Funktion mehrerer komplexer Variablen

Die Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Variablen ist der Teilbereich der Mathematik, der sich mit Funktionen befasst, die auf dem komplexen Koordinatenraum , also n -Tupeln komplexer Zahlen, definiert sind . Das Gebiet, das sich mit den Eigenschaften dieser Funktionen beschäftigt, wird als Theorie mehrerer komplexer Variablen (und analytischer Raum ) bezeichnet; dies ist ein Oberbegriff der Mathematics Subject Classification ( MSC).${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Wie in der komplexen Analysis von Funktionen einer Variablen sind die untersuchten Funktionen holomorph oder komplex-analytisch , sodass sie lokal Potenzreihen in den Variablen z_{_i} sind . Äquivalent dazu sind sie lokal gleichmäßige Grenzwerte von Polynomen oder Lösungen der n- dimensionalen Cauchy-Riemann-Gleichungen . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Für eine komplexe Variable ist jeder Definitionsbereich der Holomorphiebereich einer Funktion. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Für mehrere komplexe Variablen ist dies nicht der Fall; es existieren Bereiche, die nicht der Holomorphiebereich irgendeiner Funktion sind und daher nicht immer der Holomorphiebereich sind. Der Holomorphiebereich ist daher eines der Themen in diesem Gebiet. ^{[ 3 ]} Das Patchen der lokalen Daten meromorpher Funktionen , d. h. das Problem, aus Nullstellen und Polen eine globale meromorphe Funktion zu erzeugen, wird als Cousin-Problem bezeichnet . Darüber hinaus sind die interessanten Phänomene, die in mehreren komplexen Variablen auftreten, von grundlegender Bedeutung für die Untersuchung kompakter komplexer Mannigfaltigkeiten und komplexer projektiver Varietäten ^{[ 5 ]} und haben einen anderen Charakter als die komplexe analytische Geometrie in oder auf Stein-Mannigfaltigkeiten ; diese ähneln eher der Untersuchung algebraischer Varietäten, also der Untersuchung der algebraischen Geometrie, als der komplexen analytischen Geometrie. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Viele Beispiele solcher Funktionen waren in der Mathematik des 19. Jahrhunderts bekannt: abelsche Funktionen , Thetafunktionen und einige hypergeometrische Reihen sowie, als Beispiel für ein inverses Problem , das Jacobi-Inversionsproblem . ^{[ 6 ]} Natürlich ist auch dieselbe Funktion einer Variablen, die von einem komplexen Parameter abhängt , ein Kandidat. Die Theorie entwickelte sich jedoch lange Zeit nicht zu einem eigenständigen Gebiet der Analysis , da ihre charakteristischen Phänomene nicht entdeckt wurden. Der Weierstrasssche Präparationssatz würde heute der kommutativen Algebra zugeordnet werden ; er rechtfertigte die lokale Darstellung, die Verzweigungstheorie , welche die Verallgemeinerung der Verzweigungspunkte der Riemannschen Flächentheorie behandelt.

Mit den Arbeiten von Friedrich Hartogs , Pierre Cousin , E. E. Levi und Kiyoshi Oka in den 1930er Jahren begann sich eine allgemeine Theorie herauszubilden; weitere Forscher auf diesem Gebiet waren Heinrich Behnke , Peter Thullen , Karl Stein , Wilhelm Wirtinger und Francesco Severi . Hartogs bewies einige grundlegende Ergebnisse, beispielsweise, dass jede isolierte Singularität für jede analytische Funktion mit n > 1 behebbar ist . Die Analoga von Konturintegralen sind naturgemäß schwieriger zu handhaben; für n = 2 muss ein Integral um einen Punkt über eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit berechnet werden (da wir uns in vier reellen Dimensionen befinden), während die Iteration von Konturintegralen über zwei separate komplexe Variablen zu einem Doppelintegral über eine zweidimensionale Fläche führt . Dies bedeutet, dass die Residuenrechnung einen ganz anderen Charakter annehmen muss. $${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$$

Nach 1945 veränderten wichtige Arbeiten in Frankreich, im Seminar von Henri Cartan , und in Deutschland mit Hans Grauert und Reinhold Remmert rasch das Bild der Theorie. Zahlreiche Fragen wurden geklärt, insbesondere die der analytischen Fortsetzung . Hier zeigt sich ein wesentlicher Unterschied zur Theorie mit einer Variablen: Während es für jede offene, zusammenhängende Menge D eine Funktion gibt, die nirgends analytisch über den Rand fortgesetzt werden kann, gilt dies nicht für n > 1. Tatsächlich sind solche Mengen D recht speziell (insbesondere in komplexen Koordinatenräumen und auf Stein-Mannigfaltigkeiten, da sie die sogenannte Pseudokonvexitätsbedingung erfüllen ). Die natürlichen Definitionsbereiche von Funktionen, die bis zum Grenzwert fortgesetzt werden, heißen Stein-Mannigfaltigkeiten . Ihre Natur ist es, dass Garbenkohomologiegruppen verschwinden. Der Grauert-Riemenschneider-Satz über das Verschwinden von Funktionen ist hingegen als ähnliches Ergebnis für kompakte komplexe Mannigfaltigkeiten bekannt, und die Grauert-Riemenschneider-Vermutung ist ein Spezialfall der Narasimhan-Vermutung. ^{[ 3 ]} Tatsächlich war es das Bedürfnis, (insbesondere) die Arbeit von Oka auf eine klarere Grundlage zu stellen, das schnell zur konsequenten Verwendung von Garben für die Formulierung der Theorie führte (mit großen Auswirkungen auf die algebraische Geometrie , insbesondere aufgrund der Arbeit von Grauert). ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Von diesem Zeitpunkt an existierte eine grundlegende Theorie, die auf die analytische Geometrie ^{[ Anmerkung 1 ]} , automorphe Formen mehrerer Variablen und partielle Differentialgleichungen angewendet werden konnte . Die Deformationstheorie komplexer Strukturen und komplexer Mannigfaltigkeiten wurde von Kunihiko Kodaira und D. C. Spencer allgemein beschrieben . Die vielbeachtete Arbeit GAGA von Serre ^{[ 7 ]} markierte den Übergang von der analytischen zur algébrischen Geometrie .

C. L. Siegel soll sich darüber beklagt haben, dass die neue Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Variablen nur wenige Funktionen enthalte , was bedeute, dass der spezielle Funktionenaspekt der Theorie den Garben untergeordnet sei. Das Interesse der Zahlentheorie liegt sicherlich in spezifischen Verallgemeinerungen von Modulformen . Klassische Kandidaten sind die Hilbertschen und die Siegelschen Modulformen . Heutzutage werden diese mit algebraischen Gruppen assoziiert (genauer gesagt mit der Weil-Restriktion eines total reellen Zahlkörpers GL ( 2) bzw. der symplektischen Gruppe ), für die sich automorphe Darstellungen aus analytischen Funktionen ableiten lassen. In gewisser Weise widerspricht dies nicht Siegel; die moderne Theorie verfolgt ihre eigenen, anderen Ansätze.

Zu den Weiterentwicklungen zählten die Hyperfunktionstheorie und der Keilkantensatz , die beide von der Quantenfeldtheorie inspiriert wurden . Es gibt eine Reihe weiterer Gebiete, wie beispielsweise die Banachalgebratheorie , die mehrere komplexe Variablen verwenden.

Der komplexe Koordinatenraum ist das kartesische Produkt von n Kopien von , und wenn ein Holomorphiebereich ist, kann als Steinsche Mannigfaltigkeit und allgemeiner als Steinscher Raum betrachtet werden. wird auch als komplexe projektive Varietät , Kähler - Mannigfaltigkeit ^{[ 8 ]} usw. angesehen. Er ist außerdem ein n- dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen , was seine Dimension 2n über ergibt . ^{[ Anmerkung 2} ] ^Daher kann als Menge und als topologischer Raum mit dem reellen Koordinatenraum identifiziert werden , und seine topologische Dimension ist somit 2n .${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

In einer koordinatenfreien Sprache kann man sich jeden Vektorraum über komplexen Zahlen als einen reellen Vektorraum mit doppelt so vielen Dimensionen vorstellen, wobei eine komplexe Struktur durch einen linearen Operator J spezifiziert wird , der J ² = − I erfüllt und die Multiplikation mit der imaginären Einheit i definiert .

Jeder solche Raum ist, wie ein reeller Raum, orientiert . In der komplexen Ebene, die man sich als kartesische Ebene vorstellt , kann die Multiplikation mit einer komplexen Zahl w = u + iv durch die reelle Matrix dargestellt werden.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&-v\\v&u\end{pmatrix}},}$

Mit der Determinante ... Ebenso ist die Determinante eines endlichdimensionalen komplexen linearen Operators, der als reelle Matrix dargestellt wird (und aus 2 × 2-Blöcken der oben genannten Form besteht), gleich dem Quadrat des Betrags der entsprechenden komplexen Determinante. Sie ist nichtnegativ, was bedeutet, dass die (reelle) Orientierung des Raums durch einen komplexen Operator niemals umgekehrt wird. Dasselbe gilt für Jacobische Matrizen holomorpher Funktionen von ℝⁿ nach ℝⁿ . ${\displaystyle u^{2}+v^{2}=|w|^{2}.}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Eine Funktion f, die auf einem Definitionsbereich definiert ist und Werte in annimmt, heißt holomorph an einem Punkt, wenn sie an diesem Punkt komplex differenzierbar ist, in dem Sinne, dass es eine komplexe lineare Abbildung gibt, sodass ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle z\in D}$${\displaystyle L:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(z+h)=f(z)+L(h)+o(\lVert h\rVert )}$

Eine Funktion f heißt holomorph, wenn sie in allen Punkten ihres Definitionsbereichs D holomorph ist .

Wenn f holomorph ist, dann sind alle partiellen Abbildungen:

${\displaystyle z\mapsto f(z_{1},\dots ,z_{i-1},z,z_{i+1},\dots ,z_{n})}$

Funktionen einer komplexen Variablen sind holomorph: Wir sagen, f ist in jeder Variablen einzeln holomorph. Umgekehrt gilt: Wenn f in jeder Variablen einzeln holomorph ist, dann ist f auch in Wirklichkeit holomorph. Dies ist bekannt als Satz von Hartog oder, unter der zusätzlichen Voraussetzung der Stetigkeit von f , als Lemma von Osgood .

In einer komplexen Variablen heißt eine auf der Ebene definierte Funktion in einem Punkt holomorph, wenn ihr Realteil und ihr Imaginärteil die sogenannten Cauchy-Riemann-Gleichungen in diesem Punkt erfüllen.${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$${\displaystyle p\in \mathbb {C} }$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle p,}$

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}(p)={\frac {\partial v}{\partial y}}(p)\quad {\text{ und }}\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}(p)=-{\frac {\partial v}{\partial x}}(p).}$$

Eine Funktion ist in mehreren Variablen holomorph, wenn sie in jeder Variablen einzeln holomorph ist und somit, wenn Realteil und Imaginärteil die Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllen .${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle f}$

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial v}{\partial y_{j}}}\quad {\text{ und }}\quad {\frac {\partial u}{\partial y_{j}}}=-{\frac {\partial v}{\partial x_{j}}},\quad j=1,\dots ,n.}$$

Unter Verwendung des Formalismus der Wirtinger-Ableitungen lässt sich dies wie folgt umformulieren:

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z_{j}}}}}=0,\quad j=1,\dots ,n}$$

oder noch kompakter unter Verwendung des Formalismus komplexer Differentialformen , wie${\displaystyle {\bar {\partial }}f=0.}$

Beweisen Sie die Hinlänglichkeit der beiden Bedingungen (A) und (B). Sei f die Bedingungen der Stetigkeit und separaten Homomorphie auf dem Gebiet D. Jede Kreisscheibe besitzt eine rektifizierbare Kurve , ist stückweise glatt und eine abgeschlossene Kurve der Klasse Jordan. Sei das von jedem Kreis umschlossene Gebiet . Der kartesische Produktabschluss ist . Betrachten Sie außerdem die abgeschlossene Polyscheibe , sodass sie zu wird . Sei der Mittelpunkt jeder Kreisscheibe. Verwenden Sie wiederholt die Cauchysche Integralformel für eine Variable. ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma_{\nu }}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$${\displaystyle \nu =1,2,\ldots ,n}$${\displaystyle D_{\nu }}$${\displaystyle \gamma_{\nu }}$${\displaystyle {\overline {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}}}$${\displaystyle {\overline {D_{1}}}\times {\overline {D_{2}}}\times \cdots \times {\overline {D_{n}}}\in D}$${\displaystyle {\overline {\Delta }}}$${\displaystyle {\overline {\Delta }}\subset {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}}$${\displaystyle {\overline {\Delta }}(z,r)=\left\{\zeta =(\zeta _{1},\zeta _{2},\dots ,\zeta _{n})\in \mathbb {C} ^{n};\left|\zeta _{\nu }-z_{\nu }\right|\leq r_{\nu }{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$${\displaystyle \{z_{\nu }\}_{\nu =1}^{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z_{1},\ldots ,z_{n})&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}{\zeta _{1}-z_{1}}}\,d\zeta _{1}\\[6pt]&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\partial D_{2}}\,d\zeta _{2}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},\zeta _{2},z_{3},\ldots ,z_{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})(\zeta _{2}-z_{2})}}\,d\zeta _{1}\\[6pt]&={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{n}}\,d\zeta _{n}\cdots \int _{\partial D_{2}}\,d\zeta _{2}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})(\zeta _{2}-z_{2})\cdots (\zeta _{n}-z_{n})}}\,d\zeta _{1}.\end{aligned}}}$

Da es sich um eine rektifizierbare geschlossene Jordansche Kurve handelt ^{[ Anmerkung 3 ]} und f stetig ist, kann die Reihenfolge von Produkten und Summen vertauscht werden, sodass das iterierte Integral als Mehrfachintegral berechnet werden kann . Daher gilt: ${\displaystyle \partial D}$

${\displaystyle f(z_{1},\dots ,z_{n})={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{1}}\cdots \int _{\partial D_{n}}{\frac {f(\zeta _{1},\dots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})\cdots (\zeta _{n}-z_{n})}}\,d\zeta _{1}\cdots d\zeta _{n}.}$

1

Da die Reihenfolge von Produkten und Summen vertauschbar ist, erhalten wir aus ( 1 )

${\displaystyle {\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}{\partial {z_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial {z_{n}}^{k_{n}}}}={\frac {k_{1}!\cdots k_{n}!}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{1}}\cdots \int _{\partial D_{n}}{\frac {f(\zeta _{1},\dots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})^{k_{1}+1}\cdots (\zeta _{n}-z_{n})^{k_{n}+1}}}\,d\zeta _{1}\cdots d\zeta _{n}.}$

2

f ist eine Klassenfunktion . ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$

Aus (2) erhält man, falls f holomorph auf polydisc ist , die folgende Auswertungsgleichung. ${\displaystyle \left\{\zeta =(\zeta _{1},\zeta _{2},\dots ,\zeta _{n})\in \mathbb {C} ^{n};|\zeta _{\nu }-z_{\nu }|\leq r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$${\displaystyle |f|\leq {M}}$

${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f(\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n})}{{\partial z_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial {z_{n}}^{k_{n}}}}\right|\leq {\frac {Mk_{1}!\cdots k_{n}!}{{r_{1}}^{k_{1}}\cdots {r_{n}}^{k_{n}}}}.}$

Daher gilt der Satz von Liouville .

Ist die Funktion f holomorph auf der Polydiskus , so kann man mithilfe der Cauchy-Integralformel sehen, dass sie eindeutig in die nächste Potenzreihe entwickelt werden kann. ${\displaystyle \{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};|z_{\nu }-a_{\nu }|<r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&f(z)=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ ,\\&c_{k_{1}\cdots k_{n}}={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{1}}\cdots \int _{\partial D_{n}}{\frac {f(\zeta _{1},\dots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-a_{1})^{k_{1}+1}\cdots (\zeta _{n}-a_{n})^{k_{n}+1}}}\,d\zeta _{1}\cdots d\zeta _{n}.\end{aligned}}}$

Darüber hinaus wird eine Funktion f , die die folgenden Bedingungen erfüllt, als analytische Funktion bezeichnet.

Für jeden Punkt wird als Potenzreihenentwicklung ausgedrückt, die auf D konvergiert  : ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in D\subset \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}.}$

Wir haben bereits erklärt, dass holomorphe Funktionen auf Polydisc analytisch sind. Aus dem von Weierstrass hergeleiteten Satz lässt sich außerdem zeigen, dass die analytische Funktion auf Polydisc (konvergente Potenzreihe) holomorph ist.

Wenn eine Folge von Funktionen auf kompakten Teilmengen eines Gebiets D gleichmäßig konvergiert , dann ist die Grenzfunktion f holomorph in D. Außerdem konvergieren die entsprechenden partiellen Ableitungen von f kompakt auf dem Gebiet D gegen die entsprechenden Ableitungen von f . ^{[ 9 ]}${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }$${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }$

Es ist möglich, eine Kombination positiver reeller Zahlen zu definieren, sodass die Potenzreihe gleichmäßig bei konvergiert und nicht gleichmäßig bei konvergiert . ${\displaystyle \{r_{\nu }\ (\nu =1,\dots ,n)\}}$${\textstyle \sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ }$${\displaystyle \left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};|z_{\nu }-a_{\nu }|<r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$${\displaystyle \left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};|z_{\nu }-a_{\nu }|>r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$

Auf diese Weise ist es möglich, eine ähnliche Kombination von Konvergenzradien ^{[ Anmerkung 4 ]} für eine komplexe Variable zu erhalten. Diese Kombination ist im Allgemeinen nicht eindeutig, und es gibt unendlich viele Kombinationen.

Sei holomorph im Polyannulus und stetig auf seinem Abschluss. Dann ${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle \left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};r_{\nu }<|z|<R_{\nu },{\text{ for all }}\nu +1,\dots ,n\right\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}{\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{|\zeta _{\nu }|=R_{\nu }}\cdots \int f(\zeta )\times \left[{\frac {d^{k}}{dz^{k}}}{\frac {1}{\zeta -z}}\right]_{z=0}df_{\zeta }\cdot z^{k}\\[6pt]&+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|\zeta _{\nu }|=r_{\nu }}\cdots \int f(\zeta )\times \left(0,\cdots ,{\sqrt {\frac {k!}{\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!}}}\cdot \zeta _{n}^{\alpha _{1}-1}\cdots \zeta _{n}^{\alpha _{n}-1},\cdots 0\right)df_{\zeta }\cdot {\frac {1}{z^{k}}}\ (\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}=k).\end{aligned}}}$

Das Integral im zweiten Term der rechten Seite wird so durchgeführt, dass die Nullstelle auf der linken Seite in jeder Ebene sichtbar ist. Außerdem konvergiert diese integrierte Reihe gleichmäßig im Kreisring , wobei und , sodass der Term integriert werden kann. ^{[ 10 ]}${\displaystyle r'_{\nu }<|z|<R'_{\nu }}$${\displaystyle r'_{\nu }>r_{\nu }}$${\displaystyle R'_{\nu }<R_{\nu }}$

Die Bochner-Martinelli-Formel ist eine Cauchy-Formel, die für allgemeine Gebiete gilt. Sie besagt, dass, wenn f eine stetig differenzierbare Funktion auf dem Abschluss eines Gebiets D in ℝ mit stückweise glattem Rand ist, dann ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \partial D}$

${\displaystyle \displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega (\zeta ,z)-\int _{D}{\overline {\partial }}f(\zeta )\land \omega (\zeta ,z),\quad z\in D,}$

Dabei ist eine Differentialform, die als Bochner-Martinelli-Kern bezeichnet wird . Insbesondere verschwindet der zweite Term, wenn f holomorph ist, also ${\displaystyle \omega (\zeta ,z)}$

${\displaystyle \displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega (\zeta ,z).}$

Holomorphe Funktionen mehrerer komplexer Variablen erfüllen denselben Identitätssatz wie im Fall einer Variablen. Zwei holomorphe Funktionen, die auf demselben Definitionsbereich definiert sind und auf einer offenen Teilmenge N von D übereinstimmen , sind auf der gesamten Menge D gleich . Dieses Ergebnis lässt sich aus der Tatsache beweisen, dass holomorphe Funktionen Potenzreihenentwicklungen besitzen. Es kann auch aus dem Fall einer Variablen abgeleitet werden. Im Gegensatz zum Fall einer Variablen ist es möglich, dass zwei verschiedene holomorphe Funktionen auf einer Menge mit Häufungspunkt übereinstimmen, beispielsweise die Abbildungen und auf der gesamten komplexen Zahlengeraden von , die durch die Gleichung definiert ist . ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle f(z_{1},z_{2})=0}$${\displaystyle g(z_{1},z_{2})=z_{1}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle z_{1}=0}$

Das Maximalprinzip , der Satz über die Umkehrfunktion und die Sätze über implizite Funktionen gelten ebenfalls. Der Präparationssatz von Weierstraß dient als Satz über implizite Funktionen für komplexe Variablen.

Aus der Herleitung des Umkehrfunktionssatzes lässt sich die folgende Abbildung definieren.

Für den Definitionsbereich U , V des n- dimensionalen komplexen Raums ist die bijektive holomorphe Funktion und ihre Umkehrabbildung ebenfalls holomorph. In diesem Fall spricht man von einem U , V- Biholomorphismus; man sagt auch, dass U und V biholomorph äquivalent oder biholomorph sind. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \phi :U\to V}$${\displaystyle \phi ^{-1}:V\to U}$${\displaystyle \phi }$

Wenn offene Kugeln und offene Polydisks nicht biholomorph äquivalent sind ^{[ 11 ]} , im Gegensatz zum Fall einer einzelnen komplexen Variable, für den der Riemannsche Abbildungssatz gilt . Dieser wurde 1907 von Poincaré bewiesen, indem er zeigte, dass ihre Automorphismengruppen als Lie-Gruppen unterschiedliche Dimensionen haben ^{[ 4 ] [ 12 ]} . Selbst im Fall mehrerer komplexer Variablen gibt es jedoch einige Ergebnisse, die den Resultaten der Uniformisierungstheorie in einer komplexen Variable ähneln ^{[ 13 ] .}${\displaystyle n>1}$

Seien U und V Gebiete auf ℝ , sodass f(u) = f(u) und g(u) = g(u) ( wobei f die Menge/der Ring der holomorphen Funktionen auf U ist ). Angenommen , f (u) = g(u) ist eine Zusammenhangskomponente von U. Wenn f(u) = g(u) ist, dann heißt f zusammenhängend zu V , und g heißt analytische Fortsetzung von f . Nach dem Identitätssatz ist g , falls es existiert, für jede Wahl von W eindeutig. Für n > 2 tritt, abhängig von der Form des Randes, folgendes Phänomen auf : Es existieren Gebiete U und V , sodass alle holomorphen Funktionen über U eine analytische Fortsetzung von g(u) besitzen . Anders ausgedrückt: Es existiert möglicherweise keine Funktion f(u) = g(u) als natürlicher Rand. Dies wird als Hartogs-Phänomen bezeichnet. Daher ist die Untersuchung, wann Gebietsränder zu natürlichen Rändern werden, zu einem der Hauptforschungsthemen in der komplexen Analysis geworden. Wenn f(u) = g(u) ist , dann besitzt das obige V einen Schnittpunkt mit U, der nicht W ist . Dies trug zur Weiterentwicklung des Konzepts der Garbenkohomologie bei. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(U)}$${\displaystyle g\in {\mathcal {O}}(V)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$${\displaystyle U,\ V,\ U\cap V\neq \varnothing }$${\displaystyle W}$${\displaystyle U\cap V}$${\displaystyle f|_{W}=g|_{W}}$${\displaystyle \partial U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g\in {\mathcal {O}}(V)}$${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(U)}$${\displaystyle \partial U}$${\displaystyle n\geq 2}$

In Polydisks gilt die Cauchysche Integralformel, und die Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen ist definiert, da in Polydisks eine Trennung der Variablen möglich war . Dies gilt jedoch nicht immer für jeden Definitionsbereich. Um den Konvergenzbereich der Potenzreihen zu untersuchen, war daher eine zusätzliche Einschränkung des Definitionsbereichs erforderlich: der Reinhardt-Bereich. Frühe Erkenntnisse über Eigenschaften des Untersuchungsgebiets komplexer Funktionen, wie etwa logarithmische Konvexität und der Satz von Hartogs, wurden im Reinhardt-Bereich gewonnen.

Sei ein Definitionsbereich mit Mittelpunkt in einem Punkt , sodass der Definitionsbereich zusammen mit jedem Punkt auch die Menge enthält ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle z^{0}=(z_{1}^{0},\dots ,z_{n}^{0})\in D}$

${\displaystyle \left\{z=(z_{1},\dots ,z_{n});\left|z_{\nu }-a_{\nu }\right|=\left|z_{\nu }^{0}-a_{\nu }\right|,\ \nu =1,\dots ,n\right\}.}$

Ein Gebiet D wird als Reinhardt-Gebiet bezeichnet, wenn es die folgenden Bedingungen erfüllt: ^{[ 14 ] [ 15 ]}

Seien beliebige reelle Zahlen. Ein Definitionsbereich D ist invariant unter der Rotation: . ${\displaystyle \theta _{\nu }\;(\nu =1,\dots ,n)}$${\displaystyle \left\{z^{0}-a_{\nu }\right\}\to \left\{e^{i\theta _{\nu }}(z_{\nu }^{0}-a_{\nu })\right\}}$

Die Reinhardt-Bereiche sind durch die folgende Bedingung definiert: Zusammen mit allen Punkten von enthält der Bereich die Menge ${\displaystyle z^{0}\in D}$

${\displaystyle \left\{z=(z_{1},\dots ,z_{n});z=a+\left(z^{0}-a\right)e^{i\theta },\ 0\leq \theta <2\pi \right\}.}$

Ein Reinhardt-Gebiet D heißt vollständiges Reinhardt-Gebiet mit Mittelpunkt a, wenn es zusammen mit allen Punkten auch die Polyscheibe enthält. ${\displaystyle z^{0}\in D}$

${\displaystyle \left\{z=(z_{1},\dots ,z_{n});\left|z_{\nu }-a_{\nu }\right|\leq \left|z_{\nu }^{0}-a_{\nu }\right|,\ \nu =1,\dots ,n\right\}.}$

Ein vollständiger Reinhardt-Bereich D ist sternförmig bezüglich seines Zentrums a und daher einfach zusammenhängend .

Wenn ein vollständiger Reinhardt-Bereich der Konvergenzbereich einer Potenzreihe sein soll, ist eine zusätzliche Bedingung erforderlich, die als logarithmisch konvex bezeichnet wird.

Ein Reinhardt-Bereich D heißt logarithmisch konvex, wenn das Bild der Menge ${\displaystyle \lambda (D^{*})}$

${\displaystyle D^{*}=\{z=(z_{1},\dots ,z_{n})\in D;z_{1},\dots ,z_{n}\neq 0\}}$

unter der Kartierung

${\displaystyle \lambda ;z\rightarrow \lambda (z)=(\ln |z_{1}|,\dots ,\ln |z_{n}|)}$

ist eine konvexe Menge im reellen Koordinatenraum . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Jeder solche Bereich in ist das Innere der Menge der absoluten Konvergenzpunkte einer Potenzreihe in , und umgekehrt; der Konvergenzbereich jeder Potenzreihe in ist ein logarithmisch konvexer Reinhardt-Bereich mit Zentrum . ^{[ Anmerkung 5 ]} Es gibt jedoch ein Beispiel eines vollständigen Reinhardt-Bereichs D, der nicht logarithmisch konvex ist. ^{[ 16 ]}${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\textstyle \sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ }$${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$${\displaystyle a=0}$

Bei der Untersuchung des Konvergenzbereichs auf Reinhardt-Ringen entdeckte Hartogs das Hartogs-Phänomen. Er fand Bereiche, auf denen alle holomorphen Funktionen auf einen strikt größeren Bereich erweitert werden können. ^{[ 17 ]} Dies ist in einer Variablen nicht möglich.

Satz von Hartogs: ^{[ 18 ]} Sei G ein Gebiet in , mit n ≥ 2 , und K eine kompakte Teilmenge von G . Wenn G  \  K zusammenhängend ist, dann kann jede holomorphe Funktion auf G  \  K zu einer holomorphen Funktion auf G fortgesetzt werden . ^{[ 19 ]}${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Der Satz von Osgood-Brown besagt, dass bei holomorphen Funktionen mehrerer komplexer Variablen die Singularität ein Häufungspunkt und kein isolierter Punkt ist . Dies bedeutet, dass die verschiedenen Eigenschaften, die für holomorphe Funktionen einer komplexen Variablen gelten, nicht für holomorphe Funktionen mehrerer komplexer Variablen gelten. Die Natur dieser Singularitäten wird auch aus dem Präparationssatz von Weierstrass abgeleitet . Eine Verallgemeinerung dieses Satzes, die dieselbe Methode wie der Satz von Hartogs verwendet, wurde 2007 bewiesen. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

Thullens ^{[ 22 ]} klassisches Ergebnis besagt, dass ein zweidimensionaler beschränkter Reinhard-Bereich, der den Ursprung enthält, biholomorph zu einem der folgenden Bereiche ist, vorausgesetzt, die Bahn des Ursprungs unter der Automorphismengruppe hat positive Dimension:

1. ${\displaystyle \{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};~|z|<1,~|w|<1\}}$(Polydisc);
2. ${\displaystyle \{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};~|z|^{2}+|w|^{\frac {2}{p}}<1\},}$wobei (Thullen-Domäne).${\displaystyle p>0}$

Toshikazu Sunada verallgemeinerte später Thullens Ergebnis auf mehr als zwei Variablen. ^{[ 23 ]}

Beim Übergang von der Theorie einer komplexen Variablen zur Theorie mehrerer komplexer Variablen kann es, abhängig vom Bildbereich, unter Umständen nicht möglich sein, eine holomorphe Funktion zu definieren, sodass der Rand des Bereichs zu einem natürlichen Rand wird. Betrachtet man einen Bereich, dessen Ränder natürliche Ränder sind (im komplexen Koordinatenraum als Holomorphiebereich bezeichnet), so war das erste Ergebnis zu diesem Bereich die holomorphe Konvexität von H. Cartan und Thullen ^{[ 24 ]} . Das Problem von Levi zeigt, dass ein pseudokonvexer Bereich ein Holomorphiebereich ist. (Zuerst für [ ^{25 ] ,} später erweitert auf [ ^{26 ] [ 27 ] )} [ ^{28 ] Kiyoshi} Okas [ ^{31 ] [ 32 ] Begriff} des „idéal de domaines indéterminés“ wird als Theorie der Garbenkohomologie von H. Cartan interpretiert und von Serre weiterentwickelt. ^{[ Anmerkung 7 ] [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 5 ]} In der Garbenkohomologie wird der Holomorphiebereich als Theorie der Steinschen Mannigfaltigkeiten interpretiert. ^{[ 39 ]} Der Begriff des Holomorphiebereichs wird auch in anderen komplexen Mannigfaltigkeiten betrachtet, sowie im komplexen analytischen Raum, der seine Verallgemeinerung darstellt. ^{[ 3 ]}${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Wenn eine Funktion f auf einem Definitionsbereich holomorph ist und keine direkte Verbindung zu einem Bereich außerhalb von D herstellen kann , einschließlich eines Randpunktes , so wird der Definitionsbereich D als Holomorphiebereich von f und der Rand als natürlicher Rand von f bezeichnet . Anders ausgedrückt: Der Holomorphiebereich D ist das Supremum des Bereichs, in dem die holomorphe Funktion f holomorph ist, und der holomorphe Bereich D kann nicht weiter erweitert werden. Für mehrere komplexe Variablen, z. B. einen Definitionsbereich , müssen die Ränder nicht unbedingt natürliche Ränder sein. Der Erweiterungssatz von Hartogs liefert ein Beispiel für einen solchen Definitionsbereich. ^{[ 40 ]}${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \partial D}$${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}\ (n\geq 2)}$

Formal wird ein Gebiet D im n- dimensionalen komplexen Koordinatenraum als Holomorphiegebiet bezeichnet, wenn es keine nichtleeren Gebiete und gibt , sodass für jede holomorphe Funktion f auf D eine holomorphe Funktion g auf V mit auf U existiert . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle U\subset D}$${\displaystyle V\subset \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle V\not \subset D}$${\displaystyle U\subset D\cap V}$${\displaystyle f=g}$

In diesem Fall ist jeder Bereich ( ) ein Holomorphiebereich; wir können eine holomorphe Funktion finden, die nicht identisch 0 ist, deren Nullstellen sich aber überall auf dem Rand des Bereichs anhäufen , der dann ein natürlicher Rand für einen Definitionsbereich ihrer reziproken Funktion sein muss. ${\displaystyle n=1}$${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$

• Wenn es sich um Bereiche der Holomorphie handelt, dann ist auch ihr Schnitt ein Bereich der Holomorphie.${\displaystyle D_{1},\dots ,D_{n}}$${\textstyle D=\bigcap _{\nu =1}^{n}D_{\nu }}$
• Ist eine Folge von Holomorphiebereichen aufsteigend, so ist auch deren Vereinigung ein Holomorphiebereich. Dieses Ergebnis ist als Satz von Behnke-Stein bekannt . ^{[ 41 ]}${\displaystyle D_{1}\subseteq D_{2}\subseteq \cdots }$${\textstyle D=\bigcup _{n=1}^{\infty }D_{n}}$
• Wenn und Bereiche der Holomorphie sind, dann ist ein Bereich der Holomorphie.${\displaystyle D_{1}}$${\displaystyle D_{2}}$${\displaystyle D_{1}\times D_{2}}$
• Das erste Cousin-Problem ist in einem Holomorphiebereich stets lösbar; Cartan zeigte jedoch, dass die Umkehrung dieses Ergebnisses für nicht gilt . ^{[ 42 ]} Dies gilt unter zusätzlichen topologischen Annahmen auch für das zweite Cousin-Problem.${\displaystyle n\geq 3}$

Sei G ein Definitionsbereich oder, allgemeiner, eine n-dimensionale komplexe analytische Mannigfaltigkeit G. Weiterhin sei K die Menge der holomorphen Funktionen auf G. Für eine kompakte Menge K ist die holomorph konvexe Hülle von K gegeben durch:${\displaystyle G\subset \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(G)}$${\displaystyle K\subset G}$

${\displaystyle {\hat {K}}_{G}=\left\{z\in G;|f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|{\text{ for all }}f\in {\mathcal {O}}(G)\right\}.}$

Man erhält ein engeres Konzept der polynomial konvexen Hülle , indem man stattdessen die Menge der komplexwertigen Polynomfunktionen auf G wählt . Die polynomial konvexe Hülle enthält die holomorphisch konvexe Hülle. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(G)}$

Ein Gebiet heißt holomorph konvex, wenn jede kompakte Teilmenge von G auch kompakt in G ist . Manchmal wird dies einfach als holomorph-konvex abgekürzt . ${\displaystyle G}$${\displaystyle K,{\hat {K}}_{G}}$

Wenn , ist jede Domäne holomorph konvex, da dann die Vereinigung von K mit den relativ kompakten Komponenten von ist . ${\displaystyle n=1}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\hat {K}}_{G}}$${\displaystyle G\setminus K\subset G}$

Wenn f die obige holomorphe Konvexität auf D erfüllt , besitzt es die folgenden Eigenschaften: Für jede kompakte Teilmenge K in D gilt , wobei den Abstand zwischen K und bezeichnet . Außerdem ist D in diesem Fall ein Holomorphiebereich. Daher ist jeder konvexe Bereich ein Holomorphiebereich. ^{[ 4 ]}${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle {\text{dist}}(K,D^{c})={\text{dist}}({\hat {K}}_{D},D^{c})}$${\displaystyle {\text{dist}}(K,D^{c})}$${\displaystyle D^{c}=\mathbb {C} ^{n}\setminus D}$${\displaystyle (D\subset \mathbb {C} ^{n})}$

Hartogs zeigte, dass

Hartogs: ^{[ 18 ]} Sei D ein Hartogs-Bereich auf und R eine positive Funktion auf D ^, sodass die durch und definierte Menge ein Holomorphiebereich ist . Dann ist eine subharmonische Funktion auf D. [ ^{3 ]}${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle z_{1}\in D}$${\displaystyle |z_{2}|<R(z_{1})}$${\displaystyle -\log {R}(z_{1})}$

Wenn eine solche Relation im Holomorphiebereich mehrerer komplexer Variablen gilt, erscheint sie als handhabbarere Bedingung als holomorphe Konvexität. ^{[ Anmerkung 8 ]} Die subharmonische Funktion ähnelt einer konvexen Funktion und wurde daher von Levi als pseudokonvexer Bereich bezeichnet (Hartogs'sche Pseudokonvexität). Pseudokonvexe Bereiche (Rand der Pseudokonvexität) sind wichtig, da sie die Klassifizierung von Holomorphiebereichen ermöglichen. Ein Holomorphiebereich ist eine globale Eigenschaft; Pseudokonvexität hingegen ist eine lokale analytische oder geometrische Eigenschaft des Randes eines Bereichs. ^{[ 43 ]}

Eine Funktion mit Definitionsbereich heißt plurisubharmonisch, wenn sie oberhalbstetig ist und für jede komplexe Gerade , mit , die Funktion eine subharmonische Funktion auf der Menge ist . Der Begriff kann analog auf beliebigen komplexen Mannigfaltigkeiten oder sogar komplex-analytischen Räumen definiert werden. ${\displaystyle u\colon D\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \},}$${\displaystyle D\subset {\mathbb {C} }^{n}}$${\displaystyle \{a+bz;z\in \mathbb {C} \}\subset \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle z\mapsto u(a+bz)}$${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} ;a+bz\in D\}.}$

Eine Funktion in einer komplexen Variablen heißt subharmonisch genau dann , wenn sie positiv semidefinit ist. Wenn also eine Funktion der Klasse ist , dann ist sie genau dann plurisubharmonisch, wenn die hermitesche Matrix positiv semidefinit ist. Äquivalent dazu heißt eine Funktion u genau dann plurisubharmonisch, wenn sie eine positive (1,1)-Form ist . ^{[ 44 ] : 39–40} ${\displaystyle u}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}(\mathbb {C} )}$$${\displaystyle \Delta u=4\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial z\partial {\overline {z}}}}\right)\geq 0.}$$${\displaystyle u}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}(\mathbb {C} ^{n})}$${\displaystyle u}$${\displaystyle H_{u}=(\lambda _{ij}),\lambda _{ij}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial z_{i}\partial {\bar {z}}_{j}}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}(\mathbb {C} ^{n})}$${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}u}$

Wenn die hermitesche Matrix von u positiv definit und von der Klasse ist , nennen wir u eine strikt plurisubharmonische Funktion. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$

Schwache Pseudokonvexität ist definiert als: Sei X ein Definitionsbereich. Man sagt, dass X pseudokonvex ist, wenn es eine stetige plurisubharmonische Funktion auf X gibt , sodass die Menge für alle reellen Zahlen x eine relativ kompakte Teilmenge von X ist . ^{[ Anmerkung 9 ]} d. h., es existiert eine glatte plurisubharmonische Exhaustionsfunktion . Oft wird hier die Definition von Pseudokonvexität verwendet und wie folgt geschrieben: Sei X eine komplexe n- dimensionale Mannigfaltigkeit. Dann heißt X schwach pseudokonvex, wenn eine glatte plurisubharmonische Exhaustionsfunktion existiert . ^{[ 44 ] : 49} ${\displaystyle X\subset {\mathbb {C} }^{n}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \{z\in X;\varphi (z)\leq \sup x\}}$${\displaystyle \psi \in {\text{Psh}}(X)\cap {\mathcal {C}}^{\infty }(X)}$${\displaystyle \psi \in {\text{Psh}}(X)\cap {\mathcal {C}}^{\infty }(X)}$

Sei X eine komplexe n- dimensionale Mannigfaltigkeit. Sie heißt stark (oder streng) pseudokonvex, wenn eine glatte, streng plurisubharmonische Exhaustionsfunktion existiert , d. h., dass diese in jedem Punkt positiv definit ist. Der stark pseudokonvexe Bereich ist der pseudokonvexe Bereich. ^{[ 44 ] : 49} Die Begriffe stark pseudokonvex und streng pseudokonvex (d. h. 1-konvex und 1-vollständig ^{[ 45 ]} ) werden oft synonym verwendet, ^{[ 46 ]} siehe Lempert ^{[ 47 ]} für die technische Unterscheidung. ${\displaystyle \psi \in {\text{Psh}}(X)\cap {\mathcal {C}}^{\infty }(X)}$${\displaystyle H\psi }$

Falls Rand, lässt sich zeigen, dass D eine definierende Funktion besitzt; d. h., es existiert ein , sodass und . Nun heißt D Levi-pseudokonvex, wenn für jedes und im komplexen Tangentialraum in p gilt: ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$${\displaystyle \rho :\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$${\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\,;\,\rho (z)<0\}}$${\displaystyle \partial D=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\,;\,\rho (z)=0\}}$${\displaystyle p\in \partial D}$${\displaystyle w}$

${\displaystyle H(\rho )=\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}\rho (p)}{\partial z_{i}\,\partial {\bar {z_{j}}}}}w_{i}{\bar {w_{j}}}\geq 0.}$^{[ 4 ] [ 48 ]}

Wenn die Levi-Form positiv definit ist, nennt man sie stark Levi-pseudokonvex . ^{[ 4 ]}

Wenn es für jeden Randpunkt von D eine analytische Varietät gibt , die vollständig außerhalb von D in einer Umgebung um den Punkt selbst liegt, dann heißt das Gebiet D , das diese Bedingungen erfüllt, Levi-total pseudokonvex. ^{[ 49 ]}${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho }$

Seien n Funktionen stetig auf , holomorph in , wenn der Parameter t in [0, 1] fest ist, und seien nicht alle an irgendeinem Punkt auf null . Dann heißt die Menge eine analytische Kreisscheibe, die von einem Parameter t abhängt , und heißt ihre Hülle. Wenn und , dann heißt Q(t) Familie der Oka-Kreise. ^{[ 49 ] [ 50 ]}${\displaystyle \varphi :z_{j}=\varphi _{j}(u,t)}$${\displaystyle \Delta :|u|\leq 1,0\leq t\leq 1}$${\displaystyle |u|<1}$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi _{j}}{\partial u}}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle Q(t):=\{Z_{j}=\varphi _{j}(u,t)\,;\,|u|\leq 1\}}$${\displaystyle B(t):=\{Z_{j}=\varphi _{j}(u,t)\,;\,|u|=1\}}$${\displaystyle Q(t)\subset D\ (0<t)}$${\displaystyle B(0)\subset D}$

Wenn dies auf einer beliebigen Familie von Okas Kreisscheibe gilt, wird D als Oka-pseudokonvex bezeichnet. ^{[ 49 ]} Okas Beweis für Levis Problem bestand darin, dass, wenn der unverzweigte Riemannsche Bereich über ^{[ 51 ]} ein holomorpher Bereich (holomorph konvex) ist, es notwendig und hinreichend ist, dass jeder Randpunkt des holomorphen Bereichs ein Oka-pseudokonvex ist. ^{[ 26 ] [ 50 ]}${\displaystyle Q(0)\subset D}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Für jeden Punkt x existiert eine Umgebung U von x und f ist holomorph (d. h . holomorph konvex), sodass f nicht auf eine Umgebung von x fortgesetzt werden kann . Sei f eine holomorphe Abbildung. Wenn jeder Punkt x eine Umgebung U besitzt, die eine plurisubharmonische Exhaustionsfunktion zulässt (schwach 1-vollständig ^{[ 52 ]} ), dann nennen wir X lokal pseudokonvex (oder lokal Stein-) über Y. Eine ältere Bezeichnung dafür ist Cartan-pseudokonvex. In einem lokal pseudokonvexen Gebiet ist X selbst ein pseudokonvexes Gebiet und ein Holomorphiegebiet. ^{[ 53 ] [ 49 ] Diederich und Fornæss [ 54 ]} fanden beispielsweise lokal pseudokonvexe beschränkte Gebiete mit glattem Rand auf Nicht-Kähler-Mannigfaltigkeiten, für die X nicht schwach 1-vollständig ist. ^{[ 55 ] [ Anmerkung 10 ]}${\displaystyle x\in \partial D}$${\displaystyle U\cap D}$${\displaystyle \psi :X\to Y}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle \psi ^{-1}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$

Für einen Bereich sind die folgenden Bedingungen äquivalent: ^{[ Anmerkung 11 ]}${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$

1. D ist ein Holomorphiebereich.
2. D ist holomorph konvex.
3. D ist die Vereinigung einer aufsteigenden Folge analytischer Polyeder in D.
4. D ist pseudokonvex.
5. D ist lokal pseudokonvex.

Die Implikationen [ ^{Anmerkung 12 ]} und ^{[ Anmerkung 13 ]} sind Standardresultate. Der Beweis , d. ^h . die Konstruktion einer globalen holomorphen Funktion, die keine Erweiterung von nicht erweiterbaren, nur lokal definierten Funktionen zulässt, wird als Levi-Problem (nach E. E. Levi ) bezeichnet und wurde für unverzweigte Riemannsche Gebiete über von Kiyoshi Oka gelöst ^{[ Anmerkung 14 ]} . Für verzweigte Riemannsche Gebiete charakterisiert Pseudokonvexität jedoch nicht die holomorphe Konvexität ^{[ 63 ].} Anschließend löste Lars Hörmander das Problem mithilfe von Methoden der Funktionalanalysis und partiellen Differentialgleichungen (eine Konsequenz des -Problems mit L² ^- Methoden) ^{[ 64 ] [ 40 ] [ 2 ] [ 65 ] .}${\displaystyle 1\Leftrightarrow 2\Leftrightarrow 3}$${\displaystyle 1\Rightarrow 4}$${\displaystyle 4\Rightarrow 5}$${\displaystyle 5\Rightarrow 1}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

Die Einführung von Garben in mehrere komplexe Variablen ermöglichte die Neuformulierung und Lösung mehrerer wichtiger Probleme auf diesem Gebiet.

Oka führte den Begriff ein, den er „idéal de domaines indéterminés“ oder „Ideal unbestimmter Bereiche“ nannte. ^{[ 31 ] [ 32 ]} Genauer gesagt handelt es sich um eine Menge von Paaren , die holomorph auf einer nichtleeren offenen Menge sind , sodass ${\displaystyle (I)}$${\displaystyle (f,\delta )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \delta }$

1. Wenn und beliebig ist, dann .${\displaystyle (f,\delta )\in (I)}$${\displaystyle (a,\delta ')}$${\displaystyle (af,\delta \cap \delta ')\in (I)}$
2. Für jedes , dann${\displaystyle (f,\delta ),(f',\delta ')\in (I)}$${\displaystyle (f+f',\delta \cap \delta ')\in (I).}$

Der Ursprung unbestimmter Definitionsbereiche liegt in der Tatsache, dass sich diese in Abhängigkeit vom Paar ändern . Cartan ^{[ 33 ] [ 34 ]} übertrug diesen Begriff auf den Begriff der kohärenten Garbe (insbesondere der kohärenten analytischen Garbe) in der Garbenkohomologie. ^{[ 65 ] [ 66 ]} Dieser Name geht auf H. Cartan zurück. ^{[ 67 ]} Auch Serre (1955) führte den Begriff der kohärenten Garbe in die algebraische Geometrie ein, genauer gesagt den Begriff der kohärenten algebraischen Garbe. ^{[ 68 ]} Der Begriff der kohärenten Garbenkohomologie trug zur Lösung von Problemen in mehreren komplexen Variablen bei. ^{[ 36 ]}${\displaystyle (f,\delta )}$

Die Definition der kohärenten Garbe lautet wie folgt. ^{[ 68 ] [ 69 ] [ 70 ] [ 71 ] [ 44 ] : 83–89} Eine quasikohärente Garbe auf einem Ringraum ist eine Garbe von Moduln , die eine lokale Präsentation besitzt, d. h. jeder Punkt in hat eine offene Umgebung, in der es eine exakte Sequenz gibt${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus J}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0}$

für einige (möglicherweise unendliche) Mengen und . ${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$

Eine kohärente Garbe auf einem Ringraum ist eine Garbe, die die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt: ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ist vom endlichen Typ über , das heißt, jeder Punkt in hat eine offene Umgebung in , so dass es einen surjektiven Morphismus für eine natürliche Zahl gibt ;${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}$${\displaystyle n}$
2. Für jede offene Menge , ganze Zahl und beliebigen Morphismus von -Moduln ist der Kern von vom endlichen Typ.${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle \varphi :{\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle \varphi }$