Weierstrass-elliptische Funktion

In der Mathematik sind die Weierstrassschen elliptischen Funktionen elliptische Funktionen von besonders einfacher Form. Sie sind nach Karl Weierstrass benannt . Diese Funktionenklasse wird auch als ℘-Funktionen bezeichnet und üblicherweise mit dem Symbol ℘, einer besonderen Schreibweise p, gekennzeichnet . Sie spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen, d. h. meromorphen Funktionen , die doppelt periodisch sind . Eine ℘-Funktion kann zusammen mit ihrer Ableitung zur Parametrisierung elliptischer Kurven verwendet werden und erzeugt den Körper der elliptischen Funktionen bezüglich eines gegebenen Periodengitters.

Symbol für die Weierstrass -Funktion ${\displaystyle \wp }$

Eine kubische Funktion der Form , wobei komplexe Zahlen mit sind , kann nicht rational parametrisiert werden . ^{[ 1 ]} Dennoch möchte man einen Weg finden, sie zu parametrisieren. ${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\}}$${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$

Für die Quadrik ; den Einheitskreis , existiert eine (nichtrationale) Parametrisierung unter Verwendung der Sinusfunktion und ihrer Ableitung, der Kosinusfunktion: Aufgrund der Periodizität von Sinus und Kosinus wird als Definitionsbereich gewählt, sodass die Funktion bijektiv ist. ${\displaystyle K=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\right\}}$$${\displaystyle \psi :\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \to K,\quad t\mapsto (\sin t,\cos t).}$$${\displaystyle \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$

In ähnlicher Weise kann man eine Parametrisierung von mithilfe der doppelt periodischen -Funktion und ihrer Ableitung, nämlich über , erhalten . Diese Parametrisierung hat den Definitionsbereich , der topologisch äquivalent zu einem Torus ist . ^{[ 2 ]}${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle \wp }$${\displaystyle (x,y)=(\wp (z),\wp '(z))}$${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

Es gibt eine weitere Analogie zu den trigonometrischen Funktionen. Betrachten wir die Integralfunktion. Sie lässt sich vereinfachen durch die Substitution und . Das bedeutet . Die Sinusfunktion ist also die Umkehrfunktion einer Integralfunktion. ^{[ 3 ]}$${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dy}{\sqrt {1-y^{2}}}}.}$$${\displaystyle y=\sin t}$${\displaystyle s=\arcsin x}$$${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{s}dt=s=\arcsin x.}$$${\displaystyle a^{-1}(x)=\sin x}$

Elliptische Funktionen sind die Umkehrfunktionen elliptischer Integrale . Insbesondere sei: Dann ist die Fortsetzung von auf die komplexe Ebene gleich der -Funktion. ^{[ 4 ]} Diese Invertierbarkeit wird in der komplexen Analysis verwendet , um eine Lösung für bestimmte nichtlineare Differentialgleichungen zu finden, die die Painlevé-Eigenschaft erfüllen , d. h. solche Gleichungen, die Pole als einzige bewegliche Singularitäten besitzen . ^{[ 5 ]}$${\displaystyle u(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}.}$$${\displaystyle u^{-1}}$${\displaystyle \wp }$

Seien zwei komplexe Zahlen , die über linear unabhängig sind , und sei der von diesen Zahlen erzeugte Periodenverband . Dann ist die -Funktion wie folgt definiert: ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \Lambda :=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2}):=\wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right).}$

Diese Reihe konvergiert lokal gleichmäßig absolut im komplexen Torus . ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

Es ist üblich , und in der oberen Halbebene als Erzeuger des Gitters zu verwenden . Division durch bildet das Gitter isomorph auf das Gitter mit ab . Da für eingesetzt werden kann , können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen und dann definieren . Mit dieser Definition erhalten wir . ${\displaystyle 1}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}}$${\textstyle \omega _{1}}$${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau }$${\textstyle \tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$${\displaystyle -\tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$${\displaystyle \wp (z,\tau ):=\wp (z,1,\tau )}$${\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2})=\omega _{1}^{-2}\wp (z/\omega _{1},\omega _{2}/\omega _{1})}$

• ${\displaystyle \wp }$ist eine meromorphe Funktion mit einem Pol der Ordnung 2 in jeder Periode in .${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Lambda }$
• ${\displaystyle \wp }$ist eine homogene Funktion, in der:

${\displaystyle \wp (\lambda z,\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-2}\wp (z,\omega _{1},\omega _{2}).}$

• ${\displaystyle \wp }$ist eine gerade Funktion. Das bedeutet für alle , was sich folgendermaßen veranschaulichen lässt:${\displaystyle \wp (z)=\wp (-z)}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \Lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (-z)&={\frac {1}{(-z)^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(-z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z+\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)=\wp (z).\end{aligned}}}$

Die vorletzte Gleichung gilt, weil . Da die Summe absolut konvergiert, ändert diese Umordnung den Grenzwert nicht.${\displaystyle \{-\lambda :\lambda \in \Lambda \}=\Lambda }$

• Die Ableitung von ist gegeben durch: ^{[ 6 ]}${\displaystyle \wp }$$${\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}.}$$
• ${\displaystyle \wp }$und sind doppelt periodisch mit den Perioden und . ^{[ 6 ]} Dies bedeutet: Daraus folgt, dass und für alle .${\displaystyle \wp '}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (z+\omega _{1})&=\wp (z)=\wp (z+\omega _{2}),\ {\textrm {and}}\\[3mu]\wp '(z+\omega _{1})&=\wp '(z)=\wp '(z+\omega _{2}).\end{aligned}}}$$${\displaystyle \wp (z+\lambda )=\wp (z)}$${\displaystyle \wp '(z+\lambda )=\wp '(z)}$${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$

Sei . Dann besitzt die -Funktion die folgende Laurent-Entwicklung, wobei für sogenannte Eisenstein-Reihen sind . ^{[ 6 ]}${\displaystyle r:=\min\{{|\lambda }|:0\neq \lambda \in \Lambda \}}$${\displaystyle 0<|z|<r}$${\displaystyle \wp }$$${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)G_{2n+2}z^{2n}}$$$${\displaystyle G_{n}=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-n}}$$${\displaystyle n\geq 3}$

Sei und . Dann erfüllt die -Funktion die Differentialgleichung ^{[ 6 ].} Diese Beziehung lässt sich verifizieren, indem man eine Linearkombination von Potenzen von und bildet , um den Pol bei zu eliminieren . Dies liefert eine ganze elliptische Funktion, die nach dem Satz von Liouville konstant sein muss . ^{[ 6 ]}${\displaystyle g_{2}=60G_{4}}$${\displaystyle g_{3}=140G_{6}}$${\displaystyle \wp }$$${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}.}$$${\displaystyle \wp }$${\displaystyle \wp '}$${\displaystyle z=0}$

Die Koeffizienten der obigen Differentialgleichung und werden als Invarianten bezeichnet . Da sie vom Gitter abhängen, können sie als Funktionen in und betrachtet werden . ${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$

Die Reihenentwicklung legt nahe, dass und homogene Funktionen vom Grad und sind . Das heißt ^{[ 7 ]} für . ${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}}$${\displaystyle -4}$${\displaystyle -6}$$${\displaystyle g_{2}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$$$${\displaystyle g_{3}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$$${\displaystyle \lambda \neq 0}$

Wenn und so gewählt werden, dass , und als Funktionen auf der oberen Halbebene interpretiert werden können . ${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left({\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\right)>0}$${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}}$${\displaystyle \mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}}$

Sei . Man hat: ^{[ 8 ]} Das bedeutet, dass _g₂ und g₃ nur dadurch skaliert werden. Setze und . _Als Funktionen von sind und sogenannte Modulformen.${\displaystyle \tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$$${\displaystyle g_{2}(1,\tau )=\omega _{1}^{4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2}),}$$$${\displaystyle g_{3}(1,\tau )=\omega _{1}^{6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2}).}$$$${\displaystyle g_{2}(\tau ):=g_{2}(1,\tau )}$$$${\displaystyle g_{3}(\tau ):=g_{3}(1,\tau ).}$$${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}}$

Die Fourierreihen für und sind wie folgt gegeben: ^{[ 9 ]} wobei die Divisorfunktion und der Name ist . ${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}}$$${\displaystyle g_{2}(\tau )={\frac {4}{3}}\pi ^{4}\left[1+240\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{3}(k)q^{2k}\right]}$$$${\displaystyle g_{3}(\tau )={\frac {8}{27}}\pi ^{6}\left[1-504\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{5}(k)q^{2k}\right]}$$$${\displaystyle \sigma _{m}(k):=\sum _{d\mid {k}}d^{m}}$$${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

Die modulare Diskriminante ist definiert als die Diskriminante des charakteristischen Polynoms der Differentialgleichung wie folgt: Die Diskriminante ist eine modulare Form vom Gewicht . Das heißt, unter der Wirkung der modularen Gruppe transformiert sie sich zu , wobei mit . ^{[ 10 ]}${\displaystyle \Delta }$$${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$$$${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.}$$${\displaystyle 12}$$${\displaystyle \Delta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\left(c\tau +d\right)^{12}\Delta (\tau )}$$${\displaystyle a,b,d,c\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle ad-bc=1}$

Beachten Sie, dass es sich dabei um die Dedekindsche Eta-Funktion handelt . ^{[ 11 ]}${\displaystyle \Delta =(2\pi )^{12}\eta ^{24}}$${\displaystyle \eta }$

Für die Fourier-Koeffizienten von siehe Ramanujan-Tau-Funktion . ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle e_{1}}$und werden üblicherweise verwendet , um die Werte der -Funktion bei den halben Perioden zu bezeichnen. Sie sind paarweise verschieden und hängen nur vom Gitter und nicht von seinen Generatoren ab. ^{[ 12 ]}${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$${\displaystyle \wp }$$${\displaystyle e_{1}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right)}$$$${\displaystyle e_{2}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right)}$$$${\displaystyle e_{3}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)}$$${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle e_{1}}$und sind die Wurzeln des kubischen Polynoms und hängen durch die Gleichung zusammen: Da diese Wurzeln verschieden sind, verschwindet die Diskriminante nicht in der oberen Halbebene. ^{[ 13 ]} Nun können wir die Differentialgleichung umschreiben: Das bedeutet, dass die Halbperioden Nullstellen von sind . ${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$${\displaystyle 4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$$${\displaystyle e_{1}+e_{2}+e_{3}=0.}$$${\displaystyle \Delta }$$${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4(\wp (z)-e_{1})(\wp (z)-e_{2})(\wp (z)-e_{3}).}$$${\displaystyle \wp '}$

The invariants ${\displaystyle g_{2}}$ and ${\displaystyle g_{3}}$ can be expressed in terms of these constants in the following way:^[14]$${\displaystyle g_{2}=-4(e_{1}e_{2}+e_{1}e_{3}+e_{2}e_{3})}$$$${\displaystyle g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}}$$${\displaystyle e_{1}}$, ${\displaystyle e_{2}}$ and ${\displaystyle e_{3}}$ are related to the modular lambda function: $${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}},\quad \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}.}$$

For numerical work, it is often convenient to calculate the Weierstrass elliptic function in terms of Jacobi's elliptic functions.

The basic relations are:^[15]$${\displaystyle \wp (z)=e_{3}+{\frac {e_{1}-e_{3}}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{2}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {dn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{1}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {cn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}}$$ where ${\displaystyle e_{1},e_{2}}$ and ${\displaystyle e_{3}}$ are the three roots described above and where the modulus k of the Jacobi functions equals $${\displaystyle k={\sqrt {\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}}}$$ and their argument w equals $${\displaystyle w=z{\sqrt {e_{1}-e_{3}}}.}$$

The function ${\displaystyle \wp (z,\tau )=\wp (z,1,\omega _{2}/\omega _{1})}$ can be represented by Jacobi's theta functions: $${\displaystyle \wp (z,\tau )=\left(\pi \theta _{2}(0,q)\theta _{3}(0,q){\frac {\theta _{4}(\pi z,q)}{\theta _{1}(\pi z,q)}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{3}}\left(\theta _{2}^{4}(0,q)+\theta _{3}^{4}(0,q)\right)}$$ where ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$ is the nome and ${\displaystyle \tau }$ is the period ratio ${\displaystyle (\tau \in \mathbb {H} )}$.^[16] This also provides a very rapid algorithm for computing ${\displaystyle \wp (z,\tau )}$.

Consider the embedding of the cubic curve in the complex projective plane

${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\}\cup \{O\}\subset \mathbb {C} ^{2}\cup \mathbb {P} _{1}(\mathbb {C} )=\mathbb {P} _{2}(\mathbb {C} ).}$

where ${\displaystyle O}$ is a point lying on the line at infinity${\displaystyle \mathbb {P} _{1}(\mathbb {C} )}$. For this cubic there exists no rational parameterization, if ${\displaystyle \Delta \neq 0}$.^[1] In this case it is also called an elliptic curve. Nevertheless there is a parameterization in homogeneous coordinates that uses the ${\displaystyle \wp }$-function and its derivative ${\displaystyle \wp '}$:^[17]

${\displaystyle \varphi (\wp ,\wp '):\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} },\quad z\mapsto {\begin{cases}\left[\wp (z):\wp '(z):1\right]&z\notin \Lambda \\\left[0:1:0\right]\quad &z\in \Lambda \end{cases}}}$

Now the map ${\displaystyle \varphi }$ is bijective and parameterizes the elliptic curve ${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$.

${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$ is an abelian group and a topological space, equipped with the quotient topology.

It can be shown that every Weierstrass cubic is given in such a way. That is to say that for every pair ${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$ with ${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$ there exists a lattice ${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$, such that

${\displaystyle g_{2}=g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$ and ${\displaystyle g_{3}=g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$.^[18]

The statement that elliptic curves over ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ can be parameterized over ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, is known as the modularity theorem. This is an important theorem in number theory. It was part of Andrew Wiles' proof (1995) of Fermat's Last Theorem.

The addition theorem states^[19] that if ${\displaystyle z,w,}$ and ${\displaystyle z+w}$ do not belong to ${\displaystyle \Lambda }$, then $${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1&\wp (z)&\wp '(z)\\1&\wp (w)&\wp '(w)\\1&\wp (z+w)&-\wp '(z+w)\end{bmatrix}}=0.}$$ This states that the points ${\displaystyle P=(\wp (z),\wp '(z)),}$${\displaystyle Q=(\wp (w),\wp '(w)),}$ and ${\displaystyle R=(\wp (z+w),-\wp '(z+w))}$ are collinear, the geometric form of the group law of an elliptic curve.

Dies lässt sich beweisen ^{[ 20 ]} , indem man Konstanten betrachtet, sodass gilt: Dann besitzt die elliptische Funktion einen Pol dritter Ordnung bei Null und somit drei Nullstellen, deren Summe zu gehört . Zwei der Nullstellen sind und , und somit ist die dritte kongruent zu . ${\displaystyle A,B}$$${\displaystyle \wp '(z)=A\wp (z)+B,\quad \wp '(w)=A\wp (w)+B.}$$$${\displaystyle \wp '(\zeta )-A\wp (\zeta )-B}$$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle z}$${\displaystyle w}$${\displaystyle -z-w}$

Der Additionssatz kann auch in der alternativen Form formuliert werden, für : ^{[ 21 ]}${\displaystyle z,w,z-w,z+w\not \in \Lambda }$$${\displaystyle \wp (z+w)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp '(z)-\wp '(w)}{\wp (z)-\wp (w)}}\right]^{2}-\wp (z)-\wp (w).}$$

Sowie die Duplikationsformel: ^{[ 21 ]}$${\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right]^{2}-2\wp (z).}$$

Dies lässt sich mithilfe des oben gezeigten Additionssatzes beweisen. Die Punkte und sind kollinear und liegen auf der Kurve . Die Steigung dieser Geraden ist . Somit erfüllen , und alle eine kubische Gleichung , wobei eine Konstante ist. Dies ergibt . Somit liefert dies die gesuchte Formel ${\displaystyle P=(\wp (u),\wp '(u)),Q=(\wp (v),\wp '(v)),}$${\displaystyle R=(\wp (u+v),-\wp '(u+v))}$${\displaystyle y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}}$$${\displaystyle m={\frac {y_{P}-y_{Q}}{x_{P}-x_{Q}}}={\frac {\wp '(u)-\wp '(v)}{\wp (u)-\wp (v)}}.}$$${\displaystyle x=x_{P}=\wp (u)}$${\displaystyle x=x_{Q}=\wp (v)}$${\displaystyle x=x_{R}=\wp (u+v)}$$${\displaystyle (mx+q)^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3},}$$${\displaystyle q}$$${\displaystyle 4x^{3}-m^{2}x^{2}-(2mq+g_{2})x-g_{3}-q^{2}=0.}$$${\displaystyle x_{P}+x_{Q}+x_{R}={\frac {m^{2}}{4}}}$${\displaystyle \wp (u+v)+\wp (u)+\wp (v)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp '(u)-\wp '(v)}{\wp (u)-\wp (v)}}\right]^{2}.}$

Ein direkter Beweis folgt. ^{[ 22 ]} Jede elliptische Funktion lässt sich wie folgt ausdrücken: wobei die Weierstrasssche Sigmafunktion ist und die jeweiligen Nullstellen und Pole im Periodenparallelogramm sind . Betrachtet man die Funktion als Funktion von , so erhält man . Multipliziert man beide Seiten mit und setzt , so erhält man , also ${\displaystyle f}$$${\displaystyle f(u)=c\prod _{i=1}^{n}{\frac {\sigma (u-a_{i})}{\sigma (u-b_{i})}}\quad c\in \mathbb {C} }$$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle a_{i},b_{i}}$${\displaystyle \wp (u)-\wp (v)}$${\displaystyle u}$$${\displaystyle \wp (u)-\wp (v)=c{\frac {\sigma (u+v)\sigma (u-v)}{\sigma (u)^{2}}}.}$$${\displaystyle u^{2}}$${\displaystyle u\to 0}$${\displaystyle 1=-c\sigma (v)^{2}}$${\displaystyle c=-{\frac {1}{\sigma (v)^{2}}}\implies \wp (u)-\wp (v)=-{\frac {\sigma (u+v)\sigma (u-v)}{\sigma (u)^{2}\sigma (v)^{2}}}.}$

Per Definition ist die Weierstrasssche Zetafunktion : Daher differenzieren wir beide Seiten logarithmisch nach und erhalten: Wiederum per Definition, also durch erneutes Differenzieren beider Seiten und Umordnen der Terme erhalten wir: Da bekannt ist, dass die folgende Differentialgleichung besitzt , erhält man durch Umordnen der Terme die gesuchte Formel ${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln \sigma (z)=\zeta (z)}$${\displaystyle u}$$${\displaystyle {\frac {\wp '(u)}{\wp (u)-\wp (v)}}=\zeta (u+v)-2\zeta (u)-\zeta (u-v)}$$${\displaystyle \zeta '(z)=-\wp (z)}$$${\displaystyle -\wp (u+v)=-\wp (u)+{\frac {1}{2}}{\frac {\wp ''(v)[\wp (u)-\wp (v)]-\wp '(u)[\wp '(u)-\wp '(v)]}{[\wp (u)-\wp (v)]^{2}}}}$$${\displaystyle \wp ''}$${\displaystyle 2\wp ''=12\wp ^{2}-g_{2}}$$${\displaystyle \wp (u+v)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp '(u)-\wp '(v)}{\wp (u)-\wp (v)}}\right]^{2}-\wp (u)-\wp (v).}$$

Die elliptische Funktion von Weierstrass wird üblicherweise mit einem speziellen Kleinbuchstaben ℘ geschrieben, der auf Weierstrass' eigene Notation zurückgeht, die er in seinen Vorlesungen von 1862–1863 einführte. ^{[ Fußnote 1 ]} Sie sollte nicht mit den üblichen mathematischen Buchstaben P, 𝒫 und 𝓅 verwechselt werden.

\wpIn der Informatik ist der Buchstabe ℘ in TeX als ℘ verfügbar . In Unicode lautet der Codepunkt U+2118 ℘ SCRIPT CAPITAL P , mit dem korrekteren Alias ​​weierstrass elliptische Funktion . ^{[ Fußnote 2 ]} In HTML kann er als ℘ ℘oder ℘ maskiert werden ℘.

• Weierstrass-Funktionen
• Jacobi-elliptische Funktionen
• Lemniskate elliptische Funktionen

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann (Hrsg.). (1983) [Juni 1964]. „Kapitel 18“ . Handbuch mathematischer Funktionen mit Formeln, Graphen und mathematischen Tabellen . Reihe Angewandte Mathematik. Band 55 (Neunter Nachdruck mit zusätzlichen Korrekturen der zehnten Originalausgabe mit Korrekturen (Dezember 1972); erste Auflage). Washington DC; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. S. 627. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . MR  0167642 . LCCN  65-12253 .
• N. I. Akhiezer , Elemente der Theorie elliptischer Funktionen , (1970) Moskau, englische Übersetzung als AMS Translations of Mathematical Monographs Band 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• Tom M. Apostol , Modulare Funktionen und Dirichletreihen in der Zahlentheorie, Zweite Auflage (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0(Siehe Kapitel 1.)
• K. Chandrasekharan, Elliptische Funktionen (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
• Konrad Knopp , Funktionentheorie II (1947), Dover Publications; Neuauflage in englischer Übersetzung als Theory of Functions (1996), Dover Publications ISBN 0-486-69219-1
• Serge Lang , Elliptische Funktionen (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
• E. T. Whittaker und G. N. Watson , A Course of Modern Analysis , Cambridge University Press , 1952, Kapitel 20 und 21

• „Weierstrass elliptische Funktionen“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Weierstrass' elliptische Funktionen auf Mathworld .
• Kapitel 23, Weierstrass Elliptische und Modulare Funktionen in DLMF ( Digitale Bibliothek mathematischer Funktionen ) von WP Reinhardt und PL Walker.
• Die Weierstrass-P-Funktion und ihre Ableitung, implementiert in C von David Dumas