Eine Superaufgabe ist eine abzählbar unendliche Folge von Operationen, die nacheinander innerhalb eines endlichen Zeitintervalls ausgeführt werden. [ 1 ] Superaufgaben werden Hyperaufgaben genannt , wenn die Anzahl der Operationen überabzählbar ist. Eine Hyperaufgabe, die für jede Ordnungszahl eine Aufgabe enthält, wird als Ultraaufgabe bezeichnet . [ 2 ] Der Begriff „Superaufgabe“ wurde von dem Philosophen James F. Thomson geprägt , der die Thomson-Lampe entwickelte . Der Begriff „Hyperaufgabe“ stammt von Clark und Read und ihrer gleichnamigen Arbeit. [ 3 ]

In dieser Literatur wird angenommen, dass eine „Aufgabe“ eine endliche Zeitspanne in Anspruch nimmt und zu jedem Zeitpunkt höchstens eine Aufgabe gleichzeitig bearbeitet wird. Daraus folgt, dass Hypertasks und Ultratasks unmöglich sind, da ein endliches Intervall nicht überabzählbar viele endliche Intervalle enthalten kann. Dies liegt daran, dass ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall zweitabzählbar ist . [ 2 ]

Geschichte

Zeno

Bewegung

Das Interesse an Superaufgaben wird üblicherweise Zenon von Elea zugeschrieben . Zenon behauptete, Bewegung sei unmöglich . Er argumentierte folgendermaßen: Angenommen, unser aufstrebender „Beweger“, sagen wir Achilles, möchte von A nach B gelangen. Um dies zu erreichen, muss er die Hälfte der Strecke von A nach B zurücklegen. Um vom Mittelpunkt von AB nach B zu gelangen, muss Achilles die Hälfte dieser Strecke zurücklegen, und so weiter. Wie oft er auch immer eine dieser „Durchquerungsaufgaben“ ausführt, es bleibt ihm immer noch eine weitere, bevor er B erreicht. Daraus folgt laut Zenon, dass Bewegung (das Zurücklegen einer Strecke ungleich null in endlicher Zeit) eine Superaufgabe ist. Zenon argumentiert weiter, dass Superaufgaben nicht möglich sind (wie kann diese Sequenz abgeschlossen werden, wenn für jede Durchquerung eine weitere folgt?). Daraus folgt, dass Bewegung unmöglich ist.

Zenos Argumentation hat folgende Form:

  1. Bewegung ist eine Superaufgabe, da die Ausführung einer Bewegung über eine beliebige festgelegte Distanz unendlich viele Schritte erfordert.
  2. Superaufgaben sind unmöglich
  3. Daher ist Bewegung unmöglich.

Die meisten nachfolgenden Philosophen lehnen Zenons kühne Schlussfolgerung zugunsten des gesunden Menschenverstands ab. Stattdessen kehren sie das Argument um und betrachten es als Widerspruchsbeweis, bei dem die Möglichkeit der Bewegung als gegeben vorausgesetzt wird. Sie akzeptieren die Möglichkeit der Bewegung und wenden den Modus tollens ( Kontraposition ) auf Zenons Argument an, um zu dem Schluss zu gelangen, dass entweder Bewegung keine Superaufgabe ist oder nicht alle Superaufgaben unmöglich sind. [ 4 ]

Achilles und die Schildkröte

Zenon selbst erörtert das, was er „ Achilles und die Schildkröte“ nennt. Angenommen, Achilles ist der schnellste Läufer und bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s. Achilles jagt eine Schildkröte, ein Tier, das für seine Langsamkeit bekannt ist und sich mit 0,1 m/s fortbewegt. Die Schildkröte startet jedoch 0,9 Meter vor ihm. Der gesunde Menschenverstand scheint zu sagen, dass Achilles die Schildkröte nach genau einer Sekunde einholen wird, aber Zenon argumentiert, dass dies nicht der Fall ist. Er meint stattdessen, dass Achilles zwangsläufig den Punkt erreichen muss, von dem die Schildkröte gestartet ist, aber bis er dies erreicht hat, wird die Schildkröte bereits einen anderen Punkt erreicht haben. Dies setzt sich fort, und jedes Mal, wenn Achilles den Punkt erreicht, an dem die Schildkröte war, hat die Schildkröte einen neuen Punkt erreicht, den Achilles einholen muss; Die Distanz beginnt bei 0,9 Metern, erhöht sich dann um weitere 0,09 Meter, anschließend um 0,009 Meter und so weiter, unendlich. Obwohl diese Distanzen immer kleiner werden, bleiben sie endlich, während Achilles' Jagd nach der Schildkröte zu einer endlosen Mammutaufgabe wird. Dieses Paradoxon wurde vielfach kommentiert; viele behaupten, es entspreche dem gesunden Menschenverstand. [ 5 ]

Thomson

James F. Thomson war der Ansicht, dass Bewegung keine Superaufgabe sei, und er bestritt entschieden die Möglichkeit von Superaufgaben. Er betrachtete eine Lampe, die entweder an oder aus sein kann. Zum Zeitpunkt t = 0 ist die Lampe aus, und der Schalter wird zum Zeitpunkt t = 1/2 umgelegt ; danach wird der Schalter jeweils nach der Hälfte der vorherigen Wartezeit umgelegt. Thomson fragt sich, welchen Zustand die Lampe zum Zeitpunkt t = 1 hat, wenn der Schalter unendlich oft umgelegt wurde. Er argumentiert, dass sie nicht an sein kann, da es nie einen Zeitpunkt gab, an dem sie nicht anschließend ausgeschaltet wurde, und umgekehrt, und gelangt so zu einem Widerspruch. Er folgert, dass Superaufgaben unmöglich sind. [ 6 ]

Benacerraf

Paul Benacerraf ist der Ansicht, dass Superaufgaben trotz Thomsons scheinbarem Widerspruch zumindest logisch möglich sind. Benacerraf stimmt Thomson insofern zu, als das von ihm beschriebene Experiment den Zustand der Lampe zum Zeitpunkt t = 1 nicht bestimmt. Er widerspricht Thomson jedoch in der Annahme, dass sich daraus ein Widerspruch ableiten lässt, da der Zustand der Lampe zum Zeitpunkt t = 1 nicht logisch aus den vorhergehenden Zuständen bestimmt werden kann. [ 7 ]

Moderne Literatur

Der Großteil der modernen Literatur stammt von den Nachfolgern Benacerrafs, jenen, die die Möglichkeit von Superaufgaben stillschweigend akzeptieren. Philosophen, die diese Möglichkeit ablehnen, tun dies in der Regel nicht aus Gründen wie denen Thomsons, sondern weil sie Bedenken gegen den Begriff der Unendlichkeit selbst haben. Natürlich gibt es Ausnahmen. So behauptet McLaughlin beispielsweise, dass Thomsons Lampe inkonsistent sei, wenn sie mit der internen Mengenlehre , einer Variante der reellen Analysis, analysiert werde .

Philosophie der Mathematik

Wenn Superaufgaben möglich sind, könnte die Wahrheit oder Falschheit unbekannter Aussagen der Zahlentheorie, wie etwa der Goldbachschen Vermutung , oder sogar unentscheidbarer Aussagen in endlicher Zeit durch eine Brute-Force-Suche in der Menge aller natürlichen Zahlen bestimmt werden. Dies stünde jedoch im Widerspruch zur Church-Turing-These . Manche argumentieren, dies stelle ein Problem für den Intuitionismus dar , da der Intuitionist zwischen Dingen unterscheiden müsse, die tatsächlich nicht beweisbar sind (weil sie zu lang oder zu kompliziert sind; beispielsweise Boolos ' „Curious Inference“ [ 8 ] ), aber dennoch als „beweisbar“ gelten, und solchen, die im oben genannten Sinne durch unendliche Brute-Force-Suche beweisbar sind .

Physikalische Möglichkeit

Manche behaupten, Thomsons Lampe sei physikalisch unmöglich, da sich Teile von ihr mit Überlichtgeschwindigkeit bewegen müssten ( z. B. der Lampenschalter). Adolf Grünbaum schlägt vor, die Lampe könnte einen Drahtstreifen enthalten, der beim Anheben den Stromkreis unterbricht und die Lampe ausschaltet. Dieser Streifen könnte dann bei jedem Ausschalten der Lampe ein Stückchen weiter angehoben werden, wodurch eine konstante Geschwindigkeit beibehalten würde.

Ein solches Design würde jedoch letztendlich versagen, da der Abstand zwischen den Kontakten irgendwann so gering wäre, dass Elektronen die Lücke überbrücken könnten und der Stromkreis somit nicht mehr unterbrochen würde. Um den Zustand der Lampe wahrzunehmen oder darauf zu reagieren, muss dennoch eine Messung erfolgen, beispielsweise muss das Licht der Lampe ein Auge oder einen Sensor erreichen.

Jede solche Messung benötigt einen festen Zeitrahmen, egal wie kurz dieser ist, und daher wird eine Zustandsmessung ab einem bestimmten Zeitpunkt unmöglich. Da der Zustand zum Zeitpunkt t=1 prinzipiell nicht bestimmt werden kann, ist es sinnlos, von einer ein- oder ausgeschalteten Lampe zu sprechen.

Es wurden weitere physikalisch mögliche Superaufgaben vorgeschlagen. In einem Vorschlag zählt eine Person (oder Entität) unendlich lange von 1 aufwärts, während eine andere Person dies aus einem Bezugssystem beobachtet, in dem es in endlicher Zeit abläuft. Für den Zähler ist dies keine Superaufgabe, für den Beobachter jedoch schon. (Dies könnte theoretisch aufgrund von Zeitdilatation auftreten, beispielsweise wenn der Beobachter in ein Schwarzes Loch fiele und dabei einen Zähler beobachtete, dessen Position relativ zur Singularität fixiert ist.)

Gustavo E. Romero behauptet in der Arbeit „Der Zusammenbruch von Superaufgaben“ [ 9 ] , dass jeder Versuch, eine Superaufgabe auszuführen, zur Bildung eines Schwarzen Lochs führen wird , wodurch Superaufgaben physikalisch unmöglich werden.

Super-Turing-Maschinen

Die Auswirkungen von Supertasks auf die theoretische Informatik haben einige neue und interessante Arbeiten angestoßen, zum Beispiel Hamkins und Lewis – „Infinite Time Turing Machine“. [ 10 ]

Herausragende Superaufgaben

Ross-Littlewood-Paradoxon

Angenommen, es gibt ein Gefäß mit unendlich vielen Murmeln und eine unendliche Menge an Murmeln, die mit 1, 2, 3 usw. beschriftet sind. Zum Zeitpunkt t = 0 werden die Murmeln 1 bis 10 in das Gefäß gegeben und Murmel 1 herausgenommen. Zum Zeitpunkt t = 0,5 werden die Murmeln 11 bis 20 in das Gefäß gegeben und Murmel 2 herausgenommen; zum Zeitpunkt t = 0,75 werden die Murmeln 21 bis 30 in das Gefäß gegeben und Murmel 3 herausgenommen; und allgemein werden zum Zeitpunkt t = 1 − 0,5n die Murmeln 10n + 1 bis 10n + 10 in das Gefäß gegeben und Murmel n + 1 herausgenommen. Wie viele Murmeln befinden sich zum Zeitpunkt t = 1 im Gefäß ?

Ein Argument besagt, dass sich unendlich viele Murmeln im Glas befinden müssten, da die Anzahl der Murmeln in jedem Schritt vor t = 1 gegenüber dem vorherigen Schritt unbegrenzt zunimmt. Ein zweites Argument zeigt jedoch, dass das Glas leer ist. Betrachten wir folgendes Argument: Wenn das Glas nicht leer ist, muss sich eine Murmel darin befinden. Nehmen wir an, diese Murmel sei mit der Nummer n gekennzeichnet . Zum Zeitpunkt t = 1 − 0,5 n − 1 wurde die n -te Murmel jedoch bereits entnommen, sodass sich Murmel n nicht mehr im Glas befinden kann. Dies ist ein Widerspruch, daher muss das Glas leer sein. Das Ross-Littlewood-Paradoxon besteht darin, dass wir hier zwei scheinbar schlüssige Argumente mit völlig gegensätzlichen Schlussfolgerungen haben.

Benardetes Paradoxon

Das „Paradox der Götter“ von J. A. Benardete hat großes Interesse geweckt : [ 11 ]

Ein Mann geht eine Meile von einem Punkt α aus. Doch es gibt unendlich viele Götter, von denen jeder, ohne dass die anderen es wissen, beabsichtigt, ihn aufzuhalten. Einer von ihnen wird eine Barriere errichten, um seinen weiteren Weg zu stoppen, sobald er die halbe Meile erreicht hat, ein zweiter, sobald er die Viertelmeile erreicht hat, ein dritter, sobald er eine Achtelmeile zurückgelegt hat, und so weiter bis ins Unendliche. So kann er gar nicht erst beginnen, denn egal wie kurz die Strecke ist, die er zurücklegt, er wird bereits von einer Barriere aufgehalten. In diesem Fall aber wird keine Barriere errichtet, sodass ihn nichts am Aufbruch hindern kann. Er ist gezwungen, an Ort und Stelle zu verharren, allein durch die unerfüllten Absichten der Götter. [ 12 ]

— M. Clark, Paradoxien von A bis Z

Paradoxon des Sensenmanns

Inspiriert von J. A. Benardetes Paradoxon bezüglich einer unendlichen Reihe von Attentätern [ 13 ] , beschreibt David Chalmers das Paradoxon wie folgt:

Es gibt abzählbar viele Sensenmänner, einen für jede positive ganze Zahl. Sensenmann 1 ist bereit, dich um 13:00 Uhr mit einer Sense zu töten, genau dann, wenn du dann noch lebst (ansonsten bleibt seine Sense unbeweglich), und benötigt dafür etwa 30 Minuten. Sensenmann 2 ist bereit, dich um 12:30 Uhr mit einer Sense zu töten, genau dann, wenn du dann noch lebst, und benötigt dafür etwa 15 Minuten. Sensenmann 3 ist bereit, dich um 12:15 Uhr mit einer Sense zu töten, und so weiter. Du lebst noch kurz vor 12:00 Uhr, kannst aber nur durch die Bewegung der Sense eines Sensenmanns sterben, und bist einmal tot, bleibst du tot. Auf den ersten Blick erscheint diese Situation denkbar – jeder Sensenmann scheint einzeln und für sich betrachtet denkbar, und es erscheint vernünftig, verschiedene Individuen mit unterschiedlichen Eigenschaften zu einer Situation zusammenzufassen. Doch bei genauerer Betrachtung zeigt sich, dass die beschriebene Situation widersprüchlich ist. Ich kann nicht bis nach 12 Uhr mittags überleben (der Sensenmann würde mich vorher holen), aber ich kann nicht getötet werden (damit mich der Sensenmann n töten kann, müsste ich den Sensenmann n + 1 überlebt haben, was unmöglich ist). [ 14 ]

Es hat in der Philosophie an Bedeutung gewonnen, da es zur Argumentation für eine endliche Vergangenheit verwendet wurde und somit Relevanz für das kosmologische Argument von Kalam besitzt . [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]

Davies' Supermaschine

Der von E. Brian Davies [ 19 ] vorgeschlagene Rechner kann innerhalb einer halben Stunde eine exakte Kopie von sich selbst erstellen , die halb so groß ist und sich doppelt so schnell replizieren kann. Diese Kopie erzeugt wiederum eine noch schnellere Version von sich selbst mit denselben Spezifikationen, wodurch eine Superaufgabe entsteht, die nach einer Stunde abgeschlossen ist. Wenn die Rechner zusätzlich eine Kommunikationsverbindung zwischen Eltern- und Tochterrechner herstellen, die eine sukzessive höhere Bandbreite ermöglicht, und die Rechner einfache Arithmetik beherrschen, können sie zum Brute-Force-Beweis unbekannter Vermutungen eingesetzt werden. Davies weist jedoch auch darauf hin, dass sein Rechner aufgrund fundamentaler Eigenschaften des realen Universums wie Quantenmechanik , thermischem Rauschen und Informationstheorie  nicht realisierbar ist.

Siehe auch

Referenzen

  1. ^ Dieses Konzept bezieht sich auf Kardinalzahlen .
  2. ^ a b Al-Dhalimy, Haidar; Geyer, Charles (Dezember 2016). „Surreal Time and Ultratasks“ . The Review of Symbolic Logic . 9 (4). Cambridge University Press: 836–847 . doi : 10.1017/S1755020316000289 .
  3. ^ Clark, Peter; Read, Stephen (Dezember 1984). „Hypertasks“. Synthese . 61 (3). Springer Netherlands: 387–390 . doi : 10.1007/BF00485061 . ISSN 1573-0964 . 
  4. ^ Manchak, JB; Roberts, Bryan W. (2022), Zalta, Edward N. (Hrsg.), „Supertasks“ , The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Sommerausgabe 2022), Metaphysics Research Lab, Stanford University , abgerufen am 17.01.2026.
  5. ^ Chakraborti, Chhanda (2006). Logik . Prentice Hall von Indien. P. 477. ISBN 81-203-2855-8Die
  6. ^ Thomson 1954 .
  7. ^ Benacerraf, Paul (22. November 1962). „Aufgaben, Superaufgaben und die moderne Eleatik“ . The Journal of Philosophy . 59 (24): 765–784 – via JSTOR.
  8. ^ George Boolos . „Eine merkwürdige Schlussfolgerung.“ Journal of Philosophical Logic 16: 1–12. ( JSTOR )
  9. ^ Romero, Gustavo E. (2013). „Der Zusammenbruch von Superaufgaben“. arXiv : 1309.0144 [ physics.hist-ph ].
  10. ^ Hamkins, Joel David (November 2002). „Infinite Time Turing Machines“. Minds and Machines . 12 (4): 521–539 . arXiv : math/0212047 . doi : 10.1023/A:1021180801870 .
  11. ^ Oppy, G. R. (2006). Philosophische Perspektiven auf die Unendlichkeit . Cambridge University Press. S. 63. ISBN 978-0-521-86067-3. LCCN  2005021715 .
  12. ^ Clark, M. (2007). Paradoxien von A bis Z. Routledge. S.  75. ISBN 978-0-415-42082-2. LCCN  2007015371 .
  13. ^ Benardete, José (1964). Unendlichkeit: Ein Essay zur Metaphysik . Clarendon Press. S. 259.
  14. ^ Chalmers, David (2002). Vorstellbarkeit und Möglichkeit . Clarendon Press. S. 154.
  15. ^ Koons, Robert (Juni 2014). „Ein neues Kalam-Argument: Die Rache des Sensenmanns“. Noûs . 48 (2): 256– 267. doi : 10.1111/j.1468-0068.2012.00858.x .
  16. ^ Pruss, Alexander; Rasmussen, Joshua (Oktober 2014). „Zeit ohne Schöpfung?“. Glaube und Philosophie . 31 (4): 401–411 . doi : 10.5840/faithphil201412819 .
  17. ^ Pruss, Alexander (2018). Unendlichkeit, Kausalität und Paradoxon (1. Aufl.). Oxford University Press. S.  46–56 . ISBN 978-0-19-881033-9Die
  18. ^ Pruss, Alexander (2. Oktober 2009). „Vom Sensenmann-Paradoxon zum Kalaam-Argument“ .
  19. ^ Davies, E. Brian (2001). „Building Infinite Machines“ (PDF) . Br. J. Philos. Sci. 52 (4): 671–682 . doi : 10.1093/bjps/52.4.671 . Archiviert vom Original (PDF) am 23.10.2014.