Einzigartigkeitsquantifizierung

In Mathematik und Logik bezeichnet der Begriff „Eindeutigkeit“ die Eigenschaft, das einzige Objekt zu sein, das eine bestimmte Bedingung erfüllt. ^{[ 1 ]} Diese Art der Quantifizierung wird als Eindeutigkeitsquantifizierung oder eindeutige Existenzquantifizierung bezeichnet und oft mit den Symbolen „ ∃ !“ ^{[ 2 ]} oder „∃ _{= 1} “ gekennzeichnet. Sie bedeutet, dass ein Objekt mit der gegebenen Eigenschaft existiert und alle Objekte mit dieser Eigenschaft gleich sind .

Zum Beispiel die formale Aussage

${\displaystyle \exists !n\in \mathbb {N} \,(n-2=4)}$

kann gelesen werden als „es gibt genau eine natürliche Zahl, sodass ⁠ ⁠ “. ${\displaystyle n}$${\displaystyle n-2=4}$

Die gebräuchlichste Methode, die eindeutige Existenz eines Objekts zu beweisen, besteht darin, zunächst die Existenz der Entität mit der gewünschten Bedingung zu beweisen und dann zu beweisen, dass je zwei solcher Entitäten (sagen wir und ) einander gleich sein müssen (d  . h . ). ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a=b}$

Um beispielsweise zu zeigen, dass die Gleichung genau eine Lösung hat, müsste man zunächst nachweisen, dass mindestens eine Lösung existiert, nämlich 3; der Beweis dieses Teils besteht einfach in der Überprüfung, ob die folgende Gleichung gilt: ${\displaystyle x+2=5}$

${\displaystyle 3+2=5.}$

Um die Eindeutigkeit der Lösung zu beweisen, geht man davon aus, dass es zwei Lösungen gibt, nämlich und , die die Bedingung erfüllen . Das heißt, ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle x+2=5}$

${\displaystyle a+2=5{\text{ und }}b+2=5.}$

Da Gleichheit eine transitive Relation ist ,

${\displaystyle a+2=b+2.}$

Subtrahiert man dann 2 von beiden Seiten, erhält man

${\displaystyle a=b,}$

womit der Beweis abgeschlossen ist, dass 3 die eindeutige Lösung von ist . ${\displaystyle x+2=5}$

Im Allgemeinen müssen sowohl die Existenz (es existiert mindestens ein Objekt) als auch die Eindeutigkeit (es existiert höchstens ein Objekt) bewiesen werden, um zu dem Schluss zu gelangen, dass es genau ein Objekt gibt, das eine genannte Bedingung erfüllt.

Eine alternative Methode, die Eindeutigkeit zu beweisen, besteht darin, zu beweisen, dass es ein Objekt gibt, das die Bedingung erfüllt, und dann zu beweisen , dass jedes Objekt, das die Bedingung erfüllt, gleich sein muss . ${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

Die Eindeutigkeitsquantifizierung kann mithilfe der Existenz- und Allquantoren der Prädikatenlogik ausgedrückt werden , indem die Formel wie folgt definiert wird ^{[ 3 ]}${\displaystyle \exists !x(P(x))}$

${\displaystyle \exists x\,(P(x)\,\wedge \neg \exists y\,(P(y)\wedge y\neq x)),}$

was logisch äquivalent ist zu

${\displaystyle \exists x\,(P(x)\wedge \forall y\,(P(y)\to y=x)).}$

Eine äquivalente Definition, die die Begriffe Existenz und Einzigartigkeit in zwei Teilsätze aufteilt, ist – wenngleich auf Kosten der Kürze – folgende:

${\displaystyle \exists x\,P(x)\wedge \forall y\,\forall z\,[(P(y)\wedge P(z))\to y=z].}$

Die Eindeutigkeitsquantifizierung lässt sich zur Zählquantifizierung (oder numerischen Quantifizierung ^{[ 4 ]} ) verallgemeinern. Diese umfasst sowohl Quantifizierungen der Form „Es existieren genau k Objekte, sodass …“ als auch „Es existieren unendlich viele Objekte, sodass …“ und „Es existieren nur endlich viele Objekte, sodass …“. Die erste dieser Formen lässt sich mit gewöhnlichen Quantoren ausdrücken, die beiden letzteren jedoch nicht in der gewöhnlichen Prädikatenlogik erster Stufe . ^{[ 5 ]}

Eindeutigkeit hängt von einem Gleichheitsbegriff ab . Eine gröbere Äquivalenzrelation ermöglicht die Quantifizierung der Eindeutigkeit bis auf diese Äquivalenz (in diesem Rahmen ist reguläre Eindeutigkeit „Eindeutigkeit bis auf Gleichheit“). Dies wird als im Wesentlichen eindeutig bezeichnet . Beispielsweise sind viele Konzepte der Kategorientheorie bis auf Isomorphie eindeutig definiert .

Das Ausrufezeichen kann auch als eigenständiges Quantifizierungszeichen verwendet werden, also ⁠ ⁠ , wobei ⁠ ⁠ . Zum Beispiel kann es im Ersetzungsaxiom anstelle von verwendet werden . ${\displaystyle !}$${\displaystyle (\exists !xP(x))\leftrightarrow ((\exists xP(x))\land (!xP(x)))}$${\displaystyle (!xP(x)):=(\forall a\forall bP(a)\land P(b)\rightarrow a=b)}$${\displaystyle \exists !}$

• Im Wesentlichen einzigartig
• Erweiterung per Definition
• Ein-heiß
• Singleton (Mathematik)
• Eindeutigkeitssatz

• Kleene, Stephen (1952). Einführung in die Metamathematik . Ishi Press International. S. 199.
• Andrews, Peter B. (2002). Einführung in die mathematische Logik und Typentheorie zum Wahrheitsbeweis (2. Aufl.). Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. S. 233. ISBN 1-4020-0763-9Die