Hydraulische Leitfähigkeit

In Wissenschaft und Technik ist die hydraulische Leitfähigkeit ( K , in SI-Einheiten Meter pro Sekunde) eine Eigenschaft poröser Materialien wie Böden und Gesteine . Sie beschreibt , wie leicht sich eine Flüssigkeit (üblicherweise Wasser) durch den Porenraum oder das Kluftnetzwerk bewegen kann. ^{[ 1 ]} Sie hängt von der intrinsischen Permeabilität ( k , Einheit: m² ⁾ des Materials, dem Sättigungsgrad sowie der Dichte und Viskosität der Flüssigkeit ab. Die gesättigte hydraulische Leitfähigkeit ( K _{_sat} ) beschreibt die Wasserbewegung in gesättigten Medien. Per Definition ist die hydraulische Leitfähigkeit das Verhältnis von Volumenstrom zu hydraulischem Gradienten und liefert somit ein quantitatives Maß für die Fähigkeit eines gesättigten Bodens, Wasser unter dem Einfluss eines hydraulischen Gradienten zu leiten.

Es gibt zwei grundlegende Ansätze zur Bestimmung der hydraulischen Leitfähigkeit:

• Im empirischen Ansatz wird die hydraulische Leitfähigkeit mit Bodeneigenschaften wie Porengröße , Korngrößenverteilung und Bodenart korreliert .
• Im experimentellen Ansatz wird die hydraulische Leitfähigkeit aus hydraulischen Experimenten ermittelt, die mithilfe des Darcy-Gesetzes interpretiert werden .

Der experimentelle Ansatz lässt sich grob in folgende Kategorien einteilen:

• Labortests mit Bodenproben, die hydraulischen Versuchen unterzogen wurden
• Feldversuche (vor Ort, in situ), die sich wie folgt unterscheiden:
  • kleinmaßstäbliche Feldversuche, bei denen der Wasserstand in Hohlräumen im Boden beobachtet wurde.
  • groß angelegte Feldversuche, wie beispielsweise Pumpversuche in Brunnen oder die Beobachtung der Funktionsweise bestehender horizontaler Entwässerungssysteme .

Die Feldversuche im kleinen Maßstab werden weiter unterteilt in:

• Infiltrationsversuche in Hohlräumen oberhalb des Grundwasserspiegels
• Slug-Tests in Hohlräumen unterhalb des Grundwasserspiegels

Die Methoden zur Bestimmung der hydraulischen Leitfähigkeit und anderer hydraulischer Eigenschaften werden von zahlreichen Forschern untersucht und umfassen auch zusätzliche empirische Ansätze. ^{[ 2 ]}

Allen Hazen leitete eine empirische Formel zur Annäherung an die hydraulische Leitfähigkeit aus Korngrößenanalysen ab:

${\displaystyle K=C(D_{10})^{2}}$

Wo

${\displaystyle C}$Der empirische Koeffizient von Hazen liegt je nach Literatur zwischen 0,0 und 1,5, mit einem Durchschnittswert von 1,0. AF Salarashayeri & M. Siosemarde geben an, dass C üblicherweise zwischen 1,0 und 1,5 liegt, wobei D in mm und K in cm/s angegeben werden.

${\displaystyle D_{10}}$ist der Durchmesser der 10. Perzentil- Korngröße des Materials.

Eine Pedotransferfunktion (PTF) ist eine spezielle empirische Schätzmethode, die primär in den Bodenwissenschaften , aber zunehmend auch in der Hydrogeologie Anwendung findet. ^{[ 3 ]} Es existieren zahlreiche verschiedene PTF-Methoden, die jedoch alle darauf abzielen, Bodeneigenschaften wie die hydraulische Leitfähigkeit anhand mehrerer gemessener Bodeneigenschaften, beispielsweise der Korngröße und der Lagerungsdichte , zu bestimmen .

Zur Bestimmung der hydraulischen Leitfähigkeit eines Bodens können relativ einfache und kostengünstige Labortests durchgeführt werden: die Methode mit konstantem Druck und die Methode mit fallendem Druck.

Die Methode mit konstantem Druckkopf wird typischerweise bei körnigen Böden angewendet. Bei diesem Verfahren kann Wasser unter einem konstanten Druckkopf durch den Boden fließen, während das durch die Bodenprobe fließende Wasservolumen über einen bestimmten Zeitraum gemessen wird. Kennt man das in der Zeit Δt gemessene Wasservolumen ΔV über eine Probe der Länge L und Querschnittsfläche A sowie den Druckkopf h , lässt sich die hydraulische Leitfähigkeit ( K ) durch einfaches Umstellen des Darcy-Gesetzes bestimmen :

${\displaystyle K={\frac {\Delta V}{\Delta t}}{\frac {L}{Ah}}}$

Beweis: Das Darcy-Gesetz besagt, dass der Volumenstrom von der Druckdifferenz Δ P zwischen den beiden Seiten der Probe, der Permeabilität k und der dynamischen Viskosität μ wie folgt abhängt: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\frac {\Delta V}{\Delta t}}=-{\frac {kA}{\mu L}}\Delta P}$

In einem Experiment mit konstantem Druck definiert der Druckunterschied (die Differenz zwischen zwei Höhen) eine überschüssige Wassermasse ρAh , wobei ρ die Dichte von Wasser ist. Diese Masse drückt auf die Seite, auf der sie sich befindet, und erzeugt so eine Druckdifferenz von ΔP = ρgh , wobei g die Erdbeschleunigung ist. Setzt man dies direkt in die obige Gleichung ein, erhält man

${\displaystyle {\frac {\Delta V}{\Delta t}}=-{\frac {k\rho gA}{\mu L}}h}$

Wenn die hydraulische Leitfähigkeit als mit der hydraulischen Permeabilität in Beziehung gesetzt wird als

${\displaystyle K={\frac {k\rho g}{\mu }},}$

Dies führt zu folgendem Ergebnis.

Bei der Methode des fallenden Drucks wird die Bodenprobe zunächst unter einem bestimmten Druckniveau gesättigt. Anschließend fließt das Wasser ohne weitere Wasserzufuhr durch den Boden, sodass der Druck beim Durchfließen der Probe abnimmt. Der Vorteil dieser Methode liegt darin, dass sie sowohl für feinkörnige als auch für grobkörnige Böden geeignet ist. ^{[ 5 ]} Fällt der Druck innerhalb der Zeit Δt von h_{_i} auf h _{_f} ab , so entspricht die hydraulische Leitfähigkeit …

${\displaystyle K={\frac {L}{\Delta t}}\ln {\frac {h_{f}}{h_{i}}}}$

Beweis: Wie oben, lautet das Darcy-Gesetz

${\displaystyle {\frac {\Delta V}{\Delta t}}=-K{\frac {A}{L}}h}$

Die Volumenabnahme hängt mit der sinkenden Druckhöhe über ΔV = ΔhA zusammen . Setzt man diese Beziehung in die obige Gleichung ein und bildet den Grenzwert für Δt → 0 , so ergibt sich die Differentialgleichung

${\displaystyle {\frac {dh}{dt}}=-{\frac {K}{L}}h}$

hat die Lösung

${\displaystyle h(t)=h_{i}e^{-{\frac {K}{L}}(t-t_{i})}.}$

Durch Einstecken und Umordnen erhält man das gewünschte Ergebnis. ${\displaystyle h(t_{f})=h_{f}}$

Im Vergleich zu Labormethoden liefern Feldmethoden die zuverlässigsten Informationen über die Durchlässigkeit des Bodens bei minimalen Störungen. Bei Labormethoden beeinflusst der Grad der Störungen die Zuverlässigkeit der ermittelten Durchlässigkeitswerte.

Der Pumpversuch ist die zuverlässigste Methode zur Bestimmung des Durchlässigkeitsbeiwerts eines Bodens. Dieser Versuch wird weiter in den Einpumpversuch und den Auspumpversuch unterteilt.

Es gibt auch In-situ-Methoden zur Messung der hydraulischen Leitfähigkeit im Gelände. Bei hohem Grundwasserspiegel kann die Bohrlochmethode, ein sogenannter Slug-Test , zur Bestimmung der hydraulischen Leitfähigkeit unterhalb des Grundwasserspiegels eingesetzt werden. Die Methode wurde 1934 von Hooghoudt ^{[ 6 ]} in den Niederlanden entwickelt und 1948 von Van Bavel und Kirkham ^{[ 7 ]} in den USA eingeführt. Die Methode umfasst folgende Schritte:

1. Ein Bohrloch wird bis unterhalb des Grundwasserspiegels in den Boden gebohrt.
2. Das Wasser wird aus dem Bohrloch herausgeschöpft.
3. Die Anstiegsgeschwindigkeit des Wasserspiegels im Loch wird aufgezeichnet.
4. Der K -Wert wird aus den Daten wie folgt berechnet: ^{[ 8 ]}

1. ${\displaystyle K=F{\frac {H_{o}-H_{t}}{t}}}$

Wo:

• K ist die horizontale gesättigte hydraulische Leitfähigkeit (m/Tag).
• H ist die Tiefe des Wasserspiegels im Loch relativ zum Grundwasserspiegel im Boden (cm):
  • H _t = H zum Zeitpunkt t
  • H _o = H zum Zeitpunkt t = 0
• t ist die Zeit (in Sekunden) seit der ersten Messung von H als H _o
• F ist ein Faktor, der von der Geometrie des Lochs abhängt:

  ${\displaystyle F={\frac {4000r}{h'}}\left(20+{\frac {D}{r}}\right)\left(2-{\frac {h'}{D}}\right)}$

Wo:

• r ist der Radius der zylindrischen Öffnung (cm).
• h' ist die durchschnittliche Tiefe des Wasserspiegels im Loch relativ zum Grundwasserspiegel im Boden (cm) und wird wie folgt ermittelt:${\displaystyle h'={\tfrac {H_{o}+H_{t}}{2}}}$
• D ist die Tiefe des Lochbodens relativ zum Grundwasserspiegel im Boden (cm).

Die Abbildung zeigt eine große Streuung der mit der Bohrlochmethode gemessenen K -Werte in einem Gebiet von 100 ha. ^{[ 9 ]} Das Verhältnis zwischen dem höchsten und dem niedrigsten Wert beträgt 25. Die kumulative Häufigkeitsverteilung ist lognormal.

Die Transmissivität ist ein Maß dafür, wie viel Wasser horizontal transportiert werden kann, beispielsweise zu einem Pumpbrunnen.

Die Transmissivität sollte nicht mit dem ähnlichen Begriff Transmissionsgrad aus der Optik verwechselt werden , der den Anteil des einfallenden Lichts bezeichnet, der eine Probe durchdringt.

Ein Grundwasserleiter kann aus n Bodenschichten bestehen. Die Transmissivität T_{_i} einer horizontalen Strömung durch die i -te Bodenschicht mit einer gesättigten Dicke d_{_i} und horizontaler hydraulischer Leitfähigkeit K _{_i} ist:

${\displaystyle T_{i}=K_{i}d_{i}}$

Die Transmissivität ist direkt proportional zur horizontalen hydraulischen Leitfähigkeit K i und zur Mächtigkeit d i . Drückt man K i in m/Tag und d i  in m aus, ergibt sich die Transmissivität T  i  in m² /Tag. Die Gesamttransmissivität T t des Grundwasserleiters ist die Summe der Transmissivitäten aller Schichten: [ 8 ]

${\displaystyle T_{t}=\sum T_{i}}$

Die scheinbare horizontale hydraulische Leitfähigkeit K _A des Grundwasserleiters beträgt:

${\displaystyle K_{A}={\frac {T_{t}}{D_{t}}}}$

wobei D _t , die Gesamtmächtigkeit des Grundwasserleiters, die Summe der einzelnen Mächtigkeiten jeder Schicht ist:${\textstyle D_{t}=\sum d_{i}.}$

Die Transmissivität eines Grundwasserleiters kann durch Pumpversuche bestimmt werden . ^{[ 10 ]}

Einfluss des Grundwasserspiegels: Liegt eine Bodenschicht oberhalb des Grundwasserspiegels , ist sie nicht gesättigt und trägt nicht zur Durchlässigkeit bei. Befindet sich die Bodenschicht vollständig unterhalb des Grundwasserspiegels, entspricht ihre gesättigte Mächtigkeit ihrer eigenen Mächtigkeit. Liegt der Grundwasserspiegel innerhalb einer Bodenschicht, entspricht die gesättigte Mächtigkeit dem Abstand des Grundwasserspiegels zur Unterseite der Schicht. Da der Grundwasserspiegel dynamischen Schwankungen unterliegt, kann sich diese Mächtigkeit orts- oder zeitabhängig ändern, wodurch sich die Durchlässigkeit entsprechend ändert. In einem halbgespannten Grundwasserleiter befindet sich der Grundwasserspiegel innerhalb einer Bodenschicht mit vernachlässigbar geringer Durchlässigkeit, sodass Änderungen der Gesamtdurchlässigkeit ( D_{_t} ) aufgrund von Änderungen des Grundwasserspiegels vernachlässigbar klein sind. Beim Pumpen von Wasser aus einem ungespannten Grundwasserleiter, in dem sich der Grundwasserspiegel innerhalb einer Bodenschicht mit signifikanter Durchlässigkeit befindet, kann der Grundwasserspiegel absinken, wodurch die Durchlässigkeit sinkt und der Wasserzufluss zum Brunnen abnimmt.

Der Widerstand gegen vertikale Strömung ( R _i ) der i -ten Bodenschicht mit einer gesättigten Dicke d _i und vertikaler hydraulischer Leitfähigkeit K _{v i} ist:

${\displaystyle R_{i}={\frac {d_{i}}{K_{v_{i}}}}}$

Drückt man K _{_vi} in m/Tag und d _{_i} in m aus, so ergibt sich der Widerstand ( R_{_i} ) in Tagen. Der Gesamtwiderstand ( R _{_t} ) des Grundwasserleiters ist die Summe der Widerstände der einzelnen Schichten: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle R_{t}=\sum R_{i}=\sum {\frac {d_{i}}{K_{v_{i}}}}}$

Die scheinbare vertikale hydraulische Leitfähigkeit ( K _{v A} ) des Grundwasserleiters beträgt:

${\displaystyle K_{v_{A}}={\frac {D_{t}}{R_{t}}}}$

wobei D _t die Gesamtmächtigkeit des Grundwasserleiters ist:${\textstyle D_{t}=\sum d_{i}.}$

Der Widerstand spielt eine Rolle in Grundwasserleitern , in denen eine Abfolge von Schichten mit unterschiedlicher horizontaler Durchlässigkeit auftritt, sodass der horizontale Fluss hauptsächlich in den Schichten mit hoher horizontaler Durchlässigkeit zu finden ist, während die Schichten mit niedriger horizontaler Durchlässigkeit das Wasser hauptsächlich vertikal leiten.

Wenn sich die horizontale und vertikale hydraulische Leitfähigkeit (h_h und h _v) einer Bodenschicht deutlich unterscheiden, spricht man von einer Anisotropie der Schicht hinsichtlich der hydraulischen Leitfähigkeit. Auch ein Grundwasserleiter ist anisotrop , wenn sich die scheinbare horizontale und vertikale hydraulische Leitfähigkeit (h_h und h _v) deutlich unterscheiden . Ein Grundwasserleiter wird als halbgespannt bezeichnet , wenn eine gesättigte Schicht mit relativ geringer horizontaler hydraulischer Leitfähigkeit (die halbgespannte Schicht oder Aquitardschicht ) über einer Schicht mit relativ hoher horizontaler hydraulischer Leitfähigkeit liegt, sodass der Grundwasserfluss in der ersten Schicht überwiegend vertikal und in der zweiten Schicht überwiegend horizontal verläuft. Der Widerstand der halbgespannten Deckschicht eines Grundwasserleiters kann durch Pumpversuche bestimmt werden . ^{[ 10 ]} Bei der Berechnung des Zuflusses zu Dränagen ^{[ 11 ]} oder zu einem Brunnenfeld ^{[ 12 ]} in einem Grundwasserleiter zur Grundwasserregulierung muss die Anisotropie berücksichtigt werden, da das Ergebnis sonst fehlerhaft sein kann. ${\textstyle K_{h_{i}}}$${\textstyle K_{v_{i}}}$${\textstyle i{\mbox{-th}}}$${\textstyle K_{h_{A}}}$${\textstyle K_{v_{A}}}$

Aufgrund ihrer hohen Porosität und Durchlässigkeit weisen Sand- und Kiesgrundwasserleiter eine höhere hydraulische Leitfähigkeit auf als Ton- oder unzerklüftete Granitgrundwasserleiter . Daher lässt sich aus Sand- oder Kiesgrundwasserleitern aufgrund ihrer hohen Transmissivität leichter Wasser gewinnen (z. B. mittels eines Pumpbrunnens ) als aus Ton- oder unzerklüfteten Festgesteinsgrundwasserleitern.

Die hydraulische Leitfähigkeit hat Einheiten mit der Dimension Länge pro Zeit (z. B. m/s, ft/Tag und ( gal /Tag)/ft² ⁾ ; die Transmissivität hingegen hat Einheiten mit der Dimension Länge² pro Zeit. Die folgende Tabelle zeigt einige typische Bereiche (die die vielen möglichen Größenordnungen verdeutlichen) für K- Werte.

Die hydraulische Leitfähigkeit ( K ) ist eine der komplexesten und wichtigsten Eigenschaften von Grundwasserleitern in der Hydrogeologie, da die in der Natur vorkommenden Werte wie folgt aussehen:

• die Größenordnung erstreckt sich über viele Größenordnungen (die Verteilung wird oft als logarithmisch normal betrachtet ).
• stark im Raum variieren (manchmal wird angenommen, dass sie räumlich zufällig verteilt oder stochastischer Natur sind).
• sind gerichtet (im Allgemeinen ist K ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe ; z. B. können vertikale K- Werte um mehrere Größenordnungen kleiner sein als horizontale K- Werte),
• sind maßstabsabhängig (die Untersuchung eines m³ Grundwasserleiters liefert im Allgemeinen andere Ergebnisse als eine ähnliche Untersuchung an nur einer cm³ Probe desselben Grundwasserleiters).
• muss indirekt durch Feldpumpversuche , Laborsäulenströmungsversuche oder inverse Computersimulationen (manchmal auch durch Korngrößenanalysen ) bestimmt werden , und
• Sie hängen stark (nichtlinear ) vom Wassergehalt ab, was die Lösung der Gleichung für ungesättigte Strömung erschwert. Tatsächlich variiert der Sättigungskoeffizient K für ein einzelnes Material über einen größeren Bereich als die Sättigungskoeffizienten K für alle Materialtypen (siehe untenstehende Grafik zur Veranschaulichung des Bereichs der letzteren).

Tabelle der in der Natur gefundenen Werte der gesättigten hydraulischen Leitfähigkeit ( K ).

Die Werte gelten für typische Grundwasserbedingungen – unter Verwendung von Standardwerten für Viskosität und spezifisches Gewicht von Wasser bei 20 °C und 1 atm. Siehe die aus derselben Quelle stammende Tabelle für die Werte der intrinsischen Permeabilität . ^{[ 13 ]}

Quelle: modifiziert nach Bear, 1972

Hydraulische Leitfähigkeit an der Fließgrenze für verschiedene Tone ^{[ 14 ] [ 15 ].}

Bodentyp	Fließgrenze, LL (%)	Porenanteil an der Fließgrenze, (%)${\displaystyle e_{L}}$	Hydraulische Leitfähigkeit, cm/s ${\displaystyle 10^{-7}}$
Bentonit	330	9.24	1,28
Bentonitsand​ ${\displaystyle +}$	215	5,91	2,65
Natürlicher Meeresboden	106	2.798	2,56
luftgetrockneter Meeresboden	84	2.234	2,42
offen getrockneter Meeresboden	60	1.644	2,63
Braunerde	62	1.674	2,83

• Grundwasserleitertest
• Hydraulische Analogie
• Pedotransferfunktion – zur Schätzung der hydraulischen Leitfähigkeit anhand der Bodeneigenschaften

• Rechner für hydraulische Leitfähigkeit