Topologische Ableitung

Die topologische Ableitung ist konzeptionell die Ableitung eines Formfunktionals nach infinitesimalen Änderungen seiner Topologie, wie beispielsweise dem Hinzufügen eines infinitesimalen Lochs oder Risses. In höheren Dimensionen wird der Begriff topologischer Gradient auch für den Term erster Ordnung der topologischen asymptotischen Entwicklung verwendet, der sich ausschließlich mit infinitesimalen singulären Störungen des Gebiets befasst. Sie findet Anwendung in der Formoptimierung , Topologieoptimierung , Bildverarbeitung und mechanischen Modellierung. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Sei ein offenes, beschränktes Gebiet von , mit , das einer nichtglatten Störung unterliegt, die auf ein kleines Gebiet der Größe mit einem beliebigen Punkt von und einem festen Gebiet von beschränkt ist . Sei eine charakteristische Funktion des ungestörten Gebiets und eine charakteristische Funktion des perforierten Gebiets . Ein gegebenes Formfunktional, das dem topologisch gestörten Gebiet zugeordnet ist, besitzt die folgende topologische asymptotische Entwicklung : ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle d\geq 2}$${\displaystyle \omega _{\varepsilon }({\tilde {x}})={\tilde {x}}+\varepsilon \omega }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle {\tilde {x}}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \Psi _{\varepsilon }}$${\displaystyle \Omega _{\varepsilon }=\Omega \backslash {\overline {\omega _{\varepsilon }}}}$${\displaystyle \Phi (\Psi _{\varepsilon }({\tilde {x}}))}$

${\displaystyle \Phi (\Psi _{\varepsilon }({\tilde {x}}))=\Phi (\Psi )+f(\varepsilon )g({\tilde {x}})+o(f(\varepsilon ))}$

Dabei ist das Formfunktional, das dem Referenzbereich zugeordnet ist, eine positive Korrekturfunktion erster Ordnung von und der Rest. Die Funktion wird als topologische Ableitung von an der Stelle bezeichnet . ${\displaystyle \Phi (\Psi )}$${\displaystyle f(\varepsilon )}$${\displaystyle \Phi (\Psi )}$${\displaystyle o(f(\varepsilon ))}$${\displaystyle g({\tilde {x}})}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle {\tilde {x}}}$

Die topologische Ableitung findet Anwendung in der Formoptimierung von Strukturmechanikproblemen. ^{[ 3 ]} Sie kann als singulärer Grenzwert der Formableitung betrachtet werden und stellt eine Verallgemeinerung dieses klassischen Werkzeugs der Formoptimierung dar. ^{[ 4 ]} Bei der Formoptimierung geht es darum, eine optimale Form zu finden, d. h. eine Form zu finden, die eine skalarwertige Zielfunktion minimiert . Die topologische Ableitung kann mit der Level-Set-Methode kombiniert werden . ^{[ 5 ]}${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle J(\Omega )}$

Im Jahr 2005 wurde die topologische asymptotische Entwicklung der Laplace-Gleichung bezüglich des Einfügens eines kurzen Risses in ein ebenes Gebiet gefunden. Sie ermöglicht die Erkennung und Lokalisierung von Rissen in einem einfachen Modellproblem: der stationären Wärmeleitungsgleichung mit vorgegebenem Wärmestrom und gemessener Temperatur am Rand. ^{[ 6 ]} Die topologische Ableitung wurde für eine Vielzahl von Differentialoperatoren zweiter Ordnung vollständig entwickelt und 2011 auf das Kirchhoffsche Plattenbiegeproblem mit einem Operator vierter Ordnung angewendet . ^{[ 7 ]}

Im Bereich der Bildverarbeitung wurde 2006 die topologische Ableitung zur Kantendetektion und Bildrestaurierung eingesetzt . Untersucht wurde der Einfluss eines Isolationsrisses im Bildbereich. Die topologische Sensitivität liefert Informationen über die Bildkanten. Der vorgestellte Algorithmus ist nicht-iterativ und zeichnet sich dank spektraler Methoden durch eine kurze Rechenzeit aus. ^{[ 8 ]} Zur Kantendetektion sind lediglich Operationen erforderlich, wobei die Anzahl der Pixel ist. ^{[ 9 ]} In den folgenden Jahren wurden weitere Probleme betrachtet: Klassifizierung, Segmentierung , Inpainting und Superauflösung . ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]} Dieser Ansatz ist sowohl auf Graustufen- als auch auf Farbbilder anwendbar. ^{[ 14 ]} Bis 2010 wurde für die Bildrekonstruktion isotrope Diffusion verwendet. Der topologische Gradient liefert zudem Informationen zur Kantenorientierung, die für die anisotrope Diffusion genutzt werden können . ^{[ 15 ]}${\displaystyle O(Nlog(N))}$${\displaystyle N}$

Im Jahr 2012 wurde ein allgemeines Rahmenwerk zur Rekonstruktion eines Bildes aus verrauschten Beobachtungen in einem Hilbertraum vorgestellt, wobei der Definitionsbereich des Bildes ist. ^{[ 13 ]} Der Beobachtungsraum hängt von der jeweiligen Anwendung sowie vom linearen Beobachtungsoperator ab . Die Norm auf dem Raum ist . Die Idee zur Wiederherstellung des Originalbildes besteht darin, das folgende Funktional für zu minimieren : ${\displaystyle u\in L^{2}(\Omega )}$${\displaystyle Lu+n}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle u}$${\displaystyle E}$${\displaystyle L:L^{2}(\Omega )\rightarrow E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \|.\|_{E}}$${\displaystyle u\in H^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle \|C^{1/2}\nabla u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}+\|Lu-v\|_{E}^{2}}$

Dabei ist ein positiv definiter Tensor. Der erste Term der Gleichung stellt sicher, dass das rekonstruierte Bild regulär ist, und der zweite Term misst die Abweichung von den Daten. In diesem allgemeinen Rahmen können verschiedene Arten der Bildrekonstruktion durchgeführt werden, wie beispielsweise ^{[ 13 ].}${\displaystyle C}$${\displaystyle u}$

• Bildentrauschung mit und ,${\displaystyle E=L^{2}(\Omega )}$${\displaystyle Lu=u}$
• Bildentrauschung und Entschärfung mit und mit Bewegungsunschärfe oder Gaußscher Unschärfe ,${\displaystyle E=L^{2}(\Omega )}$${\displaystyle Lu=\phi \ast u}$${\displaystyle \phi }$
• Bei der Bildrekonstruktion mit und ist die Teilmenge der Bereich, in dem das Bild wiederhergestellt werden muss.${\displaystyle E=L^{2}(\Omega \backslash \omega )}$${\displaystyle Lu=u|_{\Omega \backslash \omega }}$${\displaystyle \omega \subset \Omega }$

In diesem Rahmen liefert die asymptotische Entwicklung der Kostenfunktion im Fall eines Risses dieselbe topologische Ableitung, wobei die Normale zum Riss und ein konstanter Diffusionskoeffizient ist. Die Funktionen und sind Lösungen der folgenden direkten und adjungierten Probleme. ^{[ 13 ]}${\displaystyle J_{\Omega }(u_{\Omega })={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }u_{\Omega }^{2}}$${\displaystyle g(x,n)=-\pi c(\nabla u_{0}.n)(\nabla p_{0}.n)-\pi (\nabla u_{0}.n)^{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle c}$${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle p_{0}}$

${\displaystyle -\nabla (c\nabla u_{0})+L^{*}Lu_{0}=L^{*}v}$in und auf${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \partial _{n}u_{0}=0}$${\displaystyle \partial \Omega }$

${\displaystyle -\nabla (c\nabla p_{0})+L^{*}Lp_{0}=\Delta u_{0}}$in und auf${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \partial _{n}p_{0}=0}$${\displaystyle \partial \Omega }$

Dank des topologischen Gradienten ist es möglich, die Kanten und ihre Orientierung zu erkennen und einen geeigneten Gradienten für den Bildrekonstruktionsprozess zu definieren. ^{[ 13 ]}${\displaystyle C}$

In der Bildverarbeitung wurden die topologischen Ableitungen auch im Fall eines multiplikativen Rauschens nach Gammaverteilung oder bei Vorliegen einer Poisson-Statistik untersucht. ^{[ 16 ]}

Im Jahr 2009 wurde die Methode des topologischen Gradienten für die tomografische Rekonstruktion eingesetzt . ^{[ 17 ]} Die Kopplung zwischen der topologischen Ableitung und der Level-Set-Methode wurde in diesem Zusammenhang ebenfalls untersucht. ^{[ 18 ]} Im Jahr 2023 wurde die topologische Ableitung zur Optimierung von Formen für das inverse Rendering verwendet. ^{[ 19 ]}

Im Jahr 2025 erweiterten Forscher den Ansatz der topologischen Ableitung auf das Optimierungsproblem der Architektur neuronaler Netze ^{[ 20 ]} . Sie entwickelten einen mathematisch fundierten Algorithmus zur schrittweisen Erweiterung der Tiefe eines neuronalen Netzes während des Trainingsprozesses. Ihre Methode führte ein Formfunktional ein, das von der Topologie des neuronalen Netzes abhängt , und definierte eine diskrete topologische Ableitung für neuronale Netze. Der Zusammenhang zwischen dieser diskreten topologischen Ableitung und dem Hamilton-Operator wurde aus Sicht der optimalen Steuerung des Trainings neuronaler Netze ebenfalls untersucht. Der Ansatz lieferte geschlossene Ausdrücke für die diskrete topologische Ableitung, die anschließend verwendet wurden, um zu bestimmen, wo eine neue Schicht im Netz eingefügt und wie deren Parameter (Gewichte und Bias) initialisiert werden.

AA Novotny und J. Sokolowski, Topologische Ableitungen in der Formoptimierung , Springer, 2013.

• Allaire et al. Strukturoptimierung mittels topologischer und Formsensitivität durch eine Level-Set-Methode