 12. Nichttechnisch.