Siegel modulare Form

In der Mathematik stellen Siegelsche Modulformen einen wichtigen Typ automorpher Formen dar . Sie verallgemeinern die herkömmlichen elliptischen Modulformen , welche eng mit elliptischen Kurven verwandt sind . Die in der Theorie der Siegelschen Modulformen konstruierten komplexen Mannigfaltigkeiten sind Siegelsche Modulvarietäten . Sie dienen als grundlegende Modelle für Modulräume abelscher Varietäten (mit zusätzlicher Niveaustruktur ) und werden von diskreten Gruppen als Quotienten des Siegelschen oberen Halbraums anstatt der oberen Halbebene konstruiert .

Siegelsche Modulformen sind holomorphe Funktionen auf der Menge der symmetrischen n × n- Matrizen mit positiv definitem Imaginärteil; die Formen müssen eine Automorphiebedingung erfüllen. Siegelsche Modulformen können als multivariate Modulformen, d. h. als spezielle Funktionen mehrerer komplexer Variablen, betrachtet werden .

Siegelsche Modulformen wurden erstmals 1939 von Carl Ludwig Siegel untersucht,  um quadratische Formen analytisch zu erforschen . Diese treten vor allem in verschiedenen Bereichen der Zahlentheorie auf , etwa in der arithmetischen Geometrie und der elliptischen Kohomologie . Siegelsche Modulformen finden auch in einigen Bereichen der Physik Anwendung , beispielsweise in der konformen Feldtheorie und der Thermodynamik Schwarzer Löcher in der Stringtheorie .

Sei und definiere ${\displaystyle g,N\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}=\left\{\tau \in M_{g\times g}(\mathbb {C} )\ {\big |}\ \tau ^{\mathrm {T} }=\tau ,{\textrm {Im}}(\tau ){\text{ positiv definit}}\right\},}$

Der obere Halbraum von Siegel . Die symplektische Gruppe vom Niveau wird mit bezeichnet als ${\displaystyle N}$${\displaystyle \Gamma _{g}(N),}$

${\displaystyle \Gamma _{g}(N)=\left\{\gamma \in GL_{2g}(\mathbb {Z} )\ {\big |}\ \gamma ^{\mathrm {T} }{\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}}\gamma ={\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}},\ \gamma \equiv I_{2g}\mod N\right\},}$

wobei die Einheitsmatrix ist . Schließlich sei ${\displaystyle I_{g}}$${\displaystyle g\times g}$

${\displaystyle \rho :{\textrm {GL}}_{g}(\mathbb {C} )\rightarrow {\textrm {GL}}(V)}$

sei eine rationale Darstellung , wobei ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum ist . ${\displaystyle V}$

Gegeben

${\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$

Und

${\displaystyle \gamma \in \Gamma _{g}(N),}$

die Notation definieren

${\displaystyle (f{\big |}\gamma )(\tau )=(\rho (C\tau +D))^{-1}f(\gamma \tau ).}$

Dann eine holomorphe Funktion

${\displaystyle f:{\mathcal {H}}_{g}\rightarrow V}$

ist eine Siegelsche Modulform von Grad (manchmal auch Gattung genannt), Gewicht und Niveau, wenn ${\displaystyle g}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle N}$

${\displaystyle (f{\big |}\gamma )=f}$

Für alle . Im Fall fordern wir weiterhin, dass holomorph im Unendlichen ist. Diese Annahme ist für aufgrund des unten erläuterten Koecher-Prinzips nicht notwendig. Wir bezeichnen den Raum der Siegelschen Modulformen vom Gewicht , Grad und Niveau mit .${\displaystyle \gamma \in \Gamma _{g}(N)}$${\displaystyle g=1}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g>1}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle g}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle M_{\rho }(\Gamma _{g}(N)).}$

Zu den Methoden zur Konstruktion von Siegelschen Modulformen gehören:

• Eisenstein-Reihe
• Thetafunktionen von Gittern und Siegel-Thetareihen
• Saito-Kurokawa-Lift für Grad 2
• Ikeda-Aufzug
• Miyawaki-Aufzug
• Produkte der modularen Bauform von Siegel.

_{Für Grad 1 sind die Siegelschen Modulformen der Stufe 1 identisch mit den Modulformen der} Stufe 1. Der Ring solcher Formen ist ein Polynomring C [ E₄ , E₆ ] in der (Grad-1)-Eisenstein _{- Reihe} E₄ und E₆ .

Für Grad 2 zeigten Igusa (  1962 , 1967 ) _, dass der Ring der Siegelschen Modulformen der Stufe 1 von den Eisenstein-Reihen E₄ und E₆ (Grad 2) sowie drei weiteren Formen der Gewichte 10, 12 und 35 erzeugt wird _. Das Ideal der Relationen zwischen diesen Formen wird durch das Quadrat der Form vom Gewicht 35 abzüglich eines bestimmten Polynoms in den anderen Formen erzeugt.

Für Grad 3 beschrieb Tsuyumine (1986) den Ring der Siegelschen Modulformen der Stufe 1 und gab eine Menge von 34 Erzeugern an.

Für Grad 4 wurden die Siegelschen Modulformen der Stufe 1 mit kleinen Gewichten gefunden. Es gibt keine Spitzenformen mit Gewichten von 2, 4 oder 6. Der Raum der Spitzenformen mit Gewicht 8 ist eindimensional und wird von der Schottky-Form aufgespannt . Der Raum der Spitzenformen mit Gewicht 10 hat die Dimension 1, der Raum der Spitzenformen mit Gewicht 12 die Dimension 2, der Raum der Spitzenformen mit Gewicht 14 die Dimension 3 und der Raum der Spitzenformen mit Gewicht 16 die Dimension 7 ( Poor & Yuen 2007 ) . harv error: no target: CITEREFPoorYuen2007 (help)

Für Grad 5 hat der Raum der Spitzenformen die Dimension 0 für Gewicht 10, die Dimension 2 für Gewicht 12. Der Raum der Formen vom Gewicht 12 hat die Dimension 5.

Für Grad 6 gibt es keine Spitzenformen mit Gewichten von 0, 2, 4, 6, 8. Der Raum der Siegelschen Modulformen vom Gewicht 2 hat die Dimension 0, und diejenigen vom Gewicht 4 oder 6 haben jeweils die Dimension 1.

Für kleine Gewichte und Stufe 1 geben Duke & Imamoḡlu (1998) die folgenden Ergebnisse an (für jeden positiven Grad):

• Gewicht 0: Der Formenraum ist eindimensional und wird von 1 aufgespannt.
• Gewicht 1: Die einzige modulare Form nach Siegel ist 0.
• Gewicht 2: Die einzige modulare Form nach Siegel ist 0.
• Gewicht 3: Die einzige modulare Form nach Siegel ist 0.
• Gewicht 4: Für jeden Grad ist der Raum der Formen vom Gewicht 4 eindimensional und wird von der Thetafunktion des E_₈-Gitters (entsprechenden Grades) aufgespannt. Die einzige Spitzenform ist 0.
• Gewicht 5: Die einzige modulare Form von Siegel ist 0.
• Gewicht 6: Der Raum der Formen vom Gewicht 6 hat die Dimension 1, wenn der Grad höchstens 8 beträgt, und die Dimension 0, wenn der Grad mindestens 9 beträgt. Die einzige Spitzenform ist 0.
• Gewicht 7: Der Raum der Spitzenformen verschwindet, wenn der Grad 4 oder 7 beträgt.
• Gewicht 8: Im Geschlecht 4 ist der Raum der Spitzenformen eindimensional und wird von der Schottky-Form aufgespannt , während der Raum der Formen zweidimensional ist. Im Geschlecht 8 existieren keine Spitzenformen.
• Es gibt keine Spitzenformen, wenn die Gattung größer als das Doppelte des Gewichts ist.

Die folgende Tabelle kombiniert die oben genannten Ergebnisse mit Informationen aus Poor & Yuen (2006) und Chenevier & Lannes (2014) und Taïbi (2014) . harvtxt error: no target: CITEREFPoorYuen2006 (help)

Der als Koecher-Prinzip bekannte Satz besagt, dass, wenn eine Siegelsche Modulform vom Gewicht , Niveau 1 und Grad ist , dann ist auf Teilmengen von der Form beschränkt.${\displaystyle f}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle g>1}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$

${\displaystyle \left\{\tau \in {\mathcal {H}}_{g}\ |{\textrm {Im}}(\tau )>\epsilon I_{g}\right\},}$

wobei . Eine Folgerung aus diesem Satz ist die Tatsache, dass Siegelsche Modulformen vom Grad Fourier-Entwicklungen besitzen und somit im Unendlichen holomorph sind. ^{[ 1 ]}${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle g>1}$

Im D1D5P-System supersymmetrischer Schwarzer Löcher in der Stringtheorie ist die Funktion, die die Mikrozustände der Entropie Schwarzer Löcher auf natürliche Weise beschreibt, eine Siegelsche Modulform. ^{[ 2 ]} Allgemein wird Siegelschen Modulformen das Potenzial zugeschrieben, Schwarze Löcher oder andere Gravitationssysteme zu beschreiben. ^{[ 2 ]}

Siegelsche Modulformen finden auch Verwendung als erzeugende Funktionen für Familien von CFT2 mit zunehmender zentraler Ladung in der konformen Feldtheorie , insbesondere in der hypothetischen AdS/CFT-Korrespondenz . ^{[ 3 ]}

• Chenevier, Gaëtan; Lannes, Jean (2014), Formes automorphes et voisins de Kneser des réseaux de Niemeier , arXiv : 1409.7616 , Bibcode : 2014arXiv1409.7616C
• Duke, W.; Imamoḡlu, Ö. (1998), „Siegel modular forms of small weight“, Math. Ann. , 310 (1): 73– 82, doi : 10.1007/s002080050137 , MR  1600030 , S2CID  122219495
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• Klingen, Helmut (2003), Einführungsvorlesungen über Siegelsche Modulformen , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35052-5
• Siegel, Carl Ludwig (1939), „Einführung in die Theorie der Modulfunktionen n-ten Grades“, Math. Ann. , 116 : 617–657 , doi : 10.1007/bf01597381 , MR  0001251 , S2CID  124337559
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• Tsuyumine, Shigeaki (1986), „Über Siegelsche Modulformen vom Grad drei“, Amer. J. Math. , 108 (4): 755–862 , doi : 10.2307/2374517 , JSTOR  2374517 , MR  0853217