Formoptimierung

Die Formoptimierung ist ein Teilgebiet der optimalen Steuerungstheorie . Typischerweise geht es darum, die optimale Form zu finden, die ein bestimmtes Kostenfunktional minimiert und gleichzeitig gegebene Nebenbedingungen erfüllt . In vielen Fällen hängt das zu lösende Funktional von der Lösung einer gegebenen partiellen Differentialgleichung ab , die auf dem Variablenbereich definiert ist.

Die Topologieoptimierung befasst sich zusätzlich mit der Anzahl der zusammenhängenden Komponenten/Grenzen des Definitionsbereichs. Solche Methoden sind notwendig, da Formoptimierungsverfahren typischerweise nur mit einer Teilmenge zulässiger Formen arbeiten, die feste topologische Eigenschaften aufweisen, wie beispielsweise eine festgelegte Anzahl von Löchern. Topologische Optimierungstechniken können somit dazu beitragen, die Einschränkungen der reinen Formoptimierung zu überwinden.

Mathematisch lässt sich die Formoptimierung als das Problem formulieren, eine beschränkte Menge zu finden , die ein Funktional minimiert .${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\Omega )}$,

möglicherweise einer Einschränkung der Form

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\Omega )=0.}$

Üblicherweise interessieren wir uns für Mengen mit Lipschitz-Stetigkeit oder C¹ ^- Rand , die aus endlich vielen Komponenten bestehen . Anders ausgedrückt: Wir suchen nach einer ästhetisch ansprechenden Lösung und nicht nach einer Ansammlung ungeordneter Teile. Manchmal sind zusätzliche Bedingungen erforderlich, um die Wohldefiniertheit des Problems und die Eindeutigkeit der Lösung zu gewährleisten. ${\displaystyle \Omega }$

Die Formoptimierung ist ein unendlichdimensionales Optimierungsproblem . Darüber hinaus besitzt der Raum der zulässigen Formen, über den die Optimierung durchgeführt wird, keine Vektorraumstruktur , was die Anwendung traditioneller Optimierungsmethoden erschwert.

Formoptimierungsprobleme werden üblicherweise numerisch mithilfe iterativer Verfahren gelöst . Das heißt, man beginnt mit einer ersten Schätzung der Form und entwickelt diese dann schrittweise weiter, bis sie die optimale Form annimmt.

Um ein Formoptimierungsproblem zu lösen, muss man eine Möglichkeit finden, eine Form im Computerspeicher darzustellen und ihre Entwicklung zu verfolgen. Üblicherweise werden hierfür verschiedene Ansätze verwendet.

Ein Ansatz besteht darin, der Kontur der Form zu folgen. Dazu kann man die Kontur der Form relativ dicht und gleichmäßig abtasten, d. h. genügend Punkte betrachten, um einen ausreichend genauen Umriss der Form zu erhalten. Anschließend kann man die Form durch schrittweises Verschieben der Konturpunkte weiterentwickeln. Dies wird als Lagrange-Verfahren bezeichnet .

Ein anderer Ansatz besteht darin, eine Funktion zu betrachten , die auf einem Quader um die Form definiert ist. Diese Funktion ist innerhalb der Form positiv, auf dem Rand null und außerhalb negativ. Anstelle der Form selbst kann man dann diese Funktion entwickeln. Man kann ein rechteckiges Gitter auf dem Quader definieren und die Funktion an den Gitterpunkten abtasten. Während sich die Form entwickelt, bleiben die Gitterpunkte unverändert; nur die Funktionswerte an den Gitterpunkten ändern sich. Dieser Ansatz, bei dem ein festes Gitter verwendet wird, wird als Euler-Verfahren bezeichnet . Die Idee, die Form durch eine Funktion zu repräsentieren, ist die Grundlage der Level-Set-Methode .

Ein dritter Ansatz besteht darin, die Formentwicklung als ein Strömungsproblem zu betrachten. Man kann sich also vorstellen, dass die Form aus einem plastischen Material besteht, das sich allmählich so verformt, dass jeder Punkt innerhalb oder auf der Grenze der Form eindeutig einem Punkt der ursprünglichen Form zugeordnet werden kann. Mathematisch ausgedrückt: Wenn die Anfangsform und die Form zum Zeitpunkt t ist , betrachtet man die Diffeomorphismen${\displaystyle \Omega _{0}}$${\displaystyle \Omega _{t}}$

${\displaystyle f_{t}:\Omega _{0}\to \Omega _{t},{\mbox{ for }}0\leq t\leq t_{0}.}$

Die Idee ist wiederum, dass Formen schwer zu handhabende Gebilde sind, daher werden sie mithilfe einer Funktion manipuliert.

Betrachten wir ein glattes Geschwindigkeitsfeld und die Familie der Transformationen des Anfangsbereichs unter dem Geschwindigkeitsfeld : ${\displaystyle V}$${\displaystyle T_{s}}$${\displaystyle \Omega _{0}}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle x(0)=x_{0}\in \Omega _{0},\quad x'(s)=V(x(s)),\quad T_{s}(x_{0})=x(s),\quad s\geq 0}$,

und bezeichnen

${\displaystyle \Omega _{0}\mapsto T_{s}(\Omega _{0})=\Omega _{s}.}$

Dann ist die Gâteaux- oder Formableitung von at nach der Form der Grenzwert von ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\Omega )}$${\displaystyle \Omega _{0}}$

${\displaystyle d{\mathcal {F}}(\Omega _{0};V)=\lim _{s\to 0}{\frac {{\mathcal {F}}(\Omega _{s})-{\mathcal {F}}(\Omega _{0})}{s}}}$

Falls dieser Grenzwert existiert. Falls die Ableitung zusätzlich linear in Bezug auf ist , existiert ein eindeutiges Element von und ${\displaystyle V}$${\displaystyle \nabla {\mathcal {F}}\in L^{2}(\partial \Omega _{0})}$

${\displaystyle d{\mathcal {F}}(\Omega _{0};V)=\langle \nabla {\mathcal {F}},V\rangle _{\partial \Omega _{0}}}$

Hierbei wird der Formgradient bezeichnet. Dies führt zu einer intuitiven Vorstellung des Gradientenabstiegs , bei dem die Grenze in Richtung des negativen Formgradienten verschoben wird, um den Wert der Kostenfunktion zu reduzieren. Höhere Ableitungen lassen sich analog definieren, was zu Newton-ähnlichen Verfahren führt. ${\displaystyle \nabla {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \partial \Omega }$

Typischerweise wird der Gradientenabstieg bevorzugt, auch wenn er eine große Anzahl von Iterationen erfordert, da es schwierig sein kann, die zweite Ableitung (d. h. die Hesse-Matrix ) des Zielfunktionals zu berechnen . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Wenn das Formoptimierungsproblem Nebenbedingungen aufweist, d. h. ein Funktional existiert, muss man Wege finden, das Problem mit Nebenbedingungen in ein Problem ohne Nebenbedingungen umzuwandeln. Manchmal können Ansätze, die auf Lagrange-Multiplikatoren basieren , wie die Methode der adjungierten Zustände , zum Erfolg führen. ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Die Formoptimierung kann mithilfe gängiger Optimierungsmethoden erfolgen, sofern eine Geometrieparametrisierung definiert ist. Diese Parametrisierung ist im Bereich der computergestützten Ingenieurwissenschaften (CAE) von großer Bedeutung, da die Zielfunktionen üblicherweise komplexe Funktionen sind, die mithilfe numerischer Modelle (CFD, FEA usw.) ausgewertet werden. Ein geeigneter Ansatz für eine Vielzahl von Problemen besteht in der Parametrisierung des CAD-Modells in Verbindung mit einer vollständigen Automatisierung aller für die Funktionsauswertung erforderlichen Prozesse (Vernetzung, Lösung und Ergebnisverarbeitung). Mesh-Morphing ist eine sinnvolle Option für komplexe Probleme, da es typische Probleme der Neuvernetzung, wie z. B. Diskontinuitäten in den berechneten Ziel- und Nebenbedingungen, behebt.

In diesem Fall wird die Parametrisierung nach der Vernetzungsphase direkt auf das für die Berechnung verwendete numerische Modell angewendet, welches mithilfe von Netzaktualisierungsmethoden verändert wird. Für die Netzmorphing-Methode stehen verschiedene Algorithmen zur Verfügung (z. B. Volumenverformung , Pseudosolids , radiale Basisfunktionen ). Die Wahl des Parametrisierungsansatzes hängt hauptsächlich von der Problemgröße ab: Für kleine bis mittelgroße Modelle wird der CAD-Ansatz bevorzugt, während der Netzmorphing-Ansatz für große und sehr große Modelle die beste (und manchmal die einzig praktikable) Option darstellt. Die multikriterielle Pareto-Optimierung (NSGA II) kann als leistungsstarker Ansatz zur Formoptimierung eingesetzt werden. In diesem Zusammenhang bietet die Pareto-Optimierung nützliche Vorteile im Designprozess, wie beispielsweise die Berücksichtigung von Flächenbeschränkungen, die andere multikriterielle Optimierungsverfahren nicht bieten. Die Verwendung einer Penalty-Funktion ist eine effektive Technik, die in der ersten Optimierungsphase eingesetzt werden kann. Bei dieser Methode wird das eingeschränkte Formdesignproblem in ein uneingeschränktes Problem umgewandelt, indem die Beschränkungen in der Zielfunktion als Penalty-Faktor verwendet werden. Der Zeitstraffaktor hängt größtenteils von der Stärke der Nebenbedingungsänderung und weniger von der Anzahl der Nebenbedingungen ab. Im vorliegenden Optimierungsproblem wird die GA-Real-Code-Technik angewendet. Daher basieren die Berechnungen auf den reellen Werten der Variablen. ^{[ 1 ]}

• SU2-Code
• Topologische Ableitung
• Topologieoptimierung

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