Weyl-Gesetz

In der Mathematik , insbesondere in der Spektraltheorie , beschreibt das Weylsche Gesetz das asymptotische Verhalten der Eigenwerte des Laplace-Beltrami-Operators . Diese Beschreibung wurde 1911 von Hermann Weyl für Eigenwerte des Laplace-Beltrami-Operators entdeckt, der auf Funktionen wirkt, die am Rand eines beschränkten Gebiets verschwinden . Insbesondere bewies er, dass die Anzahl der Dirichlet-Eigenwerte (einschließlich ihrer Vielfachheiten), die kleiner oder gleich ist, die Bedingung erfüllt. ${\displaystyle d=2,3}$${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle N(\lambda )}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lim _{\lambda \rightarrow \infty }{\frac {N(\lambda )}{\lambda ^{d/2}}}=(2\pi )^{-d}\omega _{d}\mathrm {vol} (\Omega )}$

wobei V das Volumen der Einheitskugel in ℝ³ ist . ^{[ 1 ]} Im Jahr 1912 lieferte er einen neuen Beweis auf der Grundlage von Variationsmethoden . ^{[ 2 ] [ 3 ]} Das Weylsche Gesetz lässt sich auf geschlossene Riemannsche Mannigfaltigkeiten erweitern, wobei ein weiterer Beweis mithilfe der Minakshisundaram-Pleijel-Zetafunktion gegeben werden kann . ${\displaystyle \omega _{d}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Das Weylsche Gesetz wurde auf allgemeinere Bereiche und Operatoren erweitert. Für den Schrödinger-Operator

${\displaystyle H=-h^{2}\Delta +V(x)}$

Es wurde erweitert auf

${\displaystyle N(E,h)\sim (2\pi h)^{-d}\int _{\{|\xi |^{2}+V(x)<E\}}dx\,d\xi }$

als Tendenz zu oder zu einem Minimum des wesentlichen Spektrums und/oder . ^{[ 4 ]} Hier ist die Anzahl der Eigenwerte von unten , es sei denn, es gibt ein wesentliches Spektrum darunter, in welchem ​​Fall . ${\displaystyle E}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle h\to +0}$${\displaystyle N(E,h)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle N(E,h)=+\infty }$

Bei der Entwicklung der spektralen Asymptotik spielten Variationsmethoden und mikrolokale Analysen eine entscheidende Rolle .

Das erweiterte Weyl-Gesetz versagt in bestimmten Situationen. Insbesondere behauptet das erweiterte Weyl-Gesetz, dass es kein essentielles Spektrum gibt , genau dann, wenn der Ausdruck auf der rechten Seite für alle endlich ist . ${\displaystyle E}$

Betrachtet man Bereiche mit Spitzen (d. h. Bereiche, deren Ausgänge ins Unendliche schrumpfen), so besagt das (erweiterte) Weylsche Gesetz, dass es genau dann kein essentielles Spektrum gibt, wenn das Volumen endlich ist. Für den Dirichlet-Laplace-Operator hingegen existiert selbst bei unendlichem Volumen kein essentielles Spektrum, solange die Spitzen im Unendlichen schrumpfen (die Endlichkeit des Volumens ist also nicht notwendig).

Andererseits gibt es beim Neumann-Laplace-Operator ein essentielles Spektrum, es sei denn, die Spitzen schrumpfen im Unendlichen schneller als der negative Exponent (die Endlichkeit des Volumens ist also nicht ausreichend).

Weyl vermutete, dass

${\displaystyle N(\lambda )=(2\pi )^{-d}\lambda ^{d/2}\omega _{d}\mathrm {vol} (\Omega )\mp {\frac {1}{4}}(2\pi )^{1-d}\omega _{d-1}\lambda ^{(d-1)/2}\mathrm {area} (\partial \Omega )+o(\lambda ^{(d-1)/2})}$

Der Restterm ist bei Dirichlet-Randbedingungen negativ und bei Neumann-Randbedingungen positiv. Die Resttermschätzung wurde von vielen Mathematikern verbessert.

1922 bewies Richard Courant eine Schranke für . 1952 bewies Boris Levitan die schärfere Schranke für kompakte, geschlossene Mannigfaltigkeiten. Robert Seeley erweiterte dies 1978 auf bestimmte euklidische Gebiete. ^{[ 5 ]} 1975 bewiesen Hans Duistermaat und Victor Guillemin die Schranke für den Fall, dass die Menge der periodischen Bicharakteristiken das Maß 0 hat. ^{[ 6 ]} Dies wurde schließlich 1980 von Victor Ivrii verallgemeinert. ^{[ 7 ]} Diese Verallgemeinerung setzt voraus, dass die Menge der periodischen Trajektorien eines Billards in das Maß 0 hat, was Ivrii für alle beschränkten euklidischen Gebiete mit glatten Rändern vermutete. Seitdem wurden ähnliche Ergebnisse für breitere Operatorklassen erzielt. ${\displaystyle O(\lambda ^{(d-1)/2}\log \lambda )}$${\displaystyle O(\lambda ^{(d-1)/2})}$${\displaystyle o(\lambda ^{(d-1)/2})}$${\displaystyle \Omega }$

In einem würfelförmigen Hohlraum mit der Länge und dem Volumen ist die Zustandsdichte der elektromagnetischen Strahlung mit der Kreisfrequenz gegeben durch ${\displaystyle L}$${\displaystyle V=L^{3}}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle g(\omega )={\frac {V\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}}$

Hierbei ist die Lichtgeschwindigkeit. Mithilfe des Weylschen Gesetzes lässt sich zeigen, dass diese Zustandsdichte für Hohlräume beliebiger Form gilt, sofern diese ausreichend groß sind . ^{[ 8 ]}${\displaystyle c}$