Shear mapping

In plane geometry, a shear mapping is an affine transformation that displaces each point in a fixed direction by an amount proportional to its signed distance from a given lineparallel to that direction.^[1]

This type of mapping is also called shear transformation, transvection, or just shearing. The transformations can be applied with a shear matrix or transvection, an elementary matrix that represents the addition of a multiple of one row or column to another. Such a matrix may be derived by taking the identity matrix and replacing one of the zero elements with a non-zero value.

An example is the linear map that takes any point with coordinates${\displaystyle (x,y)}$ to the point ${\displaystyle (x+2y,y)}$. In this case, the displacement is horizontal by a factor of 2 where the fixed line is the x-axis, and the signed distance is the y-coordinate. Note that points on opposite sides of the reference line are displaced in opposite directions.

Scherung darf nicht mit Rotation verwechselt werden . Wendet man eine Scherung auf eine Punktmenge in der Ebene an, ändern sich alle Winkel zwischen den Punkten (außer gestreckten Winkeln ) sowie die Länge jeder Strecke , die nicht parallel zur Verschiebungsrichtung verläuft. Daher wird üblicherweise die Form einer geometrischen Figur verzerrt, beispielsweise werden Quadrate zu Parallelogrammen und Kreise zu Ellipsen . Die Fläche geometrischer Figuren sowie die Ausrichtung und die relativen Abstände kollinearer Punkte bleiben jedoch erhalten . Bei Schriftarten , die keine echte Kursivschrift unterstützen, ist die Scherung der Hauptunterschied zwischen aufrechten und kursiven Buchstaben .

Dieselbe Definition findet auch in der dreidimensionalen Geometrie Anwendung , nur dass der Abstand dort von einer festen Ebene aus gemessen wird. Eine dreidimensionale Schertransformation erhält das Volumen von Körpern, verändert aber die Flächen ebener Körper (mit Ausnahme der Flächen, die parallel zur Verschiebung verlaufen). Diese Transformation beschreibt die laminare Strömung eines Fluids zwischen Platten, wobei sich eine Platte in einer Ebene oberhalb und parallel zur ersten bewegt.

Im allgemeinen n- dimensionalen kartesischen Raum wird der Abstand von einer festen Hyperebene aus gemessen, die parallel zur Verschiebungsrichtung verläuft. Diese geometrische Transformation ist eine lineare Transformation , die das n- dimensionale Maß (Hypervolumen) einer beliebigen Menge erhält. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

In der Ebene ist eine horizontale Scherung (oder Scherung parallel zur x- Achse) eine Funktion, die einen beliebigen Punkt mit Koordinaten auf den Punkt abbildet ; wobei m ein fester Parameter ist, der als Scherfaktor bezeichnet wird . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} }$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (x+my,y)}$

Diese Abbildung bewirkt eine horizontale Verschiebung jedes Punktes proportional zu seiner y -Koordinate. Jeder Punkt oberhalb der x -Achse wird nach rechts ( x- Wert erhöht ) verschoben, wenn m > 0 , und nach links, wenn m < 0. Punkte unterhalb der x -Achse bewegen sich in die entgegengesetzte Richtung, während Punkte auf der Achse fixiert bleiben.

Geraden parallel zur x -Achse bleiben an ihrem Punkt, während alle anderen Geraden (um verschiedene Winkel) um ihren Schnittpunkt mit der x -Achse gedreht werden. Insbesondere vertikale Geraden werden zu schrägen Geraden mit der Steigung α. Daher ist der Scherfaktor m der Kotangens des Scherwinkels zwischen den ehemaligen Vertikalen und der x -Achse. Im Beispiel rechts ist das Quadrat um 30° geneigt, der Scherwinkel beträgt also 60°. ${\displaystyle {\tfrac {1}{m}}.}$${\displaystyle \varphi }$

Wenn die Koordinaten eines Punktes als Spaltenvektor (eine 2×1 -Matrix ) geschrieben werden, kann die Scherungsabbildung als Multiplikation mit einer 2×2-Matrix geschrieben werden:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+my\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

Eine vertikale Scherung (oder Scherung parallel zur y -Achse) von Geraden ist ähnlich, nur dass die Rollen von x und y vertauscht sind. Sie entspricht der Multiplikation des Koordinatenvektors mit der transponierten Matrix :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\mx+y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\m&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

Die vertikale Scherung verschiebt Punkte rechts der y -Achse nach oben oder unten, abhängig vom Vorzeichen von m . Vertikale Geraden bleiben unverändert, alle anderen Geraden werden jedoch um ihren Schnittpunkt mit der y- Achse geneigt. Insbesondere horizontale Geraden werden durch den Scherwinkel so geneigt, dass sie die Steigung m erhalten . ${\displaystyle \varphi }$

Zwei oder mehr Schertransformationen können kombiniert werden.

Wenn zwei Schermatrizen und${\textstyle {\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}}$${\textstyle {\begin{pmatrix}1&0\\\mu &1\end{pmatrix}}}$

dann ist ihre Kompositionsmatrix, die ebenfalls die Determinante 1 hat, sodass die Fläche erhalten bleibt. $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\\mu &1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+\lambda \mu &\lambda \\\mu &1\end{pmatrix}},}$$

Insbesondere, wenn , dann gilt ${\displaystyle \lambda =\mu }$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1+\lambda ^{2}&\lambda \\\lambda &1\end{pmatrix}},}$$

welche eine positiv definite Matrix ist .

Eine typische Schermatrix hat die Form $${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&0&0&\lambda &0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

Diese Matrix wird parallel zum orthogonalen Komplement der vierten Dimension und in Richtung der x- Achse des zugrunde liegenden Vektorraums geschert.

Eine Scherung parallel zur x- Achse führt zu und . In Matrixform: ${\displaystyle x'=x+\lambda y}$${\displaystyle y'=y}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$$

Analog dazu hat eine Scherung parallel zur y- Achse die Eigenschaften und . In Matrixform: ${\displaystyle x'=x}$${\displaystyle y'=y+\lambda x}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\\lambda &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$$

Im dreidimensionalen Raum verändert eine elementare Scherung analog dazu eine Koordinate um ein Vielfaches einer anderen, während die dritte Koordinate unverändert bleibt. Beispielsweise hat eine Scherung parallel zur x- Achse die Werte , , und . ${\displaystyle x'=x+\lambda y}$${\displaystyle y'=y}$${\displaystyle z'=z}$

In Matrixform: $${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&\lambda &0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

Allgemeiner ausgedrückt: Im 3D-Raum schert diese Matrix die YZ-Ebene in die Diagonalebene, die durch diese 3 Punkte verläuft:${\displaystyle (0,0,0)}$${\displaystyle (\lambda ,1,0)}$${\displaystyle (\mu ,0,1)}$$${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&\lambda &\mu \\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

Die Determinante ist stets 1, da das Scherelement unabhängig von seiner Position immer Teil einer Schiefdiagonale ist, die auch Nullelemente enthält (da alle Schiefdiagonalen mindestens die Länge zwei haben). Daher bleibt sein Produkt null und trägt nicht zur Determinante bei. Jede Schermatrix besitzt somit eine Inverse , und die Inverse ist einfach eine Schermatrix mit negiertem Scherelement, was einer Schertransformation in die entgegengesetzte Richtung entspricht. Dies ist Teil eines leicht herleitbaren, allgemeineren Ergebnisses: Ist S eine Schermatrix mit Scherelement λ , so ist S ^ⁿ eine Schermatrix mit dem Scherelement nλ . Das Potenzieren einer Schermatrix mit n multipliziert also ihren Scherfaktor mit n .

Wenn S eine n × n Schermatrix ist , dann gilt:

• S hat Rang n und ist daher invertierbar
• 1 ist der einzige Eigenwert von S , also det S = 1 und tr S = n
• Der Eigenraum von S (zum Eigenwert 1) hat n − 1 Dimensionen.
• S ist defekt
• S ist asymmetrisch
• S kann durch höchstens eine Spaltenvertauschung und eine Zeilenvertauschung in eine Blockmatrix umgewandelt werden.
• Die Fläche , das Volumen oder eine beliebige innere Kapazität höherer Ordnung eines Polytops ist invariant unter der Schertransformation der Eckpunkte des Polytops.

Für einen Vektorraum V und einen Unterraum W bewirkt eine Scherung, die W fixiert, eine Verschiebung aller Vektoren in eine Richtung parallel zu W.

Genauer gesagt, wenn V die direkte Summe von W und W′ ist , und wir Vektoren schreiben als

${\displaystyle v=w+w'}$

Entsprechend ist die typische Scherkraft L, die W fixiert ,

${\displaystyle L(v)=(Lw+Lw')=(w+Mw')+w',}$

wobei M eine lineare Abbildung von W′ nach W ist. Daher kann L in Blockmatrix -Termen dargestellt werden als

${\displaystyle {\begin{pmatrix}I&M\\0&I\end{pmatrix}}.}$

Folgende Anwendungen der Scherkartierung wurden von William Kingdon Clifford festgestellt :

„Durch eine Abfolge von Scherungen können wir jede von geraden Linien begrenzte Figur auf ein flächengleiches Dreieck reduzieren.“

„… wir können jedes Dreieck in ein rechtwinkliges Dreieck abscheren, und dies ändert nichts an seiner Fläche. Daher ist die Fläche eines jeden Dreiecks die Hälfte der Fläche des Rechtecks ​​mit derselben Grundseite und einer Höhe, die dem Lot auf die Grundseite vom gegenüberliegenden Winkel entspricht.“ ^{[ 2 ]}

Die flächenerhaltende Eigenschaft einer Scherabbildung kann für Ergebnisse genutzt werden, die Flächen betreffen. Beispielsweise wurde der Satz des Pythagoras mithilfe einer Scherabbildung veranschaulicht ^{[ 3 ]} , ebenso wie der verwandte geometrische Mittelsatz .

Schermatrizen werden häufig in der Computergrafik verwendet . ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

Ein von Alan W. Paeth entwickelter Algorithmus verwendet eine Sequenz aus drei Scherungsabbildungen (horizontal, vertikal und dann wieder horizontal), um ein digitales Bild um einen beliebigen Winkel zu drehen. Der Algorithmus ist sehr einfach zu implementieren und sehr effizient, da in jedem Schritt jeweils nur eine Spalte oder eine Zeile von Pixeln verarbeitet wird. ^{[ 7 ]}

In der Typografie führt die Transformation von normalem Text durch eine Scherung zu schrägem Text .

In der vor-einsteinschen Galilei-Relativitätstheorie sind Transformationen zwischen Bezugssystemen Scherabbildungen, die als Galilei-Transformationen bezeichnet werden . Diese treten auch bei der Beschreibung bewegter Bezugssysteme relativ zu einem „bevorzugten“ Bezugssystem auf, das mitunter als absolute Zeit und absoluter Raum bezeichnet wird .

Der Begriff „Scherung“ stammt aus der Physik und beschreibt eine schneideartige Verformung, bei der parallele Materialschichten aneinander vorbeigleiten. Genauer gesagt bezeichnet Scherkraft nicht ausgerichtete Kräfte, die auf einen Teil eines Körpers in einer bestimmten Richtung und auf einen anderen Teil des Körpers in der entgegengesetzten Richtung wirken.

• Transformationsmatrix

• Foley, James D.; van Dam, Andries; Feiner, Steven K.; Hughes, John F. (1991), Computer Graphics: Principles and Practice (2. Aufl.), Reading: Addison-Wesley , ISBN 0-201-12110-7