Quetschmapping

In der linearen Algebra ist eine Quetschabbildung , auch Quetschtransformation genannt , eine Art linearer Abbildung , die die euklidische Fläche von Regionen in der kartesischen Ebene erhält , aber keine Rotations- oder Scherabbildung ist .

Für eine feste positive reelle Zahl a ist die Abbildung

${\displaystyle (x,y)\mapsto (ax,y/a)}$

ist die Quetschabbildung mit dem Quetschparameter a . Da

${\displaystyle \{(u,v)\,:\,uv=\mathrm {Konstante} \}}$

Wenn u = ax und v = y / a eine Hyperbel ist , dann ist uv = xy , und die Bildpunkte der Quetschabbildung liegen auf derselben Hyperbel wie ( x , y ) . Daher ist es naheliegend, die Quetschabbildung als hyperbolische Rotation zu betrachten , wie es Émile Borel 1914 ^{[ 1 ]} in Analogie zu Kreisrotationen tat , die Kreise erhalten.

Die Quetschabbildung bildet die Grundlage für die Entwicklung des Logarithmusbegriffs. Das Problem der Flächenberechnung unter einer Hyperbel (z. B. xy = 1) ist ein Quadraturproblem . Die Lösung, die Grégoire de Saint-Vincent und Alphonse Antonio de Sarasa 1647 fanden, erforderte die natürliche Logarithmusfunktion , ein neues Konzept. Erkenntnisse über Logarithmen liefern hyperbolische Sektoren , die durch Quetschabbildungen unter Flächenerhaltung permutiert werden. Die Fläche eines hyperbolischen Sektors wird als Maß für einen zugehörigen hyperbolischen Winkel gewählt. Der Begriff des hyperbolischen Winkels ist weitgehend unabhängig vom gewöhnlichen Kreiswinkel , teilt aber mit ihm die Invarianzeigenschaft: Während der Kreiswinkel rotationsinvariant ist, ist der hyperbolische Winkel invariant unter Quetschabbildungen. Sowohl Kreis- als auch Hyperbelwinkel erzeugen invariante Maße , jedoch bezüglich unterschiedlicher Transformationsgruppen. Die hyperbolischen Funktionen , die den hyperbolischen Winkel als Argument haben, erfüllen die Rolle, die Kreisfunktionen mit dem Kreiswinkelargument spielen. ^{[ 2 ]}

Im Jahr 1688, lange vor der abstrakten Gruppentheorie , beschrieb Euklid Speidell die Quetschabbildung in den damaligen Begriffen: „Aus einem Quadrat und einer unendlichen Menge von Rechtecken auf einer Fläche, die jeweils gleich diesem Quadrat sind, wie wird eine Kurve erzeugt, die die gleichen Eigenschaften oder Affekte wie jede Hyperbel hat, die in einen rechtwinkligen Kegel einbeschrieben ist.“ ^{[ 3 ]}

Sind r und s positive reelle Zahlen, so ist die Komposition ihrer Quetschabbildungen die Quetschabbildung ihres Produkts. Daher bildet die Menge der Quetschabbildungen eine einparametrige Gruppe, die isomorph zur multiplikativen Gruppe der positiven reellen Zahlen ist. Eine additive Sichtweise dieser Gruppe ergibt sich aus der Betrachtung hyperbolischer Sektoren und ihrer hyperbolischen Winkel.

Aus Sicht der klassischen Gruppen ist die Gruppe der Quetschabbildungen SO ⁺ (1,1) , die neutrale Komponente der indefiniten orthogonalen Gruppe der reellen 2×2-Matrizen, die die quadratische Form u² − v² erhalten ^. Dies ist äquivalent zur Erhaltung der Form xy durch einen Basiswechsel ^.

${\displaystyle x=u+v,\quad y=uv\,,}$

und entspricht geometrisch der Erhaltung von Hyperbeln. Die Perspektive der Gruppe der Quetschabbildungen als hyperbolische Rotation ist analog zur Interpretation der Gruppe SO(2) (der Zusammenhangskomponente der definiten orthogonalen Gruppe ), die die quadratische Form ^x² + y² erhält ^, als Kreisrotationen .

Beachten Sie, dass die Notation " SO ⁺ " der Tatsache entspricht, dass die Reflexe

${\displaystyle u\mapsto -u,\quad v\mapsto -v}$

sind nicht erlaubt, obwohl sie die Form erhalten (in Bezug auf x und y sind dies x ↦ y , y ↦ x und x ↦ −x , y ↦ −y ) ; das zusätzliche „ + “ im hyperbolischen Fall (im Vergleich zum kreisförmigen Fall) ist notwendig, um die neutrale Komponente anzugeben, da die Gruppe O(1,1) 4 Zusammenhangskomponenten hat , während die Gruppe O(2) 2 Komponenten hat : SO(1,1) hat 2 Komponenten, während SO(2) nur 1 hat. Die Tatsache, dass die Quetschtransformationen Fläche und Orientierung erhalten, entspricht der Einbeziehung von Untergruppen SO ⊂ SL – in diesem Fall SO(1,1) ⊂  SL(2) – der Untergruppe der hyperbolischen Drehungen in die spezielle lineare Gruppe der Transformationen, die Fläche und Orientierung erhalten (eine Volumenform ). In der Sprache der Möbius-Transformationen sind die Quetschtransformationen die hyperbolischen Elemente in der Klassifikation der Elemente .

Eine geometrische Transformation heißt konform , wenn sie Winkel erhält. Der hyperbolische Winkel ist über die Fläche unter der y-Achse = 1/ x definiert . Da Quetschabbildungen die Flächen transformierter Bereiche wie hyperbolischer Sektoren erhalten , bleibt auch das Winkelmaß der Sektoren erhalten. Somit sind Quetschabbildungen in dem Sinne konform , dass sie den hyperbolischen Winkel erhalten.

Hier werden einige Anwendungsgebiete mit historischen Bezügen zusammengefasst.

Die Geometrie der Raumzeit wird üblicherweise wie folgt entwickelt: Man wählt den Punkt (0,0) als „Hier und Jetzt“ in der Raumzeit. Licht, das durch dieses zentrale Ereignis nach links und rechts ausstrahlt, folgt zwei Linien in der Raumzeit. Diese Linien können verwendet werden, um Ereignissen außerhalb des Punktes (0,0) Koordinaten zuzuweisen. Trajektorien mit geringerer Geschwindigkeit verlaufen näher an der ursprünglichen Zeitachse (0, t ). Jede dieser Geschwindigkeiten kann unter einer sogenannten Lorentz- Transformation als Nullgeschwindigkeit betrachtet werden . Diese Erkenntnis basiert auf der Untersuchung von Multiplikationen komplexer Zahlen und der Diagonalbasis , die dem Paar von Lichtlinien entspricht. Formal erhält eine solche Transformation die hyperbolische Metrik in der Form xy in einem anderen Koordinatensystem. Diese Anwendung in der Relativitätstheorie wurde 1912 von Wilson und Lewis ^{[ 4 ]} , von Werner Greub ^{[ 5 ]} und von Louis Kauffman beschrieben . ^{[ 6 ]} Darüber hinaus wurde die Quetschabbildungsform der Lorentz-Transformationen von Gustav Herglotz (1909/10) ^{[ 7 ]} bei der Diskussion der Bornschen Starrheit verwendet und von Wolfgang Rindler in seinem Lehrbuch zur Relativitätstheorie popularisiert , der sie in seinem Beweis ihrer charakteristischen Eigenschaft einsetzte. ^{[ 8 ]}

Der Begriff Quetschtransformation wurde in diesem Zusammenhang in einem Artikel verwendet, der die Lorentz-Gruppe mit dem Jones-Kalkül in der Optik in Verbindung bringt. ^{[ 9 ]}

In der Fluiddynamik ist eine der grundlegenden Bewegungen einer inkompressiblen Strömung die Bifurkation einer Strömung, die auf eine unbewegliche Wand trifft. Stellt man die Wand durch die Achse y = 0 dar und wählt den Parameter r = exp( t ), wobei t die Zeit ist, so erzeugt die Quetschabbildung mit dem Parameter r, angewendet auf einen anfänglichen Fluidzustand, eine Strömung mit Bifurkationen links und rechts der Achse x = 0. Dasselbe Modell liefert die Konvergenz des Fluids, wenn die Zeit rückwärts läuft. Tatsächlich ist die Fläche eines jeden hyperbolischen Sektors invariant unter Quetschung.

Einen anderen Ansatz für eine Strömung mit hyperbolischen Stromlinien finden Sie unter Potentialströmung § Potenzgesetze mit n = 2 .

1989 beschrieb Ottino ^{[ 10 ]} die „lineare isochore zweidimensionale Strömung“ als

${\displaystyle v_{1}=Gx_{2}\quad v_{2}=KGx_{1}}$

wobei K im Intervall [−1, 1] liegt. Die Stromlinien folgen den Kurven

${\displaystyle x_{2}^{2}-Kx_{1}^{2}=\mathrm {constant} }$

Negative K entsprechen also einer Ellipse und positive K einer Hyperbel, wobei der rechteckige Fall der Quetschabbildung K = 1 entspricht.

Stocker und Hosoi ^{[ 11 ]} beschrieben ihren Ansatz zur Eckströmung wie folgt:

Wir schlagen eine alternative Formulierung vor, die die eckenartige Geometrie berücksichtigt und auf hyperbolischen Koordinaten basiert. Dies ermöglicht wesentliche analytische Fortschritte bei der Bestimmung der Strömung an einem Plateaurand und anhaftenden Flüssigkeitsfäden. Wir betrachten einen Strömungsbereich, der einen Winkel von π /2 bildet und links und unten durch Symmetrieebenen begrenzt ist.

Stocker und Hosoi erinnern dann an Moffatts ^{[ 12 ]} Betrachtung der „Strömung in einer Ecke zwischen starren Begrenzungen, die durch eine beliebige Störung in großer Entfernung hervorgerufen wird“. Laut Stocker und Hosoi,

Für eine freie Flüssigkeit in einer quadratischen Ecke zeigt die (antisymmetrische) Stromfunktion nach Moffatt ... [darauf hin], dass hyperbolische Koordinaten tatsächlich die natürliche Wahl sind, um diese Strömungen zu beschreiben.

Die flächenerhaltende Eigenschaft der Quetschabbildung findet Anwendung bei der Begründung der transzendenten Funktionen natürlicher Logarithmus und seiner Umkehrfunktion, der Exponentialfunktion :

Definition: Der Sektor( a,b ) ist der hyperbolische Sektor, der durch die zentralen Strahlen zu ( a , 1/ a ) und ( b , 1/ b ) entsteht.

Lemma: Wenn bc = ad , dann gibt es eine Quetschabbildung, die den Sektor( a,b ) in den Sektor( c,d ) verschiebt.

Beweis: Wähle den Parameter r = c / a, sodass ( u,v ) = ( rx , y / r ) ( a , 1/ a ) auf ( c , 1/ c ) und ( b , 1/ b ) auf ( d , 1/ d ) abbildet .

Satz ( Grégoire de Saint-Vincent 1647) Wenn bc = ad , dann hat die Quadratur der Hyperbel xy = 1 gegen die Asymptote gleiche Flächen zwischen a und b im Vergleich zu zwischen c und d .

Beweis: Durch Addition und Subtraktion von Dreiecken mit der Fläche 1/2 , wobei eines der Dreiecke {(0,0), (0,1), (1,1)} ist, lässt sich zeigen , dass die Fläche des hyperbolischen Sektors gleich der Fläche entlang der Asymptote ist. Der Satz folgt dann aus dem Lemma.

Satz ( Alphonse Antonio de Sarasa, 1649): Mit zunehmender Fläche, gemessen an der Asymptote, wächst die Projektion auf die Asymptote geometrisch. Die Flächen bilden somit Logarithmen des Asymptotenindex.

Zum Beispiel könnte man bei einem Standard-Positionswinkel, der von (1, 1) bis ( x , 1/ x ) verläuft, fragen: „Wann ist der hyperbolische Winkel gleich eins?“ Die Antwort ist die transzendente Zahl x = e .

Eine Stauchung mit r = e verschiebt den Einheitswinkel auf eins zwischen ( e , 1/ e ) und ( ee , 1/ ee ), der einen Sektor mit der Fläche eins einschließt. Die geometrische Folge

e , e ² , e ³ , ..., e ⁿ , ...

entspricht dem asymptotischen Index, der mit jeder Summe der Flächen erreicht wird

1,2,3, ..., n ,...

Dies ist eine prototypische arithmetische Folge A + nd, wobei A = 0 und d = 1.

Aufbauend auf Pierre Ossian Bonnets (1867) Untersuchungen über Flächen konstanter Krümmung fand Sophus Lie (1879) eine Methode, um neue pseudosphärische Flächen aus einer bekannten Fläche abzuleiten . Solche Flächen erfüllen die Sine-Gordon-Gleichung :

${\displaystyle {\frac {d^{2}\Theta }{ds\ d\sigma }}=K\sin \Theta ,}$

Dabei sind die asymptotischen Koordinaten zweier Haupttangentenkurven und ihr jeweiliger Winkel. Lie zeigte, dass, wenn eine Lösung der Sine-Gordon-Gleichung ist, die folgende Quetschabbildung (heute bekannt als Lie-Transformation ^{[ 13 ]} ) weitere Lösungen dieser Gleichung angibt: ^{[ 14 ]}${\displaystyle (s,\sigma )}$${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle \Theta =f(s,\sigma )}$

${\displaystyle \Theta =f\left(ms,\ {\frac {\sigma }{m}}\right).}$

Lie (1883) bemerkte den Zusammenhang zu zwei anderen Transformationen pseudosphärischer Flächen: ^{[ 15 ]} Die Bäcklund-Transformation (eingeführt von Albert Victor Bäcklund im Jahr 1883) kann als Kombination einer Lie-Transformation mit einer Bianchi-Transformation (eingeführt von Luigi Bianchi im Jahr 1879) betrachtet werden. Derartige Transformationen pseudosphärischer Flächen wurden ausführlich in den Vorlesungen zur Differentialgeometrie von Gaston Darboux (1894), ^{[ 16 ]} Luigi Bianchi (1894), ^{[ 17 ]} und Luther Pfahler Eisenhart (1909) ^{[ 18 ] behandelt.}

Es ist bekannt, dass die Lie-Transformationen (oder Quetschabbildungen) Lorentz-Boosts in Bezug auf Lichtkegelkoordinaten entsprechen , wie Terng und Uhlenbeck (2000) gezeigt haben: ^{[ 13 ]}

Sophus Lie stellte fest, dass die Sinus-Gordon-Gleichung (SGE) unter Lorentz-Transformationen invariant ist. In asymptotischen Koordinaten, die Lichtkegelkoordinaten entsprechen, ist eine Lorentz-Transformation …${\displaystyle (x,t)\mapsto \left({\tfrac {1}{\lambda }}x,\lambda t\right)}$

Dies lässt sich wie folgt darstellen:

${\displaystyle {\begin{matrix}-c^{2}t^{2}+x^{2}=-c^{2}t^{\prime 2}+x^{\prime 2}\\\hline {\begin{aligned}ct'&=ct\gamma -x\beta \gamma &&=ct\cosh \eta -x\sinh \eta \\x'&=-ct\beta \gamma +x\gamma &&=-ct\sinh \eta +x\cosh \eta \end{aligned}}\\\hline u=ct+x,\ v=ct-x,\ k={\sqrt {\tfrac {1+\beta }{1-\beta }}}=e^{\eta }\\u'={\frac {u}{k}},\ v'=kv\\\hline u'v'=uv\end{matrix}}}$

wobei k dem Dopplerfaktor in der Bondi -k -Kalkulation entspricht und η die Rapidität ist .

• Unbestimmte orthogonale Gruppe
• isochorischer Prozess

• HSM Coxeter & SL Greitzer (1967) Geometry Revisited , Kapitel 4 Transformationen, Eine Genealogie der Transformation.
• PS Modenov und AS Parkhomenko (1965) Geometrische Transformationen , Band 1. Siehe Seiten 104 bis 106.
• Walter, Scott (1999). „Der nichteuklidische Stil der Minkowskischen Relativitätstheorie“ (PDF) . In: J. Gray (Hrsg.). Das symbolische Universum: Geometrie und Physik . Oxford University Press. S.  91–127 .(siehe Seite 9 des E-Links)
• Lernmaterialien zum Thema reziproke Eigenwerte auf Wikiversity